نگرش کلی:
فیزیک علمی است که قوانین حاکم بر جهان طبیعت را بصورت مدون بیان می کند. بنابراین برای ارائه این قوانین بصورت معادلات و روابط ریاضی ، لازم است که یک فیزیکدان باید با اصول و قوانین اساسی ریاضی آشنا باشد.
التبه در بعضی از علوم دیگر مانند شیمی نیز این ضرورت احساس می شود، ولی اغراق آمیز نیست بگوییم که ریاضیات بعنوان الفبای فیزیک می باشد. این ضرورت سبب شده است که درسی تحت عنوان روشهای ریاضی در فیزیک ایجاد شود.
ضرورت با هم بودن ریاضی و فیزیک:
اگر تاریخچه پیدایش علوم را مورد توجه قرار دهیم. ملاحظه می گردد که فیزیک در ریاضی معمولا پا به پای هم گسترش و رشد یافته اند. و اکثر فیزیکدانان قدیمی ، ریاضیدان نیز بوده اند. بعنوان مثال به اسحاق نیوتن ، گالیله و دیگران اشاره کرد. علاوه بر این هر مبحث فیزیک را مد نظر قرار دهیم، ملاحظه می کنیم که به نوعی دریایی از ریاضیات در آن وجود دارد.
به فرض اگر مبحث سینماتیک حرکت را مورد توجه قرار دهیم، خواهیم دید که اگر بخواهیم سرعت و یا شتاب را تعریف کنیم، بایستی با قوانین مشتقگیری آشنا باشیم تا بتوانیم بگوییم که مشتق مکان در هر لحظه برابر سرعت لحظه ای و مشتق سرعت در هر لحظه ، شتاب لحظه ای خواهد بود.
اولین قدم در ریاضی فیزیک:
اولین گام در مطالعه ریاضی فیزیک ، آشنایی با آنالیز برداری است. چون مفاهیم برداری نقش اساسی را در فیزیک بازی می کند. یعنی زمانی که یک کمیت فیزیکی را تعریف می کنیم، ابتدا باید به آنالیز برداری مراجعه کرده و تکلیف این کمیت را از لحاظ برداری ، اسکالر بودن مشخض کنیم، تا بعد بتوانیم خواص و ویژگیهای این کمیت را بیان کنیم .
آینده ریاضی فیزیک:
امروزه با پیشرفت علوم کامپیوتری که توانایی انجام محاسبات بسیار پیچیده ریاضی را در زمانهای بسیار کوتاه دارند، بیشتر فعالیتها در راستای استفاده هر چه بیشتر از رایانه برای حل معادلات ریاضی ، محاسبات طولانی ریاضی ، قرار دارد. به عبارت دیگر پیشرفت علوم ریاضی بویژه ریاضی فیزیک با پیشرفت علوم کامپیوتری همسو شده است
کمیت فیزیکی
دید کلی
هر چیز که قابل افزایش و کاهش باشد و نیز بتوان تساوی میان دو مقدار از آن را به دقت بیان کرد کمیت فیزیکی است. در واقع سنگ بنای علم فیزیک کمیت فیزیکی است. و ما برای بیان قوانین فیزیک از آنها استفاده می‌کنیم، مثل طول ، جرم ، نیرو و حجم ، یک کمیت فیزیکی مانند جرم را وقتی می‌توان تعریف کرد که برای اندازه گیری آن واحدی مانند کیلوگرم در نظر گرفته شود.
تعداد کمیتهای فیزیکی آنقدر زیاد است که مرتب کردن آنها مساله مشکلی است و این کمیتها مستقل از هم نیستند. از میان تمام کمیتهای فیزیکی ممکن است چند کمیت را مشخص کنیم و آنها را کمیت اصلی بنامیم و بقیه کمیتها را از این کمیتهای اصلی بدست آوریم و برای هر یک استانداردی در نظر بگیریم، مثلا اگر طول را کمیت اصلی انتخاب کنیم، قد را به عنوان استاندارد آن در نظر می‌گیریم.
یکای (واحد) اندازه گیری
یکی از جنبه‌های مشترک بین همه اندازه گیری وجود یک یکای اندازه گیری است. مقدار کمیت مورد نظر چند برابر کمیتی است که از همان جنس که به عنوان مقیاس انتخاب شده ، این مقیاس را یکا (یا واحد) آن کمیت می‌نامند. دانشمندان برای آنکه رقمهای حاصل از اندازه گیریهای مختلف یک کمیت باهم مقایسه پذیر باشند، در نشستهای بین المللی توافق کرده‌اند که برای هر کمیت یکای معینی تعریف کنند. یکای هر کمیت باید به گونه‌ای انتخاب شود که در شرایط فیزیکی تعیین شده تغییر نکند و در دسترس باشد، مجموعه یکاهای مورد توافق بین المللی را به اختصار یکای SI می‌نامند.
کمیت اصلی و فرعی
کمیت اصلی: آن دسته از کمیتهایی را که یکاهای آنها بطور مستقل تعریف شده‌اند کمیت اصلی ، یکاهای آنها را یکاهای اصلی می‌نامند.
کمیت فرعی: کمیتهای از قبیل مساحت ، حجم ، کمیتی است که به یک یا چند کمیت اصلی وابسته است.
کمیت اسکالر و برداری
کمیت برداری: کمیت برداری کمیتی است که برای بیان آن علاوه بر انداره باید راستا ، جهت و نقطه اثر آن نیز در دست باشد، مانند: نیرو ، شتاب ، شدت میدان الکتریکی ، اندازه حرکت ، گشتاور نیرو ، تغییر مکان و ... .
کمیت اسکالر: به کمیتی گفته می‌شود که با یک عدد و یک یکا بطور کامل مشخص می‌شود و از اینرو فقط دارای بزرگی هستند. کمیتهای اسکالر ، کمیتهای نرده‌ای نیز نامیده می‌شود. سایر کمیتهای نرده‌ای طول ، زمان ، چگالی ، انرژی ، دما ، پتانسیل و ... .
نحوه نمایش کمیت برداری و اسکالر
کمیت برداری: کمیتهای برداری را با پاره خط جهتدار (پیکان) نمایش می‌دهند. پیکان را هم جهت با بردار و طول آنرا متناسب با بزرگی بردار در نظر می‌گیرند () مانند d ، بزرگی یک بردار را توسط یک خط قائم که در دو طرف نماد آن بردار می‌گذارند مانند ׀ d ׀ و یا با نماد بدون پیکان مشخص می‌کنند d.
>
کمیت اسکالر: کمیت اسکالر عدد است و نیازی به نحوه نمایش ندارد.
جمع برداری
برای یافتن برآیند دو بردار و می‌توانیم از یک نقطه دو بردار به ترتیب برابر بردارهای و رسم کنیم، سپس متوازی الاضلاع را که این دو بردار ، دو ضلع مجاور آن را تشکیل می‌دهد کامل کنیم، بردار برآیند قطری از متوازی الاضلاع است که نقطه شروع دو بردار را به رأس روبرو وصل می‌کند. این قاعده متوازی الاضلاع برای جمع بردارها است.
تفریق بردای
برای بدست آوردن تفریق دو بردار نخست دو بردار و را از یک نقطه رسم می‌کنیم. برداری که ابتدای آن بر انتهای بردار و انتهای آن بر انتهای بردار منطبق باشد بردار حاصله است.
ابعاد کمیت
منظور از ابعاد یک کمیت فرعی ، رابطه آن با کمیت اصلی تشکیل دهنده آن است. در واقع می‌توان گفت که منظور از ابعاد یک کمیت معرفی آن کمیت از نظر ماهیت طبیعی آن است. برای این منظور در مکانیک ابعاد سه کمیت اصلی طول ، جرم و زمان را به ترتیب با M ، L و T نشان می‌دهند
جبر برداری
مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و... که بر روی بردارها انجام می‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست. مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند
اطلاعات اولیه
بحث حرکت در دو یا سه بعد با وارد کردن مفهوم بردار بسیار ساده می‌شود. یک بردار از نظر هندسی به صورت کمیتی فیزیکی تعریف می‌شود که بوسیله اندازه و جهت در فضا مشخص می‌شود. به عنوان مثال می‌توان به سرعت و نیرو اشاره کرد که هر دو کمیتی برداری هستند. هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه و جهت بردار است، نمایش می‌دهند. جمع دو یا چند بردار را می‌توان بر اساس راحتی کار با استفاده از روشهای متوازی الضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را به مولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه می‌کنند، انجام داد.
ضرب بردارها
ضرب بردار در حالت کلی به دو صورت ضرب نقطه‌ای یا عددی و ضرب برداری انجام می‌شود. در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش داده می‌شود، حاصضرب برابر با است با حاصضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگر بر روی آن. طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصضرب آنها صفر خواهد بود. اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده می‌شود، نتیجه حاصضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می‌شود و اندازه آن با حاصضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست. ضرب برداری علاوه بر دو حالت فوق میتواند بصورت مختلط نیز باشد. به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت می‌توان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد. اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجه حاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.
قاعده دست راست
قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سر و کار دارند مطرح است، به این صورت بیان می‌شود. فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب می‌شود. برای تعیین جهت بردار حاصضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در این صورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود
مشتق گیری برداری
برای مشتق گیری برداری قواعد خاصی وجود دارد که به صورت زیر اشاره می‌شود.
مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.
مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ، که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر با حاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است. بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندین بردار نیز به همین صورت تعریف می‌شود. یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضرب می‌شوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد. علاوه بر این مشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام می‌شود.
انتگرال گیری برداری
در حالت کلی سه بعدی دو نوع تابع می‌توان در نظر گرفت. توابع نقطه‌ای اسکالر و توابع نقطه‌ای برداری. به عنوان مثال تابع انرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی که شدت میدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است. همچنین انتگرال گیری نیز میتواند به سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد. در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنی صورت می‌گیرد. اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانجام در حالت چهارم روی یک حجم صورت می‌گیرد. نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجه به تقارن موجود و نیز نوع تابع مسئله در سیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد. به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارای تقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است در سیستم مختصات کروی انجام دهیم.
آنالیز برداری
اطلاعات اولیه
بیشتر کمیات فیزیکی که در فیزیک و علوم مهندسی با آنها مواجه می‌شویم، به دو صورت اسکالر (نرده‌ای) و برداری هستند. یک کمیت اسکالر تنها با بیان بزرگی و همراه با یکای خود ، اگر داشته باشد، کاملا مشخص می‌شود. به عنوان مثال جرم یک کمیت اسکالر است که با مقدار و یکایش که کیلوگرم است، کاملا مشخص می‌گردد. دسته دیگری از کمیات ، کمیات برداری هستند که علاوه بر مقدار و یکا دارای جهت نیز هستند.