دانلود مقاله ارتعاشات

هارمونیکی مخزن آب :

L=300(ft)
Din = 8(ft)
Dout = 10(ft)
Wtot = 6×105 (lb)
E = 4×106 (psi)
الف){█(ω_n= ?@τ_n= ?)┤
ب ) {█(x ̇= 0 @ 〖 x〗_0= 〖10〗_( in) ) →x(t)=?┤
{█(x ̇_max =?@〖 x ̈〗_max⁡〖 〗 =?)┤
k=p/δ= 3EI/l^3
I= π/64 ( D_0^4- D_i^4 )= 600.9554 × 〖10〗^4 ( in^4 )
K= (3×(4×〖10〗^6 )(600.9554×〖10〗^4)/〖3600〗^3 =1545.6672 ib⁄in
(الف ω_n=√(k/m)=√((1545.6672×386.4)/(6×〖10〗^5 ))=0.9977 rad/sec
τ_n=2π/ω_n =2π/0.9977=6.2977 sec
(ب(〖 x〗_0=10(in) ,x ̇_0=0) ̇
x(t)=A_0 sin⁡(ω_n t+∅_0)
A_0=[x_0^2+(x_0/ω_n )^2 ]^(1/2)=x_0=10 in
∅_0=tg^(-1) ((x_0 ω_n)/0)=π/2
→ x(t)=10 sin⁡〖(0.9977t+π/2〗)=10 〖 cos 〗⁡〖0.9977 t (in)〗

(ج x ̇(t)=10(0.9977) cos⁡(0.9977t+π/2)
→ x ̇_max=A_0 ω_n=10(0.9977)=9.977(in⁄sec)
x ̈(t)=-10(0.9977)^2 sin⁡(0.9977t+π/2)
→x ̈_max=A(ω_n )^2=10 (0.9977)^2=9.9540(in⁄〖sec〗^2 )


مثال) ارتعاشات آزاد بر اثر ضربه:


جرم m از ارتفاع h روی جرم M سقوط پاسخ سیستم را بیابید؟

x(t)= ?

mv_m=(M+m) x ̇_0^
x ̇_0=(m/(M+m)) v_m=(m/(M+m)) √2gh
x_0=(-mg)/k ,k=(3 EI)/L^3
x(t)=A cos(ω_nt-∅) A=[x_0^2+(x ̇_0/ω_n )]^(1/2) , ∅=tg^(-1) (x ̇_0/(x_0 ω_n ))
ω_n=√(k/(M+m))=√((3 EI)/(L^3 (M+m) ))
اگر فرکانس طبیعی را داشته باشیم ،مقادیر دیگر مثل مدول یانگ را می توان بدست آورد .

مثال : فرکانس طبیعی مستقیم قرقره ای را بیابید ؟

(جرم وزن)/(معادل ثابت)=جرم خالص مکان تغییر
W/K_eq =4w(1/k_1 +1/k_2 )= 4w(k_1+k_2 )/(k_1 k_2 )

k_eq=(k_1 k_2)/(4(k_1 k_2))

mx ̈+k_eq x=0 ω_n=(k_eq/m )^(1/2)=[(k_1 k_2)/4m(k_1 k_2 ) ]^(1/2) rad/sec





ارتعاشات آزاد سیستم های پیچشی نامیرا:
آونگ پیچشی فرکانس طبیعی آونگ مرکب : معادله دیفرانسیل غیر خطی مرتبه دوم : انتگرال گیری عددی تقریب زدن این معادل به صورت معادله خطی : بامقایسه باآونگ ساده : K0 : شعاع ژیراسیون حول نقطهO KG : شعاع ژیراسیون حول نقطه G درنتیجه : یعنی تفاوت نمی کند که آونگ حول نقطه o نوسان کند ، یاحول نقطه A ، دردوحالت فرکانس طبیعی آن یکسان است .

نقطه A را مرکز ضربه گویند .

کاربردهای مرکز ضربه : شکل چکش طوری است که مرکز ضربه آن درسرچکش و مرکز دوران آن دردسته چکش قرارگیرد ، دراین حالت ، هیچ واکنش عمودی دردسته چکش براثر نیروی ضربه ای سرچکش به وجود نمی آید.

در بیس بال ، نقطه برخورد چوگان ، با توپ درمرکز ضربه است .

اگرنقطه برخوردچوگان توپ درنزدیک سرآزاد چوگان باشد براثر نیروی مذکور ، دست بازیکن دردخواهد گرفت .

تست ضربه اتومبیل ، دست اندازهای جاده : مرکز دوران روی یکی از اکسل ها ، و مرکز ضربه روی اکسل دیگر.

شرایط پایداری : حالت اول : نوسان در این حالت پایدار است .

حالت دوم : یعنی اگر ،آونگ در وضعیت باقی می ماند .

حالت سوم :اگر این تعادل ناپایدار است چون گشتاور بازگردان فنراز گشتاور غیر بازگردان وزن کمتر است .

روش ریلی : روش انرژی T+U=cte در نتیجه T1+U1=T2+ U2 حالت اول (1) : لحظه عبور جرم از وضعیت تعادل U1=0 حالت دوم (2) : لحظه متناظربا ماکزیمم تغییر مکان جرم T2=0 پس T1+0=0+U2 مثال : فشار سنج برای موتور دیزل ، دود خروجی از یک موتور دیزل چهار زمانه تک سیلندر از یک صدا خفه کن عبور می کند و توسط فشار سنج اندازه گیری می شود : * فرکانس طبیعی نوسان ستون جیوه در فشار سنج * کمترین طول لوله فشار سنج به طوری که وقتی سرعت موتور دیزل rpm 600 است .

فرکانس نوسان فشار در صدا خفه کن 5/3 برابر فرکانس نوسان ستون جیوه در فشار سنج باشد .

تمرین : با استفاده از قانون نیوتن فرکانس طبیعی را به دست آورید .

الف) فرکانس طبیعی نوسان ستون جیوه : U=انرژی پتانسیل ستون جیوه بالارفته + انرژی پتانسیل ستون جیوه پائین رفته A : سطح مقطع لوله : وزن مخصوص جیوه بافرض حرکت هارمونیکی ب) طول ستون جیوه : مثال : تاثیر جرم فنر بر : اگرتوزیع جرم فنر را یکنواخت فرض کنیم سرعت درجزئی که درفاصله y از انتهای ثابت قراردارد .

فرض شود و انرژی جنبشی یک جزء از فنر می باشد .

بافرض مثال : تاثیر جرم ستون نگهدارنده مخزن آب برفرکانس طبیعی مخزن : ماکزیمم انرژی جنبشی تیر : ارتعاشات آزاد، با میرایی ویسکوز : همانطور که گفته شد (-) نشان میدهد نیرو درخلاف جهت سرعت است پس: حل معادله C1 و C2 ثابتهایی هستند که از روی شرایط اولیه بدست می آید .

میرایی بحرانی (Cc) : نسبت ثابت میرایی (): ارتعاشات نامیرا 1-سیستم کندمیرا ( : برای شرایط اولیه :