دانلود تحقیق آمار و احتمال

توزیع دو جمله ای : اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیر باشد ، آزمایش تصادفی دوجمله ای است .

1- آزمایش ها مستقل از یکدیگر تکرار شوند 2- آزمایش ها به تعداد دفعات معین مثلا n بار تکرار شوند 3- آزمایش تصادفی به دو نتیجه ممکن موفقیت و شکست منجرگردد .

4- احتمال موفقیت ها در همه آزمایش ها ثابت و برابر p باشد .

مثال 1 : کدام یک از موارد زیر می تواند به عنوان آزمایش دوجمله ای تلقی شود ؟

الف- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین اینکه آیا آنها قبلا در زندان بوده اند یا خیر .

ب- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین طول مدت محکومیت آنها .

حل : مورد « الف » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را دارد .

1- آزمایش ها مستقل از یکدیگرند 2- تعداد آزمایش ها ( 500 ) ثابت است 3- هرآزمایش دو نتیجه دارد : یا در زندان بوده یا نبوده 4- احتمال موفقیت ها ( مثلا زندانی نبودن ) در همه آزمایش ها ثابت است .

مورد « ب » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را ندارد زیرا طول مدت محکومیت زندانیان متفاوت بوده و بنابراین هرآزمایش بیش از دو نتیجه دارد .

متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی دو جمله ای عبارت است از تعداد موفقیت ها دریک آزمایش تصادفی دو جمله ای تابع توزیع احتمال دو جمله ای که در آن p احتمال موفقیت و x تعداد موفقیت ها در n آزمایش باشد به صورت زیر تعریف می شود : نکته 1 : توزیع احتمال دوجمله ای دارای دو پارامتر p , n می باشد .

مثال 2 : یک آزمون چندگزینه ای دارای 30 سئوال ، و هرسئوال دارای 5 جواب ممکن است که یکی از آنها درست می باشد اگر به تمام سئوالات پاسخ داده شود ، چقدر احتمال داردکه دقیقا 4 تای آنها پاسخ درست باشد ؟

حل : امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور 1- E ( X ) = np 2- Var ( X ) = npq 3- مثال 3 : احتمال اینکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چیزی بخرد 6 /0 است .

اگر 10 مشتری وارد فروشگاهی شده باشند امید ریاضی و واریانس تعداد مشتریان خریدکرده چقدر است ؟

حل : این موقعیت شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را داردکه درآن 6 /0 = p ، 4/0= q و 10 = n ، پس : 24 /0 = 4 /0 * 6 /0 * 10 = npq = Var ( x) ، 6 = 6 /0 * 10 = np = E ( X) مثال 4 : تابع مولدگشتاورهابرای کمیت تصادفی X به صورت10 ( t e 8 /0 +2 /0 ) =M x ( t ) به دست آمده است ضریب تغییرات متغیرتصادفی X را بیابید .

حل : 10 = n ، 8 /0 = p ، 2 /0 = q → 10 ( t e 8 /0 + 2 /0 ) = M X ( t ) 27 /1= → 6 /1 = 2 /0 * 8 /0 * 10 = npq = Var (x) ، 8 = 8 /0 * 10 = n .p = μ = E ( X ) توزیع پواسن : اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیرباشد ، آزمایش تصادفی پواسن است .

1- احتمال رخداد بیش ازیک حادثه دریک فاصله زمانی یا مکانی بسیارکوچک تقریبا صفر باشد .

2- احتمال رخداد یک حادثه درهرفاصله زمانی یامکانی متناسب با طول آن فاصله باشد.

3- احتمال رخدادها درفواصل زمانی یا مکانی مستقل ازهم باشد .

متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال : متغیر تصادفی X که بیانگر رخدادهای تصادفی پواسن دریک فاصله زمانی یامکانی معین است را متغیر تصادفی پواسن گویند اگر متوسط تعداد موفقیت درهرفاصله زمانی یامکانی برابر λ باشد ، تابع احتمال پواسن به صورت زیرتعریف می شود : .

.

و 2 و 1 و 0 = x نکته 2 : توزیع احتمال پواسن دارای یک پارامتر λ می باشد .

مثال 1 : به طورمتوسط درهردقیقه 2 اتومبیل برای تحویل بنزین وارد پمپ بنزین می شوند احتمال اینکه 2 اتومبیل در 5 دقیقه وارد پمپ بنزین شوند ، چقدر است ؟

حل : اتومبیل دقیقه 2 1 10 = λ 5 نکته 3 : اگر در توزیع دوجمله ای n بزرگ و p خیلی کوچک باشد می توان از توزیع پواسن استفاده کرد به طورکلی وقتی 20 ≤ n و 05 /0 ≥ p باشد ، توزیع پواسن تقریب خوبی برای توزیع دوجمله ای و وقتی 100 ≤ n و 10 ≥ np باشد ، تقریب بسیارعالی برای آن محسوب می شود یعنی : Np = λ ، مثال 2 : احتمال اینکه محصولی ضمن تولید معیوب شده 2 % است .

200 واحد محصول را به طورتصادفی انتخاب می کنیم ، احتمال اینکه حداقل یک محصول معیوب باشد چقدر است ؟

حل : 5 > 4 = λ = np → 02 /0 = p ، 200 = n 982 / 0 = - 1 = ( 0 = x ) f x -1 = ( 1 ≤ x ) f x امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور 1- λ = E ( X ) 2- λ = Var ( X) 3- = ( t ) M x مثال 3 : براساس تجربه مشخص شده است که یک تلفنچی 4 % از تلفن ها را اشتباه وصل می کند .

اگر امروز 200 تلفن وصل کرده باشد ، واریانس تلفن هایی که اشتباه وصل شده است را پیدا کنید .

حل : 8 = 04 /0 * 200 = p ، n = λ 8 = λ = Var ( X ) توزیع نرمال : مهمترین توزیع احتمال پیوسته در سرتاسر علم آمار ، توزیع نرمال است .

نمودار آن به نام منحنی نرمال نامیده شده و هم شکل زنگوله است .

متغیرتصادفی X که دارای توزیع زنگوله ای شکل باشد متغیرتصادفی نرمال نامیده می شود اگر X یک متغیرتصادفی نرمال با میانگین μ و واریانس باشد تابع چگالی آن به صورت زیر خواهد بود : که درآن .

14159 / 3 = π و .

71828 / 2 = e است .

وقتی که مقادیر μ و σ مشخص شده باشند منحنی نرمال دقیقا مشخص شده است .

معمولا وقتی متغیرتصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین μ و واریانس است آن را به صورت زیر نمایش می دهیم : نکته 4 : توزیع احتمال نرمال دارای دو پارامتر μ و می باشد .

مثال 1 : تابع فراوانی توزیع X به صورت است .

میانگین و انحراف معیار این توزیع را به دست آورده و مقدار A را حساب کنید .

حل : از مقایسه تابع با تابع توزیع نرمال نتیجه می شودکه : 4 = μ و 1= و از اینجا 707 / 0 = σ از طرفی : امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور : 1- E ( X ) = μ 2- Var ( X ) = σ 2 3- مثال 2 : تابع مولدگشتاورها برای کمیت تصادفی X به صورت بیان شده است .

ضریب تغییرات کمیت تصادفی X ، چقدر است ؟

حل : ازمقایسه M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتیجه می شودکه 50 = μ و 16= یا 4 = σ و ضریب تغییرات مساوی خواهد شد با : ازمقایسه M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتیجه می شودکه 50 = μ و 16= یا 4 = σ و ضریب تغییرات مساوی خواهد شد با : خواص توزیع نرمال : 1- توزیع نرمال نسبت به خط μ = x دارای تقارن است .

2- در توزیع نرمال پارامترهای مرکزی یعنی میانگین ، میانه و مد با هم برابرند ، پس : μ=me= mo 3- توزیع نرمال دارای یک نقطه ماکزیمم به ازای μ = x می باشد که مقدار ماکزیمم برابر با است .

4- توزیع نرمال دارای دو نقطه عطف به ازای σ ± μ = x می باشدکه دارای عرضی برابر با است .

5- در دو طرف میانگین ، منحنی به مجانب خود یعنی محور x ها نزدیک می گردد .

6- با تغییر پارامتر μ شکل توزیع تغییرنمی کند ولی با تغییر شکل توزیع نیز تغییرمی کند.

7- مساحت زیر منحنی نرمال و محور x ها برابر 1 است .

8- مساحت زیر منحنی نرمال به وسیله خط μ = x به دو قسمت مساوی که هریک مساوی است ، تقسیم می شود .

یعنی همواره بیشتر از 50 درصد از اندازه ها بیشتر ازمیانگین و 50 درصد از اندازه هاکمتر ازمیانگین است .

مثال 3 : فرض کنید توزیع عمر یخچال های تولیدی یک کارخانه با میانگین 30 و واریانس 15 نرمال باشد .

احتمال آنکه طول عمریکی از یخچال ها که به طورتصادفی انتخاب می شود کمتراز میانگین چقدراست ؟

حل : چون محور تقارن منحنی توزیع نرمال μ = x می باشد و مساحت سمت چپ آن است بنابراین .

توزیع نرمال استاندارد : اگریک متغیرتصادفی مانند X دارای میانگین μ و واریانس باشد آنگاه اگرمیانگین این متغیر تصادفی را از آن کسر و برانحراف معیار آن تقسیم کنیم ، داریم : به متغیر تصادفی حاصل که معمولا آن را با حرف Z نشان می دهیم « متغیراستانداردشده » و به این عمل استاندارد کردن می گویند .

میانگین متغیر استاندارد شده صفر و واریانس آن یک می باشد و به صورت نشان می دهند .

ثابت می شودکه اگر توزیع X نرمال باشد توزیع Z هم نرمال خواهد بود و لذا تابع چگالی آن به صورت : است ، به چنین توزیعی ، توزیع نرمال استانداردگویند .

مثال 4 : اگر اندازه دو نفر از جامعه نرمالی 10 و 16 و اندازه این دو نفر برحسب متغیر استاندارد Z صفر و 2 باشد ، میانگین و انحراف معیارکدامند ؟

حل : نکته 5 : تابع مولدگشتاور توزیع نرمال استاندارد به صورت زیر است : مثال 5 : تابع مولدگشتاورها برای متغیر تصادفی X به صورت بیان شده است.

امید ریاضی و واریانس کمیت x 3 = y را پیدا کنید .

حل : بنابراین کمیت Y برطبق قانون نرمال با امید ریاضی 0 و واریانس 9 توزیع خواهد شد .

سطح زیر منحنی نرمال : برای محاسبه احتمال اینکه متغیر تصادفی X کمیتی بین x1 تا x2 را اختیارکند ، همان طور که دربحث توزیع های پیوسته گفته شد ، عبارت است از : و در خصوص توزیع نرمال داریم : محاسبه انتگرال فوق ، عملی مشکل و وقت گیر است این مشکل به وسیله استانداردکردن داده های آماری حل می شود .

وقتی که X بین مقادیر x1 تا x2 است ، متغیر تصادفی Z بین مقادیر مربوطه قرارخواهدگرفت .

سطح زیرمنحنی X بین x1 تا x2 مطابق شکل بالا ، برابر سطح زیر منحنی Z بین z1 تا z2 خواهد بود از این رو داریم : جدول سطح زیر منحنی توزیع نرمال استاندارد : اعداد مندرج درمتن جدول ، نمایانگر سطح زیر منحنی نرمال استاندارد از صفر تا z است.

مثال 6 : توزیع نرمالی با 200 = μ و 100 = داده شده است مطلوب است محاسبه : الف- سطح پایین 214 ب- سطح بالای 179 پ- سطح پایین 188 و 206 حل : الف ) ب ) 9821 /0 = 0179 /0- 1 = ( 1 /2 - > Z ) P-1 = ( 179 > X ) P- 1 = ( 179 پ ) نکته 6 : درجدول تابع توزیع نرمال استاندارد شده مقادیر Z درفاصله ( 9 /3+ ، 9 /3-) محاسبه شده است .

علت محاسبه Z بین 9 / 3 تا 9 / 3- = z آن است که سطح نظیر از (4-، - ) و ( + و 4 ) به دلیل اینکه منحنی با خط z ها مماس می شود ، به اندازه ای کوچک است که می توان از آن صرفنظرکرد .

تقریب توزیع دوجمله ای به توسط توزیع نرمال : اگر X متغیر تصادفی توزیع دوجمله ای با میانگین np = μ و واریانس npq = باشد درآن صورت شکل حدی توزیع : وقتی که → n ، توزیع نرمال استاندارد ( 1 ، 0 ) خواهد بود .

نکته 7 : اگر در توزیع دوجمله ای n بزرگ و p نزدیک یک و صفر نباشد ، به طوری که که 5 جمله ای گسسته و توزیع نرمال پیوسته می باشد درصورت لزوم می توان از تصحیح پیوستگی استفاده نمود ، یعنی بسته به مورد به جای x از 5 /0 ± x استفاده نمود .

مثال 7 : فرض می شود نسبت موتورهایی که یک نقص درجریان مونتاژ دارند است در یک محموله خاص 200 موتور جای دارند به چه احتمالی حداقل 30 تا از این 200 موتور نقص دارند ؟

حل : 5 برای پیوستگی 5 / 29 = 5 / 0- 30 .