دانلود مقاله انتگرال تصادفی

انتگرال تصادفی: (18)

فرآیند x(t)، انتگرال پذیر MS است اگر     

                                                (5-39)           

قضیه: فرآیند x(t) انتگرال پذیر MS است اگر  (5-40)          

نتیجه:            (5-41)                                           

فصل ششم: زنجیرهای مارکف:

فرآیندهای مارکف یک تعمیم ساده برای فرآیندهای مستقل است برای مجاز کردن وابستگی برآمد فاصله به یکی از برآمدهای قبلی که به برآمدهای قبل از آن وابسته نباشد. بنابراین در فرآیند مارکف x(t) گذشته روی آینده بی تاثیر است اگر وضعیت فعلی فرآیند مشخص باشد. یعنی اگر    آنگاه: (6-1)

و اگر  آنگاه:

حالت خاصی از فرآیندهای مارکف، زنجیر مارکف است. هر دو فرآیند و زنجیر مارکف تبه به اینکه فضای حالتشان گفته یا پیوسته است، می توانند گسسته یا پیوسته باشند.

تعریف: زنجیر مارکف با زمان گسسته یک فرآیند تصادفی مارکف است که فضای حالت آن مجموعه ای شمارا یا شما را نامتناهی بوده و در آن  که تعداد Lxn نتیجه آزمایش n ام می نامند.

تئوری زنجیرهای پیوسته(زنجیرهایی با فضای حالت ناشما را یا شما را نامتناهی) بوسیله کلوموگروف آغاز و پل به وسیله دوبلین- دوب- لوی و بسیاری دیگر اولویت یافت.

احتمالات انتقال: (20)

احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای برابر احتمال شرطی است که به صورت زیر تعریف می شود:

(6-3)                                     

احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای برابر احتمال رفتن از حالت I به حالت j در یک دوره زمانی با آغاز از n بیان می شود.

این نماد تاکید می کند که در حالت کلی، احتمالات انتقال نه فقط توابعی از وضعیت ابتدایی و انتهایی اند، بلکه به زمان انتقال نیز بستگی دارند.

تعریف، وقتی احتمالات انتقال یک مرحله ای از متغیر زمان( یعنی مقدار n) منتقل باشند، آنگاه گوییم فرآیند مارکف دارای احتمالات انتقال مانا می باشد. ماتریس مارکف یا ماتریس احتمال انتقال یک آرایه مربعی نامتناهی به صورت.              می باشد که در آن سطر(i+1) ام توزیع احتمال مقادیر Xn+1 تحت شرط(Xn=i) است.

هر گاه تغییر حالتها متناهی باشد آنگاه P یک ماتریس مربعی متناهی است که مرتبه اش
( تعداد سطرها) مساوی تعداد حالتهاست. واضح است که Pij ما در شرایط زیر صدق
می کنند:

سطر فرآیندی با مشخص بودن تابع احتمال انتقال یک مرحله ای و X0(به عنوان حالت آغازین فرآیند) کاملا معین است زیرا طبق تعریف احتمالات شرطی، داریم:

(6-5)

و اگر فضای حالت متوالی نباشد یا فرآیند فضای حالت را به گونه ای متوالی طی نکند می توان گفت:

    (6-6)

نمونه هایی از زنجیره های مارکف: (20)

1) زنجیرهای مارکف همگن: (18)

تعریف: یک زنجیر مارکف را همگن در زمان نامنداگر(m,n) Pij فقط به تفاضل n-m بستگی داشته باشد. و اگر این احتمالات انتقال به زمان بستگی داشته باشند آنگاه فرآیند را ناهمگن می گوئیم. اگر زنجیر همگن باشد، احتمالات تغییر وضعیت را مانا می نامیم و       (6-7)

که نشان دهنده احتمال شرطی یک زنجیر مارکف همگن است زمانی که زنجیر در n مرحله از حالتi به حالت j می رود.

مدت زمانی که زنجیر مارکف همگن y صدف می کند در رسیدن به یک حالت(زمان رسیدن) باید بی حافظه باشد، زمانی که حالت فعلی برای تعیین آینده کافیست. بنابراین در حالت گسسته اگر زمانهای جاری tn به طور یکنواخت در tn=nt قرار بگیرند، y رابطه زیر را برآورد می سازد که y یک متغیر تصادفی هندسی است.

                        (6-8)                         

بنابراین مدتی که یک زنجیر مارکف گسسته زمان همگن در هر حالتی می گذارند یک توزیع هندسی است.

زنجیره های مارکف همگن(فضایی) را در دو حالت بررسی کرده و در هر حالت فرض می کنیم:

یک متغیر تصادفی گسسته با مقدار صحیح نامنفی باشد

 همچنین و

مشاهداتی مستقل از  باشند و همچنین فضای فرآیند مجموعه اعداد صحیح نامنفی است.

الف) فرآیند  به ازای  را در نظر می گیریم که با  تعریف شده است. ماتریس آن به شکل زیر می باشد. یکسان بودن سطرها مبین آن است که متغیرهای تصادفی  مستقلند.      

ب) رده مهم دیگر از مجموعهای جزئی متوالی  از  ها ناشی می شود. یعنی:

            (6-9)                                   

فرآیند  یک زنجیر مارکف بوده و ماتریس احتمال انتقال آن به صورت زیر حساب می شود:

(6-10)

که در این محاسبات از فرض استقلال  استفاده شده است.

در حالت کلی ماتریس به صورت

البته می توان فضای حالت را با مجموعه اعداد و صحیح یکی کرد. زیرا در اینصورت ماتریس احتمال اتصال به شکل متقارن تری در خواهد آمد. در این صورت فضای حالت از مقایر ...و2+و1+و0و1-و2-و... تشکیل می شود و ماتریس احتمال انتقال به صورت زیر خواهد بود:

            (6-11)                       

2) رفتارهای تصادفی یک بصری: (18)

رفتار تصادفی یک بعدی یک زنجیر مارکف است که فضای حالتش زیر مجموعه ای متناهی مانند a,a+1,a+2,…,b از اعداد صحیح است که در آن ذره، اگر در وضعیت ناباشد، می تواند با یک انتقال یا در نابماند و یا به یکی از وضعیتهای مجاور 1+ iو1-I منتثل شود. قدم زدن تصادفی یک رفتار تصادفی یک بعدی زیرا یک تجسم فرآیند مسیر شخصی که از خود بیخود شده است که به طور تصادفی یک قدم جلو یا عقب بر می دارد را توصیف می کند. در این فرآیند اگر فضای حالت مجموعه اعداد صحیح نامنفی گرفته شود ماتریس اتصال انتقال به شکل روبرو خواهد بود:

            (6-12)                       

یعنی هر گاه Xn=I آنگاه به ازای

(6-13)                       

فرآیند قدن زدن تصادفی توصیف کننده حرکت ذرات منتشر شده نیز می باشد، هرگاه ذره ای تحت تصادمها و ضربه های تصادفی قرار گیرد، آنگاه موضوعش به طور تصادفی بالا و پائین می رود. در این حالت می توان همچون حرکت بروانی از رفتار تصادفی متقارن استفاده کرد. منظور از رفتار تصادفی متقارن بر اعداد و صحیح یعنی زنجیری مارکف با فضای حالت تمام اعداد صحیح که ماتریس احتمال انتقال آن دارای عنصر مقابل می باشد:

(6-14)                                               

معمولا رفت تصادفی متقارن فقط به حالت P=1/2 , r=0 اطلاق می شود.

اگر در ماتریس احتمال انتقال فرآیند قدم زدن تصادفی ، وضعیت صفر مانند یک مانع انعکاسی عمل می کند. یعنی هر وقت ذره به حالت صفر رسید، انتقال بعدی خود به خود به حالت یک باز می گردد. اما اگر ، آنگاه صفر به صورت یک مانع جاذب عمل می نماید و ذره به محض رسیدن به صفر برای همیشه در آنجا می ماند و هر گاه ، آنگاه صفر یک مانع انعکاسی جزئی است.

مدل دیگری از قدم زدن تصادفی، قدم زدن تصادفی دایره ای با فضای حالت  می باشد.

دو مقدار نهایی  به یکدیگر گره زده می شوند تا حلقه ای ساخته شود که در آن  بین  قرار دارد.

قدم زدن تصادفی در این مسیر دایره ای شکل به گونه ای ادامه می یابد که هر حالتی یا به چپ و یا به راست منتقل می شود. این فرآیند را می توان با ماتریس انتقال N*N ای به صورت زیر نمایش داد.

            (6-15)                                   

کلی تر اینکه اگر همان امکان انتقال بین هر دو حالت  وجود داشته باشد، آنگاه زمانی که k مرحله به سمت راست برویم همانند حرکت در N-K مرحله در سمت چپ است که ماتریس این انتقال به صورت زیر است:

که در آن                                

یک مدل مشهور دیگر در فرآیندهای قد زدن تصادفی مدل در نقش است. یعنی یک رفتار تصادفی بر مجموعه ای متناهی از حالتها که در آن حالتهای مرزی انعکاسی هستند.

رفتار تصادفی به وضعیتهای i=-a,-a+1,…,0,1,…,a با

ماتریس احتمال انتقال P محدود شده است که احتمالهای آن به صورت مثابل محاسبه شده است.                     (6-17)                                   

رفتار تصادفی کلاسیک n بعدی به صورت زیر تنظیم می شود: فضای وضعیت مجموعه تمام نقاط شبکه صحیح در (فضای اقلیدسی n بعدی)است. یعنی، هر وضعیت یک n تایی k=(k1,k2,…,kn) از اعداد صحیح است و حالتهای انتقال آن به صورت زیر محاسبه می شوند.

مشابه حالت یک بعدی، رفتار تصادفی متقارن در نمایش صورت گسسته ای از حرکت براوانی nبعدی است.

3) زنجیر مارکف صف بندی گسسته: (18)

برای انجام کاری مشتریهادر صفی به نوبت می ایستند. اگر دست کم یک مشتری در صف باشد، در هر فاصله زمانی یک مشتری راه می افتد. اگر مشتریی در صف نباشد، در این فاصله هیچ کاری صورت نمی گیرد. در فاصله زمانی که کاری صورت می گیرد، ممکن است مشتریهای تازه ای وارد شوند.

فرض کنید تعداد واقعی افرادی که در فاصله زمانی nام وارد می شوند متغیر تصادفی  باشد تابع توزیع آن مستقل از فاصله زمانی بوده و به صورت(6-19) ={k مشتری در یک فاصله زمانی وارد شوند} Pr است. همچنین فرض می کنیم  ها از هم مستقل باشند. وضعیت دستگاه در شروع هر فاصله زمانی مساوی تعداد مشتریانی تعریف می شود که در صف منتظرند. هر گاه وضعیت فعلی ناباشد، آنگاه پس از گذشت یک فاصله زمانی وضعیت به صورت (6-20) خواهد بود.           

که در آن len تعداد مشتریان تازه ای است که در فاصله رسیدگی به کار یک مشتری وارد شده اند.

پس می توان برحسب متغیرهای تصادفی فرآیند به طور صوری بیان کرد: (2-16)

     که       

ماتریس احتمال انتقال به صورت         خواهد بود.

(6-22)

واضح است که اگر میانگین تعداد مشتریان تازه وارد یعنی  که در یک فاصله زمانی سرویس داده می شوند از یک تجاوز کند، قطعا صف انتظار با گذشت زمان بدون حد و مرز طویلتر خواهد شد. از آن سو هر گاه  آنگاه خواهیم دید که طول صف انتظار به یک وضعیت تعادل مانا نزدیک می شود و اگر ، یک حالت ناپایدار ایجاد می شود.

4) دنباله پیروزیها: (18)

یک زنجیر مارکف بر اعداد صحیح نامنفی با ماتریس احتمال انتقال به شکل (6-23)  را در نظر بگیرید که در آن

 در اینجا وضعیت صفر نقش قابل توجهی دارد به این صورت که می توان از هر وضعیتی به وضعیت صفر رسید حال آنکه فقط از وضعیت نا به وضعیت 1+ تا می رسیم. حالت خاصی از این ماتریس انتقال در پرداختن به دنباله پیروزیها در آزمایشات کلری که هر یک دو وضعیت پیروزی(s) یا شکست(F) را می پذیرد، حاصل می شود. این آزمایشها مستقل هستند پس فرآیند مارکف می باشد.

5) فرآیندهای شاخه ای: (18)

فرض کنید موجود زنده ای در پایان عمرش تعداد و تصادفی  نوزاد با توزیع احتمال (6-24)              تولید کند که در آن . همچنین تمام نوزادان مستقل از هم عمل می کنند و در آخر عمرشان نوزاد می خواهند دانست و بدین ترتیب نسلشان ادامه می یابد. فرآیند X(t) که در آن Xt اندازه جمعیت در نسل tام است یک زنجیر مارکف می باشد.

            (6-25)                       

که در آن  ها مشاهدات مستقل یک متغیر تصادفی هستند. در نسل nام، ناموجود مستقلا تعداد  نوزاد تولید می کنند.

6) مدل انبارداری: (18)

کالایی برای برآوردن تقاضای مداوم انبار شده است. فرض می کنیم ذخیره سازی در زمانهای متوالی t1,t2,… صورت گیرد و کل تقاضا برای این کالا روی بازه  متغیر تصادفی  باشد که تابع توزیع آن مستقل از فاصله زمانی است:

(6-27)                       

موجودی انبار در آغاز هر فاصله زمانی بازرسی می شود. خط مشی انبارداری با مشخص کردن دو مقدار بحرانی نامنفی S>s,s از قبل مشخص می شود. این خط مشی به این صورت است که اگر موجودی انبار از s بیشتر باشد بلافاصله به آن اضافه می شود تا موجودی به سطح s برسد. اما اگر موجودی از s تجاوز کند چیزی به آن اضافه نمی شود. فرض می کنیم Xn موجودی انبار درست بیش از افزودن کالا در tn باشد. وضعیتهای فرآیند Xn عبارتند از مقادیر ممکن حجم موجود در انبار، s,s-1,…,+1,0,-1,-2… که در آن یک مقدار منفی به عنوان تقاضای بدون عرضه تعبیر می شود. که به محض تهیه کالا تحویل خواهد شد. طبق قوانین انبارداری میزان موجودی در دو فاصله متوالی با رابطه مقابل بهم مربوطند:       (6-28)