دانلود تحقیق مباحثی از احتمالات

تعریف احتمال
اگر بتوانیم احتمالی به هر یک ازپیشامد های ساده موجود در آزمایشی با یک فضای نمونه گسسته تخصیص دهیم آنگاه می گوییم که یک مدل احتمالی برای آزمایش ساخته ایم.

تخصیص این عدد (احتمال) که معیاری برای اندازه گیری میزان باور ما در رخ دادن یک پیش آمد ساده است، به نحوی انجام می گیرد که با مفهوم فراوانی نسبی احتمال سازگار باشد.

اگر چه فراوانی نسبی تعریف بسیار دقیقی از احتمال به دست نمی دهد، ولی هر تعریفی از احتمال که بخواهد واقعاً به کار گرفته شود باید با معیار ذهنی ما در مورد رفتار فراوانی نسبی پیشامد ها هماهنگ و سازگار باشد.

قبلاً‌دیدیم که فراوانی نسبی یکی از راههایی است که برای تخصیص احتمال به یک پیشامد به کار میرود و ما اینک آن را به عنوان یک اصل می پذیریم.

بدین صورت که اگر آزمایشی با فضای نمونه S داشته باشیم و برای هر پیشامد مانند A در فضای نمونه تابع مجموعه ای (A )n را به عنوان تعداد دفعاتی به کار گیریم که پیشامد A در k تکرار آزمایش رخ میدهد، آنگاه بر اساس مفهوم فراوانی نسبی، احتمال پیشامد A عبارت است از:

به عبارت دیگر درصد حدی دفعاتی که پیشامد A رخ میدهد برابر با احتمال پیشامد A است.

(اینکه چگونه مطمئن باشیم که نسبت برای هر دنباله بزرگ از آزمایش ها به سمت عدد ثابتی میل میکند یکی از نارسایی های تعریف احتمال با استفاده از مفهوم فراوانی نسبی است.

)
در تجزیه و تحلیل مفهوم فراوانی نسبی احتمال دیده میشود که سه شرط باید برقرار باشد:
1.

فراوانی نسبی رخ دادن یک پیشامد باید بزرگتر از یا مساوی با صفر باشد و فراوانی نسبی منفی معنایی ندارد.

2.

فراوانی نسبی کل فضای نمونه آزمایش باید مساوی یک باشد، زیرا هر یک از نتایج ممکن حاصل از آزمایش نقطه ای در فضای نمونه است، بنابراین هر بار که آزمایش انجام شود فضای نمونه رخ میدهد.

3.

اگر دو پیشامد ناسازگار باشند آنگاه فراوانی نسبی اجتماع آنها عبارت از مجموع فراوانی های نسبی هر یک از آنهاست.

مثال 15.

در مورد شرط سوم بالا، آزمایش پرتاب تاس را یک بار دیگر در نظر بگیرید.

اگر در تکرار این آزمایش در از تعداد کل پرتاب ها عدد یک و در دیگر از تعداد کل پرتاب ها عدد 2 به دست آید،‌آنگاه عدد 1 یا 2 در + از تعداد کل پرتاب ها حاصل شده است.

سه شرط بالا را به عنوان پایه های اساسی و یا اصول دیگر در تعریف احتمال می پذیریم.

به عبارت دیگر، اگر یک آزمایش آماری دارای فضای نمونه S باشد و پیشامد A در S تعریف شده باشد، آنگاه تابع مجموعه ای (A)P عددی حقیقی است که احتمال پیشامد A نام دارد.

تابع مجموعه ای P دارای خواص زیر است:

3.

برای هر تعداد محدود k از پیشامد های ناسازگار تعریف شده در S داریم:
برای فضاهای نمونه گسسته کافی است که به هر یک از پیشامد های موجود، احتمال را چنان تخصیص داد که غیر منفی باشد و جمع احتمالات نقاط موجود در فضای نمونه برابر با یک شود.

درباره چگونگی تخصیص احتمال در مورد فضاهای نمونه پیوسته و آمیخته در فصل های آینده بحث خواهد شد.

مثال 16.

اگر تاس سالمی پرتاب شود به نظر منطقی می آید که هر یک از پیشامد های ساده به دست آوردن اعداد 1 تا 6 در طولانی مدت، فراوانی نسبی یکسان داشته باشد.

بنابراین به هر یک از نقاط موجود در فضای نمونه آزمایش عدد را به عنوان احتمال آن پیشامد ساده تخصیص می دهیم.

بدین ترتیب علاوه بر اینکه از اصل فراوانی نسبی به عنوان وسیله ای برای تخصیص احتمال تخطی نشده است، اصول سه گانه دیگر احتمال را نیز رعایت کرده ایم.

مثال 17.

کارخانه ای 5 پایانه کامپیوتری همانند که 2 دستگاه از آنها خراب است را برای فروش در اختیار دارد.

فرض کنید سفارشی برای خرید 2 دستگاه از آنها به کارخانه رسیده است و کارخانه 2 دستگاه پایانه را به صورت تصادفی ا نتخاب میکند و آنها را برای خریدار می فرستد.

بر این اساس، الف)‌فضای نمونه این آزمایش را بنویسید.

ب) اگر پیشامد A انتخاب دو پایانه سالم باشد فهرست عناصر موجود در A را بنویسید.

ج) احتمال ها را به پیشامد های ساده چنان تخصیص دهید که از اطلاعات داده شده استفاده شود و اصول اولیه احتمال نیز رعایت شود.

د)‌احتمال پیشامد A را پیدا کند.

حل.

الف)‌فرض کنید D2, D1 پایانه های خراب و G3, G2, G1 پایانه های سالم را نشان دهند.

هر یک از نقاط فضای نمونه که مربوط به یک پیشامد ساده در این آزمایش میشود شامل انتخاب 2 پایانه از 5 پایانه موجود است.

این پیشامد های ساده را میتوان به صورت نوشت.

بنابراین در فضای نمونه آزمایش (S)، 10 نقطه به صورت S={E1,E2,…E10} وجود دارد.

ب)‌پیشامد A عبارت از A={E8,E9,E10} است.

ج) چون پایانه ها به صورت تصادفی انتخاب میشوند.

احتمال انتخاب برای هر زوج از آنها یکسان است.

بنابراین 10، ...، 2،1= I یک تخصیص منطقی احتمالات است.

د) چون است، داریم، 4.2.

توزیع های احتمال گسسته در بخش 2.2 دیدیم احتمال اینکه متغیر تصادفی گسسته X که برای فضای نمونه گسسته تعریف میشود، مقداری مانند x را به خود اختصاص دهد با نماد P(X=x) نشان داده میشود و این مجموع احتمالات نقاط فضای نمونه است که به کمک متغیر تصادفی X مقدار x به آنها تخصیص داده میشود.

توجه کنید که P(X=x) که با نماد fX(x) یا f(x) هم نشان داده میشود جز یک تابع نیست کهبه هر یک از مقادیر x احتمال تخصیص میدهد و چگونگی توزیع احتمال را به ازای مقادیر مختلف x بیان میکند، و به همین دلیل است که به تابع احتمال یا تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی x معروف است.

در مورد هر متغیر تصادفی گسسته مانند X، توزیع احتمال میتواند در قالب فرمول، جدول یا شکلی نشان داده شود که احتمال را به هر یک از مقادیر x تخصیص میدهد.

در این صورت به مقادیری از متغیر تصادفی X که صریحاً در برد آن قید نشده اند احتمالی برابر صفر تخصیص داده میشود.

دقت کنید که جمع احتمالات مربوط به مقادیر مختلف یک متغیر تصادفی، که برابر است با جمع احتمالات مربوط به تمام نقاط موجود در فضای نمونه آزمایش، باید برابر یک شود.

تعریف مجموعه زوج های مرتب (x,fx(x)) توزیع احتمال متغیر تصادفی گسسته X نام دارد، اگر برای هر یک از مقادیر ممکن x داشته باشیم.

1.

2.

3.

مثال 12 فرض کنید در نظر داریم کمیته ای 2 نفره از میان 3 مرد و 3 به Y زن به صورت تصادفه انتخاب می کنیم.

اگر تعداد تعداد مرد های انتخاب شده را نشان دهد، توزیع احتمال متغیر تصادفی Y را پیدا کنید.

تعداد کل راههایی که میتوان دو نفر را از میان 6 نفر انتخاب کرد برابر با 15= است.

بنابراین فضای نمونه که شامل 15 نقطه، {Ei; i=1,2,…,15} است که هر یک از آنها با احتمال یکسان میتوان برگزیده شود.

در نتیجه، 15، ....، 2،1= I مقادیر متغیر تصادفی Y که احتمالات غیر صفر دارنتد برابر است با 0، 1، 2 .

حال تعداد راههایی که میتوان در کمیته دو نفره هیچ مردی نداشت برابر با است.

بنابراین در پیشامد (Y=0) کلاً 3 نقطه از فضای نمونه وجود دارد و درنتیجه ، و به طریقی همانند، اغلب توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته در قالب یک جدول نمایش داده میشود.

مثلاً، در مثال 12 توزیع احتمال Y در قالب جدول عبارتست از: گاهی نیز از شکل برای نمایش یک توزیع احتمال استفاده میشود.

اگر بخواهیم توزیع احتمالY در مثال 12 را در قالب مثلاً، یک شکل نشان دهیم خواهیم داشت.

در شکل 1.2 که یک هیستوگرام احتمال نام دارد، اندازه پایه هر یک از مستطیل ها برابر یک واحد انتخاب شده است و در این صورت مساحت هر یک از مستطیل ها عبارتست از احتمال اینکه متغیر تصادفی مقداری را که در وسط پایه آن مستطیل نشان داده شده است، به خود تخصیص دهد.

بهترین، قوی ترین و مفید ترین راه برای نشان دادن یک توزیع احتمال، یک فرمول ریاضی میباشد.

در مثال 12، fY(y) میتواند با فرمول زیر بیان شود: تعبیر مکانیکی تابع توزیع احتمال گسسته عبارت است از جرم مقادیر مختلف متغیر تصادفی X که روی محور اعداد حقیقی به صورت fX(xi) (...، 2، 1=i) توزیع شده اند و به همین دلیل توابع توزیع احتمال گسسته به نام توابع جرمی احتمال نیز معروف اند و به اختصار با pmf نشان داده میشوند.

مثال 13 توزیع جرمی احتمال متغیر تصادفی X به صورت داده شده است، که در آن عددی مثبت است.

مطلوب است تعیین حل.

چون در نتیجه از طرفی بنابراین 6.2.

توزیع های احتمال پیوسته در بخش 4.2 توزیع های احتمال گسسته یعنی توزیع های احتمالی که در آنها مجموعه تمام مقادیر متغیر های تصادفی یا محدود یا نا محدود ولی شمارش پذیرند معرفی شدند.

تحت این شرایط احتمال اینکه متغیر تصادفی گسسته X مقداری مانند x را بگیرد با f(= P (X=x) نشان داده شد و عبارت بود از مجموع احتمالات نقاط فضای نمونه که از طریق متغیر تصادفی X، مقدار x به آنها تخصیص داده میشود.

اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته دقیقاً یکی از مقادیرش را بگیرد،‌درست مانند انتخاب یک نقطه9 از تعداد نا محدود نقاط فضای نمونه آزمایش است، و به همین دلیل احتمالی برای صفر دارد.

در نتیجه، تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته را نمیتوان در قالب یک جدول نشان داد.

مثلاً، اگر آزمایش اندازه گیری قد افراد بالای 18 سال را در نظر بگیریم و اگر فرض کنیم که اندازه گیری بتواند با هر درجه دلخواه از دقت انجام شود، بین هر دو مقدار اندازه گیری شده (مثلاً بین 163.5و 164.5 یا حتی بین 163.99 و 164.01 سانتیمتر) تعداد نا محدودی قد وجود دارد که یکی از آنها 164 سانتیمتر است.

در نتیجه، احتمال انتخاب تصادفی فردی با قدی دقیقاً برابر با 164 سانتیمتر با احتمال انتخاب یک نقطه از تعداد بی شماری نقطه مساوی و درواقع، صفر خواهد بود.

ولی اگر بخواهیم در مورد احتمال انتخاب فردی که قدی دست کم، برابر با 164 سانتیمتر داشته باشد نظر دهیم، احتمالی برابر صفر نخواهیم داشت.

دقت کنید که دراین حالت در مورد احتمال نظیر یک فاصله (بازه) از مقادیر متغیر تصادفی پیوسته و نه در مورد احتمال دقیقاً یک مقدار از متغیر تصادفی نظر می دهیم.

یعنی، به تخصیص احتمال به محدوده ای از مقادیر متغیر تصادفی پیوسته X مانند P(ac) علامندیم.

همین طور توجه داشته باشید که در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته، داریم به عبارت دیگر، این مهم نیست که نقاط پایانی مربوط به بازه های مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته را هنگام محاسبه احتمال در نظر بگیریم یا نگیریم، حال آنکه دیدیم این چنین توجیهی در مورد متغیرهای تصادفی گسسته درست نیست.

اگر چه توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را نمیتوان در قالب یک جدول نشان داد، ولی میتوان آن را در قالب یک فرمول بریاضی بیان کرد.

این فرمول لزوماً تابعی است از مقادیر عددی متغیر تصادفی پیوسته X که با نماد f(x) نشان داده میشود و تابع چگالی احتمال و یا به عبارت ساده تر چگالی احتمال متغیر تصادفی X نامیده میشود و اختصاراً با pdf نشان داده میشود.

حال چون متغیر تصادفی X روی یک فضای نمونه پیوسته تعریف شده است، ممکن است f(x) تعداد محدودی نقطه نا پیوستگی داشته باشد، ولی بیشتر چگالی های احتمال که کاربرد عملی دارند توابعی پیوسته اند که منحنی نمایش تغییرات آنها از تنوع بسیار برخوردار است.

اگر f(x) چگالی احتمال متغیر تصادفی X باشد،‌میتوان احتمال قرار داشتن X را در بازه ای بسیار کوچک و اختیاری به طول نزدیک به x مانند محاسبه کرد.

در این صورت میتوان برد X را به تعداد بسیار زیادی زبر بازه کوچک افراز کرد که احتمال قرار داشتن X در هر یک از آنها تقریباً مساوی با است.

در نتیجه، اگر بخواهیم احتمال اینکه X بین مقادیر معینی باشد را محاسبه کنیم، لازم است که مساحت های هر یک از مستطیل های کوچک که پایه ای برابر با طول زیر بازه ای کوچک و ارتفاعی برابر با که نقطه دلخواهی در آن زیر بازه است دارند را با هم جمع کرد، و چون f(x) بالای محور X ها واقع است (چرا؟) جمع مساحت ها عبارت است از سطح زیر منحنی f(x) روی بازه ای که برای X در نظر داریم.

این جمع یک جمع ریمانی برای افراز مورد بحث است و از مبحث ریاضیات مهندسی به یاد داریم که وقتی نرم افزار به سمت صفر میل می کند، میتوان حد آن را از طریق انتگرال f(x) به دست آورد.

بنابراین احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری بین b,a اختیار کند برابر با سطح زیر چگالی احتمال بین x=b , x=a و برابر است با شایان ذکر است که یک چگالی احتمال (مانند f(x)) چنان ساخته میشود که سطح زیر منحنی آن که محدود به محور x هاست، وقتی که روی برد متغیر تصادفی X محاسبه شود، برابر با یک باشد.

اگر این برد یک بازه محدود روی محور x ها باشد همیشه این امکان وجود دارد که بازه محدود را به مجموعه اعداغد حقیقی بسط داد.

در این حالت f(x) را در مکمل برد X نسبت به مجموعه اعداد حقیقی برابر صفر قرار خواهیم داد.

تعریف تابع f(x) چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته X (با برد اعداد حقیقی ) است اگر روابط زیر برقرار باشد 1.

مثال 16 فرض کنید خطای اندازه گیری دما در یک آزمایش شیمیایی، متغیری تصادفی و پیوسته مانند X با چگالی احتمال زیر است: ابتدا نشان دهید f(x) واقعاً یک چگالی احتمال است و آنگاه P (0 حل.

به طور وضوح شرط اول تعریف چگالی احتمال صادق است زیرا (x)f مربع کامل است.

شرط دوم نیز بدین دلیل برقرار است که در این صورت مثال 17 اگر f(y)=0 , f(y)=cy2, 01) را محاسبه کنید.

بر اساس شرط اول تعریف چگالی احتمال، c عددی است غیر منفی که مقدار آن با استفاده از شرط دوم عبارتست از بنابراین مثال 18 قرار است به وسیله یک ماشین مته سوراخی به قطر 5 و 12 میلی متر در یک ورقه فلزی ایجاد شود.

فرض کنید متغیر تصادفی پیوسته X قطر سوراخ را نشان دهد.

به دلیل دخالت عوامل تصادفی مهار نا پذیر، همه سوراخ هایی که ایجاد میشوند قطری بیشتر از 5 و 12 میلی متر دارند.

فرض کنید که با استفاده از اطلاعات سابق می دانیم که چگالی احتمال X عبارتست از: اگر ورقه های فلزی که سوراخی با قطر بیش از 60 و 12 میلی متر دارند به عنوان ضایعات محسوب شوند، درصد دور ریز چقدر است؟

مثال 19 مدت زمانی (به ساعت) که یک کامپیوتر قبل از خراب شدن کار میکند با متغیر تصادفی پیوسته X معرفی میشود که چگالی احتمال را دارد.

احتمال اینکه کامپیوتر بین 50 و 15 ساعت کار کند را به دست آورید.

احتمال اینکه کامپیوتر کمتر از 100 ساعت کار کند را نیز محاسبه کنید.

در نتیجه، احتمال اینکه کامپیوتر بین 50 الی 150 ساعت کار کند عبارتست از: و به طریقی همانند داریم، به عبارت دیگر، تقریباً در 3/63 درصد از مواقع کامپیوتر قبل از اینکه 100 ساعت کار کرده باشد، خراب میشود.

مثال 20 فرض کنید عمر مفید نوعی از رادیو با متغیر تصادفی X معرفی میشود که چگالی احتمال آن به شرح زیر است: X>100 f(x)=100x-2 اگر عمر مفید رادیو ها مستقل از هم فرض شود، چه احتمالی وجود د ارد که از 5 دستگاه رادیوی موجود ازنوع فوق 2 دستگاه در 150 ساعت اولیه کار کرد خراب شوند؟

پیشامد های Ei، (5، 4، 3،‌ 2، 1=i) را به صورت پیشامد های خراب شدن رادیوی I ام در 150 ساعت اولیه کارکرد در نظر بگیرید.

در این صورت، چون Ei ها مستقل از هم اند، در نتیجه هر ترکیبی از آنها و مکمل هایشان مستقل از هم خواهند بود و در این صورت احتمال اینکه 2 دستگاه از 5 رادیو در 150 ساعت اول کارکرد خراب شوند عبارتست از در نتیجه، احتمال اینکه یکی از ترکیب های ممکن C52 رادیو در 150 ساعت اول خراب شود عبارتست از و چون انتخاب به صورت تصادفی انجام میشود،‌احتمال اینکه 2 رادیوی انتخاب شده از میان 5 رادیوی موجود در 150 ساعت اول کارکرد خراب شوند عبارت از C52 است.