دانلود مقاله بررسی چگونگی استفاده از نظریه آشوب در رمز نگاری

آشوب یا آنچه به انگلیسی chaos خوانده می شود، چیست؟
در مبحث واژگان این کلمه انسان را به یاد بی نظمی می اندازد.به یاد حالتی که هیچ چیز بر سر جای خود نباشد.اما آیا واقعا چنین است؟
مطالعه در مورد این مبحث در حقیقت از مطالعات هواشناسی شروع شد.چندی از دانشمندان هواشناسی مشغول مطالعه در مورد شرایط جوی و تاثیر موارد مختلف بر هوای جهان و منطقه داشتند.آنان به مدت دو سال مشغول مطالعه هوای یک منطقه خاص دارای آب و هوای نسبتا بی تغییر و کاملا معتدل بودند و تمامی تغییرات را ثبت می کردند.یک دستگاه ثبت نمودار تغییرات جوی هر روز راس ساعت شش صبح روشن می شد و نمودار تغییرات را تا شش بعد از ظهر ثبت می کرد.اما در پاییز سال دوم ناگهان نمودار این تغییرات به طرز عجیبی عوض شد.یعنی نموداری مغشوش به ثبت رسید که نشانه بروز تغییرات شدید جوی بود،اما آن چه به چشم دیده می شد هیچ تغییری مشاهده نمی کرد.دانشمندان شروع به مطالعه در این مورد کردند تا دلیل این تغییر را دریابند اما متوجه هیچ چیز نشدند.پس از پاییز همه چیز دوباره عادی شد.این امر آنان را بر آن داشت تا یک سال دیگر مطالعات خود را در آن محل ادامه دهند.در پاییز سال بعد آنها همه چیز را تحت نظر داشتند.در این سال نتیجه مشاهدات خود را پیدا کردند.در نزدیکی آن محل دریاچه ای بود که گروهی از پرندگان مهاجر در پاییز به آنجا می رفتند.آن چه باعث تغییر شدید در نمودار می شد همین پرندگان بودند.پرواز دسته جمعی این پرندگان باعث می شد تا حرکت بال های آنان فشاری بر جو بیاورد و این فشار به مولکول های کناری هوا منتقل می شد و نهایتا
به سنسور ثبت نمودار دستگاه می رسید.یکی از دانشمندان کنجکاو در پی آن شد که متوجه شود اگر این پرندگان آنجا نبودند چه می شد.وی با استفاده از یک برنامه کامپیوتری موقعیت منطقه را شبیه سازی کرد و برنامه را یکبار با حضور پرندگان و یکبار بدون حضور آنان اجرا کرد.هنگامی که پرندگان وجود داشتند کامپیوتر شرایط را دقیقا همان طور که در واقعیت بود نشان داد.اما بدون حضور پرندگان طوفانی بزرگ در منطقه شکل می گرفت که باعث تخریب تقریبا ۱۲ هکتار از آن منطقه می شد.در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می شد که شرایط شکل گیری این طوفان پیش نیایند…
پس از مطالعات جدی تر و عمیق تر و شبیه سازی جو جهان آنان به نتیجه ای رسیدند که مهم ترین شعار نظریه آشوب نام گرفت: پروانه ای در آفریقا بال می زند و گردبادی در آمریکای جنوبی شکل می گیرد.
نظریه ی آشوب

نظریه آشوب، به شاخه‌ای از ریاضیات و فیزیک گفته می‌شود که مرتبط با سیستمهایی است که دینامیک آنها در برابر تغییر مقادیر اولیه، رفتار بسیار حساسی نشان می دهد؛ به طوری که رفتار‌های آینده آنها دیگر قابل پیش‌بینی نمی‌باشد.

به این سیستم‌ها، سیستم‌های آشوبی گفته می‌شود که از نوع سیستمهای غیرخطی دینامیک هستند و بهترین مثال برای آنها اثر پروانه‌ای، جریانات هوایی و دوره اقتصادی می‌باشد.
نظریه آشوب، به شاخه‌ای از ریاضیات و فیزیک گفته می‌شود که مرتبط با سیستمهایی است که دینامیک آنها در برابر تغییر مقادیر اولیه، رفتار بسیار حساسی نشان می دهد؛ به طوری که رفتار‌های آینده آنها دیگر قابل پیش‌بینی نمی‌باشد.

به این سیستم‌ها، سیستم‌های آشوبی گفته می‌شود که از نوع سیستمهای غیرخطی دینامیک هستند و بهترین مثال برای آنها اثر پروانه‌ای، جریانات هوایی و دوره اقتصادی می‌باشد.

این نظریه، گسترش خود را بیشتر مدیون کارهای هانری پوانکاره، ادوارد لورنتس، بنوا مندلبروت و مایکل فایگن‌باوم می‌باشد.

پوانکاره اولین کسی بود که اثبات کرد، مساله سه جرم (به عنوان مثال، خورشید، زمین، ماه) مساله‌ای آشوبی و غیر قابل حل است.

شاخه دیگر از نظریه آشوب که در مکانیک کوانتومی به کار می‌رود، آشوب کوانتومی نام دارد.

گفته می‌شود که پیر لاپلاس یا عمر خیام قبل از پوانکاره، به این مشکل و پدیده پی برده بودند.طی 20 سال گذشته، در حوزه ریاضیات و فیزیک مدرن، روش علمی و تئوری جدید و بسیار جالبی به نام "آشوب" پا به عرصه ظهور گذاشته است.

تئوری آشوب، سیستمهای دینامیکی بسیار پیچیده ای مانند اتمسفر زمین، جمعیت حیوانات، جریان مایعات، تپش قلب انسان، فرآیندهای زمین شناسی و ...

را مورد بررسی قرار می دهد.

انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی نظمی ، نظمی نهفته است.

به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد؛ پدیده ای که در مقیاس محلی، کاملا تصادفی و غیرقابل پیش بینی به نظر می رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملا پایا (Stationary) و قابل پیش بینی باشد نقاط تشابهی بین تئوری آشوب و علم آمار و احتمالات وجود دارد.

آمار نیز به دنبال کشف نظم در بی نظمی است.

نتیجه پرتاب یک سکه در هر بار ،تصادفی و نامعلوم است، زیرا دامنه محلی دارد.

اما پیامدهای مورد انتظار این پدیده ، هنگامی که به تعداد زیادی تکرار شود، پایا و قابل پیش بینی است.

وجود چنین نظمی است که باعث زنده ماندن صنعت قمار است، و گرنه هیچ سرمایه گذاری حاضر نبود که در چنین صنعتی سرمایه گذاری کند.

در واقع، قمار برای کسی که قمار می کند پدیده ای تصادفی و شانسی است(چون در مقیاس محلی قرار دارد) و برای صاحب قمارخانه، پدیده ای قابل پیش بینی و پایا است (چون در مقیاس بزرگتر (global)، این پدیده دارای نظم است).

همین جا می توان به مصادیقی از این تئوری در حوزه علوم انسانی اشاره کرد.

بسیاری از وقایع تاریخی که در مقیاس 20 ساله ممکن است کاملا تصادفی و بی نظم به نظر برسند، ممکن است که در مقیاس 200 ساله، 2000 ساله یا 20000 ساله دارای دوره تناوب مشخص و یا نوعی نظم در علتها باشند(و البته نه لزوما به گونه ای که مارکس معتقد است!!!).

در نگرش رفتارگرایی در حوزه روانشناسی، در واقع با نوعی تغییر مقیاس، به نظم رفتاری و قوانین آن دست می یابند و امکان پیش بینی و یا اصلاح اختلالات رفتاری فراهم می گردد، و الا اگر رفتارهای منفرد افراد مد نظر باشد چیزی جز چند رفتار تصادفی و غیرقابل پیش بینی نخواهد بود.

روش علمی (متدولوژی) که این تئوری در اختیار ما قرار می دهد، تغییر مقیاس در نگاه به وقایع است به گونه ای که بتوان نظم ساختاری آن را کشف کرد.

صد البته، نگاه جدید این منطق به نظم، بسیاری از جدالهای سنتی در مورد برهان نظم و ...

در فلسفه را نیز مورد چالش قرار می دهد.

موضوع جالب دیگری که در تئوری آشوب وجود دارد، تاکید آن بر وابستگی (یا حساسیت) به شرایط اولیه است.

بدین معنی که تغییرات بسیار جزیی در مقادیر اولیه یک فرآیند می تواند منجر به اختلافات چشمگیری در سرنوشت فرآیند شود.

مثال ساده زیر شاید جالب باشد : اگر مسافری 10 ثانیه دیر به ایستگاه اتوبوس برسد نمی تواند سوار اتوبوسی شود که هر 10 دقیقه یک بار از این ایستگاه می گذرد و به سمت مترویی می رود که از آن هر ساعت یک بار قطاری به سوی فرودگاه حرکت می کند.

برای مقصد مورد نظر این مسافر، فقط روزی یک پرواز انجام می شود و لذا تاخیر 10 ثانیه ای این مسافر باعث از دست دادن یک روز کامل می شود.

بسیاری از پدیده های طبیعی دارای چنین حساسیتی به شرایط اولیه هستند.

قلوه سنگی که در خط الراس یک کوه قرار دارد ممکن است تنها بر اساس اندکی تمایل به سمت چپ یا راست، به دره شمالی یا جنوبی بلغزد، در حالی که چند میلیون سال بعد، که توسط فرآیندهای زمین شناسی و تحت نیروهای باد و آب و ...

چند هزار کیلومتر انتقال می یابد، می توان فهمید که آن تمایل اندک به راست و چپ به چه میزان در سرنوشت این قلوه سنگ تاثیرگذار بوده است.

مثال بسیار آشنای دیگر، وابستگیهای جسمی و روانی انسانها به شرایط لقاح و مسائل ژنتیکی است.

اگر چه چنین وابستگی آشوبناک (Chaotic) به شرایط اولیه را می توان در بسیاری از وقایع جامعه شناسی (از جمله انقلابها) و روانشناسی و ..

پیجویی کرد، لکن به جز یک حوزه(که پایینتر به آن اشاره خواهد شد)، تاکنون توجه خاصی بدین مسئله صورت نگرفته است.

به این معنا که اغلب برای تمام طول حیات یک پدیده، وزن یکسانی از نظر تاثیرگذاری عوامل درونی و بیرونی در نظر گرفته می شود، در حالی که تئوری آشوب، نقش کلیدی را در شرایط و المانهای مرزی اولیه می داند.

ادوارد لورنز، دانشمند مشهور هواشناسی، سالها پیش جمله مشهور خود را که بعدها به " اثر پروانه" (Butterfly Effect) مشهور شد، چنین عنوان کرده است: " در یک سیستم دینامیکی مانند اتمسفر زمین، آشفتگی بسیار کوچک ناشی از به هم خوردن بالهای یک پروانه می تواند منجر به توفانهایی در مقیاس یک قاره بشود".

در بسیاری از وقایع جامعه شناختی و سیاسی نیز می توان به جای پیجویی عوامل بسیار پیچیده و نادیده گرفتن عوامل به ظاهر ساده، با جدی گرفتن عوامل به ظاهر بی ارزش به تحلیل صحیحی نسبت به آن واقعه رسید.

پیشتر اشاره کردم که در این مورد ، در یک حوزه کار وسیعی صورت گرفته است.

این حوزه ، روانشناسی است و تئوری عظیم نابغه دنیای روانشناسی، فروید، دارای چنین رویکردی است.

فروید ریشه تمامی رفتارهای انسانها در طول زندگی را متاثر از دوران کودکی (شرایط اولیه به زبان تئوری آشوب) می داند و با پیجویی این رفتارها تا دوران کودکی، به تحلیل این رفتارها می پردازد.

علاوه بر مطالبی که ذکر شد ،تئوری آشوب ، با ارائه نظریه فرکتالها (Fractals) و ارائه مفهوم جدیدی از بعد فیزیکی (Dimension) و مفاهیمی مانند "خود تشابهی" و " خود تمایلی" ، دروازه جدیدی در کشف نظم در پدیده ها گشود که در جای خود می تواند به طور جدی ، مورد استفاده علوم انسانی قرار گیرد.

1-1-اثر پروانه ای : عبارت «اثر پروانه ای» در پی مقاله ای از ادوارد لورنتس بوجود آمد.

وی در صد سی و نهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله ای با این عنوان ارائه داد که «آیا بالزدن پروانه ای در برزیل می تواند باعث ایجاد تندباد در تکزاس شود؟» لورنتس در حال تحقیق روی مدل ریاضی بسیار ساده ای که از آب و هوای زمین، به یک معادله دیفرانسیل غیر قابل حل رسید.

وی برای حل این معادله به روشهای عددی با رایانه متوسل شد.

او برای اینکه بتواند این کار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتیجه آخرین خروجی یک روز را به عنوان شرایط اولیه روز بعد وارد می کرد.

لورنتس در نهایت مشاهده کرد که نتیجه شبیه سازی های مختلف با شرایط اولیه یکسان با هم کاملا متفاوت است.

بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده که رویال مک‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای که لورنتس از آن استفاده می کرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد می کند.

از آنجایی محاسبات داخل این رایانه با ۶ رقم اعشار صورت می گرفت، از بین رفتن دورقم آخر باعث چنین تاثیری شده بود.

مقدار تغییرات در عمل گرد کردن نزدیک به اثر بالزدن یک پروانه است.

این واقعیت غیر ممکن بودن پیشبینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می دهد.

مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد.

عبارت عامیانه «اثر پروانه ای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرایط اولیه» ترجمه می شود.

به غیر از آب و هوا، در سیستمهای پویای دیگر نیز حساسیت به شرایط اولیه به چشم می خورد.

یک مثال ساده، توپی است که در قله کوهی قرار گرفته.

این توپ با ضربه بسیار کمی، بسته به اینکه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، می تواند به هرکدام از دره های اطراف سقوط کند.

اغلب سیستم ها در دنیای واقعی طی تکرار یک عملیات مشخص کار می کنند.

در مثال آب و هوای لورنتس فرایند گرم شدن سطح زمین از طرف خورشید و سرد شدن جو از طریق تابش به فضای بیرون، فرایندی است که مدام تکرار می شود.

می توان نشان داد که در چنین سیستمی بازه ای از مقادیر اولیه با عث ایجاد رفتار آشوبناک می شود.

فصل دوم) رمز نگاری با چرخش آشوبی چرخش دوره ای کلید های رمز نگاری یک مکانیسم معمول برای افزایش انست روش های کد گذاری است.در این روش چرخش آشوبی که در آن چرخش جفت و نگاشت های تکراری باعث گردش های دوره ای در مجموعه های آشوبی می شود.به عنوان یک روش جدید کد گذاری که رفتار آشوبی را با تغییرات دوره ای کلید ها ترکیب کرده است،معرفی می شود.

پروسه ی حقیقی کد گذاری شبیه روشی است که باپتیستا1 استفاده می کند ،به غیر از تفاوت در جذب کننده های آشوبی ،کلید های متفاوت پی در پی که مرتبا عوض می شود تا کارکترهای یک پیغام را رمز گذاری کنند.

در این بخش ،نقاط ضعف و قوت این روش مورد بحث می باشد.

در دهه ی قبلی ،ایده ها و روش های نظریه ی سیستم های دینامیکی و آشوب مورد توجه وسیعی در زمینه های مختلف از جمله ارتباطات و رمز نگاری قرار گرفتند.برای مثال ،کار بنیادی پکورا2 و کارول3 در زمینه های هماهنگی در سیستم های آشوبی در ارسال پیغام مورد استفاده قرار گرفت.ایده ی اصلی این بود که فرستنده یک سیگنال آشوبی برای پوشش دادن پیغامی که فرستاده می شد تولید می کردمتن خام(Plaintext) .

در نقطه دریافت ،سیستم آشوبی ثانوی با سیگنال پوششی دریافتی همزمان می شد که به آن متن رمزی (Ciphertext) گفته می شود.سپس یک عملیات تفریق ساده پیغام رانمایان می کرد.ایده های دیگری در زمینه ی ارسال پیغام های رمز گذاری شده وجود دارد که بر پایه نظریه و تحقیق بنیادی کنترل آشوب و کنترل به وسیله هدف گذاری بنا شده است.به کارهای هایس ،شوایزر4 و کندی5 گلیگو روسکی6 را برای جزیئات بیشتر رجوع کنید.

اخیرا ،باپتیستا بر روی استفاده از سیستم های آشوبی برای کاربردهای رمز نگاری فعالیت کرده است.ابتدا،یک جذب کننده ی یک بعدی در فضای مساوی یکهS تفکیک می شود.که هر واحد مربوط به یکی از حروف الفبا فرض می شود.

سپس درساده ترین روش اجرا یک کاراکتر بر مبنای حالت ابتدایی مدار گردشی و تعداد تکرار -هایی که برای رسیدن به واحدی که به کاراتر خاص مربوط می شود لازم است ،رمز گذاری شود.

با توجه به خاصیت ارگودیسیتی (ergodicity) سیستم های اشوبی با پتسیتا توانست روشی را ابداع کند که در ان هر مدار گردشی می بایست هر یک از الفبای s) را بارها و بارها دیدار می کرد که این خود باعث می شد هر کا راکتر به تدریج رمز گذاری شود در این بخش ما از" چرخش اشوبی" برای پیاده سازی روش افزایش امنیتی که توسط باپتیستا و دیگر نویسند گان پیشنهاد شده است استفاده می کنیم افزایش امنیت توسط تغییرات دوره ای کلید های رمز نگاری در چرخش اشوبی منظور مدارهای گردشی سیستم هایی با زمان گسسته (یا خط سیر سیستم هایی با زمان پیوسته ) که در مورد مجموعه های گوناگون اشوبی تاخیر دارند، می باشد این پیاده سازی بر پایه سلولهای جفت در سیستم با زمان گسسته است اما در مورد سیستم ها با سلول زمانی پیوسته نیز قابل توسعه می باشد هر کاراکتر بر پایه ی تعداد تکرارهای لازم برای رسیدن به بخشی از جذب کننده ای مربوط به همان کاراکتر خاص رمز نگاری می شود ،اما در اینجا جذب کننده های اشوبی متفاوت به صورت دورهای تعغیر خواهند کرد.

به محض اینکه توسط یک مدار گردشی نزدیک دیده شوند هر جذب کننده می تواند به طور انفرادی برای پوشش بخش هایی از الفبا مورد استفاده قرار گیرد علا وه بر تغغیرات دوره ای کلیدها، یک خاصیت دیگر این روش افزایش طبیعی تعداد کلید ها و پیامد ان نیز افزایش امنیت پروسه ی رمز نگاری است در ادامه یک معرفی از پدیده های چرخش آشوبی و سپس توصیفی از کاربرد عملی آن در رمز نگاری را توضیح خواهیم داد.

یک الگوی عمومی از رفتارهای اشتراکی سیستم های متقارن در سلولهای جفت مشابه را رفتار چرخشی نامند.در شبکه های مدل سازی شده توسط سیستم های متقارن معادلات دیفرانسیل ، رفتار چرخشی در چرخش های غیر کلینیکی heteroclinic cycles ظاهر می شود.که در ان خط سیر های موجود (مدارهای گردشی)در اطراف نقاط ثابت متقارن مربوط یا مواد دوره ای دچار تاخیر می شوند.

با گذشت زمان ،یک خط سیر خاص (مدار گردش ) در نزدیک هر مورد، زمان فزاینده ی بیشتری را قبل از یک گردش سریع صبر می کند.دلیستز نشان داد که سلولهای مشابه متقارن سیستم ،به عنوان یک خاصیت از دینامیک جهانی شبکه ، می توانند رفتار غیر کلینیکی چرخشی تولید کنند که به طور مستقل از دینامیک درونی هر سلول منفرد ،پایدار بماند.

با استفاده از معادلات مدار چوآو7 معادلات لورنز8 ،دلیستزو9 همکارانش این جمع بندی را با شبیه سازی شبکه ای متشکل از سه سلول مشابه که در حالت حلقه ای به هم متصل شده تودند، روش ساخت : در این شبیه سازی ،خط سیرهای مورد می توانستند حول مجمو عه های آشوبی متقارن گردش کنند،که باعث تولید «چرخش آشوبی » می شود.در فعالیت بعدی، ابتدا ارقامی و سپس به طور تحلیلی نمایش داده می شود که چرخش آشوبی می تواند در سیستم های متقارن با سلول های جفت مشابه نیز که با نقشه های زمانی گسسته توضیح داده می شوند،رخ می دهد.در فعالیت های جدید تر ، وجود رفتار چرخشی در شبکه های بزرگتر (بیش از 3 سلول )از زمان بندی گسسته یا زمان بندی پیوسته سلول های سیستمی که از سلول های مشابه یا سلولهای تقریبا مشابه تشکیل شده است،ثابت شده است.

در عبارت "سلول های تقریبا مشابه" برای سلول هایی که دینامیک درونی آنها به وسیله ی مدل های مشابه به معادلاتی ولی مقدارهای پارامتر ی احتمالی متفاوت تعریف شده است،معنا پیدا می کند.رفتار چرخشی در سلول های تقریبا مشابه سیستم ،حائز پیچیدگی های بیشتری می باشد.با توجه به این مسئله که می تواند به گستره ی وسیعتری از موارد متصل می شود.که شامل نقاط ثابت ،دوره های گردشی و جذب کننده های آشوبی، همه در یک خط سیر می باشد.

این دقیقا نوع چرخش آشوبی است که توسط سلولهای تقریبا مشابه سیستم تولید می شود که از آن به عنوان پایه ای برای روش جدید رمز گذاری استفاده می کنیم .

اول یک سیستم با n سلول تقریبا مشابه در نظر می گیریم که در آن دینامیک درونی هر سلول توسط یک معادله ی دیفرانسیل k بعدی به شرح زیر تعریف می شود: که در آن xi=(xi1,…,xik)Rk متغییر حالت سلولi را مشخص می کند و i=(i1,…,ik) یک بردار از پارامترهاست.یک شبکه از سلول توسط جفت معادله های دیفرانسیل به شکل زیر شبیه سازی شده است.

که در آن h ،تابع جفت سازی بین سلول هایj است که با سلولهای جفت شده اند.ij , 1≤i≤N مشخص کننده ی قدرت جفت شدن است.

دقت کنید که f مستقل از i می باشد چرا که سلولهای مشابه فرض می شوند.به طور مشابه ، نیز به خاطر جفت بودن مشابه مستقل از i,j است.

در ادامه اگر x=(x1,…,xN) را تعیین کننده ی متغیر حالت شبکه فرض کنیم ،می توانیم معادله 2 را به حالت مشابه زیر بازنویسی کنیم.

Xn+1=F(xn, ) با توجه به دلینتز می توان تقارن های محلی را از تقارن های جهانی تشخیص داد.

LCO(k) یک گروه از تقارن های محلی یا داخلی از سلول ها می باشد،که برای همه ی lLداشته باشیم.

F(lxi)=LF(xi) دراین مورد تقارن های محلی توسط F تعیین می شوند،تقارن های جهانی توسط الگوی جفت شدن استنتااج میشوند.به صورت دقیق تر یک گروه از تقارن های جهانی شبکه است اگر برای همه ی داشته باشیم.

F(6x)=6F(x) با توجه به تابع جفت سازی h،امکان دارد تقارن های محلی l تقارن های معادله ی شبکه نیز باشند.

در معمول ،زمانی که عمل L روی هر سلول به طور منفرد یک تقارن از تابع جفت سازی می باشند،سپس h(xi,lxi)=h(xi,xi) h(lxi,xi)=h(xi,xi) برای همه یlL، این جفت سازی ،جفت سازی محصول پلکانی خوانده می شود.

به عنوان مثال ،ما یک شبکه از 3 سلول را در نظر می گیریم،با متغیرهای حالت x,y,z که در یک حلقه ی مستقیم به هم متصل شده اند.

دینامیک درونی هر سلول منفرد توسط یک نگاشت مکعبی متقارن به شکل زیر تعریف می شود.

در این معادله z2={1,-1} می باشد.نمودار شکافی در شکل 1، دینامیک دراز مدت دوره ی گردش را در دامنه ی o≤≤3 نمایش می دهد.گستره ی وسیعی از رفتار پیچیده را می توان در این نمودار مشاهده کرد که شامل دو برابر دوره هایی به شکل آبشیب و جذب کنند ه های آشوبی می باشد.در واقع شکاف های یاد آور آنهایی است که در نگاشت استدلالی یافتیم،به غیر از این که در این جا تقارن محلی z2 باعث ایجاد دو نقطه ثابت غیر جزئی شده است که باعث شکاف در از نقطه جزئی x=0 در λ=1شده است.

هر نقطه ثابت .با یک آبشیب (cascade) دو برابر دوره ،دنبال شده است که به یک جذب کننده ی آشوبی ختم می شود.

تقارن محل z2 دوباره باعث می شود آبشیب در مقدار پارامتر یکسان برای هر نقطه ی ثابت رخ دهد برای برای تشکیل معادلات شبکه متصل ،ما یک تابع جفت سازی (کوپلینگ) محصول پلکانی را به حالت زیر در نظر می گیریم .

که در آن0 مقدار قدرت جفت سازیλ و پارامترm برای ایجاد رفتار چرخشی ،حیاتی می باشند زیرا آنها با کنترل دینامیک جهانی از دینامیک درونی هر سلول منفرد دور نگه می دارند.

به صورت دقیق تر ،این نکته مهم است که 0 شبیه سازی عددی (5) با مقدار پارامتری برای i که در آن دینامیک درونی هر سلول باعث هدایت و به نتیجه رسیدن رفتار آشوبی می شود.در یک حالت خاص، به این صورت انتخاب شد،دیگر پارامترها به ترتیب m=1.4 ,γ=3,05 می باشند.شکل 2 نتیجه شبیه سازی را با مقادیر اولیه (x0,y0,z0)=(-0.01,0.03,0.02) نمایش می دهد.

با توجه به شکل 1 و طیف لیاپونوف10 (که برای اختصارنشان داده شده است) دینامیک دراز مدت هر سلول توسط سه جذب کننده آشوبی متفاوت فرا گرفته شده است،که هر کدام بخش هایی از فاصله ی[-2,2} را پوشش داده اند.

در هر زمان داده شده ، در هر صورت ، فقط یک سلول روی یکی از جذب کننده ها آشوبی فعال است.و بقیه ی سلول ها غیر فعال و ساکن هستند.

زمانی که هر مدار گردشی صرف هر یک از جذب کننده ها می کند،تقریبا ثابت است.در ادامه به شرح علت این تضاد آشکار با تعریف قبلی دوره های غیر کلینیکی می پردازیم.

حقیقت این مسئله که پارامترهای درونی λ1,λ2,λ3هر سه متمایز هستند،می تواند به عنوان یک نوع آشفتگی شکننده ی تقارن در تقارن جهانیZ3 و همین طور ارتباطات سازنده دوره های غیر کلینیکی در نظر گرفته شود.

توجه داشته باشید به این مسئله که ارتباطات نقطه سینک زینی به طور بنیادی پایدار هستند،بنابراین هر گونه آشفتگی می تواند کل ارتباط را نابود سازد و تدریجا باعث افزایش توانی در مدت زمانی که خط سیر در نزدیک جذب کننده می گذرد،می شود،اما رفتار چرخشی کل سیستم به صورت تناوبی ایستادگی می کند.

از این به بعد به کاربرد مورد نظر چرخش آشوبی در رمز نگاری می پردازیم .

در این جا از مکانیسمی برای رمز نگاری مشابه روش باپتیستا استفاده می کنیم که در آن هر کاراکتر به پایه ی تعداد تکرارهای لازم برای رسیدن به بخشی از جذب کنند ه ای که به آن کاراکتر خاص مربوط است،رمزگذاری می شود.

به هر صورت ما از یک مدار گردشی با دوره ی آشوبی و تغییر دوره ای پارامتر شکافیλ استفاده میکنیم.

سپس تدریجا جذب کننده آشوبی و قسمت الفبایی که همزمان نقش کلید کلید رمز نگاری را نیز بازی می کند به عنوان بخشی از جذب کننده ی i،که برای قسمتی منفرد از الفبا استفاده می شود،تعیین شده است.به طور مشابه ،از Siبرای تعیین تعداد واحدهای قسمتی یا واحد های الفبایی که با جذب کننده ی iدر ارتباطند استفاده می کنیم.

همین طور تعیین کننده اندازه ی هر واحد قسمت می باشد.

رابطه ی برد هر یک از جذب کننده های آشوبی را تعیین می کند که برای تشکیل هر الفبا کاربرد دارد.بحث بر روی فواید این روش تا به اتمام رسیدن ملاحظا ت این کار به تاخیر می افتد.

با تعیین متن خام یا پیغام رمز می شود.

با توجه به روش باپتیستا ،برای کاراکتر اول متن خام ، از یک حالت اولیه شروع می کنیم .سپس تکرار شروع می شود تا دینامیک هر کدام از سه سلول در با واحد الفبایی مربوط بهP1 پایین بیاید.در اینجا تکرار n1معادله(6) را تعیین می کند.

با توجه به اینکه در هر زمان تنها یک سلول فعال است و بقیه ساکن می باشند پس هیچ درگیری برای انتخاب سلول پیش نمی آید.متن رمزیp1 ،n1 می باشد.برای رمز گذاری کاراکتر بعدیp2 تعیین می شود و تکرار را ادامه می دهیم تا جایی که تا واحد الفبایی مربوط به p2 پایین بیاید.پس متن رمزیp2،n2 می باشد.

این پروسه تا جایی که آخرین کاراکترPm رمز گذاری شود ، ادامه پیدا می کند.متن رمزی از توالی تشکیل می شود.

به عنوان مثال ،با استفاده از واحد های الفبایی ،زمان گذار N0=250 جفت سازی سلول سیستم(6) با متن خام"hello san diego" (با احتساب فاصله ها)به صورت زیر رمز گذاری می شود.

Hello san diego = (204,69,41,160,…,154) زمان گذار Noتعداد تکرارهای اولیه ای است که قبل از آزمایش این که تکرارها به یک حد الفبایی خاص رسیده اند،انجام می شود.همانطور که می بینید ،حالت های متفاوت روش رمز گذاری پایه قابلیت پیاده سازی با روش چرخش آشوبی را دارد.

برای مثال یک عدد تصادفی k و یک مقدار حدیη وجود دارد و متن رمزیkη فقط در صورتی قابل قبول است که k>n این روش به عنوان یکی از توابع رمز گذاری قابل استفاده است.

این خاصیت تضمین می کند که متن رمزی هیچ گاه یکتا نخواهد بود حتی اگر متن خام یا یک قسمت آن تکراری باشد.تحت این برنامه و با مقدارη=0 متن خام قبلی را می توان به صورت های زیر رمز گذاری کرد (فقط دو نمونه برای اختصار آورده شده است): Hello san diego = (186,2135,…,349) Hello san diego = (745,984,…,209) اصول ارگودسیتی11 مشابه با کارهای باپتیستا ،که تضمین می کنند بازه هایε به تعداد زیادی دیده شده باشند ، در این روش اجرا ،همراه با چرخش آشوبی اعمال شدند.به خاطر داشته باشید استفاده از پارامتر درونی متمایزiλ در (6) به عنوان یک آشفتگی شکننده ی تقارن در تقارن جهانی Z3شبکه احتساب شد.اما این به جای گردش متن رمزی ،منجر به رفتار چرخشی متناوب خواهد شد.زمانی که یک گردش مداری به طور تقریبی می گیرد مشابه اندازه زمان هایی است که هر جذب کننده آشوبی مصرف میکند.

مقدار طبیعی یک ثابت جذب کننده چرخشی آشوبی به طور تقریبی مقدار مقیاسی از هر جذب کننده ی منفرد می باشد.در حالت خاص که دینامیک درونی هر سلول توسط نگاشت مکعبی (4)تعریف می شود مقدار طبیعی جذب کننده آشوبی با نمایش دهنده ی یک نمودارمسطح شبیه به نگاشت استدلالی می باشد.

در نتیجه هر یک از فواصلiε در این آزمایش به تعدد و تقریبا با فرکانس ثابت دیدار شد.(یعنی عملیات رمز گذاری روی آن انجام شد) در مجموع اینجا فعالیتی بر روی رمز گذاری توسط چرخش آشوبی انجام شد که در ان کاراکترهای منفرد بر پایه روش باپتیستا رمزگزاری می شدند.در این روش از تغییرات دوره ای کلید های پارامتر شاخه ای که جذب کننده ها را برای تشکیل قسمتی از الفبا کنترل می کند،استفاده می شود.

مهمترین نقطه قوت این روش ،افزایش امنیت رمزگذاری به وسیله تغییر دوره ای کلید ها – جذب کننده های آشوبی ،در حالت می باشد.

مزاحمی که می خواهد کد را با بازسازی دینامیک بشکند ،با مشکل جدید بازسازی بیش از یک جذب کننده مواجه می شود.اگر جذب کننده ها به صورت تقارنی نیز به یکدیگر مربوط نباشند ،کار بیش از پیش پیچیده خواهد بود.

از دید یک مزاحم بالقوه سیگنالی که توسط روش چرخش آشوبی تولید شده است مشابه سیگنالی است که از یک جذب کننده آشوبی تولید شده باشد.پس ،نداشتن این مطلب که چه تعداد جذب کننده آشوبی در سیستم رمز نگاری وجود دارد،یک سطح دیگر به امنیت کار اضافه می کند.

در این روش ،چرخش آشوبی می تواند برای پوشش وجود بیش از یک سیگنال آشوبی در یک مدار گردش استفاده شود.

با وجود اینکه نتایج به دست آمده در این تحقیق ، از کار روی شبکه ای با سه سلول بود،چرخش آشوبی در شبکه هایی بزرگتر نیز امکان پذیر است.برنامه های اتصال با تابع جفت سازی مشابه باید شامل جفت سازی بین تمامی سلول هایی که همسایه نیستندانجام گیرد.(شکل 3) در غیر این صورت ،ممکن است که همزمان بیش از یک سلول فعال شوند.

یک نقطه ی ضعف چرخش آشوبی این است که تغییر جذب کننده ی فعال به طور بالقوه زمان رمز گذاری هر جذب کننده را افزایش دهد.این تحقیق ،قصد تعیین کردن تاخیر را در فعالیت ندارد.

شکل (1).نمودار شکاف برای یک سلول با دینامیک داخلی شکل (2).چرخش آشوبی در شبکه ای با 3 سلول تقریبا مشابه گسسته .

دینامیک درونی هر سلول بانگاشت مکعبی تعریف میشود.

یک خط سیر منفرد حول سه جذب کننده متفاوت آشوبی چرخش میکند.

شکل (3).طر ح ارتباطات درونی که شامل چرخش آَشوبی میشود .

نزدیکترین همسایه ها با حالت حلقه ی مستقیم به هم متصل شده اند، در حالیکه بقیه سلولها با حالت پایان به پایان به هم وصل هستند.

تمام جفتها مشابه هستند.

1-Baptista 2-Pecora 3-Caroll 4-Schweizer 5-Kennedy 6-Gligoroski 7-chua's circuit 8-lorenz equation 9-Dellnitz 10-lyapunov spectra 11-ergogicity principle فصل سوم) رمزنگاری تصاویر با استفاده از توابع آشوب با توجه به کاربرد روزافزون کامپیوتر حفظ امنیت و تأیید صحت تصاویر نیز روز به روز اهمیت بیشتری می یابد .

تصاویر مخابره شده ممکن است کاربردهایی چون کاربرد تجاری ، نظامی و یا حتی کاربردهای پزشکی داشته باشند که در هر صورت حفظ امنیت آنها و جلوگیری از دسترسی های غیر مجاز به این تصاویر رمزنگاری آنها را قبل از ارسال روی شبکه ضروری می کند ولی به دلیل ویژگیهای تصاویر خصوصاً حجم زیاد داده های تصویری و ویدئویی استفاده از الگوریتمهای کلاسیک رمز نگاری متن DES ، RSA و ...

در این موارد ناکارآمد ، چون اولاً رمز کردن حجم زیاد داده های تصویری به این طریق بسیار وقتگیر خواهد بود و خصوصاً در کاربردهای بلادرنگ عملی نیست و دومین مشکلی که این الگوریتمها دارند طول کلید آنهاست که با توجه به حجم داده های رمزشده استفاده از کلیدهای با طول محدود باعث ضربه پذیری روش در برابر حملات متن رمزشده می گردد .برای غلبه بر این مشکلات افراد بسیاری به ارائه روشهای نوینی در رمزنگاری تصویر پرداخته اند .

در این بخش سعی بر این بوده که با استفاده از ویژگیهای توابع آشوب و امکان تولید کلیدهایی با طول بینهایت (بسیار بزرگ ) الگوریتمی ساده ، سریع و ایمن برای رمزنگاری داده های تصویری ایجاد شود .همچنین با توجه به فضای بزرگ کلید در توابع آشوب این روش در برابر حملاتی چون حمله Brute force نیز بسیار مقاوم است.

در انتها باید گفت که علاوه بر حملات عمدی این الگوریتم نسبت به تغییراتی بسیار کوچک در کلید بسیار حساس بوده حتی با در دست داشتن مقادیر تقریبی کلید امکان شکستن رمز برای حمله گران وجود ندارد.

در بخش دوم، به بیان ویژگیهای سیستمهای آشوب و سیستم آشوب لورنز اختصاص یافته است .

در بخش سوم روشهای رمزنگاری تصویر و ویژگی های خاص تصویر از نظر رمزنگاری را مورد بررسی قرار داده است .

در بخش چهارم روش رمزنگاری پیشنهادی بیان شده است.در بخش پنجم نتایج شبیه سازی ارائه شده و بخش ششم به جمع بندی کار اختصاص یافته است.

1-3- سیستمهای آشوب: آشوب پدید ه ای است که در سیستمهای غیر خطی تعریف پذیر رخ می دهد که حساسیت زیاد به شرایط اولیه و رفتار