اصل پنجم اقلیدس
اقلیدس در کتاب اصول اقلیدس هنگامی که بنیاد هندسهیی را میگذاشت، که به مدت بیش از دو هزار سال تنها هندسهی موجود بود، پنج اصل موضوع و پنج اصل متعارفی را به عنوان اصول بدیهی و بدون نیاز به اثبات پذیرفت تا بتواند بقیه قضایای هندسی را اثبات کند. اصل پنجم آنگونه که اقلیدس بیان کرد اینگونه است: اگر دو خط راست بوسیلهی یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، مجموع کوچکتر از دوقائمه تشکیل میدهند یکدیگر را قطع میکنند. این اصل در شکل امروزی آن اینگونه بیان میشود: اگر دو خط به وسیلهی موربی چنان قطع شوند که مجموع اندازهی درجههای دو زاویهی درونی واقع در یک طرف مورب کمتر از 180 درجه باشد، آنگاه این دو خط یکدیگر را در همان طرف مورب تلاقی میکنند. شکل مشهورتر این اصل که امروزه در دبیرستان تدریس میشود و به اصل توازی اقلیدسی مشهور است عبارت است از: به ازای هر خط l و نقطهی p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانچه از p میگذرد و با l موازی است.