توزیع دو جمله ای :
اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیر باشد ، آزمایش تصادفی دوجمله ای است .
1- آزمایش ها مستقل از یکدیگر تکرار شوند
2- آزمایش ها به تعداد دفعات معین مثلا n بار تکرار شوند
3- آزمایش تصادفی به دو نتیجه ممکن موفقیت و شکست منجرگردد .
4- احتمال موفقیت ها در همه آزمایش ها ثابت و برابر p باشد .
مثال 1 : کدام یک از موارد زیر می تواند به عنوان آزمایش دوجمله ای تلقی شود ؟
الف- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین اینکه آیا آنها قبلا در زندان بوده اند یا خیر .
ب- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین طول مدت محکومیت آنها .
حل :
مورد « الف » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را دارد .
1- آزمایش ها مستقل از یکدیگرند
2- تعداد آزمایش ها ( 500 ) ثابت است
3- هرآزمایش دو نتیجه دارد : یا در زندان بوده یا نبوده
4- احتمال موفقیت ها ( مثلا زندانی نبودن ) در همه آزمایش ها ثابت است .
مورد « ب » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را ندارد زیرا طول مدت محکومیت زندانیان متفاوت بوده و بنابراین هرآزمایش بیش از دو نتیجه دارد .
متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال
متغیر تصادفی دو جمله ای عبارت است از تعداد موفقیت ها دریک آزمایش تصادفی دو جمله ای تابع توزیع احتمال دو جمله ای که در آن p احتمال موفقیت و x تعداد موفقیت ها در n آزمایش باشد به صورت زیر تعریف می شود :
نکته 1 : توزیع احتمال دوجمله ای دارای دو پارامتر p , n می باشد .
مثال 2 : یک آزمون چندگزینه ای دارای 30 سئوال ، و هرسئوال دارای 5 جواب ممکن است که یکی از آنها درست می باشد اگر به تمام سئوالات پاسخ داده شود ، چقدر احتمال داردکه دقیقا 4 تای آنها پاسخ درست باشد ؟
حل :
امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور
1- E ( X ) = np
2- Var ( X ) = npq
3-
مثال 3 : احتمال اینکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چیزی بخرد 6 /0 است . اگر 10 مشتری وارد فروشگاهی شده باشند امید ریاضی و واریانس تعداد مشتریان خریدکرده چقدر است ؟
حل :
این موقعیت شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را داردکه درآن 6 /0 = p ، 4/0= q و 10 = n ، پس :
24 /0 = 4 /0 * 6 /0 * 10 = npq = Var ( x) ، 6 = 6 /0 * 10 = np = E ( X)
مثال 4 : تابع مولدگشتاورهابرای کمیت تصادفی X به صورت10 ( t e 8 /0 +2 /0 ) =M x ( t )
به دست آمده است ضریب تغییرات متغیرتصادفی X را بیابید .
حل :
10 = n ، 8 /0 = p ، 2 /0 = q → 10 ( t e 8 /0 + 2 /0 ) = M X ( t )
27 /1= → 6 /1 = 2 /0 * 8 /0 * 10 = npq = Var (x) ،
8 = 8 /0 * 10 = n .p = μ = E ( X )
توزیع پواسن :
اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیرباشد ، آزمایش تصادفی پواسن است .
1- احتمال رخداد بیش ازیک حادثه دریک فاصله زمانی یا مکانی بسیارکوچک تقریبا صفر باشد .
2- احتمال رخداد یک حادثه درهرفاصله زمانی یامکانی متناسب با طول آن فاصله باشد.
3- احتمال رخدادها درفواصل زمانی یا مکانی مستقل ازهم باشد .
متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال :
متغیر تصادفی X که بیانگر رخدادهای تصادفی پواسن دریک فاصله زمانی یامکانی معین است را متغیر تصادفی پواسن گویند اگر متوسط تعداد موفقیت درهرفاصله زمانی یامکانی برابر λ باشد ، تابع احتمال پواسن به صورت زیرتعریف می شود :
. . . و 2 و 1 و 0 = x
نکته 2 : توزیع احتمال پواسن دارای یک پارامتر λ می باشد .
مثال 1 : به طورمتوسط درهردقیقه 2 اتومبیل برای تحویل بنزین وارد پمپ بنزین می شوند احتمال اینکه 2 اتومبیل در 5 دقیقه وارد پمپ بنزین شوند ، چقدر است ؟
حل :
اتومبیل دقیقه
2 1
10 = λ 5
نکته 3 : اگر در توزیع دوجمله ای n بزرگ و p خیلی کوچک باشد می توان از توزیع پواسن استفاده کرد به طورکلی وقتی 20 ≤ n و 05 /0 ≥ p باشد ، توزیع پواسن تقریب خوبی برای توزیع دوجمله ای و وقتی 100 ≤ n و 10 ≥ np باشد ، تقریب بسیارعالی برای آن محسوب می شود یعنی :
Np = λ ،
مثال 2 : احتمال اینکه محصولی ضمن تولید معیوب شده 2 % است . 200 واحد محصول را به طورتصادفی انتخاب می کنیم ، احتمال اینکه حداقل یک محصول معیوب باشد چقدر است ؟
حل :
5 > 4 = λ = np → 02 /0 = p ، 200 = n
982 / 0 = - 1 = ( 0 = x ) f x -1 = ( 1 ≤ x ) f x
امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور
1- λ = E ( X )
2- λ = Var ( X)
3- = ( t ) M x
مثال 3 : براساس تجربه مشخص شده است که یک تلفنچی 4 % از تلفن ها را اشتباه وصل می کند . اگر امروز 200 تلفن وصل کرده باشد ، واریانس تلفن هایی که اشتباه وصل شده است را پیدا کنید .
حل :
8 = 04 /0 * 200 = p ، n = λ
8 = λ = Var ( X )
توزیع نرمال :
مهمترین توزیع احتمال پیوسته در سرتاسر علم آمار ، توزیع نرمال است . نمودار آن به نام منحنی نرمال نامیده شده و هم شکل زنگوله است .
متغیرتصادفی X که دارای توزیع زنگوله ای شکل باشد متغیرتصادفی نرمال نامیده می شود اگر X یک متغیرتصادفی نرمال با میانگین μ و واریانس باشد تابع چگالی آن به صورت زیر خواهد بود :
که درآن . . . 14159 / 3 = π و . . . 71828 / 2 = e است . وقتی که مقادیر μ و σ مشخص شده باشند منحنی نرمال دقیقا مشخص شده است . معمولا وقتی متغیرتصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین μ و واریانس است آن را به صورت زیر نمایش می دهیم :
نکته 4 : توزیع احتمال نرمال دارای دو پارامتر μ و می باشد .
مثال 1 : تابع فراوانی توزیع X به صورت است . میانگین و انحراف معیار این توزیع را به دست آورده و مقدار A را حساب کنید .
حل :
از مقایسه تابع با تابع توزیع نرمال نتیجه می شودکه : 4 = μ و 1= و از اینجا 707 / 0 = σ از طرفی :
امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور :
1- E ( X ) = μ
2- Var ( X ) = σ 2
3-
مثال 2 : تابع مولدگشتاورها برای کمیت تصادفی X به صورت بیان شده است . ضریب تغییرات کمیت تصادفی X ، چقدر است ؟
حل :
ازمقایسه M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتیجه می شودکه 50 = μ و 16= یا 4 = σ و ضریب تغییرات مساوی خواهد شد با :