دانلود تحقیق مجموعه

مجموعه، مفهومی چنان بدیهی و بنیادی می نماید که نمی توان آن را با مفهومی ساده تر از آن تعریف کرد. این که بگوییم:
به هر دسته از شیرها یا به هر گروه از چند شیء مجموعه می گویند.
تعریفی از مجموعه نکرده ایم. "دسته"، "گروه"، و "چند" خود واژه های دیگری برای مجموعه هستند و از این رو برای فهم مفهومی که این واژه های بیان می کنند، باید از پیش مفهوم مجموعه را دانسته باشیم. این گونه مفهومها را که از تعریف می‌گریزند تعریف ما پذیر [5] می نامند. مجموعه یکی از تعریف نا پذیری های نظریه مجموعه هلست.
مجموعه ای از چند شیء را با قراردادن نام آن چند شیء در داخل ابرو نشان می دهیم. برای مثال:
{حسن، سیب، ایران،2}
مجموعه ای ست با چهار عضو: [6] حسن، سیب، ایران و 2. مجموعه های که شماره عضوهای آنها بینهایت یا نامعلوم باشد همیشه نمی توان آنها را به روش بالا نشان داد. عضوهای چنین مجموعه های اغلب در صفتی یا صفتهایی همانند نده. برای مثال :
{000000، 8، 6، 4، 2}
مجموعه عددهایی‌ست که همه زوج هستند. از این رو، این مجموعه را با مفهوم "عدد زوج" می نمایانیم و مجموعه عددهای زوج را بنا به قرارداد با یک منحنی بسته بیشتر دایره نمایش می دهیم:

هر نقطه ای از این دایره نماینده عددی است زوج و هر عدد زوج عضوی است از این مجموعه.
در بنیاد، هر واژه ای که مفهومی را برساند- مفهوم- واژه [7]- مجموعه ای را می نمایاند که عضوهای آن در آن مفهوم همانندند. برای مثال هر کدام از مفهوم- واژه های
انسان، حیوان، زن دار، تهران ، ایران و ...
نماینده مجموعه ای هستند. این مجموعه را مصداقهای یا دایره مصادیق آن مفهوم هم می نامند.
کار ما از این پس بررسی مفهومها و بستگیهای آنها با یکدیگر است. اما پیش از این کار، تذکر چند نکته بی فایده نخواهد بود.
1) هر مفهوم واژه معنایی] دارد و مصداقی] (یا مصداقهایی) برای مثال می دانیم که سه نیمساز هر مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند، هم چنانکه سه میانه هر مثلث و نقطه اول در هر مثلث همان نقطه دوم است. بنابر این عبارتهای

نقطه برخورد سه نیمساز هر مثلث
نقطه برخورد سه میانه هر مثلث
از نقطه های یکسانی سخن می گویند. این نقطه های مجموعه معینی از نقطه های همه مثلثهاست. در واقع مفهومی که با عبارت اول بیان می شود، همان مصداقها را دارد که مفهومی که با عبارت دوم. یعنی این دو مفهوم هم مصداق هستند. اما هر فارسی زبانی می پذیرد که معنای اول یا عبارت دوم یکی نیست. اینجا با دو مفهوم سر و کار داریم که هم مصداق هستند اما هم معنا نیستند. اگر مفهوم چیزی جز مصداق نبود این تفاوت هم وجود نداشت. از این رو معنای مفهوم را از مصداق مفهوم جدا می کنیم.
در نظریه مجموعه های با مصداقهای مفهومها کار داریم نه معنا های آنها.

2) این که گفتیم هر مفهوم مجموعه ای را می نمایاند حرف دقیقی نیست. مجموعه های هستند که هیچ مفهوم_ واژه ای برای آنها در زبان نیست و مفهومهایی هستند که هیچ مجموعه ای را نمایش نمی دهند. بحث در این موردها از سطح این نوشته فراتر می رود.

3) بعضی مفهومها مانند "انسان" ، "طلا" و "آب" مصداقهای روشنی دارند. اما بعضی دیگر- در واقع بیشتر مفهومها - مانند "بلند" ، "بازی" ، "باهوش" برخلاف آنچه اغلب گمان می کنند مصداقهای روشن و دقیقی ندارند، یعنی دایره مصداقهای آنها مرز قاطعی ندارد. این امر بویژه در نظامهای بازیابی اطلاعات که در آنها مدرکها را با رشته ای از مفهومها می‌شناسند و بازیابی می‌کنند پی آمدهای ناخواسته‌ای دارد. نظریه مجموعه های که مرزهای دقیقی ندارند بخصوص برای رفع این دشواری طرح شده است. در این رشته فرض ما این است که دایره مصداقهای هر مفهوم مرز قاطعی دارد.
از این پس بیشتر از مجموعه‌ها (مصداقها) سخن خواهیم گفت تا مفهوم‌ها. خواننده می‌تواند هر مجموعه را دایره مصداقهای مفهومی تصور کند.

متمم مجموعه:

هر مفهوم شیها را به دو گروه می کند. گروهی که در دایره مصداقهای آن هستند و گروهی که بیرون از این دایره قرار می گیرند. برای مثال مفهوم "انسان" شیکها را به دو گروه انسان و غیر انسان دسته‌بندی می‌کند. گروه اول را مجموعه وابسته به مفهوم و گروه دوم را متمم این مجموعه می نامیم. بنابراین متمم هر مجموعه مجموعه ای است که در آن تنها آن شیکهایی باشند که در مجموعه اول نیستند.
با این تعریف متمم هر مجموعه، مجموعه ای با بینهایت عضو خواهد شد برای مثال متمم مجموعه کارمندان نه تنها شامل انسانهای غیر کارمند بلکه شامل تمام شیکهای جهان از ستارگان گرفته تا اتمها خواهد بود. در صورتی که وقتی از کارمندان سخن می گوییم می خواهیم تنها انسانهای کارمند را از غیر کارمند جدا کنیم. از این رو، در این مثال بهتر است نخست مجموعه چیزهایی که میخواهیم درباره
آنها سخن بگوییم برگزیدیم، آنگاه متمم مجموعه های کوچکتر در درون این مجموعه را نسبت به آن پیدا کنیم. مجموعه ای که نسبت به آن مجموعه های متمم را پیدا می کنیم مجموعه کلی [12] می‌نامیم و به U نشان می دهیم. مجموعه کلی را بیشتر با مستطیل و مجموعه های دیگر را با دایره های در آن نشان می دهند.