دانلود مقاله تحلیل دینامیکی با استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار

مقدمه توسعه و رشد سریع سرعت کامپیوترها و روشهای اجزای محدود در طی سی سال گذشته محدوده و پیچیدگی مسائل سازه ای قابل حل را افزایش داده است.

روش اجزای محدود روش تحلیلی را فراهم کرده است که امکان تحلیل هندسه، شرایط مرزی و بارگذاری دلخواه را به وجود آورده است و قابل اعمال بر سازه‌های یک بعدی، دو بعدی و سه بعدی می‌باشد.

در کاربرد این روش برای دینامیک سازه‌ها ویژگی غالب روش اجزای محدود آن است که سیستم پیوسته واقعی را که از نظر تئوری بینهایت درجه آزادی دارد، با یک سیستم تقریبی چند درجه آزادی جایگزین نماید.

هنگامی که با سازه‌های مهندسی کار می‌کنیم غیر معمول نمی‌باشد که تعداد درجات آزادی که در آنالیز باقی می‌مانند بسیار بزرگ باشد.

بنابراین تأکید بسیاری در دینامیک سازه برای توسعه روشهای کارآمدی صورت می‌گیرد که بتوان پاسخ سیستم‌های بزرگ را تحت انواع گوناگون بارگذاری بدست آورد.

هر چند اساس روشهای معمول جبر ماتریس تحت تاثیر درجات آزادی قرار نمی‌گیرند، تلاش محاسباتی و قیمت، به سرعت با افزایش تعداد درجات آزادی افزایش می‌یابند.

بنابراین بسیار مهم است که قیمت محاسبات در حد معقول نگهداشته شوند تا امکان تحلیل مجدد سازه بوجود آید.

هزینه پایین محاسبات کامپیوتری برای یک تحلیل امکان اتخاذ یک سری تصمیمات اساسی در انتخاب و تغییر مدل و بارگذاری را برای مطالعه حساسیت نتایج، بهبود طراحی اولیه و رهنمون شدن به سمت قابلیت اعتماد برآورد ها فراهم می‌آورد.

بنابراین، بهینه سازی در روشهای عددی و متدهای حل که باعث کاهش زمان انجام محاسبات برای مسائل بزرگ گردند بسیار مفید خواهند بود.

ایده آل سازی سازه با جرم گسترده استفاده از بردارهای ویژه، برای کاهش اندازه سیستم های سازه‌ ای یا ارائه رفتار سازه به وسیله تعداد کمی از مختصات های عمومی (تعمیم یافته) – در فرمول بندی سنتی – احتیاج به حل بسیار گرانقیمت مقدار ویژه دارد.

یک روش جدید از تحلیل دینامیکی که نیاز به برآورد دقیق فرکانس ارتعاش آزاد و اشکال مدی ندارد توسط ویلسون Wilson یوان (Yuan) و دیکنز (Dickens) (1.17) ارائه شده است.

روش کاهش، بردار های ریتز وابسته به بار WYD Ritz vectors) که D, Y, W (حروف اختصاری نویسندگان)( بر مبنای بر هم نهی مستقیم بردارهای ریتز حاصل از توزیع مکانی و بارهای مشخص دینامیکی می‌باشد.

این بردارها در کسری از زمان لازم برای محاسبه اشکال دقیق مدی، توسط یک الگوریتم بازگشتی ساده بدست می‌آیند.

ارزیابی‌های اولیه و کاربرد الگوریتم در تحلیل تاریخچه زمانی زلزله نشان داده است که استفاده از بردارهای ریتز وابسته به بار منجر به نتایج قابل مقایسه یا حتی بهتری نسبت به حل دقیق مقدار ویژه شده است.

در اینجا هدف ما تحقیق در جنبه‌های عملی کاربرد کامپیوتری بردارهای ریتز وابسته به بار، خصوصیات همگرایی و بسط آن به حالتهای عمومی تر بارگذاری می‌باشد.

به علاوه، استراتژی‌های توسعه برای تحلیل دینامیکی سیستمهای غیر خطی ارائه خواهد شد.

نیز راهنمایی‌هایی برای توسعه الگوریتمهایی برای ایجاد بردارهای ریتز تهیه شده است.

1-1- اصول اولیه تحلیل دینامیکی تمام سازه های واقعی هنگام بارگذاری یا اعمال تغییرمکان به صورت دینامیکی رفتار می کنند.

نیروهای اینرسی اضافی، با استفاده از قانون دوم نیوتن، برابر نیرو در شتاب می‌باشند.

اگر نیروها و یا تغییر مکانها بسیار آرام اعمال شوند نیروهای اینرسی قابل صرفنظر کردن می باشند و یک تحلیل استاتیکی قابل انجام است.

بنابراین می توان گفت، تحلیل دینامیکی بسط ساده ای از تحلیل استاتیکی می‌باشد.

بعلاوه تمام سازه های حقیقی بالقوه دارای درجات آزادی نامحدودی می باشند.

بنابراین بحرانی ترین قسمت در تحلیل سازه ایجاد مدلی با تعداد درجات آزادی محدود می باشد که دارای تعدادی اعضای تقریباً بدون جرم و تعدادی گره باشد، که بتواند رفتار سازه را به طور مناسبی تخمین بزند.

جرم سازه را می توان درگره ها متمرکز نمود.

نیز برای یک سیستم الاستیک خطی خصوصیات سختی اعضاء را می توان باصحت بسیار خوبی تخمین زد- باتوجه به داده های تجربی- هرچند تخمین بارگذاری دینامیکی، اتلاف انرژی و شرایط مرزی می تواند بسیار مشکل باشد.

با در نظر گیری موارد گفته شده برای کاهش خطاهای موجود لازم است تحلیل های دینامیکی متعدد با استفاده از مدلهای مختلف دینامیکی، بارگذاری و شرایط مرزی به کار گرفته شود و انجام حتی 20 آنالیز کامپیوتری برای طراحی یک سازه جدید و یا برآورد یک سازه موجود ممکن است لازم شود.

با توجه به تعداد زیادی آنالیزهای کامپیوتری که برای یک تحلیل دینامیکی نمونه لازم است باید در کامپیوترها روشهای عددی مناسبی برای محاسبات به کار رود.

2-1- تعادل دینامیکی تعادل نیرویی برای یک سیستم چند درجه آزادی با جرم متمرکز شده، به صورت تابع زمان را می توان این گونه نوشت: F(t)I + F(t)D + F(t)S = F(t) (1-2-1) F(t)I : بردار نیرو های اینرسی عمل کننده بروی جرم F(t)D : بردار نیروی میرایی لزج، یا اتلاف انرژی می باشد.

F(t)S : بردار نیروهای داخلی تحمل شده توسط سازه F(t) : بردار بار های اعمالی معادله (1.2.1) برمبنای قوانین فیزیکی قرار دارد و برای هر دو دسته سیستمهای خطی و غیرخطی معتبر می باشد.

برای بسیاری از سیستمهای سازه ای تخمین رفتار خطی برای سازه انجام می گردد تا معادله فیزیکی (1.2.1) تبدیل به گروهی از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی گردد.

(2-2-1) که M ماتریس جرم، C ماتریس میرایی، K ماتریس سختی می باشند.

بردارهای وابسته به زمان, ,, مقادیر مطلق تغییر مکان، سرعت و شتاب می باشند.

برای بارگذاری زلزله F(t) نیروی خارجی برابر صفر می باشد.

حرکت اساسی لرزه‌ای سه مؤلفه u(t)ig می باشند که در نقطه ای زیر پی ساختمان در نظر گرفته می شوند.

بنابراین می توانیم معادله (1.2.2) را با توجه به, ,,که کمیاتی نسبی (نسبت به مؤلفه‌های زلزله) می باشند بنویسیم.

بنابراین مقادیر مطلق تغییر مکان، سرعت و شتاب را می توان از معادله‌ (1.2.2) حذف نمود.

u(t)a = u(t) + {rx} u(t)xg + {ry} u(t)yg + {rz} u(t)zg (t)a = (t) + {rx} (t)xg + {ry} (t)yg + {rz} (t)zg (3-2-1) ü(t)a= ü(t) + {rx} ü(t)xg + {ry} ü(t)yg + {rz} ü(t)zg که {ri} برداری است که در درجات آزادی جهتی 1 می باشد و بقیه عناصر آن صفرند.

با قرار دادن این معادله (3-2-1) در (2-2-1) داریم: Mü(t) + C(t) + Ku(t) = -Mx ü(t)xg - My ü(t)yg – Mz ü(t)zg (4-2-1) که Mi = M{ri} روشهای کلاسیک گوناگونی برای حل معادله (1-4) وجود دارد که هرکدام دارای محاسن و معایب خاص خود می باشند که آنها را به صورت خلاصه بیان می کنیم.

3-1- روش حل گام به گام عمومی ترین روش تحلیل دینامیکی روش افزایشی است که معادلات تعادل در زمانهای Dt, 2Dt, 3Dt , … حل می شوند.

که تعداد زیادی از اینگونه روشهای افزاینده برای حل وجود دارد.

در حالت عمومی این روشها شامل حل گروه کاملی از معادلات تعادل در هر افزایش زمان می باشند.

در صورت انجام تحلیلی غیرخطی ممکن است لازم باشد تا ماتریس سختی سازه را شکل دهی مجدد نماییم.

نیز امکان دارد در هر گام زمانی برای رسیدن به تعادل نیاز به تکرار داشته باشیم.

از دیدگاه محاسباتی ممکن است حل یک سیستم با چند صد درجه آزادی زمان بسیاری طلب نماید.

بعلاوه ممکن است نیاز داشته باشیم تا میرایی عددی یا مجازی را به دسته زیادی از این راه حلهای افزایشی برای بدست آوردن راه حلی پایدار اضافه کنیم.

برای تعدادی از سازه های غیرخطی که تحت تأثیر حرکت زمین قرار گرفته اند، روشهای حل عددی افزایشی لازم می باشد.

برای سیستمهای سازه ای بسیار بزرگ ترکیبی از برهم نهی مودی و روشهای افزایشی می توانند بسیار مؤثر باشند.

(برای سیستمهای با تعداد کمی المانهای غیرخطی).

4-1- روش برهم نهی مودی معمول ترین و مؤثرترین رهیافت برای آنالیز لرزه ای سازه های خطی روش برهم‌نهی‌مودی می باشد.

پس از آنکه گروهی از بردارهای متعامد برآورد شدند این روش دسته بزرگ معادلات تعادل را به تعداد نسبتاً کمتری از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم تبدیل می کند که این باعث کاهش قابل توجهی در زمان محاسبات می‌شود.

نشان داده شده است که حرکات لرزه ای زمین تنها فرکانسهای پایین سازه را تحریک می نماید.به صورت معمول حرکات زلزله در فواصل زمانی 200 نقطه در ثانیه ثبت می گردند.

بنا بر این داده های بارگذاری پایه شامل اطلاعات بالای 50 دور در ثانیه نمی باشند.با توجه به این مطلب صرف نظر از مودها و فرکانسهای بالاتر معمولاَ باعث ایجاد خطا نمی شوند.

5-1- تحلیل طیف پاسخ روش تحلیل برهم نهی مودی اولیه ، که تنها به سازه های الاستیک خطی محدود می باشد، پاسخ کامل تاریخچه زمانی تغییر شکلهای گره ها و نیروهای اعضا را به علت حرکت زمین ویژه ای بدست می دهد.

استفاده از این روش دو عیب دارد: این روش حجم خروجی بالایی ایجاد می کند که این امر سبب زیاد شدن عملیات طراحی به خصوص هنگامی که بخواهیم نتایج را برای کنترل طراحی به کار بریم می‌گردد.

تحلیل باید برای چندین زلزله دیگر هم تکرار شود تا اطمینان حاصل گرد که تمام مدها تحریک شده اند.

مزایای محاسباتی قابل توجهی در استفاده از تحلیل طیف پاسخ برای پیش بینی تغییر مکانها و نیروهای اعضاء در سیستمهای سازه ای وجود دارد.

این روش فقط شامل محاسبه حداکثر مقدار تغییر مکانها و نیروهای اعضاء با استفاده از طیفی هموار شده است که میانگین چندین زلزله است، می باشد.

سپس لازم است برای بدست آوردن متحمل‌ترین مقدار اوج تغییر مکان یا نیرو از روشهای CQC ، SRSS و یا CQC3 استفاده گردد.

6-1- حل در حوزه فرکانس رهیافت پایه استفاده شده در حل معادلات تعادل دینامیکی در دامنه فرکانس بسط نیروهای خارجیF(t) در قالب عبارات سری های فوریه یا انتگرالهای فوریه می باشد.

حل شامل عبارات مختلط است که محدوده زمانی¥+ تا ¥- را پوشش می دهد.

بنابراین روشی بسیار کارا برای گونه‌های بارهای تکرارای مانند: ارتعاشات مکانیکی، آکوستیک، امواج دریا و باد می باشد.

هرچند استفاده از حل در حوزه فرکانس برای تحلیل سازه‌هایی که تحت تأثیر زلزله قرار می گیرند دارای معایب چندی نیز می باشد.

فهم ریاضیات به کار رفته برای دسته زیادی از مهندسان سازه بسیار مشکل می باشد.

بنابراین مطمئن شدن از صحت حل بسیار مشکل است.

برای نوع بارگذاری لرزه ای این روش از نظر عددی کارا نمی باشد.

انتقال نتایج از حوزه فرکانس به حوزه زمان حتی با استفاده از روشهای FFT مقدار محاسبات عددی قابل توجهی را لازم دارد.

روش محدود به سیستمهای ساختمانی خطی می باشد.

روش برای حل غیرخطی تقریبی اندر کنش خاک / سازه و پاسخ در ساختگاه بدون توجیه نظری کافی استفاده شده است.

به طور مثال، این روش به صورت، رفتاری تکراری برای ساختن معادلات خطی به کار می رود، جملات میرایی خطی بعد از هر تکرار تغییر می کنند تا استهلاک انرژی در خاک را تخمین بزنند.

بنابراین تعادل دینامیکی در خاک ارضا نمی شود.

7-1- حل معادلات خطی حل گام به گام معادلات دینامیکی، حل در حوزه فرکانس و برآورد بردارهای ویژه و بردارهای ریتز تماماً احتیاج به حل معادلات خطی دارند که به صورت زیر بیان می‌شود.

AX=B (1-7-1) که در اینجا A یک ماتریس N×N متقارن است که تعداد زیادی جمله صفر دارد.

ماتریسهای B و X که "N × M"هستند بیانگر این مطلب است که بیشتر از یک حالت بارگذاری در یک زمان قابل حل می باشد.

که روشهای متعددی برای کاهش حافظه مصرفی توسط A وحل دستگاه همزمان وجود دارد.

(روش حذفی گوس,حل اسکای لاین و روشهای بسیار متنوع دیگر که برای معکوس سازی ماتریسها به کار می روند از جمله روشهای:افراز کردن,سه قطری کردن,کاهش ماتریس,روش جوردن و...) که در اینجا A یک ماتریس N×N متقارن است که تعداد زیادی جمله صفر دارد.

(روش حذفی گوس,حل اسکای لاین و روشهای بسیار متنوع دیگر که برای معکوس سازی ماتریسها به کار می روند از جمله روشهای:افراز کردن,سه قطری کردن,کاهش ماتریس,روش جوردن و...) بخش دوم: محاسبه بردارهای متعامد بر جرم و سختی مقدمه دلیل اصلی محاسبه اشکال مدی (یا بردارها و مقادیر ویژه) آن است که آنها برای غیرهمزمان سازی معادلات تعادل دینامیکی به کار می روند (در تحلیل برهم نهی مدی و یا تحلیل طیف پاسخ).

هدف اصلی تحلیل دینامیکی تخمین صحیح تغییر مکانها و نیروهای اعضاء می باشد.

در حالت کلی رابطه مستقیمی میان صحت بردارهای ویژه و مقادیر ویژه و صحت تغییر مکانهای گره های سازه و نیز نیروهای اعضاء وجود ندارد.

در اوایل پیدایش مهندسی زلزله روش ریلی ـ ریتز برای تحلیل دینامیکی تقریبی به طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می گرفت.

با توسعه کامپیوترهای با سرعت بالا، استفاده از بردارهای ویژه دقیق جایگزین استفاده از بردارهای ریتز به عنوان پایه ای برای تحلیل لرزه ای شد.

در اینجا به روش (LDR) یا بردارهای ریتز وابسته به بار خواهیم پرداخت و نشان داده می‌شود که روش جدید و تصحیح شده ریتز پاسخهایی با صحت بیشتر و انجام اعمال کمتر نسبت به استفاده از بردارهای ویژه دقیق ارائه می کند.

در آغاز نگاهی اجمالی به روشهای برآورد مساله مقدار ویژه می اندازیم.

1-2- روش جستجوی د ترمینانی (Determinant search method) معادله تعادل که بر ارتعاش آزاد یک مد نمونه نامیرا حاکم است به صورت زیر نوشته می‌شود : یا (1-1-2) این معادله را می توان با فرض i  و فاکتورگیری به صورت زیر مستقیماً حل کرد.

(2-1-2) می توان نشان داد (3-1-2) می توان با تکرار این عمل نموداری از دترمینان در مقابل رسم نمود.

(شکل (1-1-2) این روش کلاسیک برای بدست آوردن فرکانسهای طبیعی سیستم روش جستجوی دترمینانی نام دارد.

باید به این نکته توجه نمود که برای ماتریسهای، با عرض باند کم تلاش عددی لازم بسیار ناچیز می باشد، برای این دسته از مسائل استفاده از جستجوی دترمینانی به همراه تکرار معکوس روشی بسیار کارامد می با شد که می توان توسط آن فرکانسهای طبیعی سیستم و اشکال مدی را برای سیستمهای سازه ای کوچک بدست آورد هرچند به دلیل افزایش سرعت کامپیوترها سیستمهای کوچک را با هر روش می توان به آسانی حل نمود بنابراین این روش در برنامه های مدرن کامپیوتری به کار نمی رود.

شکل1-1-2 2-2- کنترل ترتیب استورم (Sturm sequence check) شکل (1-1-2) خاصیت بسیار مهمی از دنباله عبارات قطری ماتریس فاکتورگیری شده را نشان می دهد.

متوجه می شویم برای مقدار مشخصی از i  ، می توان تعداد عبارت منفی در ماتریس قطری را شمرد که برابر تعداد فرکانسهای کمتر از آن مقدار می باشد.

بنابراین، این روش می تواند برای کنترل روشی که نتوانسته تمام فرکانسهای طبیعی کمتر از مقدار مشخصی را حساب کند به کار رود.

نیز کاربرد مهم دیگر این روش برآورد تعداد فرکانسهای موجود در بازه خاص فرکانسی می باشد.

که این مطلب در مسائل ارتعاش ماشین کارآمد می باشد.

تکرار معکوس معادله (1-1-2) را می توان به فرمی مناسب برای روش حل تکراری نوشت داریم: یا (1-2-2) گامهای محاسباتی برای محاسبه یک بردار ویژه یا مقدار ویژه به صورت زیر خلاصه می‌شود.

ماتریس سختی را مثلثی می کنیم به فرم LDLT.

(در فاز حل بار استاتیکی) برای اولین سعی فرض کنیم R(1) برداری حاوی اعداد تصادفی باشد و برای بردار اولیه حل کنیم.

برای i=1,2,… سعی می کنیم.

(a بردار را نرمال می کنیم به گونه ای که (b مقدار ویژه را تخمین می زنیم که (c کنترل برای همگرایی اگر همگرا شد تمام (d i=i+1 و محاسبه (e حل برای بردار جدید (f گام 3 را تکرار کنید.

می توان دید که این روش به سمت کوچکترین مقدار منحصربه فرد مقدار ویژه همگرا می باشد.

3-2- متعامدسازی گرام ـ اشمیت بردارهای ویژه دیگر در روش تکرار معکوس قابل محاسبه اند به شرط آنکه بعد از هر چرخه تکرار، بردار تکرار نسبت به تمامی بردارهای محاسبه شده قبل متعامد شود.

برای نشان دادن این روش فرض کنید بردار مفروض Vموجود می باشد که می خواهیم نسبت به بردار محاسبه شده قبلی Vn متعامد شود.

یا بردار جدید می تواند از رابطه زیر حساب شود.

V=V-Vn (1-3-2) اگر این معادله را در پیش ضرب کنیم بدست می آوریم .

(2-3-2) بنابراین شرایط تعامد در صورت برآورده شدن شرط زیر ارضا می‌شود.

(3-3-2) اگر این متعامد سازی بعد از گام 3.e در تکرار معکوس قرار گیرد، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه اضافی قابل محاسبه اند.

4-2- تکرار زیرفضای بلوکی ((Block subspace iteration روش تکرار معکوس با یک بردار در صورت وجود مقادیر ویژه و بردارهای ویژه مشابه ممکن است همگرا نگردد.

این حالت برای بسیار از سازه های سه بعدی واقعی با جرم و سختی مشابه در هر دو جهت اصلی ممکن است اتفاق بیافتد.

این مشکل را می توان با تکرار بوسیله گروهی (بلوکی) از بردارهای متعامد برطرف ساخت تجربه نشان داده است که اندازه بلوک (b) باید برابر جذر «پهنای متوسط باند ماتریس سختی» قرار داده شود ولی کمتر از 6 نگردد.

این الگوریتم (روش) نسبتاً کند می‌باشد هرچند بسیار دقیق می‌باشد.

در حالت کلی بعد از آنکه برداری به بلوک اضافه شد احتیاج به 5 تا 10 کاهش به جلو و جاگذاری به عقب می باشد تا این روش به بردار ویژه دقیق همگرا شود.

5-2- حل سیستمهای منفرد برای انواع کمی از سازه ها، مانند شاتل ها، امکان ندارد که روش تکرار معکوس یا زیرفضا را به طور مستقیم برای بدست آوردن فرکانسهای طبیعی و اشکال مدی به کار برد.

دلیل این امر وجود حداقل شش مد صلب با فرکانس صفر می‌باشد و ماتریس سختی منفرد است و قابل مثلثی کردن نیست.

برای حل این مشکل تنها لازم است که جابجایی زیر در مقادیر ویژه انجام شود، یا تغییر متغیر بدهیم.

n=n- (1-5-2) بنابراین مسئله مقادیر ویژه تکراری را می توانیم به صورت زیر بنویسیم.

LDLT Vn(i) = R(i) یا KVn(i) = n(i-1) MVn(i-1) (2-5-2) (3-5-2) ماتریس سختی جابجا شده به صورت K=K+M می‌باشد که دیگر منفرد نمی‌باشد.

بردارهای ویژه با انتقال دلخواه دستخوش تغییر نمی شوند بنابراین از رابطه (1-5-2)بردارهای درستی حاصل می گردد.

در اینجا باید ذکر نمود برای حل مسائل مقدار ویژه از روشهای زیر نیز استفاده می گردد: تکرار پیشرو، تکرار خارج قسمت رایلی و روش تکراری Lanczos ، روشهای تکراری چندجمله ای و تکنیکهای دنباله Sturm، روشهای تبدیل (ژاکوبی)، ژاکوبی تعمیم یافته و تکرار معکوس و(Housholders-QR) .

6-2- ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار تلاش عددی لازم برای محاسبه حل ویژه دقیق برای سیستم سازه اگر تعداد مدهای زیادی مورد احتیاج باشد، بسیار زیاد می‌باشد، هرچند مهندسان زیادی اعتقاد دارند اگر این تلاش منجربه به حل دقیقی گردد قابل توجیه می‌باشد.

در اینجا نشان داده می‌شود که این فرض برای محاسبه پاسخ دینامیکی تمامی سیتسمهای سازه ای ممکن است درست نباشد.

می توانیم اشکال مدی ارتعاش آزاد را برای کاهش اندازه مسائل خطی و غیرخطی استفاده کنیم.

اما به دلایل زیر احتمالاً این کار بهترین رهیافت نمی‌باشد.

1.

برای سیستمهای بزرگ سازه ای، حل مسئله مقدار ویژه برای بدست آوردن مدها و فرکانسهای ارتعاش آزاد تلاش عددی قابل ملاحظه ای لازم دارد.

2.

در محاسبه شکلهای مدی ارتعاش آزاد اصلاً هیچ توجهی به توزیع مکانی، بار نمی‌گردد.

بنابراین تعداد زیادی از اشکال مدی محاسبه شده نسبت به بارگذاری متعامد هستند و در پاسخ مشارکت نمی کنند.

و … اما امکان دارد که دسته ای از بردارهای ریتز متعامد نسبت به جرم و سختی، با حداقل تلاش عددی، بدست آوریم که با هر گونه توزیع بار به سمت جواب درست همگرا گردند.

می‌توان نشان داد که یک تحلیل دینامیکی که برمبنای دسته منحصربه فردی از بردارهای ریتز وابسته به بار قرار دارد به جواب درست تری نسبت به استفاده از همان تعداد اشکال مدی دقیق می انجامد.

در فصل بعد به این مطلب پرداخته می شود.

بخش سوم: کلیات روش LDR (Load Dependent Ritz vectors) 1-3- روش جداسازی دو مرحله ای در تحلیل سازه‌ها گام اول در تحلیل سازه‌ها با استفاده از اجزای محدود جداسازی سازه به منظور بدست آوردن مشخصات سختی، جرم و میرایی سازه برای استفاده در معادلات تعادل دینامیکی (حرکت) می باشد.

سپس جداسازی جدیدی با استفاده از ترکیب توابع شکل عمومی و مستقل خطی، که از مدلسازی قبلی بدست آمده اند، برای مشخص کردن پاسخ سازه، قابل انجام می باشد.

روش کاهش دوم برای تحلیل استاتیکی خطی جالب توجه نمی باشد زیرا برای این تحلیل تنها یک گام لازم می باشد.

هر چند این کاهش دوم برای تحلیل غیر خطی استاتیکی و نیز تحلیل خطی و غیر خطی دینامیکی که چندین گام باید انجام شود و در هر گام سیستمی از معادلات خطی و غیر خطی حل شود، مناسب می باشد.

1-1-3- جداسازی مسائل خطی دینامیکی به وسیله برهم نهی مستقیم برداری مطالعه مشخصات تغییر شکل بر اثر بارهای استاتیکی و تاریخچه زمانی پاسخ تعدادی سازه پیچیده آشکار می سازد تعداد زیادی از درجات آزادی باقی مانده در تحلیل ، غالباً توسط توپولوژی ساختمان دیکته می شود تا توسط پیچیدگی رفتار مورد انتظار.

معمولاً هندسه سازه اجازه جداسازی به تعداد کمی المان نمی دهد اما می توان رفتار را به وسیله تعداد کمی درجات آزادی مشخص نمود .

این مطلب به طور کلی در مورد مسائل دینامیک سازه مانند تحلیل زلزله – که مطالعات آنالیز مودال بر روی محتوای فرکانسی و توزیع مکانی تحریک نشان داده اند، پاسخ، با تعداد نسبتا کمی از مودهای فرکانس پایین کنترل می شود - درست می باشد.

در مورد تحلیل تحریکات ارتعاشی، فقط تعداد کمی از فرکانسهای متوسط ممکن است تحریک شوند.

هر چند در مورد سیستمهای تحریک شده چندگانه (Multi-Shock excited systems) اندر کنش مودهای مربوط به فرکانس‌های متوسط و بالا ممکن در طی بازه زمانی مورد بررسی اهمیت خود را حفظ نمایند.

تغییر مبدأ از سیستم مختصات اصلی به سیستمهای مختصات مودال تعمیم یافته که در فرمول بندی سنتی حل مسائل بزرگ مقدار ویژه مورد نیاز است، هنگامی جالب توجه است که تعداد مودهای مشارکت کننده نسبت به درجات آزادی اصلی کم باشند.

در حالت کلی روش تحلیل اجزای محدود، کمترین فرکانسهای دقیق را بسیار خوب تخمین می زند در حالیکه دقت کم یا عدم دقت و صحت برای تقریب شکل مودهای بالاتر و فرکانس‌های بالاتر مورد انتظار می باشد.

این به علت این حقیقت می باشد که مودهای بالاتر طبیعت بسیار مغتششی دارند که ارائه آنها توسط اندازه مش بندی عملی انجام شده برای محاسبات مهندسی مشکل می باشد.

بنابراین توجیه کمی برای بکارگیری پاسخ دینامیکی اشکال مودهای با فرکانس بالا، در تحلیل وجود دارد.

به طور ایده‌آل مش‌های اجزای محدود باید به گونه‌ای انتخاب شود که اشکال مودی مربوط به فرکانسهای مهم ارتعاش به بهترین صورت تخمین زده شوند و سپس راه حل را می توان با در نظر گرفتن پاسخ این مودها بدست آورد.

این مطلب با تحلیل برهم نهی برداری، با توجه به مودهای مهم سیستم اجزای محدود، قابل انجام می‌باشد.

برآورد فرکانسهای طبیعی اشکال مودی برای سیستم‌های سازه ای بزرگ احتیاج به مقدار قابل توجهی عملیات عددی دارد.

هر چند همانطور که توسط ویلسون و همکاران (29) اشاره شده است، ممکن است اهمیت مستقیم این اطلاعات در مهندسی ارزش محدودی داشته باشد.

مقادیر فرکانسی بیانگر وضعیتهای محتمل تشدید و اشکال مدی وابسته به فرکانسهای کم نشانگر این مطلب می باشند که کدام قسمتهای سازه انعطاف پذیرترین قسمتها می باشند.

در اکثر موارد مقادیر تقریبی هم می توانند این اطلاعات را فراهم کند.

در انجام اغلب تحلیلها، تنها دلیل برآورد بردارهای ویژه کامل و دقیق به علت استفاده جایگزین آنها برای کاهش اندازه سیستم در یک تحلیل بر هم نهی می باشد.

2-3- استفاده از بردارهای ریتز در دینامیک سازه‌ها 1-2-3- روش ریلی برای سیستمهای تک درجه‌ آزادی ایده اساسی در روش ریلی که برای تقریب فرکانس ارتعاش یک سیستم تک درجه آزادی استفاده می شود اصل ثبات انرژی می باشد.

انرژی در یک سیستم با ارتعاش آزاد اگر نیروی میرایی برای جذب آن وجود نداشته باشد باید ثابت بماند.

بنابراین ماکزیمم انرژی کرنشی در سازه الاستیک باید برابر ماکزیمم انرژی جنبشی جرم باشد.

این روش قابل اعمال به هر سیستم چند درجه آزادی که قابل بیان به صورت سیستم تک درجه آزادی توسط استفاده از اشکال تغییر مکانی فرضی ریتز {X} باشد، می باشد.

(1-2-3) که در اینجا K*= سختی تعمیم یافته: M* = جرم تعمیم یافته: = فرکانس تقریبی ارتعاش می باشند.

در صورت برابر بودن {X} با فرکانس حاصل دقیقا برابر فرکانس ناشی از حل دقیق می باشد.

2-2-3- تحلیل ریلی- ریتز برای سیستمهای چند درجه‌ آزادی بسط ریتز از روش ریلی که به عنوان تحلیل ریلی – ریتز شناخته می شود به طور گسترده ای برای پیدا کردن تقریبی از کوچکترین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه متناظر یک مساله ارتعاش آزاد استفاده شده است.

(2-2-3) که در این رابطه [M],[K] ماتریس‌های سختی و جرم و بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یا مجذور فرکانسهای سیستم می باشند.

بردارهای ویژه را می توان توسط تعدادی تابعهای سعی مجزای{Xi} تقریب زد بگونه ای که (3-2-3) که {Xi}‌ها توابع شکل عمومی از قبل تعریف شده سیستم مختصات اصلی می باشند که بردارهای ریتز نامیده می شوند و Yi‌ها دسته ای از پارامترها می باشند- مختصات های ریتز- که مشخص کننده سهم مشارکت هر بردار ریتز در حل می باشند.

بردارهای ریتز در (اکسترمم) فرم اساسی خارج قسمت رایلی جایگزین می شوند و دسته از Yiها، که مقادیر ثابتی بدست می دهد، جستجو می گردند.

(روند این کار را می توان در منابع 3 و 12یافت) باقیمانده رایلی را می توان به صورت زیر نوشت.

(4-2-3) [K]* = [X] T [K][X] [M]* = [X] T [M][X] وضعیت پایدار منجر به حل مساله مقدار ویژه زیر می گردد.

(5-2-3) بنابراین تقریب بردارهای ویژه به صورت می گردد.

مساله مقدار ویژه کاهش یافته ]معادله (5-2-3)[ باعث رسیدن به r فرکانس تقریبی، ، و اشکال مدی متناظر آنها می گردد، می توان نشان داد.

r مقدار ویژه حاصل از تقریب ریلی ریتز حد بالای مقادیر ویژه ناشی از حل دقیق می باشند.

روند تراکم استاتیکی، ترکیب مؤلفه ای مد، تکرار زیر فضا، و سایر روشهای گوناگون می توانند به عنوان تحلیل ریتز درک شوند.

تکنیکها تنها در انتخاب بردارهای اساسی ریتز که در تحلیل فرض می شود تفاوت می کنند.

روند ریتز می تواند در فرمول بندی اجزای محدود برای کاهش تعادل دینامیکی استفاده شود.

معادلات تعادل دینامیکی برای مدل اجزای محدود و با در نظرگیری {u} که بردار تغییر مکان گرهی است به صورت زیر نوشته می شود.

(6-2-3) که در اینجا [M] و [C] و [K] ماتریسهای مربعی n×n برای جرم، میرایی و سختی هستند و {F(s,t)} بردار بارگذاری دینامیکی تحمیل شده بر سازه می باشد که تابعی از فضا و زمان می باشد.

علامت نقطه بیانگر مشتق نسبت به زمان می باشد.

بردار تغییر مکان گرهی را می توان توسط ترکیبی خطی از r بردار مستقل خطی ریتز، که r بسیار کوچکتر از n است، به صورت زیر تقریب زد.

(7-2-3) که {Xi} بردارهای مستقل پایه و Yi(t) پارامترهای ناشناخته ای هستند که از حل یک سیستم کاهش یافته به صورت زیر بدست می آیند.

(8-2-3) هدف از این انتقال بدست آوردن ماتریس جدید سختی، جرم و میرایی یعنی [K]* ، [M]*و[C]* است که در اندازه آنها کاهش داده شده(rxr) و دارای پهنای باند کوچکتری نسبت به ماتریسهای اصلی سیستم با حفظ صحت مورد نظر می باشد.

بنابراین ماتریس انتقال باید با توجه به این مطلب انتخاب گردد که موفقیت روش به مقدار بسیار زیادی وابستگی به انتخاب صحیح بردارهای پایه دارد.

انواع گوناگونی از این انتخابها در مقالات پیشنهاد شده اند (2، 7، 3، 23، 24).

همانگونه که توسط نور (Noor) در (23) اشاره شده است دستگاه ایده آل بردارهای پایه دستگاهی است که کیفیت نتایج را حداکثر کند و تلاش کلی به دست آوردن آنها را حداقل نماید.

همانگونه که قبلا بیان شد، یکی از بهترین روشهای کاهش شناخته شده برای مسائل دینامیکی خطی «تکنیک برهم نهی مدی» می باشد که شامل انتخاب r مود ارتعاش آزاد بدون میرایی که حاصل از حل مساله مقدار ویژه به عنوان بردارهای پایه می باشد.

با این انتخاب ویژه به سادگی می توان نشان داد که ماتریسهای کاهش یافته[C]* و[M]* و[K]* با فرض میرایی به صورت کسری از میرایی بحرانی،، به صورت نظری در می آیند.

(9-2-3) سیستم کاهش یافته به صورت r معادله مستقل بدست می آید که هر کدام به تنهایی قابل انتگرال گیری می باشند.

هر چند این یک شرط لازم برای غیر توأمان شدن معادلات دیفرانسیل نهایی در یک روش کاهش نمی باشد.

فقدان عمومیت در کدهای بر مبنای روش ریلی – ریتز به علت سختی موجود در انتخاب توابع کلی می باشد که، باعث رسیدن به جوابهایی با درجه ای از صحت مورد انتظار در یک تحلیل کامپیوتری می شوند.

این وضعیت به طور چشمگیری بر محبوبیت استفاده از بردارهای ویژه دقیق را برای برهم نهی مدی افزوده است.

هر چند، ویلسون و همکاران ،الگوریتم عددی ساده ای را برای ایجاد کلاس خاصی از بردارهای ریتز که در اینجا به عنوان (WYD Ritz vectors) یا بردارهای ریتز وابسته به بار نامیده می شوند را توسعه داده اند که پاسخهای با صحت بیشتر و زمان کامپیوتری صرف شده کمتری نسبت به رهیافت سنتی بردار ویژه برای طیف وسیعی از مسائل مطالعه شده ارائه می نماید.

3-3- تولید خودکار WYD Ritz vectors برای تحلیل دینامیکی دنباله بردارهای وابسته به بار، که برای کاهش اندازه سیستم به کار می روند، با در نظر گیری توزیع مکانی بارگذاری دینامیکی، که در استفاده مستقیم از اشکال مدی در نظر گرفته نمی شوند، محاسبه می شود.

الگوریتم در فرم حقیقی خود در شکل 1-3 نشان داده شده است.

باید به این نکته توجه نمود که بارگذاری دینامیکی {F(s,t)} در معادله (6-2-3) که برای مقدار دهی اولیه الگوریتم بازگشتی استفاده شده است،‌ به صورت ضرب بردار مکانی و یک تابع زمان نوشته می‌شود.

{F(s, t)}={f(s)} g (t) اولین مقدار بردارهای ریتز وابسته به بار ،بردار تغییر مکانی است که از تحلیل استاتیکی با استفاده از توزیع مکانی بردار بار دینامیکی، {f(s)} به عنوان ورودی، به دست آمده است.

سایر بردارها از ارتباط بازگشتی که در آن ماتریس جرم در آخرین بردار ریتز وابسته به بار ضرب می شود به دست می آیند.

سپس بردار حاصله به عنوان بار برای تحلیل استاتیکی استفاده می شود.

بنابراین پس از آنکه بردار سختی به صورت مثلثی تجزیه شد، فقط لازم است برای هر بردار ریتز مورد نیاز یک بردار بار به صورت استاتیکی تحلیل شود.

استقلال خطی بردارهای ریتز وابسته به بار به وسیله روند تعامد گرام – اشمیت حاصل می شود.

شکل 1-3- الگوریتم برای تولید خودکار بردارهای ریتز وابسته به بار (فرمول بندی اولیه و اصلی که توسط ویلسون، یوان و دیکنز (29) پیشنهاد شده است.

1) ماتریسهای [M] و [K] و بردار نیرو {f} موجودند.

سایز سیستم 2) تبدیل ماتریس سختی به فرم مثلثی سیستم 3) حل برای اولین بردار حل برای M نرمال سازی i=2,….,r 4) حل برای بردارهای اضافی (a) حل برای (b) j=1,…,i-1 محاسبه برای (c) M متعامدسازی (d) M نرمال سازی 5) متعامد سازی بردارهای ریتز وابسته به بار با توجه به ماتریس سختی (دلخواه): حل برای مساله مقدار ویژه r*r که داریم.

فرکانسهای تقریبی محاسبه بردارهای ریتز وابسته به بار متعامد تکنیک استفاده شده برای ساختن بردارهای ریتز وابسته به بار باعث ارتونرمال شدن جرم در میان بردارها می گردد به صورتی که[M]* در سیستم کاهش یافته (معادله (8-2-3)) قطری بوده و متناظر با ماتریس همانی می شود هر چند که ماتریسهای[K]* و[C]* در حالت کلی پر می باشند.

(1-3-3) بنابراین معادله (1-3-3) با استفاده از روش گام به گام انتگرال گیری مستقیم و یا با معرفی انتقال اضافی برای کاهش سیستم به یک فرم قطری قابل حل می باشد.

در حالت وجود نسبت میرایی حل مساله مقدار ویژه (2-3-3) گروهی از مختصات های مودی [z] ایجاد می نماید که برای قطری کردن سیستم قابل استفاده می باشند.

مقدار مقادیر ویژه دقیق برای سیستم کاهش یافته و مقادیر مجذور فرکانس‌های تقریبی برای سیستم کامل می باشند.

بردارهای ویژه [z] را می توان برای ایجاد دسته نهایی بردارهای ریتز وابسته به بار و متعامد استفاده کرد.