تعریف احتمال
اگر بتوانیم احتمالی به هر یک ازپیشامد های ساده موجود در آزمایشی با یک فضای نمونه گسسته تخصیص دهیم آنگاه می گوییم که یک مدل احتمالی برای آزمایش ساخته ایم. تخصیص این عدد (احتمال) که معیاری برای اندازه گیری میزان باور ما در رخ دادن یک پیش آمد ساده است، به نحوی انجام می گیرد که با مفهوم فراوانی نسبی احتمال سازگار باشد. اگر چه فراوانی نسبی تعریف بسیار دقیقی از احتمال به دست نمی دهد، ولی هر تعریفی از احتمال که بخواهد واقعاً به کار گرفته شود باید با معیار ذهنی ما در مورد رفتار فراوانی نسبی پیشامد ها هماهنگ و سازگار باشد.
قبلاً‌دیدیم که فراوانی نسبی یکی از راههایی است که برای تخصیص احتمال به یک پیشامد به کار میرود و ما اینک آن را به عنوان یک اصل می پذیریم. بدین صورت که اگر آزمایشی با فضای نمونه S داشته باشیم و برای هر پیشامد مانند A در فضای نمونه تابع مجموعه ای (A )n را به عنوان تعداد دفعاتی به کار گیریم که پیشامد A در k تکرار آزمایش رخ میدهد، آنگاه بر اساس مفهوم فراوانی نسبی، احتمال پیشامد A عبارت است از:
به عبارت دیگر درصد حدی دفعاتی که پیشامد A رخ میدهد برابر با احتمال پیشامد A است. (اینکه چگونه مطمئن باشیم که نسبت برای هر دنباله بزرگ از آزمایش ها به سمت عدد ثابتی میل میکند یکی از نارسایی های تعریف احتمال با استفاده از مفهوم فراوانی نسبی است. )
در تجزیه و تحلیل مفهوم فراوانی نسبی احتمال دیده میشود که سه شرط باید برقرار باشد:
1. فراوانی نسبی رخ دادن یک پیشامد باید بزرگتر از یا مساوی با صفر باشد و فراوانی نسبی منفی معنایی ندارد.
2. فراوانی نسبی کل فضای نمونه آزمایش باید مساوی یک باشد، زیرا هر یک از نتایج ممکن حاصل از آزمایش نقطه ای در فضای نمونه است، بنابراین هر بار که آزمایش انجام شود فضای نمونه رخ میدهد.
3. اگر دو پیشامد ناسازگار باشند آنگاه فراوانی نسبی اجتماع آنها عبارت از مجموع فراوانی های نسبی هر یک از آنهاست.
مثال 15. در مورد شرط سوم بالا، آزمایش پرتاب تاس را یک بار دیگر در نظر بگیرید. اگر در تکرار این آزمایش در از تعداد کل پرتاب ها عدد یک و در دیگر از تعداد کل پرتاب ها عدد 2 به دست آید،آنگاه عدد 1 یا 2 در + از تعداد کل پرتاب ها حاصل شده است.
سه شرط بالا را به عنوان پایه های اساسی و یا اصول دیگر در تعریف احتمال می پذیریم. به عبارت دیگر، اگر یک آزمایش آماری دارای فضای نمونه S باشد و پیشامد A در S تعریف شده باشد، آنگاه تابع مجموعه ای (A)P عددی حقیقی است که احتمال پیشامد A نام دارد.
تابع مجموعه ای P دارای خواص زیر است:
3. برای هر تعداد محدود k از پیشامد های ناسازگار تعریف شده در S داریم: