دانلود تحقیق دیفرانسیل انتگرال

-آشنایی
حساب دیفرانسیل و انتگرال تاحدود زیادی عبارت است از مطالعه میزانهای تغییر کمیات.

لازم است که ببینیم وقتی شناسه x به عددی نزدیک می‌شود،‌ رفتار مقدار f(x) تابع f چگونه است.

این امر ما را به ایده حد می‌رساند.

مثال: تابع f را با فرمول
وقتی این فرمول معنی دارد، تعریف کنید.

لذا f به ازای هر x که مخرج x-3 صفر نباشد، یعنی ، تعریف شده است وقتی x به 3 نزدیک شود،‌مقدار f(x) چه خواهد شد؟

به 9 و در نتیجه نزدیک می‌شود.

به علاوه x-3 به 0 نزدیک می‌گردد.

چون صورت و مخرج هر دو به 0 نزدیک می‌شوند.

با این حال اگر صورت را تجزیه کنیم، می‌بینیم که چون با نزدیک 3 شدن x ، x+3 به 6 نزدیک می‌شود، تابع ما با نزدیک 3 شدن به x به 6 نزدیک خواهد شد.

شیوه ریاضی بیان این امر آن است که بنویسیم.

این عبارت خوانده می‌شود: حد وقتی x به 3 نزدیک شود 6 است.

توجه کنید که وقتی x به عددی غیر از 3 نزدیک شود مشکلی نداریم.

مثلا وقتی x به 4 نزدیک شود،‌ به 7 و 3-x به 1 نزدیک خواهد شد، لذا، 2-خواص حدها در مثال قبل بعضی از خواص واضح حد تلویحا فرض شده بود.

حال آنها را به طور صریح می‌نویسیم.

خاصیت یک .

این خاصیت مستقیما از مفهوم حد نتیجه می‌شود.

خاصیت دو،‌اگر c ثابت باشد، وقتی x نزدیک a شود، مقدار c مساوی c می‌ماند.

خاصیت سه .

اگر c ثابت بوده و f تابع باشد، چند مثال.

خاصیت چهار ، اگر f و g تابع باشند: در این صورت وجود ندارد.

وقتی x از چپ به 1 نزدیک شود (یعنی‌از طریق مقادر x1) ، f(x) به 2 نزدیک می‌گردد.

توجه کنید که وجود یا عدم وجود حد f(x) وقتی نه به مقدار f(a) بستگی دارد و نه حتی لازم است f در a تعریف شده باشد.

هرگاه ، آنگاه L عددی است،‌که با رفتن x به قدر کافی نزدیک به a ، می‌توان f(x) را به دلخواه به آن نزدیک کرد.

مقدار L (یا وجود L) با رفتار f در مجاورت a معین می‌شود نه با مقدارش در a (اگر چنین مقداری حتی موجود باشد) .

مسائل حل شده : 8-1-حدود زیر را (در صورت وجود ) بیابید.

الف) ب) پ) ت) حل.

(الف) هر دوی و 1/y وقتی 2 y دارای حدند، لذا، طبق خاصیت پنچ ب) در اینجا باید به طور غیر مستقیم عمل کرد.

تابع وقتی 0 x دارای حد است .

لذا، با فرض وجود این حد، خاصیت پنج ایجاب می‌کند که نیز موجود باشد.

ولی این امر ممکن نیست ، لذا، موجود نخواهد بود.

(پ) (ت) وقتی x از راست به 2 نزدیک می‌شود ( یعنی 2 x> ) ،‌[x] مساوی 2 می‌ماند ولی وقتی x از چپ به 2 نزدیک شود (یعنی 2 x 2-حد (این حد در حساب دیفرانسیل اهمیت خواهد داشت) را برای هر یک از توابع زیر بیابید: (الف) ب) پ) حل: (الف) f(x+h) = 3(x+h) – 1 = 3x + 3h – 1 f(x) = 3x-1 f(x+h) – f(x) = (3x + 3h –1) – (3x-1) = 3x + 3h – 1 – 3x – 1 – 3x + 1=3h لذا، ب) بنابراین ، (پ) لذا ، و 3-حد را بیابید.

حل.

وقتی x نزدیک 1 شود، صورت و مخرج به 0نزدیک می‌گردند.

ولی چون 1 ریشه است، 1 – x عاملی از می‌باشد از تقسیم بر 1 – x تجزیه زیر به دست می‌آید: لذا، 4-(الف) مفهوم حد را دقیقا تعریف کنید: و (ب) با استفاده از این تعریف، خاصیت پنج حدود را ثابت نمایید: ایجاد می‌کند که .

(الف) شهودا یعنی اگر x را به قدر کافی به a نزدیک بگیریم، f(x) را می‌توان به قدر مطلوب به L نزدیک کرد.

صورت دقیق ریاضی این امر چنین است: به ازاء هر عدد حقیقی ، عددی حقیقی مانند هست به طوری که به ازاء هر x در قلمرو f .

ایجاب کند که به یاد آورید که یعنی فاصله x تا a از کوچکتر است، و یعنی فاصله f(x) تا L از کمتر است.

فرض کنیم قلمرو f چنان باشد که شامل دست کم یک شناسه x در فاصله کمتر از از a، به ازای هر ی دلخواه، باشد.

همچنین توجه کنید که شرط را مستثنی می‌کند و این در جهت این امر است که مقدار f(a) (در صورت وجود) ربطی به نخواهد داشت.

این تعریف در شکل 8-2 به تصویر در آمده است.

به ازای هر نوار افقی نازک (به عرض ) که به طور متقارن بالا و پایین خط y=L گرفته شده است، یک نوار قائم نازک (به عرض ) حول خط x=a وجود دارد به طوری که به ازای مختص x هر نقطه در این نوار جز x=a ، نقطه نظیر (x,f(x)) در نوار افقی قرار خواهد داشت.

عدد تابع عدد داده شده است هرگاه را کوچکتر کنیم، آنگاه را نیز باید کوچکتر بگیریم.

تعریف دقیقی که هم اکنون برای حد ذکر شد تعریف اپسیلن – دلتا نام دارد.

و این نام به خاطر استفاده از حروف یونانی می‌باشد.

(ب) فرض کنیم ، پس و چون عددی حقیقی مانند وجود دارد به طوری که به ازای هر x در قلمرو f .

ایجاب می‌کند که (1) به همین نحو، چون عددی مانند هست به طوری که به ازای هر x در قلمرو 8.

ایجاب می‌کند که (2) فرض کنیم مینیمم باشد، همچنین: و x در قلمروهای f و g باشد.

بنابر نامساوی مثلثی (1.

10).

(3) به ازای x مورد نظر، روابط (1) و (2) نشان می‌دهند که هر یک از دو جمله سمت راست (3) از کمتر است، لذا، و در نتیجه ، 1-حدود یکطرفه اغلب توجه به حد تابع f(x) وقتی x از چپ یا راست یک عدد به آن نزدیک می‌شود سودمند است.

مثال.

تابع f(x) با نزدیک 1 شدن x از چپ به 1 نزدیک می‌شود، و وقتی x از راست به 1 نزدیک شود به 2 نزدیک خواهد شد.

این امور را به صورت زیر نشان می‌دهیم: 2-حدود نامتناهی: مجانبهای قائم هرگاه وقتی x به a نزدیک شود، f(x) بدون کران افزایش یابد، آنگاه موجود نیست، ولی می‌نویسیم یا نشان دهیم که f(x) بدون کران بزرگ می‌شود.

فرض کنیم به ازای هر نمودار f در شکل 1 آمده است.

وقتی x از هر طرف به 0 نزدیک شود، بدون کران افزایش می‌یابد.

لذا، نماد یعنی وقتی x به a نزدیک شود، f(x) بدون کران کوچک می‌شود، یعنی، اگر و فقط مثال.

بنا بر مثال قبل، گاهی که x از یک سو به a نزدیک می‌شود ( یا ) ، مقدار f(x) بدون کران بزرگ یا کوچک می‌گردد.

چند مثال، (الف) فرض کنیم به ازای هر پس می‌نویسیم.

تا نشان دهیم که وقتی x از راست به 0 نزدیک می‌شود، f(x) بدون کران بزرگ می‌شود.

به همین نحو، می‌نویسیم: مبین آن که وقتی x از چپ به 0 نزدیک می‌شود f(x) بدون کران کاهش می‌یابد، (ب) فرض کنیم پس داریم اگر وقتی x از راست و یا چپ به a نزدیک می‌شود، f(x) دارای حد نامتناهی باشد، وقتی x به a نزدیک شود، نمودار تابع به خط قائم x=a نزدیک می‌گردد.

در این حالت خط x=a یک مجانب قائم نمودار نام دارد.

خطوط x=a و x=b مجانبهای قائم‌اند (که فقط از یک طرف به آنها نزدیک شده‌ایم) .

اگر تابعی به صورتی خارج قسمتی چون F(x)/G(x) بیان شود، وجود مجانب قائمی چن x=a معمولا با G(a)=0 نموده می‌شود (مگر وقتی F(a)=0نیز برقرار باشد).

فرض کنیم به ازای پس x=3 یک مجانب قائم نمودار f است، زیرا در این حالت از راست به چپ به مجانب 3 = x نزدیک می‌شویم (توجه کنیم که با تقسیم داریم) لذا، نمودار f(x) از انتقال هذلولی y=1/x سه واحد به راست و یک واحد به بالا به دست می‌آید).

3-حدود در بی‌نهایت: مجانبهای افقی وقتی x بدون کران افزایش یا کاهش یابد، ممکن است مقدار f(x) به عدد حقیقی ثابتی نزدیک شود، بدون کران بزرگ ، بدون کران کوچک، یا هیچ یک از اینها صورت نگیرد.

حال برای نمایش این سه حالت نماد معرفی می‌کنیم.

اگر وقتی x بدون کران افزایش یابد f(x) به c نزدیک شود می‌نویسیم .

در چنین حالت وقتی x بدون کران افزایش یابد، نمودار f به خط افقی y=c نزدیک می‌شود.

خط y=c یک مجانب افقی نام دارد (به طور دقیق‌تر یک مجانب افقی به راست)، به همین ترتیب یعنی وقتی x بدون کران کاهش یابد، f(x) به d نزدیک خواهد شد، خط y=d مجانب افقی (به چپ) نمودار f نام دارد.

چند مثال.

(الف) برای تابع رسم شده در شکل 2، خط y=0 (محور x) یک مجانب افقی به راست است.

(ب) برای تابع (ر.ک.شکل 9-4) خط 1 = y یک مجانب افقی به راست و به چپ می‌باشد.

برای تابعی که با افزایش بدون کران x بی‌کران می‌شود، c در نماد فوق را با یا (هر کدام مناسب بود) عوض می‌نیم.

به همین نحو، اگر با کاهش بون کران x تابع بی‌کران شود، d را با عوض خواهیم کرد.

برای تابع رسم شده در شکل 2 داریم مثال.

تابع f را به صورت زیر در نظر می‌گیریم: به ازای هر به ازای هر عدد صحیح n ، وقتی x از n بیشتر شده و تا 1 + n‌ (نه خود این عدد) برود، f(x) از 0 بیشتر شده و تا 1 (نه خود این عدد) خواهد رفت.

لذا، نمودار رشته ای مرکب از پاره خطها همانند شکل 5 است.

لذا تعریف نشده است، زیرا f(x) نه به حدی ثابت نزدیک و نه بدون کران بزرگ یا کوچک می‌شود.

به همین ترتیب تعریف نشده است.

یافتن حدود توابع گویا در بی‌نهایت.

هر تابع گویا خارج قسمتی چون f(x)/g(x) از چند جمله‌ایهای f(x)‌و g(x) است.

مثلا: توابعی گویا می‌باشند.

قاعده برای یافتن یا صورت و مخرج را بر بالاترین توان x در مخرج تقسیم کرده، و سپس از این امر استفاده می‌کنیم که به ازای هر عدد حقیقی مثبت r ، (9-1) چند مثال.

(الف) لذا 0 = y یک مجانب افقی به راست نمودار این تابع گویا می‌باشد.

(ب) (پ) (ت) جبر