روشهای تدریس ریاضی که عموماً مبتنی بر تلقین و تحمیل نظریات است و در سایه تمرین و تکرار به بالاترین سطوح محفوظات دانش‌آموزان می پردازد منسوخ است زیرا با این روش ها ممکن نیست اندیشه ریاضی را در دانش‌آموزان پرورش داد.
میان قواعدگوناگون و وادار کردن دانش‌آموزان به تمرین و تکرار، علاقه و دلبستگی آنان را به ریاضیات می خشکاند و مانع رشد و تکامل عقل آنان می‌شود.
به گفته پولیا، حل مسئله شامل چهار مرحله‌ی فهم مسئله، طراحی نقشه، اجرای نقشه و دوباره‌نگری است.
دانش‌آموزان درک مفهومی را از طریق تفسیر اصول ریاضی در یک مسئله و ترجمه‌ی این ایده‌ها به یک بازنمایی منسجم ریاضی با استفاده از حقایق مهم مسأله به نمایش می‌گذارند.
دانش‌آموزان زمانی درک مفهومی خوبی از ریاضی را در یک مسئله نشان می‌دهند که بازنمایی مناسب را انتخاب کرده و از اطلاعات مرتبط استفاده کنند، اصطلاحات ریاضی را با دقت به کار برند و رویه های ریاضی قابل کاربرد را انتخاب نمایند.
اما دانش‌آموزانی که به حفظ کردن روی می‌آورند، فاقد فهم و درک بوده و احتمالاً احساس رضایت اندکی خواهند داشت و شاید به طور کامل از یادگیری دست بکشند.
در حقیقت شواهد نشان می‌دهند که اگر دانش‌آموزان، با تکرار و به شکل طوطی وار به حفظ کردن و تمرین کردن رویه ها بپردازند، برایشان مشکل خواهد بود که در آینده دوباره به این مفاهیم برگشته و درک عمیق‌تری از مفاهیم ریاضی که در پس آن رویه ها قرار دارد، پیدا کند.
در این مقاله سعی کردم انتگرال را به صورت مفهومی بیان کنم.
اکثر دانش آموزان قواعد انتگرال‌گیری را به خوبی می‌دانند و بسیاری از مسائل را می‌توانند حل کنند ولی اگر از آنها پرسیده شود انتگرال چیست؟
اکثر آنها نمی دانند انتگرال چیست و چرا انتگرال می گیریم.
انتگرال چیست؟
انتگرال چیست؟
انتگرال یعنی مجموع یا مجتمع.
در الکترونیک به واژه IC برخورد می‌کنیم که مخفف کلمه Integrated Circuit و به مفهوم مجتمع تعدادی مقاومت الکتریکی، خاذن ها، ترانزیستورها دیودها و غیره می‌باشد.
از واژه انتگرال ( Integral) در ریاضی نیز به همین معنی ولی به طور اخص مجموع بی‌نهایت کوچک‌ها مفهوم می شود.
مثلاً می‌گوئیم مجموع نقاط یک خط است.
به عبارت دیگر از انتگرال نقطه ها یعنی جمع نقطه هایی که کنار هم قرار گیرند، خط حاصل می‌شود.
پس به صورت دستوری، می توانیم بنویسیم :
( نقطه ها ) مجموع = خط
اگر نخواهیم به صورت انشائی بنویسیم یا برای سهولت نوشتن، از علائمی استفاده می‌کنیم.
از آنجا که خط یک طول است، و طول را معمولاً به x نمایش می دهیم، می توان از این حرف استفاده کرد.
البته هر حرف دیگری را هم میتوان بکار برد، حتی خودکلمه را، ولی اگر از کلمه خط استفاده شود فقط خود ما یا فارسی زبان ها به معنی آن واقف خواهند بود.
برای تفهیم بین المللی است که از حرف x یا این قبیل حروف بهره گرفته می شود.
پس میتوان نوشت :
( نقطه ها ) مجموع = x
علامت جمع در لاتین و در انگلیسی S است.
این حرف Sum و به معنی جمع است و معمول شده است که آنرا کمی طویل بنویسند تا بر محتویات بعدی محاط باشد لذا به صورت ( ) نمایش می‌دهند.
پس رابطه فوق به شکل زیر جلوه می کند.
( نقطه ها ) = x
ولی نقطه چیست؟
آنطور که در دبستان آموخته‌ایم نقطه هیچ بعد یا اندازه ای ندارد ولی این تعریف نمی تواند صحت داشته باشد چه مجموع هیچ باز هم هیچ است نه خط.
تعریف درست آنست که نقطه نیز داراری سه بعد یا سه اندازه طول، عرض و عمق یا ارتفاع است.
ولی این ابعاد به قدری کوچک هستند که تقریباً صفرند ولی به هر حال وجود دارند.
اندازه های خیلی کوچک را به d نمایش می‌دهیم.
بنابراین طول، عرض و ارتفاع نقطه را به ترتیب به dx و dy و dz می‌نمایانیم.
استدلال می‌کنیم که چون نقاط با طول‌های بسیار کوچک dx کنار هم چیده شوند، خطی به طول x تشکیل می‌شود
این استدلال به زبان ریاضی به صورت زیر نمایش داده می شود : (1) dx را دیفرانسیل x می خوانیم و از رابطه 1 می‌گوئیم که انتگرال dx یا انتگرال دیفرانسیل x برابر x است.
ضرب المثل « قطره قطره جمع گردد وانگهی دریا شود » می تواند مفهوم ادبی انتگرال باشد.
رابطه (1) را یک انتگرال نامعین می‌نامند.
چون طول خط را مشخص نمی کند.
ولی اگر ابتداء و انتهای خط مشخص شود آنگاه طول خط نیز معین شده و انتگرال را انتگرال معین می‌نامیم.
پس اگر ابتدای خط را 0 و انتهای آن را 20 بگیریم رابطه فوق به صورت زیر درمی‌آید.
(2) = x بصورتی دیگر نیز میتوان نوشت : x = = طول خط اعداد 0 و 20 در این رابطه را حدود انتگرال می‌خوانیم.
20 حد بالا و 0 حد پائین است.
برای یافتن جواب عددی رابطه، ابتدا حد بالا و سپس حد پائین را به جای x قرار داده و آنگاه دومی را از اولی کم می‌کنیم.
پس : 20 = 0 – 20 = x = تصویر زیر نمایش هندسی مطلب را می نمایاند.
توجه داشته باشید که ما طول نقطه را نداریم فقط می‌دانیم که این طول وجود دارد ولی مقدار آن بسیار ناچیز و تقریباً صفر است.
سطح حال که تعریف خط و روش بدست آوردن آنرا فهمیدیم به یافتن سطح به روش انتگرال می‌پردازیم.
سطح یک مستطیل را در هندسه چگونه حساب می‌کنیم؟
حاصلضرب طول در عرض.
اگر طول سطح x و عرض آن مقدار بسیار کوچک dy باشد، مساحت نیز مقدار خیلی کم dA خواهد بود.
پس dA = x dy dy = از کنار هم گذاشتن این سطوح کوچک، سطح بزرگ A حاصل می‌شود.
به عبارت دیگر، سطح بزرگ از مجموع سطوح بی‌نهایت کوچک dA حاصل می شود.
باز هم به جمله مجموع رسیدیم و لذا می‌گوئیم، هر سطح از انتگرال سطوح کوچک بدست می‌آید و به صورت رابطه ریاضی زیر نشان داده می شود : (2) x در اینجا طول سطح کوچک ما و عددی ثابت است.
( طبق قواعد انتگرال گیری ) اعداد ثابت را میتوان از زیر علامت انتگرال بیرون آورد.
لذا رابطه (2) به صورت زیر در می‌آید.
(3) همانگونه که انتگرال dx برابر x شده انتگرال dy نیز y است.
لذا A = xy اگر طول سطح، x را برابر طول همان خطی بگیریم که در بالا بدست آوردیم مساحت مساوی y 20 A = می شود، ولی y چقدر است؟
در اینجا نیز همانند خط، باید نقطه ابتدا و انتهای y را بدانیم.
اگر این دو نقطه را به ترتیب 0 و 10 بگیریم، حدود انتگرال dy مشخص می‌شود.
در این صورت به رابطه (3) برگشته و آنرا به شکل زیر می نویسیم : و چون xرا 20 گرفته بودیم، پس مساحت مستطیل مورد نظر 200 = (20) 10 خواهد شد.
dy = dy = dy = dy = می توانیم به جای x ، مقدار انتگرالی آن را از رابطه (1) در دستور (3) قرار داده و بدینسان سطح را با انتگرال دوگانه محاسبه نمائیم : (4) و یا اگر عرض سطح y و ابتدا و انتهای طول را مشخص می کردند، همین عملیات را با پس و پیش کردن x و y می‌توانستیم برای محاسبه مساحت تکرار نمائیم.
حـجــم حجم را نیز به همین سیاق میتوان با انتگرال‌گیری بدست آورد.
حجم از روی هم قرار دادن تعدادی سطح یا صفحه حاصل می گردد.
یک سطح دارای دو بعد یا دو اندازه طول و عرض است.
سطح همچنان دارای ضخامت یا عمق است ولی آنقدر کم و ناچیز که عملاً میتوان صفر گرفت.
این ضخامت ناچیز را به dz نشان می‌دهیم.
مساحت سطح xyاست که چون در dz ضرب شود حجم بسیار کوچک آن dv حاصل می‌شود چون می‌دانیم که حجم حاصلضرب سه اندازه طول، عرض و عمق یا ارتفاع است.
پس : (5)dv = xydz مجموع این حجم های کوچک، حجم بزرگ را به وجود می‌آورد.
لذا : (6) ولی xy یعنی مساحت، ثابت است یا اگر این سطح ثابت باشد، میتوان آنرا از داخل علامت انتگرال بیرون آورد : (7) که یک انتگرال نامعین است یعنی مقدار عددی آن مشخص نیست.
اگر ابتداء و انتهای ضخامت یا ارتفاع معلوم و مثلاً 0 و 5 باشد آنگاه میتوان مقداری عددی حجم را محاسبه نمود.
ولی مجموع dzها همانطور که برای dx و dy گفته شد برابر z است.
پس : و چون مقدار x و y به ترتیب برابر 20 و 10 بود پس حجم مکعب مستطیلی که بدینسان محاسبه شده است برابر : 1000 = 5 × 10 × 20 = v واحد حجم می شود.
واحد حجم بستگی به واحد x و y دارد.
اگر این واحدها سانتی متر باشند حجم به سانتی‌متر مکعب و اگر متر باشد به متر مکعب و غیره حساب می‌شود.
1000 = 5 × 10 × 20 = xyz = v در اینجا حجم را با یک انتگرال حساب کردیم چون فرض بر این بود که x و y مقادیر ثابتی هستند، ولی اگر y متغیر یا مقادیر y و x هر دو متغیر بودند آ نگاه می‌توانستیم حجم را با دو انتگرال یا سه انتگرال با دستورهای زیر محاسبه نمائیم.
(8) (9) که در دستور (8) به جای سطح y و x مقدار انتگرالی آن از رابطه 2 و در دستور (9) بجای این سطح مقدار انتگرالی آن از رابطه (4) قرار داده شده است.