دانلود تحقیق آموزش حسابان

برد:
برد تابع عبارت است از مجموعه ی مقادیری که تحت تاثیر قانون تابع برروی عناصر دامنه به وجود می آید.

نکته:
برای محاسبه ی مقادیر تابع عدد انتخابی(x) را در ضابطه ی داده شده قرار داده حاصل عبارت را محاسبه کرده و مقدار تابع مشخص می شود.

الف) اگر تابع به صورت زوج مرتب باشد مقدار تابع مولفه های دوم زوجهای مرتب است.f={(1,2), (0,-1),(2,4),(5,3 (}
مثال:
در صورتی که تابع f به صورت
F(1)=2 F(2)=4 F(0)=-1 F(5)=3 F(6)=تعریف نشده
ب) اگر ضابطه ی تابع به صورت یک عبارت جبری باشد عدد انتخابی را جانشین x نموده و حاصل عبارت را محاسبه می کنیم .

مثال:
در صورتی که = (F(X باشد مقادیر زیرا را حساب کنید.

F (1) = 0 F (2) = - تعریف نشده F (-2) = F (0)=
نکته:
در صورتی که ضابطه ی تابع به صورت چند ضابطه ای بیان شود برای محاسبه ی مقادیر تابع ابتدا مشخص می کنیم عدد داده شده مربوط به کدام یک از نواحی مشخص شده است سپس با استفاده از ضابطه ای آن قسمت مقدار تابع را محاسبه می کنیم.

مثال: در صورتی که f (x) به صورت زیر تعریف شده باشند مقادیر خواسته شده را بیابید.

F(x) =
F (-3) = 3(-3) + 1= -9 + 1 =-8
F (-3) = -1-2 = -3
F (2) = 2-4(2) =2-8 =-6

نکته:
اگر تابع به صورت زوج مرتب داده شده باشد برد تابع مجموعه ی مولفه های دوم زوجهای مرتب است
مثال:
برد تابع f که به صورت زیر تعریف شده است را مشخص کنید.

F{ (-1,4), (0,1),(3,4),(2,5),(-2,4)}
= {4, 1, 5, 3} R
نکته:
برای محاسبه ی برد توابع که ضابطه ی آنها مشخص شده است روش مشخص شده است روش مشخص نداریم ولی با توجه به خواص و ویژگیهای توابع برخی از آنها را به صورت زیر معرفی می نماییم.

1) توابع چند جمله ای که به صورت
F(X) = ax + a m
الف) اگر n درجه ی چند جمله ای فرد باشد برد آن R است.

n=2k + 1 R =R
ب) اگر درجه ی چند جمله ای زوج باشد برد آن از, max) (-و یا از( + و min) است.

n=2k

نکته:
اگر در توابع چند جمله ای n=2 باشد این توابع را توابع درجه ی دوم نامیده و به صورت c + b x + F(X)= axنمایش می دهیم.

نکته:
در توابع درجه دوم فوق ذکر در صورتی که a ضریب x مثبت باشد تابع دارای min بوده و برد آن از) ( min , + خواهد بود و min این توابع از رابطه ای) + و (- بدست می آید .

a>0 f
نکته:
در توابع درجه ی دوم اگر a منفی باشد تابع دارای max بوده و maxآن از رابطه ی محاسبه شده و برد تابع از - تا خواهد بود.

a<0 r="(-" ,="" max)="(-" ,="" )="">
مثال:
برد توابع زیر را محاسبه کنید.

1) f(x)= x + 3x- 4 a>0 min
min= = -( ) = -( ) = -
R =
2) f (x) =-x +x-4 a<0 max="">
=b - 4ac= 1-4 (-1) (-4) =1-16 = -15
R = (- , ) =
3) f (x) = R=
x +x –6 a>0 min

نکته:
R {min, + } , min<0 r="{0," +="" }="">
R ={min, + } , min>0 R ={ , + }
MAX>0 R = {0, }
MAX<0 r="">
F (x) = a<0 max="">
= b - 4ac = 1+ 20 = 21
m a x = =
R = {- } R = {0, }
2) اگر درضابطه ای تابع بتوان x را بر حسب y محاسبه نمود دامنه ی عبارت به وجود آمده برد تابع است.

مثال:
برد تابع زیر را بیابید:


2XY – 3Y = X+1 2XY – X= 3Y+1
X(2Y-1) = 3Y+1 X =
2Y - 1 = 0 2Y = 1 Y = R 2Y = 1 Y =
R = - { }
نکته :
اگر تابع به صورت کلی Y=باشد برد تابع همواره همه ی اعداد حقیقی به جزء نسبت ضرایب x صورت و x مخرج می باشد.

R = 1R – { }
و به طور کلی در توابع گویا که درجه ی صورت و مخرج برابر باشند ضریب بزرگترین جمله ی صورت به بزرگترین جمله ی مخرج به وجود می آید.

3) در توابع همواره صعودی و همواره نزولی در صورتی که فاصله ی معینی تعریف شد ه باشند برد به صورت زیر است.

D= همواره صعودی D= همواره نزولی مثال: 1) f (x) = x صعودی همواره 2) f (x) = -x همواره نزولی - در توابعی که ضابطه ی آنها از دو جزء تشکیل شده و مجموع این دو جزء مقدار ثابتی باشد بیشترین مقدار آن زمانی به وجود می آید که هر کدام از آن قسمتها برابر نصف مقدار ثابت باشد.

F(x) = Max = برد بعضی از توابع خاص: R R R R R R توابع خاص : 1- تابع صمانی: هر تابعی که هر عضو دامنه را به خود همان عضو نسبت دهد را تابع صمانی و ضابطه ی آن را به صورت I(X)=X نشان می دهیم.

نکته: در توابع صمانی دامنه و برد برابر است ولی هر تابعی که دامنه و برد یکسانی داشته باشد صمانی نیست.

F(1)=2 D = {1, 2, 3, 4} R = {1, 2, 3, 4} نکته: نمودار تابع صمانی که به صورت Y=X می باشد نیمساز ربع اول و سوم در دستگاه مختصات است.

2) تابع ثابت: هر تابع که برد آن فقط یک مقدار تنها باشد را تابع ثابت نامیده و به صورت F(X)=C نشان می دهیم.

نمودار تابع ثابت پاره خط یا خطی است موازی محور Xها در دامنه ی تعریفش .

3) تابع s g n یا علامت: تابع علامت به صورت زیر تعریف می شود و نمودار آن هم به شکل زیر است.

x>0 1 S g n (x) = x=0 x دامنه ی تابع R S g n بوده و برد آن مجموعه ی سه عضوی 4) تابع قدر مطلق: f (x) = 5) -3 -2 -1 1 2 3 -1 F(x) = x تساوی دو تابع: دو تابع f و g را مساوی گوییم اگر در شرایط زیر صدق کنند.

الف) 2) برای هر عضو مشترک دامنه مقدار یکسانی ایجاد نماید.

( تذکر: تعریف تساوی دو تابع هیچگاه به این معنی نخواهد بود که اگر دو تابع دامنه های مساوی و بردهای مساوی داشته باشند برابرند به عنوان نمونه: F(x) = sin x g(x) = c o s x D R F (0) = Sin G (0) = Co s تساوی توابع زیر را بررسی کنید.

F(x) = g(x) = D D D 2) F(x) = g(x) = 2-x D x- 3 > 0 D مساویند.

F (0) = 0 , g (0) = -1 F (0) 7) F(X) = 8) F(x) = I o g (x) g(x) = 2 I o g (x) D , D 9) F(X) = g (x) = D D 10) F(x) = g (x) = 1 D D تاثیر اعمال جمع و تفریق ضرب و تقسیم بر متغیر مستقل و وابسته در تابع: ا) اگر تابع f(x+1) f(x) تبدیل شود: الف) اگر a>0 باشد و دامنه ی تابع فاصله ی باشد به مقدار a از دامنه ی تابع کاسته شده برد تابع تغییر نکرده نمودار تابع به اندازه ی a در جهت منفی محور x ها جابه جا می شود.

, ب) اگرa منفی باشد و دامنه فاصل ی دامنه ی تابع به اندازه ی a اضافه می شود برد تابع تغیر نکرده و نمودار تابع به اندازه ی قدر مطلق a در جهت مثبت ممحور x ها جابه جا می شود.

A D 2) اگر f(x) به f(x)+a تغیر کند.

الف) اگر a>0 و برد تابع فاصله ی باشد دامنه ی تابع تغییر نکرده به برد تابع به اندازه ی a اضافه شده و نمودار تابع a واحد در جهت مثبت محور y ها بالا می رود.

a> 0 , R ب) اگر a منفی باشد و برد تابع فاصله ی {dوc} دامنه ی تابع تغیر نکرده از برد تابع به اندازه ی قدر مطلق a کاسته می شود و نمودار تابع به الندازه ی قدر مطلقa واحد در جهت منفی محور yها پایین می رود.

A 3) اگر F(X) تغییر کند.

الف) اگر a>1 باشد دامنه ی تابع بر a تقسیم شده برد تابع تغییر نکرده و نمودار تابع فشرده تر شده در راستای محور x ها a>1 D R ب) اگر a=1 باشد دامنه برد و نمودار تابع تغییر نمی کند ج) اگر 0 D د) اگر a=0 دامنه ی تابع تغییر نکرده برد تابع f(0) خواهد شد و نمودار تابع پاره خطی به معادله ی y=f(0) در دامنه ی تعریف تابع خواهد بود.

R ه) اگر -1 D و) اگر a= -1باشد دامنه ی تابع نسبت به محور y ها قرینه شده برد تابع تغییر نمی کند و نمودار تابع نیز بدون تغییر نسبت به محور y ها قرینه می شود.

A=-1 ز) اگر a R a 4) اگر f(x)تغییر کند.

الف) a>1 دامنه ی تابع نکرده برد تابع a برابر شده و نمودار تابع در راستای قائم کشیده می شود.

a>1 ب) اگر a=1 دامنه، برد و نمودار هیچ تغییر ی نمی کند.

ج) اگر 0 0 د) اگر a=0 دامنهی تابع تغییر نکرده برد تابع فقط عدد صفر خواهد بود و نمودار تابع پاره خط y=0 در دامنه ی تعریف تابع بوده پ) اگر -1 و) اگر a= -1 باشد دامنه تغییر نکرده برد و نمودار فقط نسبت به محور xها قرینه می شود.

D R ز) اگرa D نکته: اگر چنانچه هر کدام از تغییرات با یکدیگر برروی ظابطه ی تابع انجام شود برروی دامنه و برد و نمودار تغییرات را به طور مقوایی انجام می دهیم.

نکته: برای انجام تغیرات برروی تابع از درون به بیرون عمل می کنیم یعنی ابتدا ضرب در دامنه و سپس جمع و تفریق بر دامنه و سپس ضرب در برد و آنگاه جمع و تفریق برد.

Y= a f (b x + c) + d مثال: نمودار تابع معین F با دامنه ی و برد در شکل زیر داده شده است اولا نمودار F(2X) + 1 را رسم کنید ثانیا دامنه و برد ان را تعیین کنید؟

Y = F (2X) + 1 D R= نکته: تغییراتی که بر روی متغییر مستقل یا آزاد انجام می شود به طور معکوس در دامنه ی تابع تاثیر می گذارد و تغییراتی که بر روی متغییر وابسته یا تابع ایجاد می شود به طور مستقیم در ربد تابع اثر نی گذارد.

نکته: اگر چندین تغییر در یک تابع برروی متغیر مستقل و وابسته اتفاق بافتد همه ی تغییرات به طور متوالی بر روی تابع با توجه به شرایط گفته شده انجام می شود.

نکته: اولویتهای انجام تغییرات بر تابع از درون به برون بوده و اولویت بافرب، نسبت به جمع و تفریق می باشد.

یاد آوری: برای نوشتن معادله ی خطی که بر دو نقطه ی مشخص می گذرد ابتدا با استفاده از فرمول شییب شیب خط را محاسبه کرده سپس با استفاده از فرمول معادله ی خطکه در آن m شیب و x0 وy0 طول و عرض یکی از دو نقطه ی دلخواه می باشد معادله ی خط را می نویسیم.

مجانب قائم: برای نمودار یک تابع در صورتی که خطی مانند x=x0 وجود داشته و این خط در بی نهایت بر منحنی مماس شود گوییم خط x=x0 مجانب قائم منحنی است و یا به عبارت دیگر اگر x به سمت x0 میل کند و حد تابع مثبت و منفی بی نهایت شود گوییم خط x=x0 مجانب قائم منحنی است.

نکته: شرط وجود مجانب قائم آن است که اولا ظابطه ی تابع کسری بوده و ثانیا مخرج کسر دارای ریشه باشد.

مجانب دارد.

2 SIN – 1 = 0 نکته: با توجه به مطالب فوق برای تعیین مجانب قائم یک منحنی کافیست مخرج را مساوی صفر قرار داده ریشه های آن را مشخص نماییم در صورتی که حد تابع در آن ریشه ها بی نهایت شود آنها را به عنوان مجانب قائم می پذیریم.

غ ق ق مجانب قائم نکته: در تعیین مجانبهای قائم در صورتی که ریشه ی ساده ی مخرج ریشه ی ساده ی صورت نیز باشد آن مقدار به عنوان مجانب قائم نمی تواند باشد و در صورتی که ریشه ی مضاعف مخرج (توانهای زوج) ریشه ی ساده ی صورت (توانهای فرد) آن مقدار مجانب قائم خواهد بود.

نکته: برای آنکه ریشه های مخرج به عنوان مجانب قائم پذیرفته شوند باید تابع در همسایگی آن تعریف شده باشد.

مثال: مجانبهای زیر را بیابید.

نکته: با توجه به مطالب بالا برای مشخص نمودن مجانب قائم منحنی به صورت زیر عمل می کنیم: الف) در صورتی که تابع کسری بوده و ریشه ی مخرج وجود داشته باشد امکان وجود مجانب قائم می باشد.

ب) ریشه های مخرج را مشخص می کنیم.

ج) در صورتی که ریشه ی مخرج ریشه ی صورت باشد(هر دو ریشه ساده) آن ریشه مجانب قائم نیست و در صورتی که ریشه ی مضاعف مخرج بود و ریشه ی ساده ی صورت آن ریشه مجانب قائم است.

د) در صورتی که تابع در همسایگی ریشه ی مخرج تعریف نشده باشد ای مقدار مجانب قائم نیست.

تذکر: برای مجانب قائم بودن ریشه ی مخرج از یم طرف بتوانیم به آن نزدیک شویم کفایت می کند یعنی حد چپ یا حد راست تابع در آن نقطه بی نهایت شود آن مقدار مجانب قائم خواهد بود.

تذکر: همواره در تعیین مجانب قائم ملاک تعریف مجانب است.

حد دذر بی نهایت: منظور از مفهوم حد در بی نهایت محاسبه ی حد توابع در صورتی که x از هر عدد بزرگی بزرگتر (x برود به سمت + ) د یا x از هر عدد کوچکی کوچکتر شود(x برود به سمت -) می باشد.

نکته: برای محاسبه ی حد توابع در بی نهایت سه مطلب زیر را همواره مد نظر قرار می دهیم : حد در صفر است.

x 10 100 1000… + 0/1 0/01 0/001… 0 x - 10 -100 -1000 … - -0/1 -0/01 -0/001 … 0 نکته: در محاسبه ی حد توابع در بی نهایت هرگاه حاصل یک حد تقسیم عدد بر بی هنایت باشد مقدار حد صفر است.

2) حد یک جمله ای طبق جدول زیر محاسبه می شود.

3)حد یک جمله ای در بی نهایت با حد بزرگترین توان یک جمله ای های آن برابر است.

مثال: حدود زیر را محاسبه کنید.

تعریف نشده اعمال برروی بی نهایت: جمع دو بی نهایت هم علامت خود آن بی نهایت است.

جمع دو بی نهایت مختلف العلامه و یا تفاضل انه مبهم است.

حاصل ضرب به بی نهایتها و یا توان توان رساندن بی نهایتها حاصل بی نهایت بوده و علامت بی نهایت با توجه به ضرب علامتها و یا توان رساندن علامتها مشخص می شود.

ضرب عدد در بی نهایت به صورت زیر است: حدی تقسیم بی نهایتها بر یکدیگر مبهم است: رفع ابهام حالت نکته: در رفع ابهام حالت مبهم زمانی که درجه ی صورت از درجه ی مخرج بیشتر باشد حاصل حد بی نهایت شده و علامت بی نهایت با توجه به علامتهای ضرایب بزرگترین جملات صورت و مخرج و اختلاف درجه ی صورت و مخرج مشخص می شود.

مثال: حدود زیر را بیابید.

رفع ابهام بی نهایت یا - بی نهایت یا: برای رفع ابهام این حد با استفاده از روشهای جبری آنرا به صورت تبدیل نموده و با روش رفع ابهام آن حد را محاسبه می کنیم.

نکته: از جمله عبارتهایی که حد آن به صورت می باشد عبارتهای اصم با فرجه ی زوج است برای تبدیل این حدود به بی نهایت، بی نهایت () عبارت را در مزدوج خود ضرب و تقسیم نموده حد مورد نظر به تبدیل شده و حاصل آن را محاسبه می کنیم.

رفع ابهام حالت : برای رفع ابهام این حالت حد داده شده را به صورت ‍÷ تبدیل نموده و با روش رفع ابهام÷ ادامه می دهیم و برای تبدیل این حدود به ÷ عامل صفر شونده را در صورت کسر و عکس عامل بی نهایت شونده را در مخرج کسر قرار داده حد به ÷ تبدیل می شود سپس آن رفع ابهام می نماییم.

مثال: حدود زیرا رفع ابهام کنید.

برخی از رابطه های هم ارزی مجانب افق: هرگاه برای نمودار یک تابع دربی نهایت خطی مانند y=y0 وجود داشته باشد که بر نمودار تابع مماس گردد در این صورت خط y=y0 را مجانب افقی نمودار تابع می نامیم و یا به عبارت دیگر اگر حد تابع در بی نهایت عددی مانند y0 شود در این صورت خط y=y0 را مجانب افقی نمودار تابع می نامیم.

مجانب افقی نکته: برای تعیین مجانب افقی توابع کافیست حد تابع را در بی نهایت محاسبه کنیم از جمله توابع کسری که درجه ی صورت و مخرج آنها مستوی بوده و یا درجه ی صورت از مخرج کمتر باشد توابع اصمی که به حالت مبهم تبدیل شده بعد از رفع ابهام حاصل حد عددی حقیقی باشد.

مثال: مجانب افقی توابع زیر را در صورت وجود بیابید.

مجانب افقی y =2 مجانب افقی مجانب افقی ندارد مجانب افقی` ثابت کنید قطاع MH X AT Lim= = =1 x 0 x 0 پیوستگی: تابع F و نقطه ی x0 در دامنه ی آن مفروض است گوییم تابع f در نقطه ی x0 پیوسته اسن در صورتی که هر سه شرط زیر بر قرار باشد: مطلق به دامنه ی تعریف تابع یا مقدار تابع در آن نقطه معین باشد.

یا تابع در نقطه ی x0 حد داشته باشد: (موجود) حد تابع و مقدار تابع در آن نقطه برابر باشد.

نکته: اگر حداقل یک از شروط بالا برای نقطه ی x0 در تابع برقرار نباشد گوییم تابع در آن نقطه ناپیوسته و یا گسسته است.

نکته: اگر تابعی به ازای همه ی اعداد حقیقی پیوسته بتشد نمودار آن یکپارچه و متصل به هم دیگر خواهد بود و در صورتی که تابع در نقاطی گسستگی داشته باشد نمودار تابع در آن قسمت گسسته خواند بود.

نکته: اگر تابعی در نقطه ای حد نداشته ولی حد راست یا چپ آن در آن تقطه با مقدار تابع مساوی باشد تابع در آن نقطه دارای پیوستگی راست یا پیوستگی چپ خواهد بود.

مثال: پیوستگی توابع زیر را در نقطه ی داده شده بررسی کنید.

نکته: توابع جزء صحیح در نقاط صحیح ناپیوسته اند.

پیوستگی راست دارد پیوسته نیست پیوسته است حل مسائل پارامتری پیوستگی: با توجه به آنکه می دانیم در صورت پیوسته بودن تابع در یک نقطه هر سه شرط پیوستگی بر قرار است لذا در حال مسائل پارامتری پیوستگی همواره حد چپ، حد راست و مقدار تابع را برای هر نقطه ای محاسبه کرده با یکدیگر مساوی قرار داده و به تعداد پارامترهای موجود معادله ایجاد نموده معادلات را در یک دستگاه قرار داده با حل دستگاه پارامتر های مشخص می شود.

مثال: مقادیر a وb را طوری بیابید که تابعی f با ضابطه ی در نقطه ی (1) پیوسته باشد .

مثال: مقادیر aو bرا چنان بیابید که تابع f با ضابطه ی زیر روی R پیوسته باشد.

مثال: مقادیر a وb را چنان تعیین کنید که تابع با ضابطه ی زیر روی فاصله {5و2} پیوسته باشد.

مثال: مقادیر a وb را چنان تعیین کنید که تابع با ضابطه ی زیر همواره پیوسته باشد.

مثال: تابع f با ضابطه ی {3-x2} (a-x)= (x) f در x پیوسته است مقدار aرابیابید.

1 نکته: در صورتی که در مسائل پارامتری پیوستگی تابع در R یا بازه ای داده شده باشد برای حل مسائل نقاطی را انتخاب می کنیم که در دامنه ی تابع شگستگی ایجاد کرده و امکان محاسبه ی حد چپ و راست آنها وجود داشته باشد.