دانلود تحقیق شبیه سازی شکل دهی ورقها با استفاده از فرمول بندی الاستو پلاستیک

شبیه سازی شکل دهی ورقها با استفاده از فرمول بندی الاستو پلاستیک بر اساس نرخ تنش لگاریتمی

خلاصه
امروزه شبیه سازی شکل دهی ورقها ، امکان بررسی رفتار ورق در حین شکل دهی و در نتیجه طراحی ابزار مناسب قبل از فرایند ساخت را فراهم می سازد.

این مسئله به ویژه در ساخت قالب قطعات با ابعاد دقیق بسیار حائز اهمیت است و می تواند هزینه های ساخت قالب را بطور قابل ملاحظه ای کاهش دهد.

در این میان برای رسیدن به دقت مورد نظر انتخاب یک مدل ریاضی مناسب برای تغییر شکل الاستیک پلاستیک ورق از اهمیت ویژه ای برخوردار است.

در این تحقیق مهمترین فرمول بندیهای مورد استفاده در تغییر شکلهای الاستوپلاستیک با کرنشهای بزرگ در سی سال اخیر مورد بررسی قرار گرفته است.

نتایج بدست آمده از این بررسیها نشان می دهد که فرمول بندی ارائه شده توسط Xiao, Bruhns , Meyers(2000) که بطور اختصار X-B-M(2000) نوشته می شود بسیاری از نواقص فرمول بندیهای قبلی را برطرف نموده است.

در این تحقیق فرمول بندی الاستوپلاستیک X-B-M (2000) برای شبیه سازی شکل دهی ورقها انتخاب شده است.

در این فرمول بندی از نرخ تنش لگاریتمی بر مبنای اسپین لگاریتمی و نیز معیار کرنش لگاریتمی استفاده شده است.

در این بررسی همچنین فرمول بندیهای مختلف برای پوسته ها با سه ، پنج ، شش و هفت درجه آزادی مورد بررسی و مقایسه قرار گرفته است

مقدمه :
فرایند شبیه سازی شکل دهی ورقها بدلیل غیر خطی بودن معادلات حاکم بر آن از جهات مختلف دچار محدودیت می باشد.

از یک طرف می بایست یک فرمول بندی ریاضی دقیق و کارآمد را برای مدلینگ رفتار ورق بکار برد و از طرف دیگر تکنیکهای عددی انعطاف پذیر و دقیقی برای حل معادلات مورد نیاز است.

مؤثرترین روش عددی برای حل مسائل الاستوپلاستیک ورقها ، روش المان محدود است.

در این روش ابتدا مسئله فیزیکی که شامل تغییر شکل الاستوپلاستیک یک پوسته تحت بارهای معین و شرایط مرزی ویژه ای می باشد، با استفاده از فرضیات ساده کننده به یک سری معادلات دیفرانسیل تبدیل شده و پس از آن معادلات بدست آمده به روش المان محدود حل می شوند.

واضح است که روش المان محدود فقط مدل ریاضی انتخاب شده را حل خواهد کرد و کلیه فرض های مورد نظر در این مدل در جواب پیش بینی شده منعکس خواهد شد.

در شبیه سازی شکل دهی ورق، نمی توان انتظار اطلاعاتی بیشتر از آنچه که در مدل ریاضی نهفته است را داشت.

بنابراین در فرایند شبیه سازی شکل دهی ورقها، انتخاب مدل ریاضی مناسب برای تغییر شکلهای الاستوپلاستیک ، نقش تعیین کننده ای در نتایج بدست آمده خواهد داشت.

در سالهای گذشته بدلیل نبود امکانات سخت افزاری پیشرفته و سریع برای حل مسائل عددی، از اثرات غیر خطی مدلهای ریاضی صرفنظر می شد بگونه ای که با کمترین کوشش جوابهای مناسبی از شبیه سازی بدست آید.

اما امروزه بدلیل توسعه سریع و
روزافزون سخت افزارهای رایانه ای ، سرعت انجام محاسبات بطور شگفت آوری افزایش یافته است ، لذا ضروریست همگام با پیشرفتهای رایانه ای در برنامه های شبیه سازی، از معادلات دقیقتر که اغلب پیچیده هستند استفاده گردد.

در این راستا تحقیق حاضر در قالب رساله دوره دکتری با هدف افزایش دقت نتایج شبیه سازی شکل دهی ورقها تعریف شده است.

در این تحقیق ، ابتدا آخرین یافته های علمی در زمینه های مختلف شکل دهی فلزات از قبیل : فرمول بندیهای الاستوپلاستیک ،‌معیارهای تسلیم ، اثر ناهمسانگردی ، فرمولاسیون پوسته ها و برخی محدودیت های فرایند شکل دهی ورقها مورد بررسی اجمالی قرار گرفت .

براساس این بررسیها ، نقش فرمول بندی های الاستوپلاستیک در افزایش دقت برنامه شبیه سازی از سایر عوامل مهمتر تشخیص داده شد.

لذا ادامه بررسیها بطور گسترده ای در این زمینه متمرکز گردید و نهایتاً فرمول بندی الاستوپلاستیک براساس نرخ تنش لگاریتمی و نیز معیار کرنش لگاریتمی برای شبیه سازی انتخاب گردید.

مروری بر تحقیقات انجام شده
شبیه سازی شکل دهی ورقها
اولین گزارشها در زمینه شبیه سازی شکل دهی ورقها توسط Sommer ارائه شده است.

پس از آن Swift(1951) بر مبنای فرضیات فراوانی مدل خود را ارائه نمود.

به دنبال آنSchofman (1964) با فرض ناچیز بودن تغییرات ضخامت ، ایده خود را که با نتایج واقعی اختلاف زیادی داشت را مطرح کرد.

Woo(1964) تغییرات و نیز نحوه توزیع تنش ها را در قسمت مرکزی ورق در حالتیکه قطعه با سنبه کروی تغییر شکل می یافت محاسبه نمود.

در این مدل اثر اصطکاک و کار سختی و نیز تغییر ضخامت در نظرگرفته شده بود.

پس از آن Golovilov (1974) با اعمال تئوری تغییر شکل Hill دقت کافی بدست نیاورد.

Yoshida نیز با استفاده از تئوری Hill و بدلیل حذف مرحله تغییر شکل الاستیک نتایج دقیقی بدست نیاورد.

Wang, Budinsky (1978) با استفاده از تئوری غیر خطی پوسته ها برای مواد الاستوپلاستیک و با در نظر گرفتن اصطکاک کولمب در سطح ورق و ابزار و نیز معیار تسلیم ون میزز ،‌روند تغییرات تنش کرنش را تخمین زدند.

Massoni نیز به کمک روش المان محدود و با استفاده از تئوری پوسته ها و اصل کار مجازی برای مواد الاستوپلاستیک ،‌مدل خود را که با نتایج تجربی Ghoosh , Hecker (1975) مطابقت قابل قبولی داشت ارائه داد.

Kobayashi , Kim (1978) با فرض رفتار کاملاً پلاستیک ماده ، فرایند شکل دهی ورق با شکل قالب مربعی را که نتایج آن با نتایج تجربی انطباق مناسبی داشت را شبیه سازی کردند.

Nakamachi (1988) تحقیقات کاملتری را در زمینه شبیه سازی شکل دهی ورقها انجام داده است.

وی با استفاده از تئوری پوسته ها و با در نظر گرفتن اثر کار سختی و ناهمسانگردی و اثرات اصطکاک و شرایط تماسی ،‌تغییر شکل الاستوپلاستیک ورقها را به کمک روش المان محدود شبیه سازی نمود.

پس از آن Chung (1988) فرایند شکل دهی ورق به اشکال متقارن با استفاده از سنبه نیمکره در شرایط کرنش صفحه ای را شبیه سازی کرد.

وی برای اعمال رفتار ناهمسانگردی ورق ، تئوری Hill را مورد بررسی قرار داد.

برای تعریف سطح قالب و سنبه نیز از یکسری خطوط مستقیم و منحنی استفاده نمود.

برای تعیین شرایط تماس در هر مرحله از نفوذ سنبه ، مختصات گره های سطح ورق با این خطوط مقایسه شده و شرایط تماس مربوطه هر گره تعیین می گردید.

در محاسبات انجام شده از اثر کرنش ضخامتی و نیز خمش صرفنظر شده بود.

در زمینه تئوریهای پلاستیسیته ، معیارهای تسلیم، اثرات ناهمسانگردی پلاستیک و همچنین معیارهای تخریب ورقها در فرایندهای شکل دهی نیز تحقیقات وسیعی انجام گرفته است در سالهای اخیر 2001) ) Zeng, Combescure , Arnaudeau یک الگوریتم پلاستیستیه برای المانهای پوسته ای برای استفاده در شبیه سازی شکل دهی ورقها پیشنهاد کرده اند.

در این تحقیق، الگوریتم محاسبه تنش برایند براساس معیار Ilyushin برای یک ماده الاستوپلاستیک اورتوتروپ توسعه یافته است.

Mohammed , Skallerud , Amdahi(2001) نیز با اصلاح سطح تسلیم Ilyushin گوشه های ناپیوسته سطح تسلیم را بوسیله معادله یک بیضی حذف نموده است .

Keum , Lee (2000) در شبیه سازی فرآیند شکل دهی ورقهای آلومینیومی روش جدیدی را برای محاسبه ضرائب ناهمسانگری نرخ کرنش بارلت ارائه کرده اند .

Worswick , Finn (2000) نیز معیارهای تسلیم مختلف درجه دوم وغیر از آن را برای شبیه سازی سینماتیکی در شکل دهی فلنج مورد استفاده قرار داده و نشان داده است که معیار بارلت اثر ناهمسانگردی را دقیقتر ارائه می دهد .

Gearing , Moon , Anand (2001) برای تعیین دقیق شرایط اصطحکاکی بین قطعه و ابزار ، مدل Anand رابرای حالتیکه وابسته به سرعت باشد توسعه داده اند .

Cao , , Karafillis , boyce (2000) با استفاد ه از آنالیز Marciniak-Kuczynski(M-K) و معیار تسلیم ناهمسانگرد توسعه یافته توسط Boyce و karafillis ، پاره شدگی ورقها در حین شکل دهی را شبیه سازی نموده اند .

آنها نشان داده اند که قابلیت پیش بینی دقیق دیاگرام حد شکل دهی به شکل تابع تسلیم انتخاب شده بستگی دارد.

درهمین رابطه Wang, Cao (2000) با استفاده از روش تخمین انرژی اصلاح شده و با استفاده از برابری انرژی و ابعاد موثر ناحیه ای که تحت فشار محیطی است> براساس مدلهای ساده برای ورقهای صاف و منحنی وار نتایج بسیار خوبی را برای پیش بینی چروک خوردگیهای ورق در دیواره ها بدست آورده اند .

Kuroda , Tvergaard (2000) نیز دیاگرامهای حد شکل دهی را برای ورقهای ناهمسانگرد با معیارهای تسلیم مختلف با استفاده از فرمول M-K مورد بررسی قرار داده اند.

Huang , Pan , Tang (2000) تخریب ورقهای ناهمسانگرد را تحت فرایندهای تغییر نموده اند.

آنها نشان داده اند که چرخش تدریجی جهات اصلی کشش ، موجب کاهش کرنشهای بحرانی برای تخریب المان میگردد.

Kim, Yang , Yoon, Barleat(2000) نیز نشان داده اند که رفتار چروک خوردگی ورقها در فرایندهای شکل دهی بشدت تابع ناهمسانگردی پلاستیک می باشد نکته در خور توجه در تمام تحقیقات اخیر استفاده از فرضیات سینماتیکی مختلف در فرمول بندیهای الاستوپلاستیک می باشد.

با توجه به نقش این فرضیات در دقت نتایج بدست آمده ، در ادامه این تحقیق فرضیات سینماتیکی بکار رفته در تغییر شکلهای الاستوپلاستیک همراه با چرخشها و کرنشهای بزرگ بطور متمرکز مورد بررسی قرار می گیرد.

فرضیات سینماتیکی در تغییر شکلهای الاستوپلاستیک همراه با چرخشها و کرنشهای بزرگ برای تحلیل تغییر شکلهای الاستوپلاستیک همراه با چرخشها و کرنشهای بزرگ ، از فرض های سینماتیکی مختلفی استفاده می شود .

هدف اصلی از این فرضیات ، تجزیه کمیتهای سینتیکی در معادلات بنیادین به بخشهای الاستیک و پلاستیک می باشد .

تاکنون تجزیه های مختلفی توسط محققین (Clifton 1972 - Green , Naghdi 1971 Labarda, Benson 2001- Lubarda 1999 - Nemat.Nasser 1979, 1982 Xiao , Brahns , Meyers - Fish , Shek 1999 ارائه شده است .

Lee(1969) تجزیه ضربی گرادیان تغییر شکل به بخشهای الاستیک و پلاستیک F=FeFp را پیشنهاد کرد.

این تجزیه بر اساس وجود یک موقعیت میانی استوار بود.

این موقعیت میانی بطور تصوری از باربرداری موقعیت جاری تا تنش صفر و یا بوسیله تغییر شکل پلاستیک خالص در موقعیت اولیه حاصل می گردد , Lubarda 2001 , PP374 Khan, Huang 1995 pp247) ) در همین رابطه برخی از محققین Lee 1981)) فرض وجود موقعیت میانی را از نظر فیزیکی غیرواقعی می دانند و معتقدند که در تغییر شکل های الاستیک و پلاستیک غیر یکنواخت، حالت تنش صفر بطور فیزیکی قابل حصول نیست زیرا قبل از رسیدن به حالت تنش صفر ، در اثر سخت شوندگی ناهمسانگرد و یا اثرات شدید بوشینگر با تغییر شکلهای غیرالاستیکی و حالت تنش باقیمانده مواجه هستیم.

برای برقراری حالت تنش صفر و استفاده از تئوری تجزیه ضربی گرادیان تغییر شکل، می توان اینچنین فرض کرد که جسم پیوسته به بینهایت جزء تقسیم شده است که هر کدام از آنها پس از رها شدن تنش باقیمانده به سطح تنشی صفر می رسند.

بنابراین واضح است که موقعیت بدون تنش ناپیوسته است و گرادیان تغییر شکل الاستیک Fe) ( و پلاستیک (FP) فقط می توانند به عنوان توابع نقطه ای تعریف شوند ، بطوریکه این توابع ارتباط بین تغییر شکلها، در همسایگی ذرات بسیار کوچک ماده را با رابطه F=FeFp برقرار می سازند.

(Khan , Huang , 1995 ,pp247 ) .

با تمام تردیدهائی که درمورد وجود موقعیت میانی وجود دارد ، (1998) Svendsen در یک تحلیل ترمودینامیکی نشان داده است که بدون فرض وجود حالت تنش صفر و موقعیت میانی وحتی بدون این فرض که تغییر شکلهای پلاستیک دانسیته انرژی الاستیک را تحت تاثیر قرار می دهد، روابط ترمودینامیکی به تجزیه ضربی گرادیان تغییر شکل منتهی خواهد شد .

وی اظهار داشته است برای رسیدن به این تجزیه ، از فرض همسانی ماده (Material Isomorphism ) استفاده نموده که با تغییر ریز ساختار و در نتیجه تقارن ماده ، این شرط دیگر برقرار نخواهد بود.

یک نکته مهم در خصوص موقعیت میانی در تجزیه F=FeFp ، غیریکتائی Fe و Fp می باشد .

زیرا این کمیت ها با اعمال چرخش صلب روی موقعیت میانی تغییر نمی کنند (Lubarda 2001 , PP374 - Khan,Huang 1995,pp247) (.

برای رفع غیریکتائی بخشهای الاستیک و پلاستیک گرادیان تغییر شکل ، فرضیات مختلفی ارائه شده است .

دو فرض مشهور برای یکتا نمودن موقعیت میانی (Lubarda 2001 ,pp391 ) بصورت زیر هستند.

الف ) برداشتن تنش الاستیک بدون چرخش تارسیدن به سطح تنش صفر (Re=I ) ب ) حذف بخش پادمتقارن گرادیان سرعت پلاستیک.

به بیان دیگر Wp=0 بطوریکه Wp=(Fe.Lp.Fe-1)a در موقعیت میانی با هرگاه سه بردار هادی به موقعیت اولیه نسبت دهیم ، جهت این بردارها طی تغییر شکل پلاستیک تغییر نخواهد کرد .

این موقعیت در هر مرحله از تغییر شکل الاستوپلاستیک یکتا است .

زیرا یک چرخش اضافه شده جهت بردارهای هادی را تغییر خواهد داد وموقعیت میانی را از حالت Isoclinic خارج خواهد کرد.

(Lubarda , Benson 2001 - Lubarda 2001,PP376 ) .

بعبارت دیگر موقعیت میانی دچار هیچ چرخشی نمی شود (Lubarda 1991a , 1991b ).

بنظر می رسد که این فرض برای تغییر شکلهای پلاستیک بزرگ چندان معتبر نباشد ، در مورد تعریف موقعیت میانی از طریق باربرداری بدون چرخش نیز می توان گفت که این فرض )تنهابرای مواد همسانگرد الاستیک برقرار است .

تحت این شرایط چرخش اعمال شده به موقعیت میانی همان چرخش اعمال شده به موقعیت جاری است Lubarda 1991a , 1991b) ) .

این فرض اگرچه با شرط ObJectivity در تناقض است (Xiao , Bruhns , Meyers , 2000 ) اما بطور وسیعی در مسائل الاستوپلاستیک مورد استفاده قرار می گیرد .

علاوه براین باتوجه به اینکه استرچ الاستیکی نسبت به موقعیت میانی بدست می آید، لذا معادله بدست آمده برای نرخ استرچ الاستیکی پیچیده می باشد .

در عوض چون در طی بارگذاری و باربرداری از موقعیت جاری به موقعیت میانی و بلعکس ، گرادیان تغییر شکل پلاستیک نسبت به موقعیت اولیه ثابت است ، لذا بوده و معادلات بنیادین مربوط به آن براحتی بدست می آید (Lubarda 1999 - Lubarda 2001 , pp417 ) .

برای رفع این محدودیت و بدست آمدن رابطه ای ساده برای نرخ استرچ الاستیکی، برخی محققین نظیر Clifton (1972) – Nemat-Nasser (1979) –Lubarda(1999) - Lubarda (2001, pp471) ، تجزیه ضربی معکوس را پیشنهاد کرده اند .

در این تجزیه نسبت به موقعیت اولیه و نسبت موقعیت میانی بدست می آید.

مزیت اصلی این تجزیه نسبت به تجزیه مستقیم ، یکتابودن موقعیت میانی است زیرا با اعمال چرخش های صلب به موقعیت میانی ، حالت تنش دوران می یابد.

علاوه براین ( Clifton (1972 نشان داده است که برای آنالیز یک بعدی حرکت موجی در جامدات الاستیک ویسکوپلاستیک ، استفاده از تجزیه معکوس دارای مزیت هائی است .

اما در حالت کلی استفاده از تجزیه معکوس نسبت به تجزیه Lee بدلیل وجود پیچیدگیهای آن و نیز محدودیت های آن از جذابیت کمتری برخوردار بوده است.

زیرا از یک طرف بخش پلاستیک گرادیان تغییر شکل ثابت نبوده و رابطه آن پیچیده می باشد و ازطرف دیگر هر رفتار الاستیکی از قبیل اعمال متغیر damage و یا ناهمسانگردی الاستیک را نمی توان به موقعیت اولیه نسبت داد (1999-Lubarda 2001 , pp417).

با وجود بحث های زیاد درخصوص مسئله موقعیت میانی .

برخی از محققین نظیر (2000) Arif براین باورند که تجزیه سینماتیکی بخش های الاستیک و پلاستیک تاثیری برحل مسئله ندارد و انتخاب موقعیت میانی تنها برای راحتی آنالیز رفتار ماده مطرح است.

یکی از مسائل خیلی مهم در تغییر شکلهای خیلی بزرگ ، مستقل از مختصات بودن (Frame Invariance ) و بعبارتی Objective بودن معادلات بنیادین می باشد .

روابط انتقال برای Objective بودن بخشهای الاستیک و پلاستیک متغیرهای سینماتیکی توسط (Lubarda (1991a, 1991b مورد بحث قرار گرفته است .

وی نشان داده است برای ObJective بودن برخی متغیرهای سینماتیکی تقطیر (بخش الاستیک استرچ راست) (بخش الاستیک کرنش گرین کاوشی راست ) ، (بخش الاستیک کرنش گرین ) (بخش پلاستیک استرچ چپ ) ، (چرخش ناشی از تجزیه قطبی گرادیان تغییر شکل پلاستیک ) ، (بخش پلاستیک کرنش گرین کاوشی چپ ) و (بخش پلاستیک کرنش اولری ) تابع چرخشهای اعمال شده به موقعیت میانی می باشند.

از طرف دیگر روابط انتقال برای متغیرهای (بخش الاستیک استرچ چپ ) ، (بخش الاستیک کرنش گرین کاوشی چپ ) و (بخش الاستیک کرنش اولری ) تابع چرخشهای اعمال شده به موقعیت جاری است .

همچنین برای متغیرهای (بخش پلاستیک استرچ راست ) ، (بخش پلاستیک کرنش گرین کاوشی راست ) و (بخش پلاستیک کرنش گرین ) روابط انتقال، تابع موقعیت مبنا بوده و مستقل از چرخشهای اعمال شده به موقعیت جاری و میانی می باشند .

(Labarda (1991a,1991b) همچنین در تحقیقات خود در خصوص ObJectivity برخی دیگر از متغیرهای سینماتیکی نظیر (چرخش ناشی از تجزیه قطبی گرادیان تغییر شکل الاستیک ) اظهار داشته است که این کمیت هم تابع چرخشهای اعمال شده به موقعیت میانی و هم تابع چرخشهای اعمال شده به موقعیت جاری می باشد.

برهمین اساس وی در تحقیقات بعدی خود (Lubarda , 1994a ) یک مشتق ObJective اولری براساس دو چرخش و در نتیجه دو اسپین نسبت به موقعیت جاری و موقعیت میانی تعریف کرد .

با استفاده از این مشتق ObJective ، رابطه انتقال و بعبارتی ObJectivity کمیتهایی نظیر بخش الاستیک گرادیان تغییر شکل و نیز مشتق زمانی آن و همچنین ( ) همانند آنچه که در مورد گفته شد، تابع دو چرخش اعمال شده به موقعیت میانی و نیز موقعیت جاری می باشد (Lubarda , 1991a , 1991b ) .

یک نکته قابل ذکر در فرمول بندهای الاستوپلاستیک براساس تجزیه ضربی گرادیان تغییر شکل این است که این تجزیه معمولاً براساس تئوری هیپرالاستوپلاستیسیته می باشد .

بعبارت دیگر یک تابع انرژی کرنشی برواحد حجم اولیه مانند وجود دارد ( ) تابع انرژی کرنشی برواحد حجم اولیه ، E کرنش لاگرانژی که با مشتق گیری جزئی از آن نسبت به جزء کرنش لاگرانژی ، تا نسور تنش بدست می آید .

تحت این شرایط کار انجام شده در یک سیکل بسته از کرنش الاستیکی برابر صفر خواهد بود .

Lubarda , 2001 ,pp 101) ) .

یک فرض سینماتیکی دیگر که در بسیاری از فرمول بندیهای بکار رفته در نرم افزارهای مهندسی نظیر ABAQUS بکار رفته است فرض تجزیه نرخ تغییر شکل D به بخشهای الاستیک و پلاستیک می باشد بطوریکه ، این تجزیه که براساس تجزیه ضربی Lee بدست می آید توسط Nasser (1979) Nemat پیشنهاد و توسط برخی دیگر از محققین نظیر Lubarda (1994a)-Nemat .

Nasser (1979 , 1982 ) – Lubarda , Shih(1994)-Lubarda , Benson (2001) مورد بررسی قرار گرفته است .

یکی از محدودیتهای این تجزیه، معتبر بودن آن فقط در شرایطی است که کرنش الاستیک در مقایسه با کرنش پلاستیک بسیار ناچیز باشد (Khan , Huang , 1995 , pp249 ,Fish,shek,1999).

در همین رابطه (Lubarda(2001)pp383-Lubarda, Shih(1994)-Lubarda (1994a) نشان داده اند که در تجزیهD= اولا بخش های متقارن و پادمتقارن برای تعیین یکتا نبوده ثانیا رابطه ( بدلیل تغییرات ناشی از چرخشهای موقعیت میانی برقرار نیست .

بنابراین بخشی از که ناشی از تغییرات موقعیت میانی می باشد ، هیچ سهمی در کار الاستیکی نداشته اما برای یکتا نمودن استفاده از این بخش ضروری بوده ومقدار آن می بایست از معادله بنیادین بدست آید .

(Lubarda , Benson (2001 براساس تئوری ضربی ، روابطی برای تجزیه متغیرهای سینماتیکی نظیر E (کرنش گرین ) ، C ( کرنش گرین کاوشی است ) B ( کرنش گرین کاوشی چپ ) ، ( کرنش اولر ) و همچنین متغیرهای سینتیکی نظیر تنش پیولای اول و دوم و نیز تنش کرشف ارائه داده اند .

آنها نشان داده اند که مجموع بخشهای الاستیک و پلاستیک برای این متغیرها برابر مقدار کل نخواهد شد .

بعنوان مثال تجزیه جمعی کرنش گرین به بخشهای الاستیک و پلاستیک مطابق رابطه برقرار نیست ، زیرا هریک از اجزاء این رابطه نسبت به مرجع های متفاوتی بدست آمده اند.

Green, Naghdi (1965) یک تجزیه جمعی از کرنش گرین به بخشهای الاستیک و پلاستیک را پیشنهاد کرده اند .

در این تجزیه که اجزاء آن نسبت به مختصات لاگرانژی می باشد ، مفهوم فیزیکی کرنش الاستیک فدای اعتبار بخشیدن به تجزیه شده است .

بعبارت دیگر تانسور فقط برای بیان اختلاف بین کرنش نهائی E و کرنش پلاستیک که توسط معادلات بنیادین بدست می آید بکار می رود و علامت الاستیکی روی آن صرفابخاطر شباهت معادله با تقطیر آن در تغییر شکلهای کوچک می باشد ( Khan & Huang , 1995, PP250 ).این بدان معناست که Ee و Ep بطور سینماتیکی توسط جابجائیها تعریف نمی شوند،‌در عوض کرنش پلاستیک Ep ابتدا بوسیله معادله بنیادین مشخص شده و سپس تانسور Ep براساس آن طوری تعریف می گردد که رابطه برقرار باشد.

از بین تمامی تجزیه های سینماتیکی در فرمول بندیهای الاستوپلاستیک در طی دو دهه گذشته، تجزیه جمعی و تجزیه ضربی بطور گسترده ای برای حل عددی مسائل مورد استفاده قرار گرفته اند .

همانطوریکه قبلا ذکر گردید، فرمول بندی الاستوپلاستیک براساس تجزیه ضربی معمولاً برپایه تئوری هیپرالاستوپلاستییسیته بنا شده است .

در حالیکه فرمول بندی الاستوپلاستیک براساس تجزیه معمولاً برپایه تئوری هیپولاستوپلاستیسیته می باشد .

نکته قابل توجه در فرمول بندی الاستوپلاستیک براساس تئوری هیپوالاستوپلاستیسته این است که در هر سیکل بسته از کرنش ، کار انجام شده براساس معادلات بنیادین بطور واقعی صفر نیست .

این نتیجه از این حقیقت ناشی می شود که معادله rate type هیپوالاستیک قابل انتگرال گیری یعنی نمی باشد .

(Lubarda ,2001 , pp143-Neal , 1981 – (Bruhns , Xiao, Meyers, 1999-Xiao , Brahns , Meyers , 1997a, 2000) زیرا رابطه انرژی بدست آمده از این معادله تابع مسیر است واین معادله، فقط در حالت یک بعدی مستقل از مسیر خواهد بود.

(Belytschko, Liu, Moran , 2000, pp224 ).

یک نکته دیگر در فرمول بندی الاستوپلاستیک برپایه تجزیه جمعی و هیپوالاستوپلاستیسیته این است که برای بدست آوردن مقدار تنش لازم است از نرخ تنش همگرد(Corotational Stress rate) انتگرال زمانی گرفته شود و تنش ObJective بطور جزء به جزء Update گردد تا چرخش های صلب موجب بروز خطا در نتایج نشود .

در حالیکه در فرمول بندی الاستوپلاستیک براساس تئوری هیپرالاستوپلاستیک برای محاسبه تنش ها هیچ نیازی به انتگرال گیری زمانی نبوده و تنش ها مستقیما با مشتق گیری از تابع انرژی کرنشی بدست می آید (Belytschko , Liu , Moran , 2000, pp.264 ).

در فرمول بندی الاستوپلاستیک براساس تجزیه جمعی ،برای برقراری شرط ObJective کمیت تانسور تنش در مسائل با چرخشهای بزرگ ناگزیر به استفاده از نرخ های ObJective اولری می باشیم و همانطوریکه برخی از محققین نظیر peric, Dwen , Honner (1992) - Xiao, Bruhns, Meyers (1997a,2000) - Liu , Hong .(2001) -Bruhns, Xiao , Meyers(1999), (2001) گزارش کرده اند که استفاده از نرخ های همگرد ، تحت شرایط خاصی به نتایج غیرفیزیکی نظیر پاسخ های نوسانی در آزمایش برش ساده و یا ارائه تنش های باقیمانده در یک سیکل بسته کرنش در محدوده الاستیک منتهی می شود .

دسته بندی محدودیت ها و نواقص فرمول بندیهای الاستوپلاستیک همراه با چرخشها و کرنشهای بزرگ در مباحث بخشی قبلی برخی محدودیت ها ونواقص فرمول بندیهای الاستوپلاستیک مطرح گردید ، اما با توجه به اینکه هدف از این تحقیق شناخت نواقص فرمول بندیهای موجود و ارائه راه حل برای فائق آمدن برآنها می باشد و تا کنون نیز هیچ مرجعی این محدودیت ها و نواقص را بطور کامل و دسته بندی شده ارائه نداده است ، در این بخش باتوجه به منابع بررسی شده عمده ترین محدودیت ها در فرمول بندیهای الاستوپلاستیک موجود ، بصورت زیر دسته بندی شده اند : 1 – ناسازگار بودن فرض با شرط ObJectivity و برقرار نبودن این فرض در مواد ناهمسانگرد الاستیک Lubarda , 1991a , 1991b-Xiao, Bruhns, Meyers, 2000) ( 2- برقرار نبودن فرض تجزیه جمعی نرخ تغییر شکل در شرایطی که کرنش الاستیک درمقایسه با کرنش پلاستیک قابل صرفنظر کردن نباشدKhan , Huang, 1995, pp.249-Fish,Shek, 1999) (.

3- ناسازگار بودن معادلات بنیادین هیپوالاستیسیته در فرمولاسیون تجزیه جمعی با تئوری هیپوالاستیک و ارائه پاسخهای غیرفیزیکی ، از قبیل : ارائه تنش های باقیمانده و اتلاف انرژی در سیکل بسته ای از کرنش در محدوده الاستیک و نیز ارائه پاسخ های نوسانی و غیر صحیح در برخی شرایط نظیر تست برش ساده .

(Xiao , Bruhns, Meyers , 1997a, 2000) Iao , Meyers, 1999, 2001-Peric, Owen, Honner Liu , Hong , 2001 4-ضرورت انتگرال گیری زمانی از نرخ های ObJective اولری از مقادیر تنش در فرمول بندیهای هیپوالاستو پلاستیسیته براساس تجزیه جمعی (Belytschko, Liu , Moran , 2000, PP264 ) 5- ناتوانی برخی تجزیه های سینماتیکی در ارائه ناهمسانگردی الاستیک و یا اعمال متغیر damage نظیر تجزیه معکوس (Lubarda , 2001, PP417-Lubarda , 1999).

در تجزیه جمعی نیز در شرایطی که مقدار تنش بسمت صفر میل می کند بدلیل ایزوتروپ بودن تانسور الاستیسیته در معادله بنیادین هیپوالاستیسیته، رفتار ناهمسانگردی الاستیک نمی تواند تشریح گردد (Truesdell, Noll,1992, pp407-Lubarda,2001, PP142) 6- برقرار نبودن فرض حذف اسپین پلاستیکی در تجزیه ضربی در تغییر شکلهای بزرگ 7- فرض وجود موقعیت میانی در تجزیه ضربی هنگامی برقرار است که گرادیان تغییر شکل الاستیک و پلاستیک بعنوان توابع نقطه ای در نظر گرفته شوند.

(Khan , Huang, 1995, pp247 ).

بنابراین در شرایطی که تغییر شکلها بشدت ناهمسانگرد باشد .

نتایج بدست آمده از این فرض در مسائل عددی ، در حالتیکه اندازه مش ها بزرگ باشد مورد تردید خواهد بود .

علاوه بر محدودیت های ذکر شده برای مدلهای الاستوپلاستیک ، برخی فرضیات مورد تردید که در فرمول بندیهای الاستوپلاستیک بکار می روند بشرح زیر هستند : 8- بطور کلی تغییر شکلهای الاستیک برای فلزات FCC و BCC و S.C همسانگرد در نظر گرفته می شود.

این فرض برای مواد پلی کریستال بدلیل جهت گیری اتفاقی دانه ها می تواند یک فرض منطقی تلقی شود ، اما برای مواد بشدت کار سرد شده ، از نقطه نظر ریز ساختاری اغلب کریستالها در امتداد خاصی جهت دار می شوند.

تحت این شرایط نه تنها ضریب الاستیسیته در جهت اقطار شبکه کریستالی با دیگر جهات کریستالی متفاوت است ، بلکه بدلیل وجود جهات مرجع در تغییر شکل پلاستیک ، تابع تسلیم نیز ناهمسانگرد خواهد بود .

اگر چه ناهمسانگردی تابع تسلیم در برخی مسائل الاستوپلاستیک در این مواد مورد توجه قرار می گیرد اما تاکنون به ناهمسانگردی الاستیک این مواد توجه نشده است .

9- در اغلب فرمول بندیهای الاستوپلاستیک ، فرض تاثیر ناپذیری تابع انرژی کرنشهای الاستیک، بوسیله تغییر شکلهای پلاستیک برای استخراج معادلات بنیادین مورد استفاده قرار گرفته است، در حالیکه در تغییر شکلهای پلاستیک در صورتیکه بافت ریز ساختاری (Texture ) بوجود آید ، همانطوریکه گفته شد ، حتی برای مواد با شبکه های مکعبی ، تابع انرژی کرنشی مستقل از تغییر شکلهای پلاستیکی نخواهد بود .

10- براساس تئوری هیپرالاستیک دریک سیکل بسته کرنشی در محدوده الاستیک ، کار انجام شده برابر صفر است .

در حالیکه برای فولادهای کم کربن در اثر وجود کرنشهای غیرالاستیک برگشت پذیر ناشی از جابجائی اتم های کربن در مواضع بین نشینی ، بسته به سرعت بارگذاری و یا باربرداری، ضریب الاستیسیته متفاوت بوده و ممکن است با اتلاف انرژی مواجه باشیم (Shewmon , 1989 ,pp98 ).

بنابراین از آنجا که در برخی مصارف صنعتی ، فولادهای کم کربن مورد مصرف قرار می گیرند.

استفاده از تئوری هیپرالاستیک ممکن است ما را به نتایج غیرصحیحی سوق دهد.

11- در اغلب فرمول بندیهای الاستوپلاستیک فرض وجود تابع تسلیم در معادلات بنیادین مورد استفاده قرار می گیرد .

با توجه به اینکه برخی مواد نظیر – مس، آلومینیوم و فولاد زنگ نزن نقطه تسلیم مشخصی در نمودار تنش کرنش از خود نشان نمی دهند .

(Khan , Huang , 1995, PP4 ) .

لذا فرض وجود سطح تسلیم که عبور از ناحیه الاستیک به ناحیه پلاستیک توسط آن انجام می گیرد ، برای فلزاتی نظیر مس ، آلومینیوم و فولاد زنگ نزن چندان منطقی به نظر نمی رسد .

با وجود محدودیت ها و نواقص فرمول بندیهای الاستوپلاستیک که در این بخش به برخی از آنها اشاره گردید ، استفاده ازاین فرمول بندیها در حل مسائل بسیار رایج است .

در این تحقیق یکی از اهداف مورد نظر انتخاب یک فرمول بندی مناسب برای مسئله الاستوپلاستیک همراه با کرنشها و چرخشهای بزرگ می باشد .

بدین منظور در بخش بعدی با توجه به محدودیت های ذکر شده در این بخش، بدین مسئله پرداخته خواهد شد .

انتخاب فرمول بندی الاستوپلاستیک مناسب برای شبیه سازی شکل دهی ورقها همانطوریکه در مقدمه این تحقیق بیان گردید .

در شبیه سازی شکل دهی ورق ها انتخاب مدل ریاضی مناسب برای تغییر شکلهای الاستوپلاستیک ، نقش تعیین کننده ای در نتایج بدست آمده خواهد داشت .

باتوجه به فرمول بندیهای بکار رفته در دو دهه قبل و نیز محدودیت ها و نواقص ذکر شده آنها در بخش قبلی ، در این بررسی فرمول بندی پیشنهاد شده توسط Xiao , Bruhns, Meyers, (2000) (به اختصار X-B-M2000 ) که تا کنون در هیج مساله عددی مورد استفاده قرار نگرفته است .

برای شبیه سازی شکل دهی ورقها انتخاب شده است.

در فرمول بندی X-B-M(2000) از معیار کرنش لگاریتمی و نرخ تنش لگاریتمی برمبنای اسپین لگاریتمی استفاده شده است.

در این مدل بسیاری از نواقص فرمول بندیهای پیشین مرتفع و از مزیت های آن بهره گیری شده است .

باتوجه به پیچیدگیهای این فرمول بندی و ضرورت فهم دقیق آن برای بکارگیری در مسائل عددی .

لازم است جزئیات مربوط به این فرمول بندی بدقت تشریح گردد.

بدین منظور در ادامه مراحل تکوین فرمول بندی ( X-B-M(2000 با شرح دقیق جزئیات و نیز نتایج محققین دیگر که به نوعی در تکوین این فرمول بندی مؤثر بوده اند اشاره خواهد شد .

مراحل تکوین فرمول بندی الاستوپلاستیک X-B-M(2000) کمیت تغییر شکل و نیز چگونگی تغییرات این کمیت بازمان دو موضوع اساسی در سینماتیک تغییر شکل های بزرگ بوده است .

اولین موضوع با مقدار کرنش اولری و یا لاگرانژی سروکار دارد در حالیکه دومین موضوع با نوع تغییرات زمانی و یا انواع نرخ های همگرد Objective آنها و نیز تانسورهای چرخش آنها سروکار دارد .

معیار کرنش انتخاب شده در فرمولاسیون X-B-M(2000) ، کرنش لگاریتمی اولری می باشد که B تانسور کاوشی گرین چپ می باشد.

کرنش لگاریتمی برای اولین بار توسط Hencky پیشنهاد گردید ، Hill با استفاده از معادلات ریاضی ، رابطه ای پیچیده برای نرخ کرنش لاگرانژی لگاریتمی و تانسوراسترچ ارائه داد و چنین اظهار داشت که استفاده از کرنش لگاریتمی یک مزیت ذاتی در نامعادلات بنیادین دارد .

به نظر می رسد Gurtin, Spear (1983) اولین کسانی بودند که رابطه بین نرخ کنش لگاریتمی اولری و تانسور استرچ را بدست آوردند .

آنها نشان دادند که اگر تانسور استرچ نسبت به زمان ثابت باشد رابطه (U تانسور استرچ راست و تانسور اسپین برمبنای چرخش است بطوریکه چرخش تانسور استرچ راست منتقل می کند ) برقرار خواهد بود .

تحت این شرایط آنها با استفاده از بسط تبلور LogV(V تانسور استرچ چپ است ) نشان دادند، هنگامیکه گرادیان جابجائی و نرخ تغییرات آن کم باشد می توان فرض نمود که گرادیان تغییر شکل تقریبا معادل تانسور واحد است و لذا نرخ همگرد جامن (Jaumman)تانسور کرنش logV با استفاده از اسپین (W بخش پادمتقارن گرادیان سرعت است ) دقیقا برابر D (بخش متقارن گرادیان سرعت) است.

بعبارت دیگر ( علامت نرخ همگرد و J علامت اختصای برای نرخ Jaumman است ) آنها در فرمول بندی خود از ترم های کوچک صرفنظر کرده بودند.