مقدمه
در حالی که اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یک متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیمگیری توابع احتمالی متغیرها دارای یک فرم هستند.
در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج کلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصهها در هر حالت ویژه.
زیراکسل کننده خواهد بود که در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصهها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم.
خوشبختانه به اندازه کافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری که به دست آوردن یک فرمول که نشان دهنده ویژگی عمومی این آزمایشها باشد را ممکن میسازد.
در این فصل بعضی از توزیعهای احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیعه ای دو جملهای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی میکنیم این توزیعها از مهمترین توزیعهای گسسته در آمار هستند که کاربرد زیادی دارند.
توزیعهای احتمالی متغیرهای پیوسته با تأکید بر توزیع نرمال که کاملاً شناخته شده است و در آمار استفاده زیادی از آن میشود در فصل هفتم بحث خواهد شد.
آزمایش دو جملهای
بسیاری از آزمایشگاه هستند که دارای یک ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینکه نتایج آنها به یکی از دو پیشامد دستهبندی میشوند.
برای مثال، «آزمایش دسته بندی یک متقاضی شغل که مرد یا زن است» دارای دو نتیجه میباشد، آزمایش پرتاب یک سکه که نتیجه آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن میباشد.
تولد یک نوزاد که نتیجه آن پسر و یا دختر میباشد.
آزمایش انتخاب یک کالای تولیدی که نتیجه آن تنها به یکی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق میافتد.
در حقیقت این امکان همیشه وجود دارد که نتایج رخدادهایی که در زندگی روزمره اتفاق میافتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم.
امتحانهایی که تنها منتج به دو نتیجه میشوند، نقش بسیار مهمی در یکی از توزیعهای احتمالی گسسته که کاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جملهای» ایفا میکنند.
قبل از این که توزیع دو جملهای را معرفی کنیم، آزمایش دو جملهای را شرح میدهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یک رأی دهنده که جواب آن موافق کاندیدای مورد نظر است و یا نیست.
پرتاب موشک که نتیجه آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه میشود که صرف نظر از بعضی از تفاوتها همه آنها دارای یک مشخصه ویژه آزمایش دو جملهای میباشند.
تعریف:
یک آزمایش دو جملهای دارای فرضیات زیر است.
1-آزمایش دو جملهای مرکب از n امتحان یکسان ساده است.
2-هر امتحان منتج به یکی از دو نتیجه میشود.
یک نتیجه را موفقیت و با S نشان داده و نتیجه دیگر را عدم موفقیت و با F نشان میدهیم.
3-احتمال موفقیت در یک امتحان ساده مساوی P است، که از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت باقی میماند احتمال عدم موفقیت مساوی q=1-P است.
4-امتحانها از هم مستقل میباشند.
5-علاقمند به X، تعداد موفقیتهای هستیم که در nبار آزمایش ساده مشاهده میشود.
امتحانهای سادهای که در این شرایط صدق میکنند به آزمایشهای «برتولی» معروفند.
در عمل فرضهای بیان شده در یک آزمایش دو جملهای تنها در حالتهای محدودی وجود دارند، اما مادامی که هر آزمایش روی آزمایش دیگر اثر ناچیزی داشته باشد میتوان نظریه دو جملهای را بکار برد.
برای مثال، احتمال این که یک رایدهنده موافق کاندیدای معینی در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت میماند.
مادامی که جامعه رای دهندگان در مقایسه با نمونه نسبتاً بزرگ باشد.
اگر پنجاه درصد جامعه 1000 نفری از رای دهندگان کاندیدای A را ترجیح به دهند، آن گاه احتمال موافق بودن اولین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی خواهد بود.
احتمال موافق بودن دومین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی یا خواهد بود که بستگی دارد به اینکه آیا اولین مصاحبه شونده موافق بوده یا مخالف آن.
هر دو عدد نزدیک به هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی که n
برای مثال، احتمال این که یک رایدهنده موافق کاندیدای معینی در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت میماند.
هر دو عدد نزدیک به هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی که n خیلی بزرگ باشد.
اما اگر تعداد جامعه 10 و تعداد موافق کاندیداA، 5 نفر باشند، آن گاه احتمالی این که اولین رای دهنده موافق A باشد مساوی و دومین مساوی یا بستگی به این که اولی موافق یا مخالف بوده است خواهد بود.
بنابراین برای جوامع کوچک، احتمال موافق بودن از یک رأی دهنده به رأی دهنده دیگر (از یک امتحان به امتحان دیگر) به طور محسوس تغییر میکند و نتیجتاً آزمایش دو جملهای نخواهد بود.
توزیع احتمالی دو جملهای توزیع دو جملهای بوسیله مقادیر n و p که پارامترهای توزیع هستند توصیف میشود.
پارامتر هر توزیع عبارت است از یک مشخصه جامعه.
در توزیع دو جملهای پارامتر n عبارت است «تعداد امتحانها» و p عبارت از احتمال موفقیت در هر امتحان ساده میباشد.
برای هر n وp داده شده با توجه به فرضیات آزمایش دو جملهای میتوان احتمال هر تعداد موفقیت را حساب کرد و نیز میتوان دیگر مشخصههای توزیع مثل میانگین و واریانس را هم به دست آورد.
برای نشان دادن این که چگونه توزیع احتمالی دو جملهای حاصل میشود،فرایند تولید را در نظر بگیرید که یک وسیله همانندی تولید میکند که به دو صورت سالم و یا ناقص دستهبندی میشود.
وقتی که فرایند به طور درست کار نکند، احتمال ثابت 10/0=p وجود دارد که کالا ناقص تولید شود.
تعداد ناقصها هر مقداری از 0 تا تعداد آزمودنی (n) میتواند باشد.
برای مثال، ممکن است سئوال شود، «احتمال این که در یک نمونه تصادفی چهارتایی یک نتیجه ناقص باشد چقدر است؟
یا احتمال این که دو یا بیشتر در یک نمونه تصادفی چهارتایی ناقص وجود داشته باشد چقدر است؟
کلمه تصادفی معادل مستقل بودن در تعریف آزمون دو جملهای است.
برای محاسبه احتمالات در آزمایش دو جملهای میتوانیم از قوانین ضرب احتمال استفاده کنیم.
مانند (یک رویداد) p(تعداد رویدادهای مربوط)=(پیشامد)p در یک مسئله دو جملهای، علاقمند به محاسبه احتمال دقیقاً x موفقیت در n تکرار امتحان برنولی هستیم، که هر امتحان دارای احتمال موفقی p است.
به این معنی که ما x موفقیت و n-x عدم موفقیت داریم.
برای محاسبه چنین احتمالهایی، لازم است که احتمال یک رویداد از این وع را پیدا کنیم، آن گاه آن را در تعداد ممکن چنین رویدادهایی ضرب کنیم.
چون فرقی ندارد کدام رویداد را ابتدا بررسی کنیم، فرضی کنید به طور اختیاری این رویداد را بررسی کنیم که در آن x موفقیت ابتدا رخ دهد، ادامه پیدا کند یا n-x (عدم موفقیت).
فرض کنید موفقیت S= و عدم موفقیت F= باشد، بنابراین این رویداد ویژه به صورت زیر مرتب نمود.
SS…S FF…F n-x عدم موفقیت x موفقیت برای تعیین احتمال توأم چنین دنباله ویژهای از موفقیتها و عدم موفقیتها، توجه کنید که امتحانها فرض میشوند که از هم مستقل هستند.
چون احتمال یک موفقیت p(S)=p و p(F)=q است، بنابراین داریم.
P(SS…S FF…F)=p(S)p(S)…p(S)p(F)p(F)…p(F) =(p)(p)…(P)(q)(q)..(q) میتوان نشان داد که نشان دهنده احتمال هر دنبالهای است که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت وجود دارد.
بنابراین کافی است بدانیم چند رخ داد متفاوتی وجود دارد که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت داشته باشیم.
جواب عبارت است از تعداد ترکیبهای x از n میدانیم این تعداد عبارت از بنابراین حاصلضرب در احتمال x موفقیت در n امتحان را با احتمال ثابت موفقیت (p) به صورت زیر به دست میدهد.
(6-1) (x موفقیت در n امتحان)p این توزیع را توزیع دو جملهای گویند.
اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جملهای با پارامترهای n و p باشد معمولاً آن را به صورت زیر مینویسند.
مثال 6-1 اگر کسر ناقصی تولید یک کالا مساوی 1/0=p باشد، در یک نمونه تصادفی چهارتایی از این کالاها توزیع احتمالی تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.
حل: یک کالای انتخاب دو صورت خواهد داشت یا سالم است و یا ناقص.
احتمال این که یک کالای انتخاب ناقص باشد مساوی 1/0=p کالاهای انتخابی از همدیگر مستقل هستند بنابراین تعداد کالاهای خراب در نمونه دارای توزیع دو جملهای است.
بنابراین توزیع احتمالی تعداد کالاهای خراب طبق جدول 6-1 خواهد بود.
جدول 6-1: توزیع دو جمله با 4=n و 1/0=p که در آن احتمال این که دقیقاً (1=x) کالای خراب در نمونه چهارتایی (4=n) وقتی که 1/0=p باشد، داشته باشیم به صورت زیر حساب میشود با استفاده از جدول 6-1 به سادگی میتوان احتمال این که تعداد خرابها کمتر یا مساوی 2 باشد را حساب کرد.
مثال 6-2 به منظور عیب یابی در تولید یک نوع کالا که به مقدار زیاد توسط ماشین در کارخانه تولید میشود، با استفاده از طرح نمونهگیری، کالای تولیدی بازرسی میشود.
ده قلم کالا به طور تصادفی انتخاب و مورد آزمایش قرار میگیرند.
چنانچه دو یا بیشتر کالای ناقص مشاهده شود، کالای تولیدی رد میشود.
اگر کل کالای تولیدی دقیقاً 5 درصد ناقص داشته باشد، احتمال این که کالا پذیرفته شود چقدر است؟
احتمال این که کالا رد شود چقدر است؟
حل: با توجه به شرایط یک آزمایش دو جملهای، مشاهده میشود که تعداد کالاهای ناقص در نمونه، x دارای توزیع دو جملهای زیر است.
در صورتی کالا پذیرفته میشود که در نمونه یا خراب مشاهده نشود و یا یکی مشاهده شود بنابراین آن گاه، احتمال رد کالا عبارت خواهد بود از مثال 6-3 یک واکسن جدید جلوگیری از سرماخوردگی برای تعیین اثر جلوگیری آن در سرماخوردگی عمومی مورد آزمایش قرار گرفته است.
برای این کار به ده نفر واکسن تزریق کرده و بعد از مدت یکسال مشاهده شده که هشت نفر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کردهاند.
فرض کنید وقتی که واکسن استفاده نشود، احتمال اینکه یک نفر بدون سرماخوردگی زمستان را سپری کند مساوی 5/0 باشد.
احتمال اینکه هشت نفر یا بیشتر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کنند بشرطی که واکسن در افزایش مقاومت بدن در برابر سرماخوردگی موثر نباشد چقدر است؟
حل: فرض کنید در صورتی که واکسن مؤثر نباشد، احتمال اینکه یک نفر زمستان را بدون سرماخوردگی طی کند مساوی 5/0=p است.
توزیع احتمالی برای x، تعداد سرما نخورهها عبارت است از: مثالهای 6-1، 6-2 و 6-3 موارد استفاده توزیع دو جملهای و محاسبه احتمال x موفقیت در n امتحان را با توجه به تعریف آزمایش دو جملهای روشن میساند.
البته نکته مهم این است که برای هر عمل فیزیکی بایستی دقیقاً مشخصههای آزمایش دو جملهای بخش 6-2 برای تعیین اینکه آیا مدل آزمایش دو جملهای برای عمل مورد نظر معتبر است تطبیق داده شود.
توجه میکنید که مثالهای فوق مسائلی احتمالی بودند تا آماری.
احتمال موفقیت در یک امتحان ساده معلوم است و ما میخواهیم در n امتحان احتمال پیشامدهای عددی معینی را حساب کنیم.
حال روش را بر عکس در نظر میگیریم، به این معنی که فرض میکنیم یک نمونه از جامعه داریم و میخواهیم راجع به p استنباط بکنیم.
شکل فیزیکی مثالهای 6-2 و 6-3 در صورتی که هدف نهایی استنباط آماری باشد وضعیت عملی خوبی به دست میدهد از این دو مسئله در بخشهای آتی در استنباط آماری استفاده خواهیم کرد.
تمرین 6-1 اطلاعات قبلی نشان میدهد که 30درصد تمام بیمارانی که در یک کلینیک پذیرش میشوند نمیتوانند هزینه خود را پرداخت کنند.
فرض کنید 4=n بیمار جدید نشان دهنده یک نمونه جدید از جامعه بیمارانی باشند که توسط کلینیک تحت مداوا قرار میگیرند.
احتمال اینکه الف) هیچکدام از بیماران هزینه را پرداخت نکنند.
ب) یک نفر از بیماران هزینه را پرداخت نکند.
ج) تمام بیماران هزینه را پرداخت کنند.
احتمال اینکه تیراندازی در هر شلیک تیر به هدف بزند مساوی 8/0 است.
او چهار تیر به هدف شلیک میکند، پیدا کنید.
الف) دقیقاً دو تیر به هدف بزند.
ب)لااقل یک تیر به هدف بزند.
ج)چهار تیر به هدف اصابت نماید.
6-3 یک روش جدید جراحی 80درصد با موفقیت انجام میشود.
اگر عمل جراحی پنج مرتبه انجام شود و فرض کنیم که عملاً از یکدیگر مستقل باشند پیدا کنید.
الف) احتمال اینکه هر پنج عمل با موفقیت انجام شوند چقدر است؟
ب) احتمالی اینکه کمتر از دو عمل به موفقیت بیانجامد چقدر است؟
ج) فقط چهار عمل با موفقیت انجام شود چقدر است؟
6-4 به تمرین 6-3 مراجعه نمائید، اگر کمتر از دو عمل با موفقیت همراه بودند در باره تیم عمل جراحی چه نظری داشتید؟
6-5 به تمرین 6-3 مراجعه کنید، اگر x تعداد موفقیتها در عملهای جراحی باشد، توزیع احتمالی آن را رسم نمائید.
6-4-میانگین و واریانس توزیع دو جملهای میدانیم که توزیع دو جملهای بوسیله پارامترهای n و P مشخص میشوند.
از طرفی هر توزیعی دارای مشخصههایی است مثل میانگین و واریانس.
بنابراین ممکن است در توزیع دو جملهای، میانگین و واریانس را نیز بر حسب n وp بدست آورد.
میتوان با استفاده از قضایای مربوط به جمع و با استفاده از مهارت در جابجایی جبری، میانگین و واریانس متغیر تصادفی x که دارای توزیع دو جملهای با پارامتر pو n است را مستقیماً حساب نمود در اینجا سعی میکنیم این ویژگیهای توزیع را با استفاده از مثالهای ساده حساب کرده و آن گاه در حالت کلی تعمیم دهیم.
برای n=1، توزیع احتمالی x عبارت از با توجه به تعریف امید ریاضی، داریم و برای 2=n، توزیع احتمالی عبارت است از برای 3=n با توجه به توزیع احتمالی x داریم میتوان حدس زد که نتیجه در حالت کلی نیز برقرار است.
در واقع میتوان با استفاده از قضایای ریاضی نشان داد که امید رضای x در توزیع دو جملهای با n امتحان با پارامتر p، برابر است با به همین طریق میتوان واریانس x را برای 2و1=n امتحان به دست آورد.
برای 1=n برای 2=n با جایگذاری q=1-p، خواهیم داشت به سادگی میتوان نشان داد که برای 3=n، واریانس مساوی pq3 است.
در حالت کلی برای n امتحان و با پارامتر p، میتوان استنباط نمود که واریانس و انحراف معیار برابر است با و مثال 6-4 در یک فرایند تولید که کالای همانندی تولید میشود، 10% کالاهای تولیدی ناقص هستند در انتخاب 20 نمونه تصادفی کالا از این فرایند، میانگین و واریانس و انحراف معیار تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.
حل: فرض میکنیم مقدار کالاهای ناقص در نمونه باشد =x واضح است که بنابراین، تمرین 6-6 به تمرین 6-1 مراجعه نمائید، میدانیم که 30 درصد بیماران پذیرش شده قادر به پرداخت هزینه بیمارستان نیستند.
اگر در طول زمان یکسال 2000 نفر در بیمارستان معالجه گردند حساب کنید.
الف) میانگین افرادی که قادر به پرداخت صورتحساب بیمارستان نیستند چیست؟
ب) واریانس و انحراف معیار این تعداد را حساب کنید.
6-7 یک آزمون دارای 15 سوال است که هر سوال دارای چهار جواب احتمالی بوده که فقط یکی از آنها درست است.
شخصی به طور شانسی علامت میزند، مطلوبست محاسبه الف) میانگین تعداد جوابهای درست ب) احتمال اینکه به 8 تا 10 سوال جواب درست به دهد چقدر است؟
6-8اگر متغیر تصادفی x دارای توزیع دو جملهای با میانگین 5/2 و واریانس 25/1 باشد را محاسبه کنید.
6-9 فرض کنید کاندیدای سیاسی دارای دقیقاً 50درصد آرای عمومی باشد.
الف) اگر 10000رأی را به عنوان نمونه تصادفی از جامعه رای دهندگان در نظر بگیریم، امید ریاضی x، تعداد رأی دهندگان به کاندیدای مورد نظر چقدر است؟
ب) انحراف معیار x را پیدا کنید.
ج) فرض کنید 4700=x باشد، آیا این مقدار x با احتمال مورد نظر قابل قبول است؟
نتیجه مشاهده را چگونه میتوان شرح داد؟
محاسبه احتمال در توزیع دو جملهای با استفاده از جدول محاسبه احتمالهای دو جملهای وقتی nبزرگ باشد کار خسته کنندهای است.
جداول بسیاری برای توزیع دو جملهای تهیه شده و نشان بر اهمیت کاربردی این توزیع دارد.
یکی از این جدولها در ضمیمه «جدول 1» آمده است.
در این جدول مجموع احتمالهای دو جملهی از 0=x تا a=x برای اندازههای مختلف nو p آمده است.
برای نشان دادن چگونگی استفاده از جدول فرض کنید در توزیع دو جملهای با 10=n و4/0=p بخواهیم جمع احتمالهای از 0=x تا 5=x را حساب کنیم.
میدانیم این احتمال برابر است با که در آن 834/0 مشاهده میشود بنابراین داریم، و نتیجتاً مثال 6-5 فرش کنید (4/0و20)xB باشد، احتمالهای زیر را با استفاده از جدول حساب کنید.
الف) ب) حل: الف) ب) با استفاده از بسته نرم افزار MINITAB میتوان هم احتمال تجمعی و اهم احتمال انفرادی را به دست آورد.
احتمالهای دو جملهای انفرادی مربوط به مقدار x برای هر ترکیب n و p را میتوان با دستور PDF و ادامره با (;) (سمیکلن) و آن گاه با زیر دستور BINOMIAL N P یافت.
واضح است که N اندازه نمونه و p احتمال موفقیت در هر آزمایش است.
احتمالهای تجمعی دو جملهای را میتوان با استفاده از دستور CDF، ادامه با (;) و آن گاه زیر دستور BINOMIAL N P مشاهده نمود.
خروجی MINITAB برای هر دو دستور PDFو CDF وقتی 10=n و 5/0=p باشد در جدول 6-2 داده شده است.
دستور PDF، احتمال انفرادی p(x=k) و دستور CDF احتمالهای p(xk) را به دست میدهند.
جدول 6-2 احتمالهای دو جملهای خروجی MINITAB برای 10=n و 5/0=p خروجی MINITAB ممکن است تمام احتمالهای مقادیر برای ترکیبات مختلف را به دست ندهد.
زیرا دارای کنترل خارجی است در صورتی که باشد و یا معادل آن با در نظر گرفتن دقت لازم، محاسبه متوقف میشود.
مثال 6-6 میانگین و انحراف معیار متغیر تصادفی که دارای توزیع احتمالی دو جملهای با 10=n و 0/5=p را حساب کنید.
احتمال اینکه x در فاصله بیفتد چقدر است؟
حل: میانگین و انحراف معیار برابر است با بنابراین فاصله برابر است با یا فاصله از 8/1 تا 2/8 شامل 2و3و… 8 است.
بنابراین نتیجه حاص تقریباً با قانون تجربی مطابقت دارد.
کاربردهای توزیع دو جملهای کنترل کیفیت یکی از مشخصات کلی تولید انبوه این است که تمامی اقلامی که از خط تولید بیرون میآیند با استانداردهای تعیین شده مطابقت نمیکنند.
این اقلام را اقلام «ناقص» مینامند.
در واحد کنترل کیفیت سعی میشود عواملی را که باعث تولید کالای ناقص میشوند را شناسایی نمایند.
حتی با بازرسی مداوم و کامل نیز ممکن است کالای ناقص تولید شود.
بنابراین کالای تولیدی یا ناقص (موفقیت) و یا سالم میباشد و اقلام متوالی که از خط تولید به دست میآیند، مانند آزمایشهای دو جملهای عمل میکنند.
در صورتی که احتمال تولید کالای معیوب خیلی کم باشد، گفته میشود که فرایند تولید «در حالت کنترل آماری» است.
دانستن اینکه آیا فرآیند تولید در کنترل آماری است مهم است و با بازرسی منظم و کامل میتوان بامر اینکه آیا روند تولید در کنترل آماری است واقف شد.
اما بازرسی کامل مشکلاتی دارد که همیشه انجام آن مقدور نیست.
به عنوان مثال هزینه و وقت زیادی باید صرف نمود که از نظر اقتصادی مقرون به صرفه نیست و مشکل دیگر اینکه اصولاً برخی از آزمایشها ماهیت تخریبی دارند.
مثلاً آزمایش کردن یک لامپ فلاش عکاسی برای تعیین مقدار نور تولیدی، باعث سوختن لامپ شده و اگر همه لامپها به این روش آزمایش شوند، تولید کننده لامپی برای فروش نخواهد داشت.
نوع دیگر بازرسی که نسبت به بازرسی کامل ارزان و نیز وقت گیر نمیباشد، عبارت است از بکارگیری یک.
«طرح نمونهگیری» که در آن یک نمونه تصادفی به اندازه n از تولید انبوه انتخاب و هرکدام از کالاها را بازرسی نموده و تعداد x ناقص ثبت میگردد.
اگر x کمتر یا مساوی یک عدد قبولی معین a باشد، تولید انبوه پذیرفته میشود.
اگر x از a بیشتر باشد، کل تولید رد میشود.
فرض کنید که یک تولید کننده طرح نمونهگیری با 10=n و 1=a را بکار میبرد.
اگر تولید انبوه 5درصد ناقصی داشته باشد، احتمال پذیرش کالا چقدر است؟
رد چقدر؟
فرض کنید اقلام متوالی انتخاب شده مستقل باشند.
حل: فرض کنید x تعداد ناقصهای مشاهده شده باشد.
با توجه به شرایط آزمایش دو جملهای، واضح است که x دارای توزیع دو جملهای با 10=n و 05/0=pاست.
و ملاحظه میشود که این طرح نمونهگیری روشی است کاملاً کاربردی و استنباطی در مورد کل جامعه اقلام تولیدی (تولید انبوه).
اگر تولید انبوه رد شود چنین استنباط میشود که کسر ناقص p، بیش از اندازه بزرگ است.
اگر تولید انبوه کالا پذیرفته شود چنین استنباط میشود که، p کوچک است و فرایند تولید قابل قبول است.
توجه نمائید که از نظر کاربردی عملی، p احتمال ناقص بودن کالا در تولید انبوه معمولاً معلوم نیست.
میتوان این کسر ناقصی را در حالتی که فرایند تولید به مدت طولانی در حالت کنترل آماری است به دست آورد.
البته برای مقادیر مختلف کسر ناقصی p، میتوان احتمال پذیرش را به صورت یک نمودار به نام منحنی پذیرش کالا و یا منحنی مشخصه عمل کننده طرح نمونهگیری نشان داد.
یک نمونه از منحنی ویژه پذیرش در شکل (6-1) نشان داده شده است.
یک طرح رضایت بخش نمونهگیری پذیرش انبوه کالا آن است که احتمال پذیرش توده کالا با درصد خرابی کم زیاد بوده و احتمال پذیرش تولید انبوه با درصد خرابی زیاد کم باشد.
احتمال پذیرش همیشه با افزایش درصد خرابی کاهش مییابد، نتیجهای که با شهود ما مطابقت دارد.
مثال 6-7 احتمال پذیرش انبوه کالا را برای طرح نمونهگیری با اندازه نمونه 5=n و عدد قبولی 0=a و درصد خرابیهای 1/0=p، 3/0=p و 5/0=p حساب کنید.
منحنی ویژه پذیرش طرح نمونهگیری را رسم نمائید.
حل: تولید انبوه پذیرفته میشود اگر 5=n کالا نمونه گرفته شود و 0=a کالا ناقص مشاهده شود.
منحنی پذیرش را میتوان با استفاده از سه نقطه به دست آمده در محاسبات بالا رسم نمود.
به علاوه میدانیم که احتمال پذیرش وقتی که 0=p است مساوی 1 و مساوی صفر است اگر 1=p میباشد.
منحنی طرح پذیرش کالا در شکل (6-1) رسم شده است.
پذیرش نمونهای که به طریق معقولی عمل میکند، یک مثال از استنباط آماری است زیرا روش دلالت بر تصمیم مربوط به کسر ناقصی p در تولید انبوه دارد.
اگر تولید انبوه را پذیرفتید، این دلالت بر این دارد که کسر ناقصی p نسبتاً مقدار پذیرفتنی گوچکی است.
اگر رد بکنید، واضح است که فکر میکنید p خیلی بزرگ است.
نتیجتاً، روش پذیرش تولید انبوه به روش نمونهای عبارت است از یک روش تصمیمگیری مربوط به کسر ناقصی در کل تولید.
شکل 6-1: منحنی طرح پذیرش کالا 5=n و 0=a اندازه آزمایش: از تجربیات گذشته معلوم شده است که به طور متوسط تقریباً 20درصد جوانانی که در آزمایش معینی مورد استفاده قرار میگیرند بیش از پایان آزمایش میمیرند.
اگر بخواهیم با احتمال حداقل 98/0 با حداقل 5 حیوان آزمایش را کامل کنیم با چند حیوان باید شروع کنیم؟
حل: اگر B تعداد حیوانات زنده باقیمانده را مشابه تعداد موفقیتها در n تکرار آزمایش دو جملهای با احتمال 8/0=p بدانیم، میخواهیم کوچکترین nی را طوری بیابیم که 98/0=(5B)p باشد.
ابتدا با 7=n آزمایش را شروع میکنیم.
احتمال اینکه 5 یا بیشتر موفقیت در 7=n آزمایش دو جملهای با 8/0=p داشته باشیم چقدر است؟
خواهیم داشت: بنابراین هفت حیوان کافی نیست.
محاسبات مشابهی نشان میدهند که احمتال زنده ماندن 5 یا بیش از 5 حیوان بازای 8=n برابر است با 9437/0 است و همین احتمال اگر 9=n حیوان مورد آزمایش قرار گیرند برابر است با 98/0 در نتیجه 9 حیوان کوچکترین حیوانی است که نتیجه مطلوب را تأمین میکند.
تمرین 6-10 در یک طرح نمونهگیری با اندازه نمونه 10=n و عدد قبولی 1=a بین خریدار و فروشنده توافق میشود.
احتمال اینکه خریدار مقدار زیادی کالا را با درصد خرابیهای زیر بخرد چقدر است؟
الف) 1/0=p ب)3/0=p ج)5/0=p د)0=p ه)1=p 6-11 منحنی ویژه پذیرش را برای طرح نمونهگیری تمرین 6-10 رسم نمائید.
6-12 فرض کنید که یک خط تولیدی مدتی در حالت کنترل است و در این مدت مشاهده شده که متوسط فراوانی معیوبها 5درصد است.
چنانچه هر روز 10 قلم کالا از تولید روزانه مورد بررسی قرار گیرد و فرض شود که تولید در حالت کنترل است، احتمال اینکه در نمونه روزانه 3 یا بیشتر کالای معیوب مشاهده شود چقدر است؟
6-13 از تجربیات گذشته معلوم شده که به طور متوسط 20 درصد دانشجویان یک رشته تحصیلی موفق به پایان بردندوره نمیشوند.
اگر بخواهیم با احتمال حداقل 95/0 با حداقل 10 دانشجو دوره را به پایان برسانیم، چند دانشجو در هر دوره بایستی گزینش نمائیم.
6-6آزمون فرض بحث در باره نظریه آزمونهای فرض در این جا ممکن است کمی زود باشد.
اما به لحاظ اینکه معرفی این مطلب موارد استفاده توزیع دو جملهای را در تصمیمگیریهای آماری بیان میکند و بهعلاوه این بحث مقدماتی از آزمونهای فرض که گاهی اوقات فهم آن مشکل است، باعث میگردد که در یک دوره زمانی فکر دانشجو بتدریج درگیری آن بشود، لذا بهتر است معرفی گردد.
موضوع : توزیع های احتمالی گسسته استاد محترم : جناب آقای محمود زمانیان ارائه دهنده : مهرداد اسماعیل زاده زمستان 84 جمع43210Xتعداد کالاهای خراب10001/00036/00486/02916/06561/0P(x) 10XPQP(x) 210X2pPq22qP(x)