دانلود تحقیق مجموعه

مجموعه، مفهومی چنان بدیهی و بنیادی می نماید که نمی توان آن را با مفهومی ساده تر از آن تعریف کرد.

این که بگوییم:
به هر دسته از شیرها یا به هر گروه از چند شیء مجموعه می گویند.

تعریفی از مجموعه نکرده ایم.

"دسته"، "گروه"، و "چند" خود واژه های دیگری برای مجموعه هستند و از این رو برای فهم مفهومی که این واژه های بیان می کنند، باید از پیش مفهوم مجموعه را دانسته باشیم.

این گونه مفهومها را که از تعریف می‌گریزند تعریف ما پذیر [5] می نامند.

مجموعه یکی از تعریف نا پذیری های نظریه مجموعه هلست.

مجموعه ای از چند شیء را با قراردادن نام آن چند شیء در داخل ابرو نشان می دهیم.

برای مثال:
{حسن، سیب، ایران،2}
مجموعه ای ست با چهار عضو: [6] حسن، سیب، ایران و 2.

مجموعه های که شماره عضوهای آنها بینهایت یا نامعلوم باشد همیشه نمی توان آنها را به روش بالا نشان داد.

عضوهای چنین مجموعه های اغلب در صفتی یا صفتهایی همانند نده.

برای مثال :
{000000، 8، 6، 4، 2}
مجموعه عددهایی‌ست که همه زوج هستند.

از این رو، این مجموعه را با مفهوم "عدد زوج" می نمایانیم و مجموعه عددهای زوج را بنا به قرارداد با یک منحنی بسته بیشتر دایره نمایش می دهیم:

هر نقطه ای از این دایره نماینده عددی است زوج و هر عدد زوج عضوی است از این مجموعه.

در بنیاد، هر واژه ای که مفهومی را برساند- مفهوم- واژه [7]- مجموعه ای را می نمایاند که عضوهای آن در آن مفهوم همانندند.

برای مثال هر کدام از مفهوم- واژه های
انسان، حیوان، زن دار، تهران ، ایران و ...

نماینده مجموعه ای هستند.

این مجموعه را مصداقهای یا دایره مصادیق آن مفهوم هم می نامند.

کار ما از این پس بررسی مفهومها و بستگیهای آنها با یکدیگر است.

اما پیش از این کار، تذکر چند نکته بی فایده نخواهد بود.

1) هر مفهوم واژه معنایی] دارد و مصداقی] (یا مصداقهایی) برای مثال می دانیم که سه نیمساز هر مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند، هم چنانکه سه میانه هر مثلث و نقطه اول در هر مثلث همان نقطه دوم است.

بنابر این عبارتهای

نقطه برخورد سه نیمساز هر مثلث
نقطه برخورد سه میانه هر مثلث
از نقطه های یکسانی سخن می گویند.

این نقطه های مجموعه معینی از نقطه های همه مثلثهاست.

در واقع مفهومی که با عبارت اول بیان می شود، همان مصداقها را دارد که مفهومی که با عبارت دوم.

یعنی این دو مفهوم هم مصداق هستند.

اما هر فارسی زبانی می پذیرد که معنای اول یا عبارت دوم یکی نیست.

اینجا با دو مفهوم سر و کار داریم که هم مصداق هستند اما هم معنا نیستند.

اگر مفهوم چیزی جز مصداق نبود این تفاوت هم وجود نداشت.

از این رو معنای مفهوم را از مصداق مفهوم جدا می کنیم.

در نظریه مجموعه های با مصداقهای مفهومها کار داریم نه معنا های آنها.

2) این که گفتیم هر مفهوم مجموعه ای را می نمایاند حرف دقیقی نیست.

مجموعه های هستند که هیچ مفهوم_ واژه ای برای آنها در زبان نیست و مفهومهایی هستند که هیچ مجموعه ای را نمایش نمی دهند.

بحث در این موردها از سطح این نوشته فراتر می رود.

3) بعضی مفهومها مانند "انسان" ، "طلا" و "آب" مصداقهای روشنی دارند.

اما بعضی دیگر- در واقع بیشتر مفهومها - مانند "بلند" ، "بازی" ، "باهوش" برخلاف آنچه اغلب گمان می کنند مصداقهای روشن و دقیقی ندارند، یعنی دایره مصداقهای آنها مرز قاطعی ندارد.

این امر بویژه در نظامهای بازیابی اطلاعات که در آنها مدرکها را با رشته ای از مفهومها می‌شناسند و بازیابی می‌کنند پی آمدهای ناخواسته‌ای دارد.

نظریه مجموعه های که مرزهای دقیقی ندارند بخصوص برای رفع این دشواری طرح شده است.

در این رشته فرض ما این است که دایره مصداقهای هر مفهوم مرز قاطعی دارد.

از این پس بیشتر از مجموعه‌ها (مصداقها) سخن خواهیم گفت تا مفهوم‌ها.

خواننده می‌تواند هر مجموعه را دایره مصداقهای مفهومی تصور کند.

متمم مجموعه:

هر مفهوم شیها را به دو گروه می کند.

گروهی که در دایره مصداقهای آن هستند و گروهی که بیرون از این دایره قرار می گیرند.

برای مثال مفهوم "انسان" شیکها را به دو گروه انسان و غیر انسان دسته‌بندی می‌کند.

گروه اول را مجموعه وابسته به مفهوم و گروه دوم را متمم این مجموعه می نامیم.

بنابراین متمم هر مجموعه مجموعه ای است که در آن تنها آن شیکهایی باشند که در مجموعه اول نیستند.

با این تعریف متمم هر مجموعه، مجموعه ای با بینهایت عضو خواهد شد برای مثال متمم مجموعه کارمندان نه تنها شامل انسانهای غیر کارمند بلکه شامل تمام شیکهای جهان از ستارگان گرفته تا اتمها خواهد بود.

در صورتی که وقتی از کارمندان سخن می گوییم می خواهیم تنها انسانهای کارمند را از غیر کارمند جدا کنیم.

از این رو، در این مثال بهتر است نخست مجموعه چیزهایی که میخواهیم درباره
آنها سخن بگوییم برگزیدیم، آنگاه متمم مجموعه های کوچکتر در درون این مجموعه را نسبت به آن پیدا کنیم.

مجموعه ای که نسبت به آن مجموعه های متمم را پیدا می کنیم مجموعه کلی [12] می‌نامیم و به U نشان می دهیم.

مجموعه کلی را بیشتر با مستطیل و مجموعه های دیگر را با دایره های در آن نشان می دهند.

در نمودار بالا مستطیل، مجموعه انسانها و دایره، مجموعه کارمندان و بخش هاشور خورده، انسانهای غیر کارمند- متمم مجموعه کارمندان - را نشان می دهد، اگر مجموعه کارمندان را با A نشان دهیم متمم آن را بنا به قرارداد با Ā مشخص می کنیم.

جمع دو مجموعه: منظور از جمع دو مجموعه A وB مجموعه ای است که عضوهای آن یا عضو A یا عضو B و یا عضو هر دو باشد.

مثال: سازمانی آگهی کرده است که به چند ماشین نویس یا دارنده دیپلم ریاضی نیاز دارد.

واضح است که چنین سازمانی افرادی را هم که هم ماشین نویس باشند و هم دارنده دیپلم ریاضی استخدام خواهد کرد.

نمودار زیر این را به روشنی نشان می دهد.

در این جا هم مستطیل همه افراد انسانی و بخش هاشور خورده مجموعه ماشین نویسانی با دارندگان دیپلم ریاضی و بخش خارج از دو دایره متمم این مجموعه را نشان می دهد.

جمع دو مجموعه A و B را با AUB نشان می دهیم و آن را A یا B می‌خوانیم.

بسادگی می توان دریافت که جمع هر مجموعه با متمم آن برابر با مجموعه کلی است.

AUĀ=u ضرب دو مجموعه: منظور از ضرب دو مجموعه AوB مجموعه‌هلیست که عضوهای آن هم عضوAو هم عضوB باشند.

مثال: اگر سازمان مذکور آگهی کرده باشد که به افراد ماشین نویس دارنده دیپلم ریاضی نیاز دارد، نه دارندگان دیپلم ریاضی را که ماشین نویسی ندانند خواهد پذیرفت و نه ماشین نویسانی را که دیپلم ریاضی ندارند.

نمودار این را نشان می دهد.

در نمودار بالا تنها بخش هاشور خورده نماینده ماشین نویسان دارنده دیپلم ریاضی است.

ضرب دو مجموعه A وB را باA ∩B نشان می دهیم و آن را A وB می خوانیم.

مجموعه تهی: اگر در مثال بالا ماشین نویس دارنده دیپلم ریاضی نداشته باشیم دو دایره A و B هیچ نقطه مشترکی نخواهند داشت.

بعبارت ریاضی تر می گوییم دو مجموعه A و B در هیچ مشترکند.

هیچ را در نظریه مجموعه همه، مجموعه تهی می نامیم، یعنی مجموعه ای که هیچ عضوی ندارد.

برای مثال مفهومهای "دایره مربع" ، "انسان سه پا"، "سیمرغ" و "قفا" همه مفهومهایی هستند بی هیچ مصداق.

به بیان دیگر دایره فرضی مصداقهای آنها خالی است.

مفهومهایی که مصداقی ندارند مجموعه مصداقهای آنها مجموعه تهی است.

مجموعه‌تهی را با " " نشان می دهیم.

اهمیت مجموعه تهی در نظریه مجموعه‌ها همانند اهمیت صفر در حساب است.

درستی رابطه‌های زیر را با اندک تاملی می‌توان دریافت.

=Ū و =U یعنی متمم مجموعه تهی، مجموعه کلی و متمم مجموعه کلی، مجموعه تهی است.

تفریق دو مجموعه: اگر بخواهیم در مثال بالا مجموعه کسانی را پیدا کنیم که دیپلم ریاضی دارند اما ماشین نویسی نمی دانند باید از مجموعه دارندگان دیپلم ریاضی بخش مشترکی را که با مجموعه ماشین نویسان دارد حذف کنیم.

بخشها شور خورده این مجموعه را نشان می دهد.

اگرA مجموعه دارندگان دیپلم ریاضی و B مجموعه ماشین نویسان باشد، افرادی که عضو A هستند اما عضو B نیستند مجموعه ای را می سازند که به آن تفریق A و B می گوییم و آن را چنین می نویسیم: A-B آنچه را درباره جمع و ضرب و تفریق دو مجموعه گفتیم بسادگی می توان به بیش از دو مجموعه تعمیم داد.

این را با مثالهایی در مورد نظامهای بازیابی پس همانا روشن کنیم.

فرض ما این است که خوانندگان با اصول نمایه سازی و روشهای بازیابی همانا آشنا هستند.

با این همه اشاره ای کوتاه به روشهای بازیابی همانا بی فایده نخواهد بود.

مرکزهای اسناد و مدارک[14] گذشته از گردآوری، فهرست برداری و نگاهداری مدرکها نه تنها باید بتوانند هنگام نیاز، هر مدرک را از میان انبوه مدرکهای دیگر براحتی باز بیابند بلکه باید بتوانند (و این از مهمترین وظیفه های مرکز های اسناد است) مدرکهایی را که در موضوعی خاص دارند دقیق و سریع بازیابی کنند.

برای مثال اگر مرکز اسنادی مدرکهای مربوط به تاریخ و فرهنگ ایران را گردآوری می‌کند و پژوهنده ای نیاز به مدرکهایی درباره تاریخ مطبوعات آذربایجان داشته باشد، این مرکز باید بتواند نیاز پژوهنده را با دقت و سرعت برآورد.

البته چنین کاری همیشه با کم و کاستیهایی همراه خواهد بود.

به این معنی که همراه مدرکهای مناسب و مربوط، همیشه مدرکهای دیگری هم که با موضوع ربط چندانی ندارند بازیابی می شوند.

همچنین بعضی از مدرکهای مناسب دور از دسترس می‌مانند.

برای غلبه بر این دشواریهاست که روشهای بازیابی همانا را پدید آورده اند این روشها به دو گروهند: پیش همانا[15] و پس همانا.

در روش پیش همانا را محتوای هر مدرک را به نوعی با ترکیب چند واژه با هم (که ترتیب پشت سر هم نهادن آنها موضوع اصلی بحث در این روش است) نشان می دهند.

برای مثال به هر مدرکی که در آن از تاریخ مطبوعات آذربایجان سخن رفته باشد (اگر بخواهیم مطلب را خیلی ساده کنیم) عنوان ترکیبی "تاریخ مطبوعات آذربایجان را می دهند و فهرست همه آن مدرکها را به ترتیبی زیر این عنوان می آورند.

روش دیگری روش بازیابی پس هماناست...

در یکی از این روشها به جای این که مانند روش بالا عنوان کاملی به مدرک بدهند و مشخصات مدرک را زیر آن بنویسند، تک تک واژه های که ترکیب آنها عنوان کامل مدرک را می سازد می یابند و هر واژه را جداگانه در برگه ای می نویسند.

بدین ترتیب مشخصات هر نوشته ای درباره تاریخ مطبوعات آذربایجان" زیر سه واژه "تاریخ"، "مطبوعات" و "آذربایجان" نوشته می شود.

در این روش، بر خلاف روش بالا، تنها هنگام بازیابی مدرکهاست که واژه‌ها را ، به شرحی که هم اکنون خواهیم دید، بر اساس منطق بول با هم ترکیب و مدرکها را بازیابی می کنند.

روشهای بازیابی پس همانا به سه گروه تقسیم می شوند: دستی، نیمه خودکار و خودکار در اینجا روش بازیابی پس هما را با برگه های جدول را که روشی دستی است و در بسیاری از مراکز اسناد ایران می‌تواند با سهولت و کارآیی بکار رود، کوتاه شرح دهیم.

نظام بازیابی پس همانا با برگه های جدول: مرحله های اساسی ذخیره و بازیابی مدرکها را در این روش می توان چنین خلاصه کرد: 1)مدرکها را در مرکز به ترتیب دریافت ( با ترتیب مناسب دیگر) شماره گذاری می کنند.

2)متخصصان موضوعی مدرکها را بررسی می کنند و واژه های را که نشان دهنده محتوای هر مدرک است بر کاغذهای از پیش آماده شده ای (کاربرگی) می نویسند 3)به هر واژه که در کاربرگی آمده برگه ای به نام برگه جدول که ده ستون دارد و در بالای آن جایی برای نوشتن واژه نهاده اند، اختصاص می دهند و آن واژه را در آنجا می نویسند.

برای مثال برگه جدول واژه "تاریخ" می تواند چیزی مانند شکل پائین باشد.

چنان که در این شکل دیده می شود شماره مدرکهای مناسب را در ستونهایی می نویسند که رقم بالای آن ستونها همان آخرین رقم سمت راست شماره مدرک باشد.

4) این برگه های را به ترتیب الفبایی واژه های بالا پشت هم می گذارند، در اینجا مرحله ذخیره اطلاعات مدرکها به پایان می رسد.

در مثال بالا برای نوشته ای که درباره تاریخ مطبوعات آذربایجان بود سه برگه جدول تهیه می کنند و شماره این مدرک را در هر سه برگه در ستون مناسب می نویسند.

واضح است که در هر برگه جدول، شماره های متعدد دیگری نیز نوشته می شود.

این شماره های مربوط به مدرکهای دیگری هستند که محتوای آنها نیز با واژه بالای برگه بستگی پیدا می کند.

بنابراین: هر برگه جدول مجموعه ای ست که عضوهای آن شماره مدرکهایی هستند که با واژه بالای برگه به نوعی ارتباط معنایی دارند.

اکنون به کمک این برگه های (مجموعه های) می توانیم انواع ترکیب مجموعه های را پیدا کنیم.

در مثالهای پائین فرض ما این است که مرکز اسنادی داریم که تنها مدرکهای مربوط به ایران را گردآوری می کند یعنی مجموعه کلی ما ، U ، مجموعه مدرکهای مربوط به ایران است.

همچنین فرض می کنیم مجموعه شماره های که در برگه های جدول مثال ما نوشته شده بشرح زیر باشند: {78، 456، 15،94، 23، 12، 2، 11}= تاریخ {89، 78، 456، 15، 23، 3} = مطبوعات {89، 78، 456، 14، 11} = آذربایجان ضرب منطقی: می خواهیم مدرکهایی که درباره "تاریخ مطبوعات"، "مطبوعات آذربایجان" و "تاریخ مطبوعات آذربایجان" است بازیابی کنیم.

برای "تاریخ مطبوعات" باید شماره های را که هم عضو مجموعه "تاریخ" و هم عضو مجموعه "مطبوعات" است پیدا کرد و این همان ضرب منطقی این دو مجموعه است.

بنابر آنچه گفتیم این مجموعه را می توان بسادگی پیدا کرد: {89، 78، 456، 15، 23، 3} ∩ {78، 456، 15، 94، 23، 12، 2، 11} = مطبوعات ∩ تاریخ {78، 456، 15، 23} = هم چنین مجموعه "مطبوعات آذربایجان": {89، 78، 456، 14، 11} ∩ {89، 78، 456، 15، 23، 3} = آذربایجان ∩ مطبوعات {89، 78، 456} = برای پیدا کردن شماره مدرکهای مربوط به "تاریخ مطبوعات آذربایجان" هم می توان حاصل ضرب منطقی سه مجموعه "تاریخ" و "مطبوعات" و "آذربایجان" را پیدا کرد و هم می توان حاصلضرب مجموعه "تاریخ مطبوعات" را که پیدا کرده ایم، با مجموعه "آذربایجان" بدست آورد.

ما روش دوم را بر می‌گزینیم و روش اول را بعهده خواننده می گذاریم: {89، 78، 456، 14، 11} ∩ {78، 456، 15، 23}= آذربایجان ∩ (مطبوعات ∩ تاریخ) {78، 456}= نمودار حالت اخیر چنین است: بخش هاشور خورده که مشترک میان هر سه دایره است مجموعه شماره مدرکهای مربوط به "تاریخ مطبوعات آذربایجان" را نشان می دهد جمع منطقی: اگر پژوهنده ای بخواهد مدرکهای مربوط به تاریخ مطبوعات یا مطبوعات آذربایجان را بازیابی کند باید هم مدرکهای مربوط به تاریخ مطبوعات را پیدا کند و هم مدرکهای مربوط به مطبوعات آذربایجان را.

البته این پژوهش نده به مدرکهای مربوط به تاریخ مطبوعات آذربایجان هم نیاز خواهد داشت.

در اینجا بنابر آنچه گفتیم باید جمع منطقی دو مجموعه "تاریخ مطبوعات" و "مطبوعات آذربایجان" را پیدا کنیم.

هر کدام از این دو مجموعه خود ضرب منطقی دو مجموعه هستند که آنها را در مثالهای بالا بدست آوردیم.

روش محاسبه این جمع منطقی و نمودار آن چنین است: {89، 78، 456}U {78، 456، 15، 23}=(آذربایجان ∩ مطبوعات) U (مطبوعات ∩ تاریخ) {89، 78، 456، 15، 23}= بخش هاشور خورده جمع منطقی خواسته شده است.

تفریق منطقی: اگر تنها به مدارکی درباره تاریخ آذربایجان و نه مطبوعات آن نیاز داشته باشیم نخست عضوهای مشترک دو مجموعه تاریخ و آذربایجان را در برگه های جدول می یابیم و از این مجموعه عضوهایی (شماره های) را که در برگه جدول مطبوعات هم آمده است حذف می کنیم.

روش نوشتن و نمودار این عمل چنین است: {11}={89،78،456،15،23،3}-{78،456،11}-{78،456،11}={89 ،78،456،15،23،3}-{89،78،456،14،11} ∩ {78،456،15،94،23،12،2،11} = مطبوعات- (آذربایجان ∩ تاریخ) البته در کار با برگه های جدول جمع و ضرب و تفریق شماره های با چشم انجام میشود و هیچ نیازی به نوشتن مجموعه شماره های بشکل مثالهای بالا نیست.

اما کار عملی با برگه های جدول، مانند کارهای عملی دیگر، مبتنی بر اصلهایی نظری است که هم مبنای اعتبار آنند و هم دانستن آنها به رشد و تکامل آن کمک می کند.

واقع امر این است که کاربرد اصلی منطق بول در نظامهای ذخیره و بازیابی خودکار (کامپیوتری) است.

در این نظامها پرسشهایی که از کامپیوتر میشود همه در قالب عبارتهایی است که شامل علامتهای منطق بول هستند.

معرفی چند ماخذ: برای آشنایی با جبر بول خواندن کتاب زیر که ساده و در عین حال دقیق نوشته شده است توصیه می‌شود.

نویسنده این کتاب از صاحب ناظران منطق جدید است.

1- E.

Mendel son, Boolean Algebra and Switching Circuits, Sham’s Outline Series, N.Y.

1970 برای مطالعه جدی تر و برای آشنایان با منطق و ریاضیات جدید فصل جبر بول در کتاب زیر از بهترین نوشته های در این موضوع است.

2- J.

Bell & M.

Mach over, A Course in Mathematical Logic, N.Y., , 1977 برای آنان که از نمایه سازی همانا هیچ گونه آگاهی ندارند مقاله زیر توصیه می شود: نور الله مرادی.

"نمایه سازی همانا" .

نامه انجمن کتابداران، دوره 9 (بهار 1355) ص 83-107، (تابستان 1355) ص 2 تاریختاریختاریختاریختاریختاریختاریختاریختاریختاریخ012345678911122394154565078