قواعد استنتاج
اگرچه نمودارهای ون از جمله روشهای تصمیم گیری برای قیاسهای صوری محسوب می شوند ولی این نمودارها برای استدلالات پیچیده تر مناسب نیستند، زیرا خواندن این نمودارها مشکل است.
قیاس صوری مشکل اساسی تر دیگری دارد و آن این است که فقط بخش کوچکی از عبارات منطقی را می توان به وسیله قیاس صوری بیان کرد.
در واقع قیاس صوری طبقه بندی شده فقط شامل عبارات گروه بندی شده I,E,A وO می باشد.
منطق گزاره ای، ابزار دیگری را برای توصیف استدلال ارائه می دهد.
در حقیقت ما غالبا بدون آنکه بدانیم از منطق گزاره ای استفاده می کنیم.
به عنوان مثال استدلال گزاره ای زیر را در نظر بگیرید :
اگر برق باشد، کامپیوتر کار خواهد کرد
برق هست
..
کامپیوتر کار خواهد کرد
می توان این استدلال را با استفاده از حروف انگلیسی به شکل رسمی زیر بیان نمود.
A = برق هست
B = کامپیوتر کار خواهد کرد
بنابراین استدلال فوق را می توان به این صورت نوشت :
استدلالات زیادی به این شکل وجود دارند.
صورت کلی نمایش استدلالی از این نوع، به این صورت است :
P → q
P
q
که در آن p و q متغیرهای منطقی بوده و می توانند هر عبارتی را نشان دهند.
استفاده از متغیرهای منطقی در منطق گزاره ای این اجازه را به ما می دهد که عباراتی پیچیده تر از چهارچوب عبارت قیاس صوری یعنی I,E,A و O داشته باشیم.
این نوع استنتاج در منطق گزاره ای نامهای مختلفی دارد، از جمله : استدلال مستقیم، انتزاع، قانون انفصال و فرض مقدم.
توجه کنید که این مثال را به صورت قیاس صوری نیز می توان بیان کرد.
همه کامپیوترها با داشتن برق کار خواهند کرد
این کامپیوتر برق دارد
این کامپیوتر کار خواهد کرد
که نشان می دهد انتزاع یک حالت خاص از قیاس صوری است.
قانون انتزاع از اهمیت زیادی برخوردار است زیرا پایه و اساس سیستمهای خبره مبتنی بر قاعده را تشکیل می دهد.
گزاره مرکب P →q نشان دهنده یک قاعده است و p نشان دهنده الگویی است که باید بر مقدم منطبق شود تا این قاعده ارضاء گردد.
ولی همان طور که در فصل دوم مطرح شد، عبارت شرطی P →q دقیقاً معادل با یک قاعده نیست زیرا عبارت شرطی، یک تعریف منطقی است که توسط جدول درستی تعریف می شود و برای هر عبارت شرطی تعاریف زیادی می تواند وجود داشته باشد.
ما به طور قراردادی برای نشان دادن گزاره های ثابت نظیر " برق وجود دارد " از حروف بزرگ مانند C,B,A و ...
استفاده می کنیم و با حروف کوچک از قبیل r,q,p و ...
متغیرهای منطقی را نشان می دهیم که می توانند بجای گزاره های ثابت مختلفی قرار بگیرند.
توجه باشید که این قرارداد برخلاف قرارداد موجود در پرولوگ است که از حروف بزرگ به عنوان متغیر استفاده می کند.
این شکل قانون انتزاع را می توانیم با متغیرهای منطقی دیگری نیز بنویسیم : که این شکل نیز همان مفهوم قبلی را دارد.
توصیف دیگری برای شکل فوق می تواند به این صورت باشد : علامت کاما در اینجا برای جدا کردن یک مقدمه از مقدمه دیگر بکار می رود و علامت کاما – نقطه ( سمی کالون) پایان مقدمات را نشان میدهد.
اگر چه تا به حال فقط با استدلالاتی سروکار داشته باشیم که دو مقدمه داشته اند، ولی شکل کلی تر یک استدلال به این صورت است : P1 , P2 , … PNi ..
C هدف p در صورتی ارضاء می شود که همه اهداف فرعی P1 , P2 , … PNi ارضاء شده باشند.
یک استدلال مشابه با عبارت فوق را برای قواعد تولید می توان به شکل کلی زیر نوشت : C1 ^ C2 ^ … CN →A و به این معناست که اگر همه شروط Ci یک قاعده ارضاء شوند در این صورت اقدام A آن قاعده اجراء خواهد شد.
همانطور که قبلا نیز مطرح شد، هر عبارت منطقی به شکل فوق دقیقاً معادل یک قاعده نیست زیرا تعریف منطقی عبارات شرطی دقیقا معادل قاعده تولید نمی باشد.
ولی به هر حال این شکل منطقی به فهم قواعد کمک مستقیم و مفیدی خواهد کرد.
عملگرهای منطقی AND و OR در پرولوگ، شکلی متفاوت با شکل متدوال ^ و دارند.
علامت کاما بین اهداف فرعی در پرولوگ به معنای ترکیب عطفی ^ است در حالی که ترکیب فصلی، ، با یک سمی کالون ( ؛ ) نشان داده می شود.
به عنوان مثال P : - p1 I p2 .
به این معناست که هدف p در صورتی ارضاء می شوند که p1 یا p2 ارضاء شوند.
ترکیبات عطفی و فصلی می توانند با یکدیگر شوند.
به عنوان مثال P : - p1 P2 /.
P3 / P4.
به عبارت فوق معادل دو عبارت پرولوگ زیر است : P : - P3 / P4 به طور کلی اگر همه مقدمات و نتیجه نوعی طرح یا شما ( Shemata ) باشند آنگاه استدلال P1 / P2 / … PN.
C از لحاظ ظاهری یک استدلال قیاسی معتبر است، اگر و فقط اگر عبارت زیر یک گزاره همیشه درست باشد.
به عنوان مثال یک گزاره همیشه درست است چون اگر p و q درست یا نادرست باشند عبارت فوق همواره درست خواهد بود.
شما می توانید با رسم یک جدول درستی، صحت این موضوع را بررسی کنید.
استدلال قانون انتزاع یعنی نیز متغیر است زیرا می توان آن را به صورت یک گزاره همیشه درست بیان کرد : توجه کنید که فرض ما بر این است که علامت پیکان از تقدم کمتری نسبت به ترکیب منطقی و فصلی برخوردار است.
این فرض از نوشتن پرانتزهای اضافی همانند زیر جلوگیری می کند.
جدول 4-3 ، جدول درستی برای قانون انتزاع است.
این استدلال، یک گزاره همیشه درست است زیرا ارزشهای این استدلال که در ستون سمت راست نشان داده شده، صرف نظر از اینکه مقدمات چه ارزشی داشته اند، همگی درست هستند.
توجه کنید که در ستونهای سوم، چهارم و پنجم جدول، مقادیر ارزش درستی با استفاده از عملگرهای قطعی نظیر → و ^ بدست آمده اند.
این عملگرها، ارتباطات اصلی نامیده می شوند چرا که دو بخش اصلی از یک گروه مرکب را به هم متصل می کنند.
جدول 4-3 جدول مقادیر درستی برای قانون انتزاع اگر چه این روش برای تعیین استدلالات معتبر و صحیح، جواب می دهد ولی لازم است که هر سطح از جدول مقادیر درستی جداگانه بررسی شود.
اگر تعداد مقدمات N باشد، تعداد سطرها 2N خواهد بود و بنابراین با افزایش تعداد مقدمات تعداد سطرها بسیار بیشتر خواهد شد.
بعنوان مثال برای پنج مقدمه لازم است 32 سطر بررسی شود.
در حالیکه برای 10 مقدمه به بررسی 1024 سطر نیاز است.
یک راه کوتاه تر برای تعیین صحت یک استدلال این است که فقط آن سطرهایی از جدول مقادیر درستی را در نظر بگیریم که در آنها همه مقدمات صحیح هستند.
تعریف هم ارز یک استدلال معتبر بیانگر این است که این استدلال، معتبر و صحیح است اگر و فقط اگر نتیجه هر یک از این سطرها صحیح باشد.
بنابراین صحت نتیجه مستقیما توسط مقدمات تعیین می شود.
در مورد قانون انتزاع، مقدمه P→q و مقدمه P در سطر اول به طور همزمان صحیح هستند و بنابراین نتیجه نیز به این صورت است.
از این رو قانون انتزاع یک استدلال معتبر است.
اگر سطر دیگری وجود می داشت که در آن مقدمات همگی درست بودند و در همان سطر، نتیجه نادرست بود، در این صورت استدلال مورد نظر معتبر نبود.
روش کوتاه تر برای بیان جدول مقادیر درستی قانون انتزاع در جدول 5-3 نشان داده شده است که در آن همه سطرها به وضوح نمایش داده شده اند.
در عمل فقط لازم است سطرهایی که دارای مقدمات صحیح هستند، نظیر سطر اول در نظر گرفته شوند.
جدول 5-3 جدول درستی جایگزین و کوتاهتر برای قانون انتزاع جدول درستی برای قانون انتزاع نشان می دهد که این قانون صحیح است زیرا در سطر اول، مقدمات و نتیجه، همگی صحیح هستند و هیچ سطر دیگری در این جدول وجود ندارد که مقدمات آن درست و نتیجه آن نادرست باشد.
گاهی ممکن است استدلال مورد نظر گمراه کننده باشد.
به عنوان شاهدی بر این مدعا، ابتدا مثال صحیح زیر را در مورد قانون انتزاع در نظر بگیرید.
اگر هیچ اشکالی وجود نداشته باشد، آنگاه برنامه اجرا میشود هیچ اشکالی وجود ندارد برنامه اجرا میشود این استدلال را با استدلال زیرکه تا حدودی به قانون انتزاع شبیه است مقایسه کنید.
اگر هیچ اشکالی وجود نداشته باشد، آنگاه برنامه اجرا میشود برنامه اجرا میشود هیچ اشکالی وجود ندارد آیا این یک استدلال صحیح است ؟
شکل کلی این استدلال به این صورت است : و جدول 6-3 جدول درستی خلاصه شده آن است.
توجه کنید که این استدلال، معتبر نیست.
اگر چه سطر اول نشان می دهد که اگر همه مقدمات صحیح باشند، نتیجه نیز صحیح است ولی در سطر سوم در حالیکه همه مقدمات صحیح هستند نتیجه نادرست است.
لذا این استدلال تنها معیار صحیح بودن یک استدلال را دارا نیست.
اگر چه بسیاری از برنامه نویسان تمایل دارند که استدلالاتی از این دست، صحیح باشند ولی منطق ( و تجربه ) ثابت می کند که این استدلال نا معتبر بوده و یا یک سفسطه است.
این استدلال سفسطه آمیز جزیی، سفسطه در گفتار نامیده می شود.
جدول 6-3 جدول درستی (کوتاه شده ) برای ؛ q , p→q به عنوان یک مثال دیگر استدلال کلی زیر را در نظر بگیرید : این استدلال معتبر است زیرا جدول 7-3 نشان می دهد که نتیجه فقط وقتی صحیح است که مقدمات صحیح باشند.
جدول 7-3 جدول درستی (کوتاه شده ) برای ؛ , p→q این استدلال خاص، نامهای مختلفی دارد از جمله : استدلال غیر مستقیم، قانون رفع مولفه و قانون عکس نقیض.
بعضا قانون انتزاع ( Modus Ponens ) و قانون رفع مولفه ( Modus Tollens )، را قواعد استنتاج و یا قوانین استنتاج می نامند.
جدول 8-3 برخی قوانین استنتاج را نشان می دهد.
کلمه لاتین Modus به معنای " راه " است، Ponere به معنای " اثبات کردن " و Tollere به معنای " نفی کردن " می باشد.
نام حقیقی قانون انتزاع و معنای ادبی آنها در جدول 9-3 آمده است.
قانون انتزاع و قانون رفع مولفه، نام کوتاهی برای دو نوع اول در این جدول هستند ( Stebbing 50 ) شماره قواعد استنتاج در این جدول همان شماره های بکار رفته در جدول 8-3 است.
قواعد استنتاج را می توان برای استدلالاتی که بیش از دو مقدمه دارد نیز بکار برد.
به عنوان مثال استدلال زیر را در نظر بگیرید.
قیمت تراشه فقط وقتی افزایش می یابد که ین افزایش یافته باشد.
قیمت ین فقط وقتی افزایش می یابد که دلار کاهش یافته باشد و اگر قیمت دلار کاهش یابد، قیمت ین افزایش خواهد داشت چون قیمت تراشه افزایش یافته، پس قیمت دلار باید کاهش یافته باشد.
حال اجازه دهیدکه این گزاره ها را به این صورت تعریف کنیم.
C = قیمت تراشه افزایش می یابد Y = ین افزایش می یابد D = دلار کاهش می یابد از بخش 12-2 این مطلب را به خاطر دارید که عبارت شرطی را به اینصورت هم می توان معنی کرد " P ، فقط اگر q .
" گزاره ای نظیر " قیمت ین فقط وقتی افزایش می یابد که دلار کاهش یافته باشد " همین معنی را دارد و می توان آن را به صورت C→Y نشان داد.
بنابراین استدلال فوق به این شکل است.
مقدمه دوم، شکل جالبی دارد که می توانیم با یک تغییر در رابطه شرطی، آن را به صورتی کوتاهتر نشان دهیم.
رابطه شرطی P→q چندین شکل مختلف دارد که عبارتند از عکس، نقیض و عکس نقیض.
این اشکال مختلف به همراه رابطه شرطی در جدول 10-3 آمده اند.
جدول 8-3 بعضی قواعد استنتاج برای منطق گزاره ای جدول 9-3 معانی Modus جدول 10-3 رابطه شرطی و انواع آن معمولا فرض بر این است که عملگر نقیض نسبت به سایر عملگرهای منطقی از اولویت بالاتری برخوردار است و بنابراین هیچ پرانتزی در طرفین ~p و ~q قرار داده نمی شود.
اگر رابطه شرطی p→q هر دو درست باشند در این صورت p و q ارزش یکسان دارند.
بنابراین گزاره با گزاره دو شرطی p↔q و نیز معادله p=q هم ارز است.
به عبارت دیگر p و q همیشه ارزش درستی یکسانی خواهند داشت.
اگر p صحیح باشد، q نیز صحیح است واگر p نادرست باشد q نیز نادرست است.
بنابراین استدلال فوق را به این صورت می توان نوشت.
در اینجا از اعداد برای مشخص کردن مقدمات استفاده شده است.
چون با توجه به مقدمه (2) می دانیم که Y و D هم ارز هستند، ما می توانیم در مقدمه (1) متغیر D را جایگزین Y کنیم و بنابراین خواهیم داشت : (4) C →D که مقدمه (4) از یک استنتاج بر اساس مقدمات (1) و (2) بدست آمده است.
حال مقدمات (3) و (4) و نتیجه به این صورت هستند : که می توانیم آن را بصورت یک قانون انتزاع در نظر بگیریم، بنابراین، استدلال فوق معتبر و صحیح است.
جایگزین کردن یک متغیر با متغیر هم ارز آن، یک قاعده استنتاج است که قاعده جایگزینی نامیده می شود.
قانون انتزاع و قاعده جایگزینی دو قاعده اصلی در منطق قیاسی هستند.
در اثبات منطقی گزاره ها، به هر یک از مقدمات، نتیجه و استنتاجها یک شماره تعلق می گیرد.
به عنوان مثال : هم ارزی 2 جایگزینی 1 قانون انتزاع 5 و 3 خطوط 1، 2 و 3 شامل مقدمات و نتایج بوده در حالی که خطوط 4، 5 و 6 استنتاجهای بدست آمده هستند.
ستون سمت راست شامل نام قواعد استنتاج است و شماره خطوط برای مستند سازی استنتاج بکار رفته اند.
p→qqPTTTTTTFFFTTFTTFTFTFF نتیجه qمقدمهمقدمهqpنتیجه qpp→qqpTTTTTFTFFTTFTTFFFTFF نتیجه pمقدمهمقدمهqpنتیجه pqp→qqpTTTTTTFFFTFTTTFFFTFF نتیجهمقدماتمقدماتqpنتیجهqp→qqpFFTTTFTFFTTFTTFTTTFF قانون استنتاجشکل کلینام انگلیسی1-قانون انفصال1- Law of Detachment2-قانون عکس نقیض2- Low of the Contrapositive3-قانون رفع مولفه3- Low of Modus Tollens4-قاعده زنجیره ای ( قانون قیاس صوری)4- Chain Rule (Law of the Syllogism)5-قانون استنتاج فصلی5- Law of Disjunctive Iference6-قانون نقیض مضاعف6- Law lf the Double Negation7-قانون دمرگان7- De Morgan's Law8-قانون ساده سازی8- Law of Simplification9-قانون عطف9- Law of Conjunction10- قانون ادخال فاصل10- Law of Disjunctive Argument11-قانون حذف عاطف11- Law of Conjuctive Argument شماره قاعده استنتاجناممفهوم" حالتی که به وسیله ..."1Modus ponendo ponensاثبات کردن، اثبات می کند3Modus tollendo tollensنفی کردن، نفی می کند5Modus tollendo Ponensنفی کردن، اثبات می کند11Modus ponendoاثبات کردن، نفی می کند شرطیp→qConditionalعکسq→pConverseنقیض~p→~qInverseعکس نقیض~q →~pContrapositive