دانلود مقاله آشنایی با ریاضیات

1 مقدمه: آشنایی با ساختمان منطقی جمله هایی که مطالب ریاضی بوسیله آنها بیان می شوند مستلزم مفاهیم گزاره، گزاره نما، و اسم نماست.

این مفاهیم که بخشی از منطق ریاضی مقدماتی محسوب می شوند می توانند مفاهیم و احکام ریاضی را قابل فهم و قابل توضیح نمایند.

در عصر حاضر ایفای نقش منطق ریاضی در توجیه و قابل انتقال نمودن مفاهیم در پیشرفت و تکامل کامپیوتر بر هیچکس پوشیده نیست.

2.1 حساب گزاره ها 1.2.1 تعریف: گزاره جمله ای خبری است که یا راست است یا دروغ اگرچه راست یا دروغ بودن آن معلوم نباشد.

برای هر گزاره یک ارزش راستی یا دروغی یا مختصراً یک ارزش قائل می شویم.

مثلاً هر یک از جملات«عدد 3 فرد است»،«عدد 6 زوج است» و« اصم است» گزاره هستند.

هر یک از گزاره های اول و دوم راست هستند ولی راست یا دروغ بودن گزاره سوم یا مقدمات کنونی، برایمان معلوم نیست ولی در هر حال یا راست است یا دروغ.گزاره ها بطورکلی به سه دسته تقسیم می شوند: گزاره شخصی، گزاره کلی و گزاره جزئی( یا وجودی) نوع اول گزاره ای است که از شیء معینی خبر می دهد.

و در این بخش مورد بحث ماست.

نوع دوم و سوم را در بخش آینده تعریف و بررسی خواهیم کرد.

از ترکیب گزاره ها گزاره های مرکب حاصل می شود این عمل با رابطهای گزاره ای امکان پذیر است.

2.2.1 رابطهای گزاره ای: گزارها را با حروف p ، q ،v ،s و یا با حرف اندیس دار نظیر ،،...

نشان می دهیم و هر نوع ترکیبی از آنها با الفاظ زیر که رابطهای گزاره ای نامیده می شوند امکان پذیر است.

«چنین نیست که»،«و»،«یا»،« اگر»،« اگر و فقط اگر» علایم ~ ،&،،( یا )،( یا) نیز به ترتیب برای این رابط ها بکار خواهند رفت.

اینک به توضیح آنها می پردازیم: 3.2.1 نقیض: اگر Pگزاره ای باشد«چنین نیست کهP» را نقیض P می گوییم و با علامت ~P نشان میدهیم.

علامت ~ را ناقص و گزاره ای را که ناقص در آن عمل می کند دامنه عمل ناقص می نامیم.

پیداست که اگر گزاره ای راست(دروغ) باشد نقیض آن دورغ( راست) است.

بعنوان مثال نقیض گزاره«6 عدد اول است» گزاره «چنین نیست که 6عدد اول است.» و گزاره«6 عدد اول نیست» خواهد بود.

4.2.1 ترکیب عطفی: اگر pو q دو گزاره باشد گزاره«p,q » را ترکیب عطفی p با q می گوییم و با علامت نشان میدهیم.

علامت& را عاطف و p وq را مؤلفه های عاطف نامیم.

ترکیب عطفی فقط و فقط وقتی راست است که هر دو مؤلفه آن گزاره های راستی باشند.

از الفاظی که از نظر منطقی مترادف عاطف است لفظ« ولی= اما» است مثلاً گزاره«6 زوج است ولی اول نیست» به معنی« 6 زوج است و 6اول نیست» خواهد بود که البته گزاره ای راست است.

5.2.1 ترکیب فصلی: اگرp وq دو گزاره باشند گزاره «p یاq » را ترکیب فصلی p با q نامیده به علامت p v q نشان میدهیم.

این گزاره فقط و فقط وقتی دروغ است که هردو مؤلفه آن دروغ باشند.

توجه کافی به تفاوت این« یا» که یاء منطقی نامیده می شود با لفظ عادی« یا» که در استعمال عادی برای ترکیب گزاره ها بکار میرود مبذول دارید.

در استعمال عادی لفظ«یا» گزاره ترکیب شده فقط وفقط وقتی راست است که یکی از مؤلفه ها راست و دیگری دروغ باشد این نوع«یا» را یاء مانع جمع می نامیم.

در منطق لفظ«یا» همواره به معنی منطقی بکار می رود و «یای» مانع جمع را با تکرار لفظ«یا» و نیز با لفظ« الا» مشخص می کنند.

مثلاً گزاره های « یا 5 فرد یا 5ز وج است» « 5 فرد است والا زوج است» به یک معنی هستند که مشخص کننده یای مانع جمع است.

6.2.1 ترکیب شرطی: اگر p و q دو گزاره باشند گزاره « اگر p آنگاه q » را ترکیب شرطی p باq می نامیم و آنرا به علامت ( یا ) نشان می دهیم.

در اینجا مؤلفه p مقدم و مؤلفه q تالی گفته می شود .

ترکیب شرطی فقط وقتی دروغ است که pگزاره راست و q گزاره دروغ می باشد.

تذکر1: ارزشهای گزاره عطفی و گزاره از ترتیب مؤلفه ها مستقل است ولی ارزش گزاره شرطی چنین نیست، یعنی ممکن است راست ولی دروغ باشد و یا بالعکس دروغ و راست باشد تذکر 2: بیان ترکیب شرطی« اگر p آنگاه q » در ریاضیات و نیز در زبان عادی به صورت های متنوعی امکان پذیر است که عبارتند از: اگر p ، q ؛ هرگاه p آنگاه q ؛ در حالتی که p ، q ؛ q اگر p ، q به شرطی p ؛ P و فقط وقتی که q ؛ P شرط کافی برای q است؛ q شرط لازم برای p است ؛ شرط کافی برای q آن است که p ؛ شرط لازم برای p آن است که q ؛ P مستلزم q است؛ q از p لازم می آید؛ .

7.2.1 ترکیب دو شرطی : گزاره « اگر p آنگاه q و اگر q آنگاه p » (1) ترکیب عطفی دو گزاره شرطی و است که می توان آن را به صورت زیر نوشت: معادل با(2) این گزاره را ترکیب دو شرطی دو گزاره p و q می نامیم و آنرا به علامت (3) نشان میدهیم ارزش این گزاره فقط و فقط وقتی راست است که مؤلفه های p و q هم ارزش باشند اگرچه را به عنوان رابط گزاره ای تعریف کردیم ولی باید به مفهوم آن هم توجه داشت.

تذکر 1: مشابه ترکیب شرطی در مورد ترکیب دو شرطی نیز بیانهای مختلفی برای وجود دارند که عبارتند از: شرط لازم و کافی برای p آن است که q؛ P فقط و فقط وقتی p که q ؛ فقط و فقط وقتی که q ؛ اگر p آنگاه q و بالعکس؛ شرط لازم برای p آن است که q و شرط کافی برای p آن است که q .

تذکر 2: در ریاضیات موردی هست که استفاده از ترکیب شرطی به جای ترکیب دو شرطی متداول است و آن در« تعریف» های ریاضی است.

مثلاً تعریف« مثلث ABC را متساوی الاساقین می نامیم.

در صورتی که دارای دو ضلع مساوی باشد» در واقع بدین معنی است که« مثلث ABC فقط و فقط متساوی الاساقین است که دارای دو ضلع مساوی باشد» و یا معادل است با« مثلث ABC را فقط و فقط متساوی الاساقین خوانند که دارای دو ضلع متساوی باشد.» 8.2.1 ترکیبات منطقی و فرمول های حساب گزاره ای: رابطهای گزاره ای یعنی ~ ،&،، و را ملاحظه کردیم که اولی در یک گزاره و سایرین در دو گزاره عمل می کنند.

ترکیبات گزاره ها بوسیله آنها ترکیبات منطقی و عبارت حاصل از ترجمه یک گزاره را به زبان منطق( یعنی نوشتن آن با رابط های گزاره ای و حروف) یک فرمول حساب گزاره ها یا مختصراً یک فرمول می نامیم.

گزاره های سازه ای یک ترکیب منطقی نیز گزاره هایی هستند که ترکیب منطقی از آنها ساخته می شود( بوسیله رابط های گزاره ای) در نوشتن ترکیبات منطقی بصورت فرمولها اساساً باید دامنه یا دامنه های هر عمل را با پرانتز مشخص کرد استفاده از پرانتز در منطق مشابه ریاضیات است.

در ترکیبات منطقی باید به رابط اصلی توجه کافی شود.

مثلاً در گزاره ، ~ رابط اصلی است در حالی که در گزاره ، رابط اصلی است.

بکاربردن پرانتزها بعضاً الزامی است مثلاً ترکیب منطقی معنی ندارد، ولی معنی دار است که رابط عطفی دوم( از چپ به راست) رابط اصلی شمرده می شود.

د ربکارگیری پرانتز ها قراردادهای زیر را نیز داریم که توجه به آنها موجب تسهیل در ساده نویسی می گردد.

1.8.2.1 قرارداد: دامنه عمل ناقص فقط و فقط وقتی د رپرانتز قرار داده می شود که رابط اصلی این دامنه یک رابط دوطرفه باشد، بنابراین مثلاً نقیض را به صورت و نقیض گزاره را به صورت می نویسیم و نیز نقیض گزاره بصورت ساده نوشته می شود زیرا در گزاره رابط اصلی«~ » است.

2.8.2.1 قرارداد: اگردامنه عمل یک رابط دوطرفه در طرفی نقیض یک گزاره باشد.

این دامنه را در پرانتز محصور نمی کنیم.

مثلاً در ترکیب فصلی گذاشتن پرانتز ها ضرورتی ندارد و آنرا به صورت می نویسیم.همچنین ترکیب شرطی با حذف پرانتز هایی که لازم است به صورت ساده نوشته می شود.

مثال: گزاره « اگر و آنگاه » را به زبان منطق ترجمه کنید.

جواب: اگر p ، q و r به ترتیب گزاره های«»،«» و «» باشند آنگاه ترجمه گزاره چنین خواهد بود: 3.8.2.1 قرارداد: گزاره های و بصورت های و خواهند بود و تعمیم آن به هر تعداد نامتناهی با قراردادن پرانتزها از چپ به راست، گزاره ها را با معنی خواهد کرد.

همچنین گزاره « p مگر آنکه q » را به معنی اگر آنگاهp ، و یا به صورت در نظر می گیریم.

مثلاً« او را نمی بخشم مگر آنکه عذرخواهی کند» که به معنی« اگر عذرخواهی نکند او را نمی بخشم» است.

تذکر: تشخیص ساختمان منطقی گزاره ها با بیان عادی آنها لازم و ضروری است.

این امر بیشتر در گزاره های شرطی مورد توجه است.

مثلاً در گزاره « در مثلث ABC اگر آنگاه و بالعکس» مثلث بودن ABC مقدم یک ترکیب شرطی است که تالی این ترکیب شرطی گزاره دو شرطی: « اگر و فقط اگر» می شود درواقع گزاره مذکور به صورت زیر قابل بیان است ( ABC مثلث است) 9.2.1 ارزش راستی فرمولها: اگر در فرمولی نظیر یا یا حروف گزاره ای سازای آنرا نمایش گزاره های دلخواه بشماریم، هر فرمول نمایش گزاره ای بیشماری خواهد بود.

برای تسهیل بیان، هر دستگاه از ارزشهای حروف گزاره های یک فرمول را یک ارزشدهی در آن فرمول می نامیم.( برای اختصار ارزش راست بودن را به T و دروغ بودن را به F نمایش میدهیم) مثلاً در گزاره اگر p راست و q دروغ باشدیک ارزشدهی در است.

تعداد ارزشدهی های یک گزاره به تعداد گزاره های سازای آن بستگی دارد.

مثلاً در گزاره p ( شامل یک گزاره سازا) فقط دو ارزشدهی وجود دارد ولی دارای چهار ارزشدهی،، و است به همین ترتیب در گزاره ای با سه گزارۀ سازا هشت ارزشدهی خواهیم داشت.

و بطورکلی در گزاره ای با n گزاره سازا دقیقا ارزشدهی امکان پذیر است.

برای تعیین تمام حالات ممکن ارزشدهی یک فرمول کلیه حالات گزاره های سازا را در جداولی تنظیم می کنیم و برای خود فرمول نیز یک یا چند ستون در نظر می گیریم سپس براساس تعاریف ارزش گزاره ها، ارزشدهی فرمول را معین می کنیم و ستون حاصل را جدول ارزش راستی فرمول موردنظر می نامیم.

جدول ارزش راستی هر یک از گزاره های ، و را در زیر نشان داده ایم: تذکر: ارزش یک فر مول صرفاً با ارزشهای حروف سازای آن( یا به عبارتی گزاره های آن) مشخص می شود و از هر امر دیگر نظیر معانی حروف مستقل است.

10.2.1 راستگوها: فرمولی را که همواره( یعنی به ازای هر نوع ارزشدهی) راست( یا دروغ) باشد راستگو( یا دروغگو) می نامیم.

مثلاً فرمول راستگو و دروغگو است.

فرمولهای راستگو از قوانین منطق و فرمولهای دروغگو از تناقضات منطق محسوب می شوند.

با تنظیم جدول ارزش یک فرمول می توان راستگوها و دروغگوها را مشخص کرد.

بدین ترتیب که اگر در ستون آخر جدول ارزشدهی فرمولT ظاهر شده باشد فرمول مورد نظر راستگو است و اگر همه ارزشهای ظاهر شده F باشند فرمول مورد بحث دروغگو خواهد بود.

برخی از دروغگوها نام خاصی نیز دارند مثلاً به اجتماع نقیضین معروف است.

در جدول زیر چند راستگو را ملاحظه می کنیم که برخی از آنها به نام خاصی نیز معروفند.

اثبات راستگو بودن آنها با استفاده از جدول ارزشدهی آن میسر است.

می توان از آنها در هر فرمول دیگری بهره جست و ارزش فرمول را بدست آورد.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) ( قانون عکس نقیض)(7) ( قانون دمورگن)(8) (9) (10) (11) تذکر: چون ارزش راستی، یک راستگو از ارزشهای راستی حروف سازای آن مستقل است، بدیهی است که اگر در یک راستگو حروف سازای آن را بطور یکنواخت به فرمولهای دلخواهی تبدیل کنیم فرمول جدید نیز راستگو خواهد بود.

بوسیله این قاعده می توان از هر راستگو، راستگوهای بیشماری را استخراج کرد.

مثلاً از (2) می توان راستگوی را نیز استخراج کرد که به جای p و q به ترتیب و بطور یکنواخت قرار داده ایم و .

11.2.1 معادلات منطقی و خواص آنها: از مفاهیم مهم وابسته به مفهوم راستگو مفهوم فرمولهای معادل است.

فرمولu را با فرمول v معادل می نامیم اگر یک راستگو باشد هر راستگوی دوشرطی یک معادله منطقی نامیده می شود.

از تعریف فرمول های معادل معلوم میشود که هر فرمولی که معادل یک راستگو( دروغگو) باشد خود راستگو( دروغگو) است.

بالاخره برای تشخیص این که دو گزاره فارسی با هم معادلند یا نه، ابتدا آنها را به صورت فرمول می نویسیم، اگر فرمولهای حاصل با هم معادل باشند آن گزاره ها با هم معادلند.

معادلات منطقی خواصی شبیه خواص تساوی دارند که عبارتند از: (آ): هر فرمول با خود معادل است.

(ب): اگر فرمولی معادل فرمول دیگری باشد و دومی نیز با اولی معادل است( می توان گفت که دو فرمول معادل یکدیگرند) (پ): اگر فرمول u معادل فرمول v و فرمول v معادل فرمول w باشد آنگاه فرمولu با فرمول w معادل است.

(ت): اگر در یک فرمول بجای فرمولی که جزئی از ساختمان آن است فرمولی معادل آن قرار دهیم فرمول حاصل، معادل فرمول اولیه است.

تذکر1: هر گزاره دو شرطی به یک گزاره دو شرطی معادل خود تبدیل می شود و این نکته در استدلال اهمیت تمام دارد، زیرا از هر گزاره می توان معادل آن را نتیجه گرفت و برای اثبات یک گزاره( مثلاً یک قضیه هندسه) کافی است معادل آن را ثابت کنیم.

مثلاً گزاره: « اگر M بر عمودمنصف AB واقع باشد، و بالعکس» معادل است با گزاره: « اگر آنگاه بر عمودمنصف AB واقع نیست و بالعکس».

تذکر 2: هر ترتیب منطقی را می توان به صورتی معادل آن ولی عاری از یا بیان کرد.

مثلاً معادل است با و نیز با گزاره محاسبات با عاطف و فاصل به مراتب آسانتر از ترکیب شرطی است و ارزیابی گزاره هایی که شامل فاصل باشند با جداولی ساده تر امکان پذیرند.

3.1 حساب محمولات: بطوریکه در بخش 2.1 گفته شد گزاره ها سه نوع اند: شخصی، کلی و جزئی.

اینک به تعریف دو نوع دیگر از گزاره ها می پردازیم: گزاره کلی: گزاره ای است که خبری از هر شیء از دسته معینی از اشیاء میدهد.

مانند « هر چیز فناپذیر است» و « هر عدد صحیح فرد یا زوج است».

گزاره جزئی یا وجودی گزاره ای است که خبری از وجود لااقل یک شیء در دسته معینی از اشیاء میدهد.

مانند«چیزی هست که فناپذیر نیست»، « عددی هست که زوج است».

در زبان فارسی گزاره های جزئی با لفظ« بعض» یا« بعضی» و گزاره های کالی با لفظ«هر» یا بازای هر بیان می شود.

1.3.1 اسمنما، گزاره نما و سورها: اسمنما عبارتی است شامل یک یا چند متغیر که با تبدیل یکنواخت جمیع موارد متغیرها به اسم یا اسامی خاص، به یک اسم خاص تبدیل شود، مثلاً یک اسمنما است.

که بازای به اسم خاص 6 تبدیل می شود.

گزاره نما: عبارتی است شامل یک یا چند متغیر که با تبدیل جمیع موارد متغیرها به اسم یا اسامی خاص، به یک گزاره تبدیل شود.

مثلاً« x زوج است» یک گزاره نما است که بازای یک گزارۀ راست و بازای یک گزاره دروغ حاصل می شود.

گزاره نماها را با توجه به متغیرهای آنها و با حروفی نظیر F ، G نشان می دهیم.

مثلاً، «x زوج است» را با و« عدد x عددy را عاد می کند» را با می توان نشان داد.

بدیهی است که هر رابطه بین دو اسمنما یک گزاره نما خواهد بود مثلاً، و Siny اسمنما هستند ولی Siny گزاره نماست و آنرا میتوان به صورت نشان داد.

حال فرض می کنیم یک گزاره نما باشد، هر گزاره کلی به شکل « بازای هر x ، » یا« x هرچه باشد » و هر گزاره جزئی به شکل «xا ی وجود دارد که» یا« بازای بعضی از مقادیر ،» خواهند بود.پیشوند« x هرچه باشد » و مترادفهای آن به علامت و پیشوند« x ای وجود دارد» به علامت نشان داده می شود.

بنابراین گزاره کلی به شکل و گزاره جرئی به شکل بیان می شوند.

این حکم در مورد گزاره نماهای دو یا چند متغیره نیز برقرار است و علائم و که به ترتیب سور عمومی و سور وجودی نامیده می شوند، در مورد گزاره نماهای چندمتغیره تکرار خواهند شد.

در و ، را به ترتیب دامنه عمل سور عمومی یا وجودی و متغیر x را در این گزاره های کلی و جزئی یک متغیر پابند می نامیم.

در گزاره نمای متغیر x را متغیر آزاد و x را نیز اصطلاحاً یک متغیر فردی می نامند.

بنابر توضیحاتی که داده شده اگر یک عبارت خبری شامل متغیر فردی آزاد باشد یک گزاره نماست و اگر مستقل از متغیر آزاد باشد گزاره است( گزاره شخصی، کلی یا جزئی) تذکر1: درباره گزاره نماهای یک متغیری نتیجه زیرحاصل می شود: به معنی به معنی تذکر 2: تکرار سورها در مورد گزاره نماهای چندمتغیری که قبلاً به آنها اشاره کردیم با کنار هم قرار دادن آنها انجام می پذیرد؛ مثلاً اگر یک گزاره نمای دومتغیری باشد، آنگاه صورتهای،، و با مفروض بودن به زبان عادی قابل بیان خواهند بود.

2.3.1 تذکر: اصطلاح حدود منطقی وجه تمایزی با اسمنما دارد و به تفاوت آنها با گزاره نما باید توجه داشت.

حاصل اعمال و مقادیر توابع ،،،،، همه از حدود منطقی هستند و البته حدودی نظیر یا اسمنماست که با قراردادن مثلاً 5 بجای xو 2 بجایy ، به اسم شیئی معین تبدیل می شود.

ولی گزاره نماها عبارتند از همه روابط ریاضی مشتمل بر متغیرهای فردی، مانند: گزاره نماها در ریاضیات در بیان خواص و نسبت اهمیت زیادی دارند.

توضیح اینکه خواص و تستهای ریاضی جزء عده بسیار معدودی فاقد اسم خاص هستند و برای تعریف آنها باید به گزاره نماهای مبین آنها توسل جست.

مثلاً گزاره نمای«x فرد است» مبین خاصیت فردبودن و گزاره نمای مبین نسبت تساوی است.

3.3.1 انواع گزاره های کلی و جزئی: بحث خود در ترجمه گزاره های کلی و جزئی را با چهار گزاره« کلی موجب»،« کلی سالب»،« جزئی موجب»،« جزئی سالب» آغاز می کنیم.

تحلیل و ترجمه این گزاره ها پایه تحلیل و ترجمه گزاره های پیچیده تر است و توجه کافی به مثال زیر در تعریف و ترجمه چهار گزاره فوق ضروری است.

کلمات موجب یا سالب به ترتیب داشتن یا نداشتن خاصیت را معنی می دهند و تعاریف کلی و جزئی همان است که در ابتدای این بخش آمده است.

هر انسان زنده حیوان است ( گزاره کلی موجب) هیچ انسان زنده جماد نیست( گزاره کلی سالب) بعضی از انسانها شاعرند ( گزاره جزئی موجب) بعضی از انسانها شاعر نیستند ( گزاره جزئی سالب) صفات انسان زنده بودن، حیوان بودن، جمادبودن و شاعربودن را به ترتیب با F ،G،H و K نمایش می دهیم.

تحلیل گزاره های مذکور بدین نحو خواهد بود که در هر یک از آنها سور را با حفظ ارتباطش با سایر اجزای گزاره، از این اجزاء جدا می کنیم.

معنی گزاره(1) این است که هر چیزی اگر صفت انسان بودن را داشته باشد صفت حیوان بودن را دارد.

پس این گزاره را چنین تحلیل می کنیم: « بازای هر چیزی اگر آن چیز انسان زنده است، آن چیز حیوان است.» و یا: « بازای هر x اگر انسان زنده است، x حیوان است.» در این گزاره دامنه عمل پیشوند« بازای هر x » ترکیب شرطی است پس گزاره (1) چنین ترجمه می شود: ملاحظه می کنید که در این فرمول: اولاً دامنه عمل سور عمومی گزاره نمای و رابط اصلی آن است که آنرا با پرانتز مشخص کرده ایم( برای دقت بیشتر در تشخیص دامنه سور)، ثانیاً هر سه مورد x یک متغیر پابند به سور عمومی است( مورد اول همراه سور عمومی و دو مورد دیگر در دامنه آن قرار دارند.) معنی گزاره(2) این است که هر چیزی اگر انسان زنده باشد جماد نیست، پس این گزاره را چنین تحلیل می کنیم: « بازای هر xاگر x انسان زنده باشد چنین نیست که x جماد است» و یا ترجمه آن عبارت است از: گزاره(3) حاکی از این است که لااقل یک چیز هست که در عین حال صفت انسان بودن و صفت شاعر بودن را دارد، پس گزاره را می توان چنین تحلیل کرد: « چیزی هست که آن چیز انسان است و آن چیز شاعر است» و یا« x ای هست که x انسان است و x شاعر است».

ترجمه گزاره عبارت است از: در این فرمول نیز همه موارد x ، متغیر پابند به سور وجودی است.

ترجمه گزاره(4) به قیاس آنچه که در مورد(3) گذشت به صورت زیر خواهد بود: 1.3.3.1 تذکر: در اینجا لازم است تفاوت مهم بین گزاره های کلی و جزئی را خاطرنشان سازیم.

چنانکه گفتیم گزاره های جزئی جنبه وجودی دارند و در گزاره ای به صورت ،اگر چیزی موجود نباشد که در عین حال دارای خاصیت F وg باشد، گزارۀ دروغ است و برخلاف گزاره های کلی که جنبه وجودی ندارند.

اگر هیچ چیزی واجد خاصیت F نباشد تابع گزاره ای بازای هر مقدار از x دروغ است، پس بازای هر مقدار x راست و گزاره نیز راست خواهد بود.

خلاصه گزاره ای بصورت در دو صورت راست است: اول در صورت« انتفای مقدم»؛ یعنی در صورتی کههمواره دروغ باشد و به عبارتی، هیچ چیز خاصیت F نداشته باشد.

دوم وقتی چیزی واجد خاصیت F باشد ، و هر چیزی که خاصیت F داشته باشد، خاصیت G هم داشته باشد.

4.3.1 گزاره های مخلوط: تحلیل و ترجمه گزاره های مخلوط از اجزای کلی و جزئی براساس مندرجات بخش3.3.1 است.

به مثالهای زیر توجه کنید: مثال: گزاره« بعضی از اعضای باشگاه A از همه اعضای B مسن ترند» را تحلیل و ترجمه کنید.

جواب: تحلیلهای مختلف چنین خواهند بود:« xای هست که عضو باشگاه A است و از همه اعضای باشگاه B مسن تر است.» و یا«x ای هست که عضو باشگاه A است و به ازای هر y اگر y عضو باشگاه B است، آنگاه x از y مسن تر است.

برای ترجمه گزاره، عضو باشگاه A بودن را با F و عضو باشگاه B بودن را با G و نسبت « مسن تر از» را با H نمایش می دهیم در این صورت ترجمه گزاره عبارت است از: در این فرمول موارد x و y هر دو پابند به سورهای متناظر می باشند؛ ولی مثلاً در گزاره ، y یک متغیر پابند و x متغیری آزاد محسوب می شود.

مثال: گزاره« از هردو عدد حقیقی یک از دیگری نابیشتر است» را ترجمه کنید.

جواب: اگر F صفت عدد حقیقی بودن باشد، ترجمه چنین خواهد بود: در اینجا با زبانی ساده نسبت متعدی و نسبت معکوس را با خواص بیان می کنیم و فرمول های منطقی آنها را می نویسیم: را به معنی« x نسبتF به y دارد» تعریف می کنیم و می گوئیم F نسبتی متقارن است، در صورتی که بازای هر x و y اگر آنگاه ( فرض بر این است که x و y به مجموعه معینی تعلق دارند).

5.3.1 سورهای مقید: در منطق الفاظ« چیز» و«شیء» با عام ترین معنی خود مورد استفاده قرار می گیرند و این نکته در معنی سورها ملحوظ است.

مثلاً، یعنی هر چیز بطور مطلق( مثلاً اشیاء هادی، اعداد یا آدمیان) خاصیت F دارد.

این نه فقط غیر ضروری است بلکه سبب طول کلام و مشکلات ناشی از آن می شود که ما را از هدف اصلی منحرف می کند.

به همین جهت در استفاده از منطق در یک مبحث علمی، ثابتها و متغیرهای فردی را به عالم سخن آن مبحث مقید می کنند( عالم سخن یک مبحث یعنی عناصر و یا اشیائی که در آن مبحث از خواص آنها و نسبت آنها به یکدیگر بحث می شود.) مثلاً در جبر مقدماتی عالم سخن مجموعه اعداد حقیقی است و به معنی بازاء هر عدد حقیقی x که از اشیاء مورد بحث است و بمعنی x ای از اشیاء مورد بحث موجود است که در نظر گرفته می شوند.

سورها را بدین معانی سورهای مقید می خوانیم.

استعمال سورهای مقید موجب اختصار می شود و در ریاضیات کاربرد زیادی دارد و معمولاً در آغاز یک مبحث ریاضی با وضع قراردادهایی در باب استعمال حروف، سورها را در آن مبحث می سازند.

مثلاً در مبحث اعداد حقیقی اگر حروف کوچکx ،y ،z را به م معنی اعداد حقیقی دلخواه و حروف i،j،k،l،m،n را به معنی اعداد طبیعی در نظر بگیریم آنگاه و بمعنی xهر عدد حقیقی باشد و n عددی است طبیعی خواهد بود.

1.5.3.1 توضیحاتی در بیان کلیت: بیان کلیت( سور عمومی) در زبان فارسی یکنواخت نیست.

گزاره های موجب کلی معمولاً با لفظ« هر» بیان می شوند اما صورت های دیگری نیز مانند«کلاغها سیاه هستند»،« ماهی در آب زندگی می کند» بیان کلیتهایی را مشخص می کنند، در عین آن که لفظ« هر» در آنها نیامده است و با« هر کلاغی سیاه است» و « هر ماهی در آب زندگی می کند» معادلند این امر در بیان گزاره های ریاضیات نیز صادق است مثلاً زوایای متقابل به رأس برابرند» که به معنی«هر دو زاویه متقابل به رأس برابرند» است.

بطورکلی در ریاضیات در بیان قضایای کلی سورهای عمومی متوالی را که قضیه با آنها آغاز می شود و دامنه عمل آنها تا آخر ادامه دارد حذف می کنند.مثلاً در جبر مقدماتی قضیه بصورت (همواره) بیان می شود ولی ذکر سورهایی که با دامنه عمل خود جزء ساختمان داخلی قضیه هستند ضروری است و آنها را نمی توان حذف کرد.

مثلاً قضیه زیر( از جبر مقدماتی)، دو سور اول را حذف می کنیم، اما حذف سور مربوط به z جایز نیست، و آنرا می توان چنین نوشت: که با مغایر است، زیرا گزاره آخر بازای و و دروغ است.

توضیح آخر در بیان سور عمومی این است که قبل از تجزیه و تحلیل و ترجمه گزاره باید معنی آنرا بدون ابهام مشخص کرد.

گزاره هائی که«هر» و یک فعل منفی دارند مبهم اند و در ریاضیات از بیان آنها احتراز می شود مانند« هر کسی را نتوان گفت که صاحبنظر است» یا« هر بی سر و پا محرم اسرار خدا نیست» در زبان یا منطق ریاضی از قبیل موارد مبهم شناخته می شود.

6.3.1 بیان سورهای و برحسب یکدیگر: بحث فرمول های همیشه راست( و یا قوانین منطق) در اینجا از مجال مختصر ما بیرون است، ولی معادلات بیان سورها برحسب یکدیگر را توضیح می دهیم این معادلات عبارتند از: (1) (2) (3) (4) راست بودن همه آنها باتوجه به معانی هر یک بدیهی است زیرا، در هر یک از آنها مؤلفه های دو گزاره مترادفند این معادلات با هر فرمول دلخواه مانندبجای نیز برقرار است.

7.3.1 جفت یک فرمول: اگر در فرمول P که عاری از رابطهای و است اعمال زیر را انجام دهیم فرمول حاصل جفت Pنامیده می شود: (آ): تبدیل هر مورد& به و هر مورد به &؛ (ب): تبدیل هر مورد به و هر مورد به؛ (پ): اسقاط هر مورد ~ که بلافاصله در سمت چپ یک حرف گزاره ای( یا محمولی) قرار داشته باشد؛ (ت): درج ~ بلافاصله در سمت چپ هر یک از این حروف که ~ بلافاصله بر آن مقدم نیست.

مثلاً جفت عبارت است از و جفت فرمول عبارت است از .

T T T FT F T FT T F F T F F FT F T FT T F F F TT F