دانلود مقاله کتیبه سر در روی آکادمی افلاطون

بیشتر مردم نمی‎دانند که در حدود یک سده و نیم پیش انقلابی در زمینه هندسه روی داد که از لحاظ علمی به عمق انقلاب کوپرنیکی در نجوم، و از جنبه نتایج فسلفی به اهمیت نگره تکامل داروین بود.

کاکستر ، هندسه‎دان کانادایی می‎نویسد: «تأثیر کشف هندسه هذلولوی در تصوری که از حقیقت و واقعیت داریم آنچنان عمیق بوده است که بدشواری می‎توانیم تصور کنیم که امکان وجود هندسه‎ای غیر از هندسه اقلیدسی تا چه اندازه در سال 1820 تکان دهنده جلوه‎ کرده است.» اما همه ما امورزه نام هندسه فضا – زمان نگره نسبیت اینشتاین را شنیده‎ایم.

«در واقع، هندسته پیوستار فضا – زمان به حدی به هندسه تا اقلیدسی وابسته است که آگاهی از این هندسه‎ها شرط لازم برای درک کامل جهانشناسی نسبیت است.»
هندسه اقلیدسی، همان هندسه‎ای که شما در دبیرستان خوانده‎اید، هندسه‎ای است که بیشتر برای تجسم جهان مادی به کار می‎بریم.

این هندسه از کتابی به نام اصول به دست ما رسیده که توسط اقلیدس، ریاضیدان یونانی، در حدود 300 سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است.

تصوری که ما براساس این هندسه از جهان مادی پیدا کرده‎ایم تا حد زیادی به توسط آیزک نیوتن در اواخر سده هفدهم ترسیم شده است.

هندسه‎هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعه عمیقتر موضوع توازی در هندسه اقلیدسی پیدا شده‎اند.

دو نیمخط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زیر در نظر بگیرید:





در هندسه اقلیدسی فاصله (عمودی) بین دو نیمخط هنگامی که به سمت راست حرکت می‎کنیم همواره مساوی فاصله P تا Q باقی می‎ماند؛ ولی در اوایل سده نوزدهم دو هندسه دیگر پیشنهاد شد.

یکی هندسه هذلولوی (از کلمه یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصله میان نیمخطها افزایش می‎یابد، دیگری هندسه بیضوی (از کلمه یونانی الیپن «کوتاه شدن») که در آن این فاصله رفته رفته کم می‎‏شود و سرانجام نیمخطها همدیگر را می‎برند.

این هندسه‎های نااقلیدسی بعدها به توسط ک.ف.

گاوس و گ.ف.ب.

ریمان در قالب هندسه کلیتری بسط داده شدند (همین هندسه کلیتر است که در نگره نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است ).

در این کتاب ما به هندسه‎های هذلولوی و اقلیدسی خواهیم پرداخت.

هندسه هذلولوی تنها به تغییر یکی از اصول اقلیدس نیاز دارد، و می‎تواند به همان آسانی هندسه دبیرستانی فهیمده شود.

از سوی دیگر، هندسه بیضوی شامل مفهوم توپولوژیک تازه «سوناپذیری» است، زیرا همه نقاط صفحه بیضوی که بر روی یک خط نیستند در یک طرف آن خط قرار داردند.

از این هندسه نمی‎شود به همان سهولت هندسه اقلیدسی صبحت کرد، زیرا به بسط قبلی هندسه تصویری نیاز دارد.

بنابراین بحث در باره هندسه بیضوی را در یک ضمیمه کوتاهی انحام داده‎ام.

(اشتباه نشود!

منظو ما این نیست که ارزش هندسه بیضوی کمتر از ارزش هندسه ‌هذلولوی است.) فهم هندسه ریمانی مستلزم درک کامل محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، و لذا بیرون از ظرفیت این کتاب است (در ضمیمه «ب» مختصری راجع به آن بحض شده است).

فصل اول با تاریخچه مختصری در باب هندسه در دوران قدیم آغاز می‎شود، و به بیان اهمیت بسط روش بنداشتی توسط یونانیان ادامه می‎یابد.

همچنین پنج اصل موضوع اقلیدس معرفی و به تلاش لژاندر برای اثبات اصل موضوع پنجم ختم می‎شود.

برای پیدا کردن نقص برهان لژاندر (و برهانهای دیگر)، لازم است که مبانی هندسه دو باره دقیقاً مورد بررسی قرار گیرد.

ولی، پیش از آنکه بتوانیم اساساً هندسه‎ای بنا کنیم، باید به بعضی از اصول بنیادی منطق آگاهی داشته باشیم.

این اصول در فصل دوم به گونه‎ای غیر رسمی دوباره بررسی شده‎اند.

در این فصل عناصر مشکله یک برهان دقیق را از نظر می‎گذرانیم و بویژه به روش اثبات نامستقیم یا برهان خلف تکیه می‎کنیم.

فصل دوم به مفهوم بسیار مهم الگو برای یک دستگاه بنداشت ختم می‎شود، که با الگوهای متناهی از بنداشتهای وقوع نقاط و خطوط در هندسه نشان داده شده‎اند.

فصل سوم با بحثی از برخی نقایص در نحوه ارائه هندسه به توسط اقلیدس آغاز شده، و این نقایص با ارائه کامل بنداشتهای داوید هیلبرت (با اندکی تغییر) و نتایج اولیه آنها برطرف شده‎اند.

ممکن است هنگام اثبات نتایجی که خودبخود بدیهی به نظر می‎رسند بی‎حوصله شوید.

اما، هرگاه بخواهید با اطمینان در فضای نااقلیدسی کشتی برانید باید به این کار اساسی تن درهید.

مطالعه نتایج بنداشتهای هیلبرت، جز اصول نوازی، در فصل چهارم ادامه یافته است.

موضوع این مطالعه هندسه نتاری نامیده شده است.

بعضی از قضیه‎های اقلیدس (مثل قضیه زاویه خارجی) را که شما با آنها آشنایی دارید، با روشی غی از روشهایی که به توسط اقلیدس به کار رفته‎اند اثبات خواهیم کرد.

این تغییر به علت شکافهای منطقی موجود در استدلالاهای اقلیدس لازم بوده است؛ همچنین برخی قضایا را که اقلیدس نمی‎توانسته است بر آنها واقف باشد (مانند قضیه‌ساکری – لژاندر) ثابت خواهیم کرد.

به اتکای پایه‎های محکمی که در فصول مقدم بر فصل پنجم گذاشته شده‎اند، آمادگی خواهیم داشت که در فصل پنجم چند تلاش مهم را که برای اثبات اصل توازی صورت گرفته‎اند مورد تجزیه و تحلیل قرار دهیم (در تمرینات مجال خواهید داشت که نقایصی را در تلاشهای دیگر پیدا کنید).

بر اثر این مطالعات، شیوه تفکر اقلیدسی شما چنان تکان می‎خورد که در فصل ششم می‎توانیم «دنیا شگرف تازه»‎ای را کشف کنیم، دنیایی را که در آن مثلثها مجموع زوایای «نادرست» دارند، مستطیل وجود ندارد، خطوط موازی ممکن است واگرا و یا به طور مجانبی همگرا باشند.

در ضمن این کار داستان هیجان‎انگیز تاریخی اکتشاف تقریباً همزمان هندسه هذلولوی توسط گاوس، بویوئی و لوباچفسکی، در اوایل سده نوزدهم، را ورق خواهیم زد.

این هندسه با اینکه ناآشناست، به همان سازگاری هندسه اقلیدسی است.

این نکته را در فصل هفتم هنگام بررسی سه الگوی اقلیدسی که در تجسم هندسه هذلولوی نیز ما را یاری می‎کند اثبات خواهیم کرد.

الگوهای پوانکاره این برتری را دارند که در آنها زوایا به روش اقلیدسی اندازه گرفته می‎شوند؛ برتری الگوی بلترامی – کلاین در نمایش خطوط توس پاره‎خطهای اقلیدسی است.

همچنین در فصل هفتم از مطالبی از هندسه اقلیدسی بحث خواهیم کرد که در کتابهای دبیرستانی ذکری از آنها نشده است.

سرانجام،‌فصل هشتم به طریقی کلی برخی از استلزامهای فلسفی هندسه‎های نااقلیدسی را دربر می‎گیرد.

عرضه مطالب تعمداً به گونه‎ای جدلی صورت گرفته است و منظور از مقاله‎های انشایی برانگیختن خواننده و تشویق او به تفکر و مطالعه بیشتر است.

بسیار مهم است که شما همه تمرینات را حل کنید، زیرا که نتایج تازه در ضمن تمرینات بسط داده شده و سپس در فصول بعدی مورد استفاده قرار گرفته‎اند.

با حل همه تمرینات، ممکن است شما هم به جایی برسید که از هندسه به اندازه من لذت ببرید.

هندسه اقلیدس اصل توازی… در دوران کهن حل نهایی مسئله‎ای بود که بایستی ریاضیات یونان را زمانی دراز پیش از اقلیدس به خود مشغول داشته باشد.

هانس فروید نتهال منشأ هندسه واژه «ژئومتری» از دو واژه یونانی؛ ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازه‎گیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازه‎گیری زمین بوده است.

هرودت، مورخ یونانی (سده پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می‎دهد.

ولی تمدنهای کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیاد داشته‎اند.

هندسه پیشینیان در واقع گرد‎اوری از روشهای «قاعده سرانگشتی» بود که از راه آزمایش.

بررسی شباهتها، حدسها و شهودهای اتفافی، دست یافتن به آنها میسر شده بود.

خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند.

بابلیهای 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرش می‎گرفتند.

یعنی را مساوی 3 اختیار می‎کردند.

این همان مقداری است که ویتروویوس معمار رومی به آن داده بود و در نوشته‎های چینی همان مقدار پیدا شده است.

حتی یهودیان باستانی این مقدار را مقدس می‎شمردند و می‎پنداشتند که کتاب مقدس آن ار تثبیت کرده است (کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیه بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا برای تبدیل به 7/22 به نتیجه نرسیده بود.

مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند مقداری تقریبی را چنین می‎گرفته‎‏اند: حدسهای مصریان در پاره‎ای از موارد درست و در پاره‎ای دیگر نادرست بودند.

یکی از کارهای برجسته آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است.

از سوی دیگر، چنین می‎‏پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز می‎تواند صحیح باشد.

هندسه مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی‎هیچ موجبی یا توجیهی.

بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته‎تر بودند.

وانگهی، قضیه فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طولهای دو ضلع دیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می‎دانستند.

تحقیات اخیر اتونویگه باوئر تأثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلاً نادانسته بود مکشوف ساخته است.

ولی یونانیان.

و پیش از همه طالس ملطی، اصرار می‎ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا.

طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت.

وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسه منطقی را بنیاد نهاد.

(طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است).

استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.

نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورش و شاگردانش ادامه یافت.

معاصران فیثاغورش در او به دیده پیامبری دینی می‎نگریستند.

او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود.

او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه‎ای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود.

تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروههای مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعه موسیقی و ریاضی میسر می‎دانستند.

در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد.

در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت‎انگیز اعداد را تعلیم می‎داد.

کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی در باره نگره اعداد است، در مکتب او آموخته می‎شد.

زمانی که فیثاغورسیان طولهای کنگ، نظیر را کشف کردند به سختی یکی خوردند (فصل دوم صفحات 34-35).

در ‎آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند.

پروکلوس مورخ می‎نویسد: «هم می‎دانیم مردی که نخستین بار نگره اعداد کنگ را آشکار ساخت هنگام غرق یک کشتی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدندی و تصور ناپذیر است برای همیشه پوشیده بماند».

از آنجایی که فیثاغورسیان را عدد نمی‎شمردند، جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند و طولهای کنگ دیگر را به توسط پاره خط (مثلاً را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.

پی‎ریزی منظم هندسه مسطحه توسط مکتب فیثاغورش را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سروصورتی داد.

با اینکه این کتاب گم شده است، می‎توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، دربرداشته است.

فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگره تناسبهایی را که بر طولهای کنگ نیز جاری باشد بسط دهند.

این کار بعداً توسط ائودوکسوس، که نگر‎ه‎اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.

سده چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه افلاطون (که در حدود سال 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود.

افلاطون در کتاب جمهوری می‎نویسد: «مطالعه ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه می‎دهد و به کار می‎اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است».

افلاطون می‎آموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است.

زیرا که این جهان سایه جهان اولی است.

جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه‎های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، می‎بینیم.

خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعه ریاضیات بهتر میسر می‎‏شود.

روش سقراطی محاوره اصولا روش اثبات نامستقیم است، که با آن نشان داده می‎شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود.

افلاطون کراراً اثبات کنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات 23-35) آورده است.

نکته اینجاست که این کنگ بودن طول هرگز نمی‎توانسته از راه‎ اندازه‎گیریهای عینی، که همیشه متضمن یک حاشیه کوچک تجربی خطاست، کشف شود.

اقلیدس شاگر مکتب افلاطون بود.

در حدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسه‌ یونانی و نگره اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد.

با تنظیم این شکاهار، اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سده‎های جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فیثاغورسیان را در کتابهای اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتایج کارهای آرکیتاس را در کتاب هشتم؛ کارهای ائودوکسوس را در کتابهای پنجم، ششم، دوازدهم، و کارهای تئه تتوس را در کتابهای دهم و سیزدهم.

کتاب اقلیدس چنان به طور کامل جانشین کوششهای پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانه‎ای از آن کوششها به جا ماند.

جای تأسف است که بازماندگان اقلیدس قادر نبودند حق تألیف کتاب او را گرد‎آوری کنند؛ چون نامبرده مؤلفی است که اثرش بیش از هرکسی در تاریخ بشریت خوانده شده است.

روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود.

وانگهی، روش بنداشتی که اقلیدس به کاربرد الگویی است برای آنچه که ما امروز «ریاضیات محض» می‎نامیم.

«محض» به معنی «اندیشه محض» است: هیچ تجربه عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست – تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود.

اصول اقلیدس از این حیث هم «محض» است که متضمن هیچ کاربرد علمی نیست؛ البته، هندسه اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشاره‎ای به آنها نشده است.

در افسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدسی پرسید: «از آموختن این مطالب چه عاید من می‎شود؟» اقلیدس غلامش را خواند و گفت: «سکه‎ای به او بده، چون که می‎خواهد از آنچه که فرا می‎گیرد چیزی عایدش شود».

این گونه تلقی از کاربرد ریاضیات در میان بسیاری از ریاضیدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها ریاضیات را صرفاً برای خودش، و برای زیبایی و ظرفات ذاتیش فرا می‎گیرند.

چنانکه بعداً خواهیم دید، جای شگفتی است که ریاضیات محض اغلب کاربردهایی پیدا می‎کند که خالق آن هرگز خوابش را هم نمی‎دیده است – دورنمای «غیر عملی» ریاضیات محض، در نهایت، برای اجتماع مفید است.

گذشته از آن، آن بخشهایی از ریاضیات هم که «کاربسته» نبوده‎اند برای اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاری زیبا که با هنر و موسیقی قابل مقایسه‎اند و خواه از لحاظ سهم بزرگی که در بسط فهم و خود‎‏آگاهی انسان داشته‎اند.

روش بنداشتی ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راههای آزمایش و خطا، محاسبه حالات ویژه، حدس در نتیجه الهام، و یا از هر راه دیگری استفاده کنند.

روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است.

برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً تنها دلیلهای ناقص داده شده بوده است (خواهیم دید، که حتی اقلیدس هم در این زمینه مقصر بوده است).

ولی مهم نیست، زیرا که دلیل درست، عاقبت (اغلب بسیار دیر) فراهم می‎شود و جهان ریاضی خشنود می‎گردد.

بنابراین، دلیلها به ما اطمینان می‎دهند که نتیجه‎ها درست هستند.

در بسیاری از موارد این استدلالها نتایج کلیتری را عاید می‎کنند.

مثلا، مصریان و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی 3 و 4 و 5 باشند، آن مثلث قائم الزاویه است.

اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a و b وc از مثلثی چنان باشند که ، آنگاه مثلث قائم الزاویه است.

برای کسب اطمینان از درستی این نتیجه لازم است بینهایت بار به آزمایش بپردازیم (و بعلاوه، آزمایشها تنها اندازه تقریبی اشیاء را به ما می‎‏دهند).

بالاخره، استدلال بینشی شگرف از روابط بین اشیاء مختلفی که مطالعه می‎کنیم به ما می‎بخشد و ما را ملزم می‎سازد که اندیشه‎های خود را به گونه‎ای منسجم سازمان دهیم.

روش بنداشتی چیست؟

اگر بخواهم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم 1S را بپذیرید، باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر 2S، که شما قبلاً آن را پذیرفته‎اید، نتیجه می‎شود.

ولی اگر شما 2S را قبول نداشته باشید، من باید نشان دهم که 2S چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر 3S نتیجه می‎شود.

ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنم تا به حکمی برسم که شما آن را می‎‏پذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست.

حکم اخیر نقش یک بنداشت (یا اصل موضوع) را ایفا می‎کند.

اگر نتوانم به حکمی برسم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید، دچار «تسلسل» خواهم شد، یعنی باید دلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.

پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم: شرط 1.

پذیرفتن احکامی به نام «بنداشت» یا «اصل موضوع» که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.

شرط 2.

توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‎شود، یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‎نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها 465 گزاره نتیجه گرفت، که بسیاری از آنها پیچیده بودندو به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند.

یک دلیل بر زیبایی اصول اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است.

اصطلحات تعریف نشده (حدود اولیه) در اینکه برای پذیرفتن درستی استدلالی چه لازم است بحث کردیم.

اینک شرطی که آن را مسلم می‎شماریم: شرط O.

تفاهم متقابل در معنی واژه‎ها و نمادهایی که در سخن به کار برده می‎شوند.

تا وقتی که اصطلاحاتی را که به کار می‎بریم برای هردوی ما آشناست و از آنها به نحوی سازگار استفاده می‎کنیم در تفاهم متقابل مشکلی وجود ندارد.

اگر من اصطلاح ناآشنایی را به کار ببرم شما حق دارید تعریف آ نرا از من بخواهید.

تعاریف را به دلخواه نمی‎توان داد؛ تعاریف تابع قواعد استدلالیبی هستند که در شرط 2 به آنها اشاره کردیم (ولی آنها را مشخص نکردیم).

مثلاً اگر زاویه قائمه را زاویه ْ90 تعریف کنم و زاویه ْ90 را زاویه قائمه تعریف کنم، آنگاه از قاعده خلاف استدلال دوری عمل نمودن تخلف کرده‎ام.

و نیز، هر اصطلاحی را که به کار می‎بریم نمی‎توانیم تعریف کنیم.

برای اینکه اصطلاحی را تعریف کنیم باید اصطلاحهای دیگری را بکار بریم و برای تعریف این اصطلاحها، باید بازهم از اصطلاحهای دیگری استفاده نماییم، و به همین قیاس، اگر مجاز نباشیم برخی از اصطلاحات را تعریف نشده بپذیریم دچار دور یا تسلسل خواهیم شد.

اقلیدس نهایت سعی خود را کرد که همه اصطلاحات هندسی را تعریف کند.

او «خط مستقیم» را چنین تعریف می‎کند: «خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که بر خود آن هستند قرار داشته باشد».

این تعریف،‌ مفید فایده‎ای نیست زیرا که برا فهمیدن آن شما باید قبلاً تصوری از خط داشته باشید.

پس بهتر است «خط» را به عنوان اصطلاحی تعریف نشده بپذیریم.

همچنین اقلیدس «نقطه» را «چیزی که هیچ جزء ندارد» تعریف می‎کند – که باز جندان روشن نیست.

پس «نقطه را هم به عنوان اصطلاحی تعریف نشده می‎پذیریم.

اینک پنج اصطلاح تعریف نشده که مبنایی است برای تعریف همه اصطلاحات هندسی دیگر در هندسه مسطحه اقلیدسی: نقطه خط «قرارداد (دارند) بر» (مثلا در: دو نقطه فقط بر یک خط منحصر به فرد قرار دارند) «میان» (مثلاً در: نقطه C میان نقاط A و B قرار دارد) قابل انطباق برای هندسه فضایی ناگزریم اصطلاح هندسی تعریف نشده دیگری یعنی «صفحه» را بپذیریم و نسبت «قرار دارد بر» را تعمیم دهیم تا قرار گرفتن نقاط و خطوط را بر صفحه میسر سازیم.

در این کتاب (مگر اینکه خلاف آن ذکر شود) خود را به هندسه مسطحه یعنی به یک صفحه تنها محدود می‎کنیم و لذا صفحه را چنین تعریف می‎کنیم: مجموعه نقاط و خطوطی است که گفته می‎شود همه آنها «بر آن قرار دارند».

عبارتهایی هستند که اغلب با عبارت «قرار دارد بر روی…» مرادف هستند.

به جای اینکه بگوییم «نقطهP بر خطl قرار داد» گاهی می‎گوییم «خطl از نقطه Pمی‎گذرد» یا «Pبرl واقع است».

اگر نقطه Pهم بر خطl و هم بر خطm واقع باشد، می‎گوییم «l وm در نقطه Pمشترک‎اند» یا «l وm در نقطه Pمتقاطع‎اند» یا «l وm در نقطه Pمتلاقی‎اند».

دومین اصطلاح تعریف نشده یعنی «خط» را با «خط مستقیم» مرادف می‎گیریم.

صفت «مستقیم» که تصرفی در نام «خط» می‎کند گمراه کننده است.

همچنین ما از «خطوط منحنی» صحبت نمی‎کنیم.

با اینکه واژه «خط» تعریف نخواهد شد، بنداشتهای هندسه ما کاربرد آن را محدود خواهد ساخت.

مثلاً، یکی از بنداشتها می‎گوید از هر دو نقطه مفروض تنها یک خط می‎گذرد.

بدین ترتیب خطوط lوm در شکل 1.1 نمی‎توانند معرف دو خط در هندسه ما باشند، زیرا که هر دو بر نقاطP وQ می‎گذرند.

شما بایدl وm را «خم» بنامید نه «خط».

اصطلاحات ریاضی دیگری هم وجود دارند که ما ناگزیریم از آنها استفاده کنیم و چون تعریفی برای آنها قائل نمی‎شویم، باید آنها را به فهرست اصطلاحات تعریف نشده بیفزاییم.

پیشتر به آنها نپرداختیم.

به این دلیل که آنها ماهیت خاص هندسی ندارند، بلکه چیزهایی هستند که اقلیدس آنها را «بنداشت علوم متعارفه» می‎نامد.

مع‎هذا چون ممکن است در باره این اصطلاحات دچار ابهامی بشویم، گفتن نکته‎ای چند لازم است.

واژه «مجموعه» در همه ریاضیات امروزی بنیادی است و اکنون در دبستانها هم به کار برده می‎شود.

بنابراین تردیدی نیست که شما با کاربرد آن کاملاً‌ آشنایی دارید.

فکر کنید مجموعه «انبوهی است از اشیاء».

دو مفهوم وابسته به آن هستند: یکی «تعلق داشتن به» یک مجموعه یا «بودن عضو یا عنصر» یک مجموعه است.

مثل این قرارداد که می‎گوییم همه نقاط و همه خطها به صفحه «تعلق دارند».

اگر هر عضو یک مجموعه S عضوی از یک مجموعه T هم باشد، می‎گوییم S در T «گنجیده است» و یا ««جزیی است از » T یا «زیرمجموعه» T است.

مثلاً مجموعه تمام کودکان زیر مجموعه‎ای است از تمام مردم.

در زبان مجموعه‎ها دو مجموعه S و ‏T را زمانی مساوی یکدیگر گوییم که هر عضو S عضو T باشد و بعکس.

مثلاً S یعنی مجموعه همه مولفان اصول اقلیدس (به جرأت می‎توانیم بگوییم) مساوی با مجموعه‎ای است که تنها عضوش اقلیدس است.

پس در این مورد «تساوی» به معنی «همانی» است.

اقلیدس واژه «مساوی» را در معنی متفاوت دیگری هم به کار می‎برد.

مثلاً در این حکم: «در مثلث متساوی الساقین زاویه‎های مجاور به قاعده مساوی هستند».

منظور او این است که در یک مثلث متساوی‎الساقین تعداد درجه‎های زاویه‎های مجاور به قاعده یکی است، نه اینکه خود آن دو زاویه یکی هستند.

لذا در این گونه موارد برای جلوگیری از اشتباه، ما دیگر از واژه مساوی به معنی اقلیدسی استفاده نمی‎کنیم، بلکه به جای آن اصطلاح تعریف نشده قابل انطباق را به کار خواهیم برد.

می‎گوییم «در یک مثلث متساوی الساقین زاویه‎های مجاور به قاعده قابل انطباق‎اند.

همچنین نمی‎گوییم: «اگر AB مساوی AC باشد، آنگاه ABC متساوی الساقین است».

بنابر تعریفی که از واژه تساوی کرده‎ایم اگر AB مساوی AC باشد، ABC اساساً‌یک مثلث نخواهد بودبلکه تنها یک پاره خط است.

به جای آن می‎گوییم: «اگر AB قابل انطباق با AC باشد، ABC متساوی الساقین است».

این کاربرد از اصطلاح تعریف نشده قابل انطباق کلیتر از مفهومی است که شما به آن عادت کرده‎اید.

و این نه تنها برای مثلثها، بلکه برای زاویه‎های و پاره خطها هم به کار برده خواهد شد.

برای اینکه بفهمید این واژه را در کجا باید به کار ببرید چنین تجسم کنید که اشیاء قابل انطباق «شک و اندازه‎شان یکی است».

البته باید تصریح کنیم (همان کاری را که اقلیدس در «بنداشت علوم متعارفه» کرد) که «یک شیء با خودش قابل انطباق است» و «شیءهای قابل انطباق با یک شیء، خودشان با هم قابل انطباق‎اند».

احکامی از این قبیل را بعداً در میان بنداشتهای قابلیت انطباق (فصل سوم) خواهیم گنجانید.

فهرست، اصطلاحات هندسی تعریف نشده‎ای را که در بالا آوردیم متعلق به داوید هیلبرت است.

وی در کتابش به نام مبانی هندسه (1899) نه تنها تعاریف اقلیدس را روشن ساخت بلکه شکافهایی را هم که در برخی از براهین اقلیدس وجود داشت پرکرد.

هیلبرت دریافت که برهان اقلیدس از ملاک «دو ضلع و زاویه بین آنها» برای قابلیت انطباق مثلثها براساس فرضی بیان نشده (اصل برهمنش) بنا نهاده شده است و این ملاک را باید یک بنداشت به شمار آورد.

هیلبرت همچنین از کتاب موریتس باش، که در 1882 نخستین کتاب دقیق در هندسه را منتشر کرده بود، استفاده کرد.

پاش فرضهای بیان نشده اقلیمی در باب «میانبود» را صریح ساخت.

از جمله ریاضیدانانی که تلاش کرد‎ه‎اند تا بنیاد محکمی برای هندسه اقلیدسی بریزند باید از: ج.پئانو، م.پیری، ورونز، ا.ویلن، ربینسون، ا.و هنتینگتن و فوردر نام برد.

هر یک از این ریاضیدانان صورتی از اصطلاحات تعریف نشده را به کار می‎برد که با فهرست اصطلحات تعریف نشده هیلبرت تفاوت دارد.

مثلاً، پیری تنها به دو اصطلاح تعریف نشده اکتفا کرده است و در نتیجه، بنداشتهای او پیچیده‎تر شد‎ه‎اند.

چهار اصل اول اقلیدس اقلیدس هندسه خود را براساس پنج فرش بنیادی به نام بنداشت یا اصل موضوع بنا نهاد.

اصل اول اقلیدس.

به ازای هر نقطهP و هر نقطهQ که با Pمساوی نباشد خط یکتایی مانندl وجود دارد که برP وQ می‎گذرد.

این اصل اغلب به صورت غیر رسمی چنین بیان می‎شود: هر دو نقطه یک خط منحصر به فرد را مشخص می‎سازند.

ما یگانه خط مار بر نقاطP وQ را با نشان می‎دهیم.

برای بیان اصل دوم به تعریف زیر نیاز داریم: تعریف دو نقطه AوB داده شده‎اند.

پاره خط ABمجموعه‎ای است که اعضای آن نقاطA وB و همه نقاطی هستند که بر میانA وB قرار دارند.

دو نقطه مفروض AوB دو سر پاره خط AB نامیده می‎شوند.

اصل دوم اقلیدس.

به ازای هر پاره خط AB و هر پاره خط CD نقطه منحصر به فردی چون E وجود دارد چنانکه B میان A و E واقع است و پاره خط CD با پاره خط BE، قابل انطباق است.

این اصل اغلب به طور غیر رسمی چنین بیان می‎شود: «هر پاره خط AB را می‎توان به اندازه پاره خط BE، که با پاره خط داده شده CD قابل انطباق است، امتداد داد.» توجه کنید که در این اصل ما اصطلاح تعریف نشده «قابل انطباق» را به روش تازه مذکور در بالا به کار برده‎ایم و برای بیان این امر که CD قابل انطباق با BE است از علامت متداول استفاده می‎کنیم.

برای بیان اصل سوم باید تعریف دیگری را وارد کنیم: تعریف.

دو نقطه O و A داده شده‎اند.

مجموعه همه نقطه‎هایی مانند ‍P به طوری که پاره خط OP قابل انطباق با پاره خط OA باشد دایره به مرکز O نامیده می‎شود، و هر یک از پاره خطهای OP یک شعاع این دایره نام دارد.

از بنداشت قابلیت انطباق که پیش از این به آن اشاره کردیم (هر چیز با خودش قابل انطباق است) نتیجه می‎شود که .

پس A نیز نقطه‎ای است بر دایره‎ای که هم اکنون تعریف کردیم.

اصل سوم اقلیدس به ازای هر نقطه O و هر نقطه A که با O مساوی نباشد دایره‎ای به مرکز O و شعاع OA وجود دارد.

در حقیقت، چون ما زبان مجموعه‎ها را بیشتر از زبان اقلیدس به کار می‎‏بریم، واقعاً لزومی به فرض این اصل نیست.

این اصل نتیجه‎ای است از نگره مجموعه‎ها که می‎گوید: مجموعه نقطه‎هایی نظیر P وجود دارد چنانکه برای آنها .

اقلیدس در ذهن خود ترسیم دایره‌به مرکز O و شعاع OA می‎اندیشید.

و این اصل به ما می‎گوید که چنین ترسیمی،‌مثلاً با پرگار، مجاز است.

همچنین، در اصل دوم شما مجازید پاره خط AB را به کمک رسم پاره خط BE با یک خطکش نامدرج (ستاره)امتداد دهید.

این نحوه بیان ما موجب «پیرایش» اثر اقلیدس از هرگونه ارجاع به ترسیم می‎شود.

تعریف.

نیمخط عبارت از مجموعه نقاط واقع بر که به پاره خط AB تعلق داشته باشند و همه نقاطی نظیر C چنان باشند که B میان A و C قرار داشته باشد.

اصطلاحاً می‎گویند نیمخط از A خارج شده و جزئی است از .

نیمخطهای و را متقابل گوییم، هرگاه متمایز باشند و از یک نطقه A خارج شوند و جزئی از یک خط باشند.

یک زاویه به رأس A عبارت است از نقطه A و دو نیمخط و (به نام ضعلهای زاویه) که از نقطه A خارج شده‎اند و متقابل نیستند.

ازن زاویه را با یاBAC یا CAB نشان می‎دهیم.

هرگاه دو زاویه BAD و CAD در ضلع AD مشترک باشند و دو ضلع دیگر AB و AC آنها نیمخطهای متقابل باشند مکمل یکدیگرند یا زاویه‎های مکمل‎اند.

زاویه BAD را قائمه گویند هرگاه مکملش زاویه‎ای قابل انطباق با آن باشد.

بدین ترتیب ما توانستیم زاویه قائمه را بدون توسل به «درجه» با استفاده از مفهوم تعریف نشده قابلیت انطباق زاویه‎ها تعریف کنیم.

«درجه» به طور رسمی تا پیش از فصل چهارم تعریف نخواهد شد، ولی گاه و بیگاه تنها در بحثهای غیر رسمی به آن اشاره خواهیم کرد.

اکنون می‎توانیم اصل چهارم اقلیدس را بیان کنیم.

اصل چهارماقلیدس.

همه زوایای قائمه با یکدیگر قابل انطباق‎اند.

این اصل مبین نوعی همگنی است.

هر چند دو زاویه قائمه ممکن است از همدیگر «بسیار دور» باشند با وجود این «یک اندازه» دارند.

لذا این اصل معیاری طبیعی برای اندازه‎گیری زاویه‎ها در اختیار ما می‎گذارد.

اصل توازی چهار اصل اول اقلیدس همیشه براحتی مورد قبول ریاضیدانان بوده است.

ولی اصل پنجم (اصل توازی) تا سده نوزدهم سخت موجب جدل و چون و چرا بوده است.

در واقع، چنانکه بعداً خواهیم دید، توجه به صورتهای مختلف اصل توازی اقلیدسی است که موجب بسط و توسعه هندسه‎های نااقلیدسی شده است.

در اینجا بیان اصل پنجم را به صورت اصلی، بدان‎ گونه که در اصول آمده است، بیان نمی‎کنیم.

دلیلش این است که (اگر بخواهیم از دشواریهای نالازم اجتناب کنیم) باید اصطلاحات خود را بسیار دقیق تعریف کنیم.

برای وضوح بیشتر، قبلاً در نحوه عرضه کردن مطالب اقلیدس تغییراتی داده‎ایم، مثلاً پاره خط‎‏ها (با زاویه‎ها) را به جای اینکه «مساوی» بگوییم «قابل انطباق» گفته‎ایم.

تعریف همه اصطلاحات مورد نیاز برای اینکه بتوانیم صورت اصلی اصل پنجم اقلیدس را به نحوی قابل فهم بیان کنیم ما را از مرحله خیلی دور می‎کند، پس بیان آن را تا فصل چهارم به تعویق می‎اندازیم.

به جای آن، اصل ساده‎تری را (که بعداً نشان خواهیم داد با خود اصل پنجم اقلیدس منطقاً هم‎ارز است) عرضه خواهیم کرد.

این صورت تازه معمولاً اصل پلی فیر نامیده می‎شود، که در کتاب هندسه اقلیدسی که به توسط جان پلی فیر تهیه گردید و در 1795 چاپ شده عرضه گردیده است.

هرچند پروکلوس (410-485.م) خیلی پیش از او به آن اشاره کرده است.

ما آن را اصل تتوازی اقلیدسی خواهیم نامید، زیرا که این اصل هندسه اقلیدسی را از هندسه‎های دیگری که براساس نوعی اصل توازی بنا شده‎اند متمایز می‎سازد.

مهمترین تعریف در کتاب حاضر تعریف زیرین است: