دانلود مقاله بردار

کلمه بردار به معنای حمل کننده میباشد و از یک کلمه لاتین به همین معنا گرفته شده است.یک بردار به عنوان یک عنصر از فضای برداری تعریف میشودو در فضای nبعدی دارای n مولفه است.پس بدیهی است که یک بردار در صفحه دارای دو مولفه میباشدو یا در فضای سه بعدی سه مولفه را اختیار میکند.بردارها در علوم مختلف مانند فیزیک کاربردهای فراوانی دارند و بدون آنها نمیتوان بسیاری از مولفه های فیزیکی مانند سرعت ، شتاب و...

را تفسیر و تعریف نمود.

کمیتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز باشد.

مهم ترین کمیت های برداری که می‌‌توان نام برد عبارت‌اند از: ۱- مکان ۲- سرعت ۳- شتاب ۴- نیرو ۵- میدان های الکتریکی و مغناطیسی یکی از بهترین راهای تشخیص برداری بودن یا نبودن یک کمیت اینست که بررسی کنیم آیا جمع آن کمیت خاصیت برداری دارد یا خیر.

مثلاً جریان الکتریکی با وجود آنکه علاوه بر اندازه جهت نیز دارد ولی برداری نیست زیرا جمع جریان ها به صورت اسکالر صورت می‌‌گیرد (قانون جریان کیرشهف).

در حالت بسیار کلی هر مجموعه عدد که به صورت یک ماتریس ستونی n*۱ قابل نوشتن باشد بردار گفته می‌شود.

کاربرد این مفهوم در توصیف حالت سیستم ها به مراتب بیشتر از محاسبات پدیده‌های فیزیکی است.

خصوصیات بردار ها بردارها را میتوان با یکدیگر جمع (جمع بردار ها) و یا ضرب (ضرب بردارها) کرد.البته ضرب دو بردار با ضرب یک اسکالردر آن فرق میکند.ضرب بردارها سه نوع است که عبارتنداز ضرب داخلی ، ضرب خارجی و ضرب مستقیم تانسوری که حاصل همه این ضربها لزوما یک بردار نیست.

هر بردار دارای دو مولفه است که این دو مولفه عبارتند از طول بردار و جهت بردار.همچنین هر بردار دارای یک ابتدا و یک انتها نیز هست.

برداری که دارای طول واحد باشدبردارواحد مینامند و برداری که طول آن صفر است را بردارصفر مینامند.

جبر برداری مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و...

که بر روی بردارها انجام می‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست.

مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند.

اطلاعات اولیه بحث حرکت در دو یا سه بعد با وارد کردن مفهوم بردار بسیار ساده می‌شود.

یک بردار از نظر هندسی به صورت کمیتی فیزیکی تعریف می‌شود که بوسیله اندازه و جهت در فضا مشخص می‌شود.

به عنوان مثال می‌توان به سرعت و نیرو اشاره کرد که هر دو کمیتی برداری هستند.

هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه و جهت بردار است، نمایش می‌دهند.

جمع دو یا چند بردار را می‌توان بر اساس راحتی کار با استفاده از روشهای متوازی الضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را به مولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه می‌کنند، انجام داد.

ضرب بردارها ضرب بردار در حالت کلی به دو صورت ضرب نقطه‌ای یا عددی و ضرب برداری انجام می‌شود.

در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش داده می‌شود، حاصضرب برابر با است با حاصضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگر بر روی آن.

طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصضرب آنها صفر خواهد بود.

اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده می‌شود، نتیجه حاصضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می‌شود و اندازه آن با حاصضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست.

ضرب برداری علاوه بر دو حالت فوق می‌تواند بصورت مختلط نیز باشد.

به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت می‌توان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد.

اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجه حاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.

قاعده دست راست قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سر و کار دارند مطرح است، به این صورت بیان می‌شود.

فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب می‌شود.

برای تعیین جهت بردار حاصضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در این صورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود مشتق گیری برداری برای مشتق گیری برداری قواعد خاصی وجود دارد که به صورت زیر اشاره می‌شود.

مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.

مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ، که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر با حاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است.

بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندین بردار نیز به همین صورت تعریف می‌شود.

یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضرب می‌شوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد.

علاوه بر این مشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام می‌شود.

انتگرال گیری برداری در حالت کلی سه بعدی دو نوع تابع می‌توان در نظر گرفت.

توابع نقطه‌ای اسکالر و توابع نقطه‌ای برداری.

به عنوان مثال تابع انرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی که شدت میدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است.

همچنین انتگرال گیری نیز می‌تواند به سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد.

در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنی صورت می‌گیرد.

اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانجام در حالت چهارم روی یک حجم صورت می‌گیرد.

نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجه به تقارن موجود و نیز نوع تابع مسئله در سیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد.

به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارای تقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است در سیستم مختصات کروی انجام دهیم.

ضرب داخلی در ریاضیات فضای ضرب داخلی یک فضای برداری است.

ضرب داخلی یا ضرب اسکالر به ما این امکان را میدهد که مفاهیم هندسی از قبیل زاویه و طول یک بردار را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد تعریف ضرب داخلی دو بردار uوvرا با نشان میدهند.

ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.

ضرب داخلی دو بردار uوvرا با نشان میدهند.

ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار ویک اسکالر باشدآنگاه: 1.

2.

3.

4.

و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم: 1.

در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید: 2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید: به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد: نرم در فضای ضرب داخلی در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود: در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.

نامساوی کوشی-شوارتز البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.

محاسبه زاویه بین دو بردار پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟

فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم: باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.

آنالیز برداری اطلاعات اولیه بیشتر کمیات فیزیکی که در فیزیک و علوم مهندسی با آنها مواجه می‌شویم، به دو صورت اسکالر (نرده‌ای) و برداری هستند.

یک کمیت اسکالر تنها با بیان بزرگی و همراه با یکای خود ، اگر داشته باشد، کاملا مشخص می‌شود.

به عنوان مثال جرم یک کمیت اسکالر است که با مقدار و یکایش که کیلوگرم است، کاملا مشخص می‌گردد.

دسته دیگری از کمیات ، کمیات برداری هستند که علاوه بر مقدار و یکا دارای جهت نیز هستند.

به عنوان سرعت و شتاب نمونه‌هایی از کمیتهای برداری هستند.

کمیتهای برداری از قواعد جبر برداری پیروی می‌کنند و علاوه بر آن هندسه ، دیفرانسیل و انتگرال که در نمایش ریاضی کمیتهای فیزیکی ، نقش بسیار مهمی‌دارد، نیز ضروری است.

کلید این مباحث در مطالبی تحت عنوان آنالیز برداری که به مفهوم تحلیل و بررسی مسائل مربوط به بردارهاست، مورد بحث قرار می‌گیرد.

نمایش کمیاب برداری گفتیم که هر کمیت برداری علاوه بر مقدا و یکا با جهت نیز مشخص می‌شود، از نظر ترسیمی ، یک بردار با یک پاره خط و یک پیکان در یک انتهای آن نمایش داده می‌شود.

طول پاره خط تقریبا متناسب با بزرگی کمیت برداری است، پیکان جهت کمیت برداری را نشان می‌دهد.

به عنوان مثال اگر A یک کمیت برداری باشد، در این صورت نمایش داده می‌شود.

تساوی بردارها دو بردار را در صورتی مساوی می‌گویند که بزرگی و جهت آن دو با هم برابر باشند.

به عبارت دیگر برای تساوی دو بردار علاوه بر اینکه باید اندازه یا بزرگی آنها با هم برابر باشد، باید هم جهت نیز باشد.

ضرب بردارها بردارها معمولا به دو صورت می‌توانند در هم ضرب شوند.

این دو به نامهای ضرب داخلی یا عددی و ضرب برداری معروف هستند.

ضرب عددی ضرب عددی دو بردار B و A با نماد B.A نمایش داده می‌شود و حاصل آن برابر است با حلصضرب بزرگی دو بردار در کسینوس زاویه بین آنها از آنجا که90 Cos برابر صفر است، لذا می‌توان گفت که اگر حاصضرب عددی دو بردار برابر صفر باشد در این صورت این دو بردار بر هم عمودند.

ضرب برداری ضرب برداری دو بردار دلخواه B,A بصورت A×B نشان داده می‌شود و مقدار آن برابر است با حاصضرب بزرگی دو بردار در سینوس زاویه بین آنها.

همچنین می‌دانیم که سینوس صفر یا 180 درجه صفر است، بنابراین دو بردار موازی باشند، در این صورت حاصل ضرب برداری آنها صفر خواهد شد.

جمع و تفریق برداری برای جمع دو بردار به روش تحلیل قواعد مختلفی وجود دارد که در اینجا به چند نمونه اشاره می‌شود.

روش متوازی الاضلاع: فرض کنید بخواهیم دو بردار دلخواه را با هم جمع کنیم.

برای اینکار مبدا مختصات را بر ابتدای یکی از این بردارها منطبق فرض می‌کنیم، حال از ابتدای همین برداری ، بردار دیگری به موازات بردار دوم و درست برابر با اندازه آن (بزرگی اش با آن برابراست رسم می‌کنیم.

حال از انتهای بردار اول بردار دیگری دقیقا موازی بردار اول و به اندازه آن رسم می‌کنیم.

به این ترتیب یک متوازی الاضلاع حاصل می‌شود.

قطری از متوازی الاضلاع که ابتدای آن بر ابتدای دو بردار اولیه منطبق است، بردار حاصل جمع بردار اولیه خواهد بود.

روش تجزیه: در این روش که بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد، کار به این صورت است که یک سیستم مختصات با محورهای X,Y,Z در نظر می‌گیریم.

از ابتدای مختصات بردارهایی دقیقا در راستای بردارهای اولیه و درت به اندازه آنها رسم می‌کنیم.حال هر بردار در محورهای مختصات به مولفه‌هایش تجزیه می‌کنیم.

به این ترتیب سه معادله می‌توانیم بنویسیم.

هر معادله با مجموع مولفه‌ها در راستای یک محور با توجه به علامت آنها (که بسته به جهت مولفه تعیین می‌شود) نوشته می‌شود.

به این ترتیب هر سه مولفه بردار حاصل جمع حاصل می‌شود.

برای تعیین جهت بردار حاصل جمع باید از روش هندسی و روشهای مثلثاتی کرده و مقدار زاویه‌ای را که بردار حاصل جمع با محورها می‌سازد، تعیین کنیم.

حسن این روش در این است که علاوه بر دو بردار می‌توان حاصل جمع چندین بردار را براحتی تعیین کنیم.

تفریق دو بردار تفریق دو بردار را نیز می‌توان با استفاده از قاعده جمع برداری مشخص نمود.

به عنوان مثال اگر بخواهیم حاصل A-B را تعیین کنیم، بردار A را با بردار B - که برداری به اندازه B و در خلاف جهت آن است، جمع کنیم.

ضرب خارجی ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.

تعریف دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود: فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند: در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود: خصوصیات خصوصیات هندسی اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است.

یعنی داریم: همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد: ویژگیهای جبری ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد: ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد: ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود : این ضرب شرکت پذیر نیست.

ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند: شرحی بر مبانی ریاضی کاربردی در الکترو مغناطیس آنالیز برداری: بردار به پاره خطی جهتدار اطلاق می‌شود که در محورهای مختصات خاصی تعریف شده و اندازه و ابتدا و انتها و جهت دارد .

سیستمهای مختصات: برای تعین موقعیت یک نقطه در فضا نسبت به یک مبداء مرجع مورد استفاده قرار می‌گیرد که بنا به نوع استفاده انواع گوناگونی دارد گاهی مراد به مختصات راست گوشه است که در این مختصات سه صفحه عمودی هم در نظر گرفته شده که محل تلاقی آنها به عنوان محور مختصات مورد استفاده قرار می‌گیرد و گاهی از مختصات کروی و استوانه‌ای استفاده می‌کنیم که در مواردی خاص برای سهولت در حل مسائل از چنین مختصاتهایی بهره می‌بریم.

اما در درس مبانی نجوم رادیوئی به علت اهراز از معادلات پیچیده فقط به معرفی و کاربرد مختصاتهای ساده‌ای چون مختصات راستگوشه بسنده کرده تا جای دیگر.

مختصات راست گوشه: همان محورهای مختصات هستند که در دوران دبیرستان از آن استفاده می‌شد و امتداد سه جهت طول و عرض و ارتفاع قرار داشته و به صورت (x,y,z) نشان داده می‌شود که x حاکی از محور طولها و y حاکی از محور عرضها و z ارتفاع را نشان می‌دهد.

و برای نشان دادن موقعیت یک نقطه در فضا با تصویر کردن آن نقطه روی صفحات مذکور جسم را نسبت به مبداء مختصات نشان می‌دهیم.

تمرین : مثلاً نقطه (6 ، 5 ، 4) را در مختصات کارتزین پیدا کنید؟

تبدیلات سه مختصات : کروی استوانه‌ای راستگوشه x y z در مختصات کارتزین جمع و تفریق برداری بسیار ساده است و ضرب برداری بصورت ضربهای داخلی و خارجی تعریف می‌شود.

ضرب داخلی: این ضرب به ضرب داخلی موسوم است و همان گونه که ملاحظه می‌شود در صورتی که A در راستای B باشد بیشترین مقدار و در صورت عمودن بودن A و B نتیجه ضرب بسوی صفر میل می‌کند.

ضرب داخلی از دیدگاهی فیزیکی مشابه بدست آوردن کار می‌باشد که dw=f.dl که کار کمیتی زده‌ای است و دارای جهت نیست و اگر نیرو عمود بر راستای حرکت اعمال شود تابع کار برابر صفر است.

پس در گردش الکترون در مسیر دایره‌ای که میدان مغناطیسی عمود بر راستای حرکت می‌باشد.

هیچگونه کاری انجام نمی‌گیرد ولی حرکت کردن الکترون در راستای اعمال نیرو بیشینه کار انجام می‌گیرد.

ضرب خارجی دو بردار: چنانچه دو بردار آنچنان با یکدیگر ضرب شوند که حاصل این ضرب خود یک بردار باشد و جهتدار به چنین ضربی، ضرب خارجی گویند و حاصل ضرب خارجی دو بردار معمولاً عمود بر امتداد دو بردار خواهد بود.

و جهت آن از قانون دست راست پیروی می‌کند یعنی اگر B*A باشد وقتی با دست راست از جانب محور A به سوی B حرکت کنیم شست دست جهت بردار عمود را نشانه می‌رود که نتیجه ضرب خارجی دو بردار است.

ضرب برداری معمولاً در فیزیک در حرکتهای چرخشی ظاهر می‌شود مثلاً در مورد گشتاور نیرو در حرکات دورانی که در این رابطه نیرو یک بردار و نیز یک بردار و گشتاور نیرو نیز نشان دهنده یک بردار است.

همچنین مسائلی از این نوع گاهی برای ضرب برداری دو بردار از دترمتان استفاده می‌شود.

گرادیان: تغییرات جزئی یک نقطه در یک سیستم را با گرادیان نشان می‌دهند.

نکته: عملکرد به تنهایی معنی ندارد اگر چنانچه با برداری ضرب داخلی یا خارجی شود معنی پیدا می‌کند.

ضرب داخلی با یک برداری مثل dI عمل گرادیان را نشان می‌دهد مثل که تغییرات f را در راستای L نشان می‌دهد در راستای عمود بر حرکت دارای کمینه تغییرات و در راستای حرکت دارای پیشینه تغییرات است.

ضرب خارجی با یک بردار مثل dI برابر با صفر خواهد بود.

پس اگر چنانچه بخواهیم را در یک مسیر محاسبه کنیم و چون df یک مشتق کامل است به مسیر بتسگی ندارد و فقط b,a در آن مهم است و اگر a=b باشد یعنی مسیر دایره‌ای باشد جواب انتگرال صفر خواهد بود و این هم بر می‌گردد به نکته (3) زیرا حرکت دایره‌ای حاکی از ضرب خارجی است.

دیورژانس: اگر چنانچه جریان شاری در راستای عمودی جعبه‌ای در حال حرکت باشد بطوریکه شار به صورت عمودی وارد سیستم شده و از طرف دیگر خارج شود اگر مقدار شار را با نمایش دهیم هر صفحه که A بردار گذرا و ds سطح گذر می‌باشد.

پس مقدار شار را در سیستم مکعب شکل به قرار زیر داریم: و به عبارت دیگر: قضیه دیورژانس: اگر چنانچه شاره‌ای رادر نظر گرفته و حجم کوچکی را که کنار هم گذاشتن احجام کوچکتر کنار هم به وجود آمده است در میان شار در نظر بگیریم.

که از یکی از سطوح شاره وارد حجم شده و از سمت دیگر خارج می‌شود می‌شود اگر چنانچه مقدار شار و حجم سطح را طوری در نظر بگیریم که مقدار شار گذری از هر سطح برابر با هم باشد پس در حجم کوچکی که مقداری شاره وارد می شود از سوی دیگر حجم به بیرون آمده و مجموع این ورود و خروجها صفر می‌شود مگر در سطوح جانبی و محاط بر سیستم که در آنها فقط شارهای ورودی و خروجی داریم.

پس می‌توانیم قضیه را به این صورت بنویسیم رابطه‌ای است بین حجم و سطح در یک قضیه ریاضی یعنی مقدار موجی که وارد یک حجم می‌شود برابر مقدار موجی است از سطوح جانبی آن جسم می‌گذرد.

کرل: کرل به معنای گردش است و حاکی چرخشهای جزئی در طول مسیر است برای همین منظور برای نشان دادن کرل در یک سیستم از ضرب خارجی استفاده می‌کنیم یعنی بردار ضربدر شار منظور اگر چنانچه پره‌ای دوار در جریان یک موج قرار دهیم اگر پره شروع به گردش کرد آنگاه گوئیم که کرل داریم در غیر این صورت سیستم کرل ندارد.

قضیه : استوکس: اگر چنانچه سطحی را داشته باشیم که این سطح در درونش کرل‌های جزئی وجود داشته باشد.

مسیرهای خطی جزئی روی سطح توزیع شده تنها در مسر مرزهای L دارای سهم غیر صفر می‌باشند.

کرل گرادیان برابر صفر است: دیورجانس کرل یک بردار برابر صفر است: چون همواره عمود بر صفحه است پس وقتی بر آن اعمال شود 90 cos ظاهر شده و 90 cos می‌باشد.

موج کروی: اگر چنانچه یک چشمه نقطه‌ای در نظر بگیریم که از آن موج متصاعد می‌شود امواج بصورت کروی پراکنده می‌شود این نوع از امواج مستقل از و هستند.

موج استوانه‌ای : این نوع موج از مناطقی شکاف گون گسیل شده و مستقل از می‌باشند.

حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار ساخته شده است از ضرب سه گانه این سه بردار حاصل میشود.

دستگاه محورهای مختصاتمحور: محور اعداد حقیقی یک خط جهت دار می باشد که روی آن یک نقطه به عنوان مبدأ طولی به عنوان واحد اندازه گیری تعیین شده باشد و جهت محور را از چپ به راست مثبت و از راست به چپ منفی در نظر می گیرند.

مانند محور x'ox در شکل زیر : هر عدد حقیقی را با یک نقطه و از محور و از هر نقطه از محور را با عدد حقیقی متناظر می کنند نقطه o (مبدأ) متناظر با عد صفر و نقطه 1 متناظر با عدد (1) می باشد.

طول نقطه روی یک محور : عدد حقیقی متناظر با هر نقطه از محور را طول یا مختص می نامند .

اگر نقطه A روی محور باشد.

طول نقطه A را با XA نشان می دهند.

بردار: هر پاره خط جهت دار روی محور اعداد حقیقی را بردار می نامند .هر بردار با ابتدا و انتهای آن مشخی می شود و فاصله نقطه انتها از ابتدای بردار را طول بردار می نامند .مانند بردار که ابتدای این بردار A و انتهای این بردار B و طول بردار برابر AB یا است .

اندازه جبری بردار : دو نقطه A,B را روی محور در نظر می گیریم.

مقدارX B- XA را اندازه جبری بردار می نامند و مقدار|X B- XA| طول بردار AB یعنی || را با نشان می دهند.

به عبارت دیگر اگر طول بردار برابر با d باشد، اندازه جبری بردار را به صورت زیر را تعریف می کنند.

اگر بردار با محور هم جهت باشد d = اگر بردار با محور هم جهت باشد d - = بردار مکان روی یک محور: اگر x11=1 باشد، آن گاه بردار را واحد یا بردار یکسر می گویند.

اگر A نقطه دلخواه روی محور باشد به صورت مقابل می توانیم بنویسییم.

= .

در نتیجه بردار را به صورت زیر می توانیم بنویسیم.

معرفی|X| : قدر مطلق هر عدد حقیقی | X | را با نماد نشان می دهند و بصورت زیر تعریف می کنند.

بنابراین اگر X یک عدد مثبت و یا صفر باشد.

برابر خود X است و اگر X یک عدد منفی باشد.

برابر با X- است.

در نتیجه |X|همواره نامنفی است.

محورهای مختصات قائم : دو محور حقیقی را که در مبدأ شان بر یکدیگر عمود باشند دستگاه مختصات قائم می نامند.

یعنی محور X'OX بر محور Y'OY عمود است و O مبدأشان می باشد.

محور X'OX را محور طول ها (Xها) و محور Y'OY را محور عرض ها ( Yها ) می نامند.

مختصات یک نقطه در دستگاه مختصات قائم : برای مشخص کردن نقطه مانند M در دستگاه مختصات قائم، از نقطه A یک خط موازی محور Xها و یک خط موازی محور Y ها رسم می کنیم تا محورها را در نقاط K,H قطع کنند.

مانند شکل روبرو : طول نقطه K روی محور طول ها را با طول نقطه ای M و طول نقطه H روی محور عرض ها را عرض نقطه M می نامیم و طول و عرض هر نقطه را مختصان آن می گوئیم.

معمولاً نقطهM را به صورت (M(XAYB با بطور خلاصه به صورت (M(XY نشان می دهیم.

طول پاره خط (فاصله دو نقطه): مختصات وسط پاره خط : اگر نقطه m وسط پاره خط AB باشد مختصات M برابر است با : معادله خط : روش کلی برای رسم نمودار : ax+by=c به x دو مقدار دلخواه نسبت داده و به ازای هر یک از آنها مقداری برای y بدست می آید.

هر x,y نظیرش یک نقطه را مشخص می کند.

دو نقطه را مشخص کرده و به هم وصل می نمائیم.

شیب خط : نسبت تفاضل عرضهای دو نقطه از خط به تفاضل طول های نظیر آن دو نقطه شیب خط نامیده می شود.

تعیین شیب خط با معلوم بودن معادله خط : معادله کلی خطوط : معادله خط : معادله خطی که مختصات یک نقطه و ضریب زاویه آن M معلوم است.

Y-Y1 = m (X -X1) X 1, Y1 مختصات یک نقطه از خط و m ضریب زاویه (شیب) خط است معادله خطی که مختصات دو نقطه آن در دست است بصورت زیر می باشد: