دانلود مقاله برنامه‌ریزی خطی

برنامه‌ریزی خطی
منظور از اثرات مستقیم، همان ضرایب علیت یا ضریب همبستگی جزئی هر صفت با عملکرد در صورت ثابت بودن صفات دیگر است.

در جدول 3 مجموع اثرات مستقیم و غیرمستقیم در هر یک از ردیف‌های جدول برابر ضریب همبستگی صفت با عملکرد خواهد بود.

در بین پنج صفت طول برگ پرچم، عرض برگ پرچم، طول پانیکول، پانیکول تا رسیدگی و تعداد دانه در پانیکول، بیشترین ضریب همبستگی بر روی عملکرد مربوط به تعداد دانه در پانیکول با 906/0 بود.

کمترین ضریب همبستگی بر روی عملکرد مربوط به طول برگ پرچم با 434/0 به خود اختصاص داده بود.

بیشترین اثر مستقیم را بر روی عملکرد، تعداد دانه در پانیکول با 724/0 داشت.

کمترین اثر مستقیم را بر روی عملکرد، عرض برگ پرچم با 164/0- داشت.

بیشترین اثر غیرمستقیم طول برگ پرچم از طریق تعداد دانه در پانیکول است و بین تعداد دانه در پانیکول با طول برگ پرچم ارتباط مثبتی وجود دارد، یعنی با افزایش تعداد در پانیکول، طول برگ پرچم بیشتر و باعث شده که عملکرد افزایش یابد.

بیشترین اثر غیرمستقیم عرض برگ پرچم از طریق تعداد دانه در پانیکول بدست آمده است.

لذا با افزایش تعداد دانه در پانیکول، عرض برگ پرچم بیشتر و در نهایت سبب افزایش عملکرد شد.

این مورد با نتایج ضرایب همبستگی مطابقت دارد، چرا که ضریب همبستگی صفات عرض برگ پرچم و تعداد دانه در پانیکول 502/0 است.

بیشترین اثر غیرمستقیم طول پانیکول از طریق تعداد دانه در پانیکول بوده.

بنابراین با افزایش تعداد دانه در پانیکول، طول پانیکول بیشتر و عملکرد بیشتر گردید.

این مورد نیز با نتایج ضرایب همبستگی مطابقت دارد، زیرا ضریب همبستگی صفات طول پانیکول و تعداد دانه در پانیکول 611/0 است.

بیشترین اثر غیرمستقیم پانیکول تا رسیدن از طریق تعداد دانه در پانیکول بوده است، اما با افزایش تعداد دانه در پانیکول، پانیکول تا رسیدگی کمتر و نیز سبب کاهش عملکرد شد.

این مورد نیز همچون گذشته با نتایج ضرایب همبستگی مطابقت دارد، چرا که ضریب همبستگی پانیکول تا رسیدگی و تعداد دانه در پانیکول 4/0- است.

بیشترین اثر غیرمستقیم تعداد دانه در پانیکول، از طریق پانیکول تا رسیدگی بود.

تمرین
1-1 یک کارخانه خوراک دام برای گاو، گوسفند و طیور خود خوراک تهیه می‌کند.

این خوراک با ترکیب مواد اصلی زیر تهیه می‌شود: ذرت، سنگ آهک، دانه سویا و پودر ماهی.

این مواد شامل ترکیبات مغذی زیر است: ویتامین‌ها، پروتئین، کلسیم و چربی خام.

میزان این ترکیبات در هر کیلوگرم از مواد اصلی در جدول زیر خلاصه می‌شود:
مواد مغذی
مواد اصلی ویتامین‌ها پروتئین کلسیم چربی خاک
ذرت 8 10 6 8
سنگ آهک 6 54 10 6
دانه سویا 10 12 6 6
پودر ماهی 4 8 6 9

کارخانه برای تولید 10، 6 و 8 تن (در واحد متریک) خوراک گاو، گوسفند و طیور قرارداد بسته است.

به دلیل کمبود، مقدار محدودی از مواد، یعنی 6 تن ذرت، 10 تن سنگ آهک، 4 تن دانه سویا و 5 تن پودر ماهی موجود است.

قیمت هر کیلوگرم از این مواد به ترتیب 20/0، 12/0، 24/0 و 12/0 دلار است.

حداقل و حداکثر واحدهای ترکیبی مواد مختلف مغذی در هر کیلوگرم خوراک گاو، گوسفند و طیور در جدول زیر خلاصه شده است:
این مساله را طوری فرمول‌بندی کنید که کل هزینه مینیمم شود.

کارکنان فنی یک بیمارستان تصمیم دارند سیستم غذایی، کامپیوتری آن بیمارستان را توسعه دهند.

ابتدا برنامه غذایی ناهار را بررسی می‌کنند.

برنامه غذایی ناهار به سه گروه اصلی تقسیم می‌شود: سبزیجات، گوشت و دسر.

در هر سفارش حداقل یک سرویس از هر گروه تقاضا می‌شود.

هزینه هر سرویس از اقلام پیشنهادی به علاوه ترکیبات هیدروکربن‌ها، ویتامین‌ها، پروتئین‌ها و چربی در جدول زیر خلاصه می‌شود: فرض کنید که حداقل هیدروکربن‌ها، ویتامین‌ها، پروتئین‌ها و چربی‌های مورد نیاز در هر وعده غذا به ترتیب 5، 10، 10 و 2 است.

الف) مساله برنام غذایی را به صورت برنامه‌ریزی خطی فرمول‌بندی کنید.

ب) بسیاری از جنبه‌های واقعی این مدل نادیده گرفته شده است.

این جنبه‌ها شامل برنامه‌ریزی صبحانه، ناهار و شام با هم، برنامه‌ریزی هفتگی که در آن انواع غذاها استفاده شود و برنامه غذایی ویژه بیماران، رژیم غذایی خاص، در مورد اینکه چگونه می‌توانیم این جنبه‌ها را در یک سیستم ویژه غذایی جامع تلفیق کنیم.

به تفضیل بحث کنید.

مساله تعیین مکان نصب یک ماشین جدید را در یک خط تولید شامل چهار ماشین درنظر بگیرید.

این ماشین‌ها در مختصات x1, x2 زیر تعبیه شده‌اند: فرض کنید مختصات ماشین جدید است.

مساله یافتن بهترین مکان نصب ماشین جدید را در هر یک از حالت‌های زیر به صورت برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

الف) مجموع تفاضل ماشین جدید از چهار ماشین مینیمم است، فاصله خیابانی را بکار ببرید، مثلاً فاصله نقطه از ماشین اول |x1-3|+|x2| است.

ب) به علت وجود جریان‌های مختلف مابین ماشین جدید و ماشین‌های قبلی مساله را وقتی مجموع فواصل وزین مینیمم می‌شود، تجدید فرمول کنید، به طوری که اوزان متناظر با چهار ماشین به ترتیب 5، 7، 3 و 1 باشد.

ج) برای جلوگیری از تراکم ماشین‌ها، فرض کنید بخواهیم ماشین جدید در مربع نصب کنیم.

قسمت‌های الف و ب را با این محدودیت اضافه فرمول‌بندی کنید.

د) فرض کنید بخواهیم ماشین را طوری نصب کنیم که فاصله آن از ماشین اول از 2/3 بیشتر نشود و مساله را با این محدودیت اضافی فرمول‌بندی کنید.

مساله پرتاب یک راکت به ارتفاع ثابت b در زمان مفروض T را که کمترین مقدار سوخت را مصرف می‌کند، درنظر بگیرید.

فرض کنید u(t) قدرت شتاب فرار راکت و y(t) ارتفاع آن در زمان t باشد.

مساله را می‌توان چنین فرمول‌بندی کرد: که در آن g نیروی شتاب ثقل و y مشتق دوم ارتفاع y است.

مساله را به شکل گسسته بنویسید و آن را به صورت یک برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

به ویژه مساله را در T=10 و g=32 و b=15 فرمول‌بندی کنید (راهنمایی: انتگرال با مجموع سره و مشتقات را با معادلات تفاضلی عوض کنید.

تغییر متغیر |uj|=xj را اعمال کنید و توجه کنید که xi≥-uj, xi≥uj ).

شرکتی می‌خواهد برای دو فقره از تولیداتش با توجه به تقاضاهای فصلی برای مدت 12 ماه برنامه‌ریزی کند.

تقاضای ماهیانه فقره یک صد هزار واحد در طول ماه‌های اکتبر، نوامبر و دسامبر، ده هزار واحد در طول ماه‌های ژانویه، فوریه، مارس و آوریل.

سی‌ هزار واحد در طول ماه‌های باقیمانده.

تقاضای فقره 2 در طول ماه‌های اکتبر تا فوریه 50000 واحد و 15000 واحد در طول ماه‌های باقیمانده است.

فرض کنید که هزینه تولید فقرخ 1 و 2، به ترتیب 5 و 8 دلار است، به شرطی که آنها قبل از ماه ژوئن تولید شده باشند.

بعد از ماه ژوئن، به علت اصلاح سیستم تولید، هزینه دو فقره به 5/4 و 7 دلار کاهش می‌یابد.

تعداد کل اقلام تولیدی فقره 1 و 2 هر ماه در فاصله زمانی بین ماه‌های ژانویه ـ سپتامبر حداکثر 120000 و بین ماه‌های اکتبر ـ دسامبر حداکثر 150000 است.

علاوه بر این، هر واحد از فقره 1 دو فوت مکعب و هر واحد فقره 2 چهار فوت مکعب از فضای انبار را اشغال می‌کند.

فرض کنید که ماکزیمم فضای انبار که به این دو فقره می‌توان اختصاص داد، 150000 فوت مکعب است و هزینه نگهداری هر فوت مکعب در طول ماه 1/0 دلار است.

مساله زمانبندی تولید را طوری فرمول‌بندی کنید که کل هزینه و انبارداری مینیمم شود.

یک کارخانه نساجی پنج نوع پارچه تولید می‌کند.

تقاضا (بر حسب هزار یارد) در طول سه ماه سال برای این نوع پارچه به ترتیب 16، 48، 21 و 82 است.

این پنج نوع پارچه پس از بافت و دسته‌بندی در بازار هر یارد به ترتیب به قیمت 9/0، 8/0، 8/0، 2/1 و 6/0 دلار فروخته می‌شود.

علاوه بر تولید و بسته‌بندی در خود کارخانه، پارچه‌ها از خارج کارخانه نیز خریداری می‌شود و قبل از فروش در خود کارخانه بسته‌بندی می‌شود.

اگر پارچه‌های بسته‌بندی نشده از خارج کارخانه خریداری شوند، هزینه پنج نوع پارچه هر یارد 8/0، 7/0، 75/0، 9/0 و 7/0 دلار است.

اگر در خود کارخانه تولید شود، هر یارد به ترتیب 6/0، 5/0، 6/0، 7/0 و 3/0 دلار هزینه برمی‌دارد.

دو نوع دستگاه در کارخانه وجود دارد که می‌توانند پارچه تولید کند.

یعنی 10 دستگاه Dobbie و 80 دستگاه عادی.

میزان تولید هر دستگاه Dobbie در ساعت برای پنج پارچه به ترتیب 6/4، 6/4، 2/5، 8/3 و 2/4 یارد است.

دستگاه عادی به همان میزان دستگاه Dobbie تولید دارد، فقط پارچه‌ای نوع 3، 4 و 5 را می‌تواند تولید کند.

با فرض اینکه کارخانه هفت روز هفته و هر روز هم 24 ساعت کار می‌کند، مساله برنامه‌ریزی بهینه برای برآورد تقاضای بازار برای سه ماه در سال را به صورت خطی فرمول‌بندی کنید.

آیا فرمول‌بندی شما یک مساله حمل و نقل است؟

اگر نه، مساله را به صورت یک مساله حمل و نقل دوباره فرمول‌بندی کنید.

شخصی 2200 دلار را می‌خواهد در پنج سال آینده سرمایه‌گذاری کند.

در شروع هر سال او می‌تواند پولش را برای یک دوره یک ساله یا دو ساله به حساب بگذارد.

بانک 8 درصد سود به ازای هر سال سپرده و 17 درصد (در کل) برای دو سال سپرده می‌پردازد.

به علاوه، شرکتی برای سه سال سود تضمینی پیشنهاد می‌کند که شروع آن در شروع سال دوم است.

این تضمین شامل 27 درصد (در کل) است و اگر این شخص موجودی‌اش را هر سال سرمایه‌گذاری کند، یک برنامه خطی ارائه دهید تا به او نشان دهد چگونه باید سرمایه‌گذاری کند تا در سال پنجم پول نقدش ماکزیمم گردد.

یک کارخانه فولادسازی تیرآهن به شکل I را در چهار اندازه کوچک، متوسط، بزرگ و خیلی بزرگ تولید می‌کند.

هر یک از ماشین‌های B, A و C می‌تواند این تیرآهن‌ها را تولید کند.

طول تیرآهن‌های تولیدی توسط ماشین‌ها در هر ساعت چنین خلاصه می‌شود: با فرض اینکه از هر ماشین تا 50 ساعت در هفته می‌توان استفاده کرد و نیز هزینه هر ساعت کار این ماشین‌ها، به ترتیب 30، 50 و 80 دلار است.

علاوه بر این با فرض اینکه 10000، 8000، 6000 و 6000 فوت از اندازه‌های مختلف تیر I در هر هفته لازم است.

مساله زمان‌بندی ماشین را به صورت برنامه‌ریزی خطی فرمول‌بندی کند.

یک شرکت دو نوع پنیر تولید می‌کند: پنیر سوئیسی و پنیر تند.

شرکت 60 کارگر مجرب دارد و می‌خواهد تعداد نیروی کار خود را به 90 کارگر در طول 8 هفته آینده افزایش دهد.

هر کارگر مجرب می‌تواند سه کارگر تازه استخدام جدید را در یک دوره 2 هفته‌ای آموزش دهد که در طول این مدت کارگران آموزش دهنده چیزی تولید نمی‌کنند.

تولید 10 پوند پنیر سوئیسی یک ساعت و تولید 6 پوند پنیر تند نیز یک ساعت وقت می‌گیرد.

یک هفته کاری چهل ساعت است.

تقاضای هفتگی (بر حسب 1000 پوند) چنین خلاصه می‌شود: فرض کنید هر کارگر کارآموز همان حقوق کارگر مجرب را دریافت کند.

علاوه بر این، فرض کنید تاریخ مصرف پنیرها یک هفته باشد.

شرکت چگونه باید دستمزد بپردازد و نیروهای جدید را آموزش دهد تا هزینه دستمزدها کمترین شود؟

مساله را به صورت برنامه خطی فرمول‌بندی کند.

یک میله فولادی به طول 36 اینچ داریم و با کمک یک دستگاه برش می‌خواهیم قطر آن را از 14 اینچ به 12 اینچ برسانیم.

x1 سرعت دورانی (دور در دقیقه)، x2 سرعت عمقی (اینچ در دقیقه) و x3 سرعت طولی‌ (اینچ در دقیقه) کمیت‌های موردنظر هستند که باید مشخص شوند.

مدت زمان برش با رابطه داده می‌شود.

تراکم و فشار کنارز وارد بر دستگاه برش به ترتیب با رابطه 30x1+4000x2 و 40x1+6000x2+6000x3 پوند بر اینچ مربع است.

درجه حرارت تیغه برش بر حسب فارنهایت (x2+x3)150+x15/0+200 است.

ماکزیمم تراکم، فشار کناری و درجه حرارت مجاز به ترتیب 150000 و 100000 هر اینچ مربع و 800 درجه فارنهایت است.

می‌خواهیم سرعت (که باید در فاصله 600 تا 800 دور در هر دقیقه باشد)، عمق برش و طول برشرا تعیین کنیم، به طوری که زمان برش مینیمم شود.

برای بکارگیری یک مدل خطی تقریب زیر ارائه می‌شود.

چون مینیمم است، اگر و فقط اگر x2x3 ماکزیمم باشد، تابع هدف با ماکزیمم مینیمم x2 و x3 جایگزین می‌کنیم.

مساله را به صورت یک مدل خطی فرمول‌بندی کنید و درستی تقریب بکار رفته در تابع هدف را بررسی کنید.

پالایشگاهی می‌تواند دو نوع نفت خریداری کند: نفت خام سفید و نفت خام سنگین.

هزینه هر بشکه به ترتیب 11 و 9 دلار است.

محصول گازوئیل، نفت سفید و سوخهت هواپیمای تولیدی از هر بشکه مطابق جدول زیر است: قابل توجه است که در هنگام فرآیند پالایش به ترتیب 5 و 8 درصد آنها هدر می‌رود.

پالایشگاه برای تحویل 1 میلیون بشکه گازوئیل، 400000 بشکه نفت سفید و 250000 بشکه سوخت هواپیما قراردادی امضا کرده است.

مساله یافتن تعداد بشکه‌های دو نوع نفت خاک را برای برآوردن تقاضا و مینیمم‌سازی کل هزینه به صورت یک مدل خطی فرمول‌بندی کنید.

شرکتی مونتاژ محصولی را برعهده دارد که شامل قاب، میله فلزی و بلبرینگ است.

شرکت میله فلزی و قاب را خود تولید می‌کند، اما بلبرینگ را از تولید کننده دیگری خریداری می‌کند.

هر میله فلزی باید مراحل ماشین‌ سندان، ماشین تراش و ماشین تیزکن را بگذارند.

این مراحل به ترتیب 5/0، 2/0 و 3/0 ساعت برای هر میله فلزی وقت‌ می‌گیرد.

هر قاب 8/0 ساعت در ماشین سندان، 1/0 ساعت در ماشین تیزکن، 20 ماشین سندان، 3 ماشین سوراخ‌کن و 6 آسیاب دارد.

با فرض اینکه هر ماشین ماکزیمم 2400 ساعت در هر سال کار می‌کند، مساله یافتن ماکزیمم تعداد مولفه‌های محصول تولیدی مونتاژ را به صورت یک مدل خطی فرمول‌بندی کنید .

یک شرکت تولید کننده تلویزیون تصمیم دارد تلویزیون‌های سیاه و سفید رنگی تولید کند.

ارزیابی بازار نشان می‌دهد که حداکثر می‌توان 1000 تلویزیون رنگی و 4000 تلویزیون سیاه و سفید در ماه فروش داشت.

ماکزیمم تعداد نفر ـ‌ ساعت موجود در هر ماه 50000 است.

یک تلویزیون رنگی 20 نفر ـ ساعت و یک تلویزیون سیاه و سفید 15 نفر ـ ساعت وقت می‌گیرد.

سود حاصل از تلویزیون‌های رنگی و سیاه و سفید به ترتیب 60 و 30 دلار است.

می‌خواهیم تعداد تلویزیون‌هایی را پیدا کنیم که شرکت باید از هر نوع تولید کند تا سود آن ماکزیمم شود.

مساله را فرمول‌بندی کنید.

یک تولید کننده محصولات پلاستیکی محصول جدیدی را با ترکیب چهار ماده شیمیایی طراحی کرده است.

این مواد عمدتاً حاصل ترکیب سه عنصر است: C, B, A.

درصد ترکیبی و هزینه هر واحد از این مواد شیمیایی در جدول زیر آمده است: محصول جدید شامل 20 درصد از عنصر A، حداقل 30 درصد از عنصر B و حداقل 20 درصد از عنصر C است.

با توجه به تاثیر مواد شیمیایی 1 و 2، این مواد از 30 و 40 درصد محصول جدید بیشتر نیست.

مساله یافتن حداقل هزینه ترکیبی را به صورت برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

یک مدیر تولید زمان‌بندی سه محصول روی چهار ماشین را برنامه‌ریزی می‌کند.

هر محصول می‌تواند با هر ماشین تولید شود.

هزینه تولید هر واحد (بر حسب دلار) چنین است: زمان لازم (بر حسب ساعت) برای تولید هر واحد محصول در هر ماشین در جدول زیر آمده است.

فرض کنید که 4000، 5000 و 3000 واحد از محصولات مورد نیاز است و نیز ماشین ـ ساعت موجود به ترتیب 1500، 1200، 1500 و 2000 باشد.

مساله زمان‌بندی را به صورت یک برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

یک تولید کننده مبلمان خانگی سه کارخانه دارد که در هر هفته، 500، 700 و 600 تن الوار احتیاج دارد.

تولید کننده الوارهای مورد نیازش را از سه شرکت می‌تواند خریداری کند.

دو شرکت اول در تحویل الوارها واقعاً محدودیتی ندارند، ولی شرکت سوم به دلیل سایر تعهداتش حداکثر در هر هفته می‌تواند 500 تن الوار را تحویل دهد.

شرکت اول از راه‌آهن استفاده می‌کند و محدودیتی در توناژ باری که به تولید کننده تحویل می‌دهد ندارد.

از طرف دیگر، دو شرکت دیگر از کامیون برای حمل الوارها استفاده می‌کنند و ماکزیمم باری که می‌توانند به هر تولید کننده تحویل دهند، 200 تن است.

جدول زیر هزینه حمل و نقل از شرکت‌های الوار به کارخانه‌های مبلمان‌سازی را (بر حسب هر تن دلار) ارائه می‌دهد: مساله را به صورت یک برنامه‌ریزی خطی فرمول‌بندی کنید.

یک شرکت تعاونی می‌خواهد در سال آینده به 3 شرکت اقماری‌اش سی میلیون دلار اعتبار تخصیص دهد.

به علت تعهداتش به کارکنان ثابت شرکت و به دلایل دیگر، شرکت تعاونی یک حداقل تخصیصی برای هر یک از شرکت‌ها درنظر گرفته است.

این مبالغ به ترتیب 3، 5 و 8 میلیون دلار است.

شرکت اقماری 2 به خاطر ماهیت عملیاتی‌اش بدون افزایش سرمایه اولیه‌اش نمی‌تواند بیش از 17 میلیون دلار به کار اندازد.

شرکت تعاونی در حال حاضر تمایلی به افزایش سرمایه ندارد.

هر شرکت با پولی که دریافت می‌کند، فرصت اجرای پروژه‌های مختلفی را دارد.

نرخ بهره (به صورت درصدی از سرمایه‌گذاری) به ازای هر پروژه تدوین شده است.

به علاوه، در بعضی از پروژه‌ها در جذب سرمایه سقفی وجود دارد.

داده‌های هر پروژه در زیر آمده است: این مساله را به صورت یک برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

قرار است 10 جریب زمین برای بهره‌برداری در شهر نیویورک آماده شود.

مقامات شهر باید روی طرح توسعه تصمیم‌گیری کنند.

دو نوع طرح خانه‌سازی قرار است بررسی شود: خانه‌های کم‌درآمد و خانه‌های با درآمد متوسط.

در هر جریب زمین 20 واحد کم‌درآمد و 15 واحد با درآمد متوسط می‌توان خانه‌سازی کرد.

هزینه هر واحد از خانه‌های کم‌درآمد 13000 دلار هزینه هر واحد از خانه‌های با درآمد متوسط 18000 دلار است.

حداقل و حداکثر تعداد خانه‌های با درآمد کم که باید توسط مقامات شهری احداث شود، 60 و 100 است.

به طریق مشابه حداقل و حداکثر تعداد خانه‌های با درآمد متوسط 30 و 70 است.

ماکزیمم تعداد تقاضا بالقوه هر دو نوع طرح 150 برآورد می‌شود (که این رقم به دلیل وجود متقاضی یا متقاضیان همزمان دو نوع طرح از مجموع سقف‌های دو طرح کمتر است).

کل مبلغ رهن تعهد شده طرح جدید از دو میلیون دلار کمتر است.

سرانجام، مهندس مشاور تعداد خانه‌های کم‌درآمد را از یک و نیم برابر تعداد خانه‌های با درآمد متوسط 50 واحد بیشتر پیشنهاد کرده است.

الف) مینیمم هزینه مساله طرح‌ریزی جدید را به صورت برنامه‌ خطی فرمول‌بندی کنید و آن را به طور نموداری حل کنید.

ب) مساله را وقتی تابع هدف ماکزیمم تعداد خانه‌هایی بگیریم که قرار است ساخته شود، دوباره فرمول‌بندی کنید یک منطقه به نام m ناحیه مسکونی و تجاری تقسیم می‌شود.

هر ناحیه با یک گره نشان داده می‌شود و گره‌ها با خطوطی که نمایانگر مسیرهای اصلی هستند، به هم وصل می‌شود.

ساکنین نواحی مختلف می‌توانند به نواحی تجاری ناحیه خودشان یا نواحی دیگر بروند، به طوری که به هر گره تعدادی سفر ختم می‌شود یا مبداء تعدادی سفر است.

به ویژه، فرض کنید aij تعداد سفرهای به مبداء I و به مقصد j باشد و فرض کنید bij زمان سفر از گروه i به گره j باشد.

می‌خواهیم مسیرهای انتخابی توسط ساکنین را مشخص کنیم: الف) مساله را با یک شبکه مناسب شرح دهید.

ب) بعضی از عوامل موثر در این مساله تخصیص ترافیک را توسعه دهید و به ازای هر یک از آنها مدل مناسب را توصیه کنید.

مساله زمان‌بندی رسیدگی به دعاوی در یک دوره زمانی شامل n دوره را درنظر بگیرید.

فرض کنید bj ساعت‌های حضور قاضی در دادگاه در دوره jام، hij تعداد دعاوی نوع iام که در دوره jام طرح می‌شود، باشد.

ai تعداد ساعت‌های لازمی باشد که برای دعوای نوع iام باید صرف قضاوت کرد.

تعیین تعداد دعاوی نوع iام که باید در دوره jام رسیدگی شود، مدنظر است: الف) مساله را به صورت مدل خطی فرمول‌بندی کنید.

ب) مدل قسمت (الف) را به طریقی اصلاح کنید که رسیدگی به دعاوی برای یک مدت طولانی به تاخیر نیافتد.

فرض کنید m منبع تولید زباله و n مکان دفع آن وجود دارد.

مقدار زباله تولیدی در منبع iام ai و ظرفیت مکان jام و bj است.

می‌خواهیم از بین k ایستگاه کمکی که جهت انتقال زباله‌ها درنظر گرفته شده است، ایستگاه کمکی مناسب را انتخاب کنیم.

ایستگاه کمکی بالقوه kام دارای هزینه ثابت fK و ظرفیت qk و هزینه پردازش ak به ازای هر تن زباله است.

فرض کنید cik و ckj به ترتیب هزینه‌های حمل از منبع iام به ایستگاهع انتقال kام و از ایستگاه انتقال به مکان دفع زباله jام باشد.

مساله انتخاب ایستگاه انتقال و الگوی حمل و نقل مناسب است، به طوری که کل سرمایه و هزینه عملیاتی ایستگاه به علاوه هزینه حمل و نقل مینیمم شود.

این مساله را فرمول‌بندی کنید (راهنمایی: فرض کنید اگر ایستگاه انتقال kام انتخاب شود yk مساوی 1 است و سایر موارد صفر است).

یک بنگاه برنامه‌ریزی دولتی می‌خواهد مقادیر خرید نفت سفید مورد استفاده در n انبار را در m مزایده مشخص کنید.

فرض کنید ماکزیمم کمیت پیشنهادی در مزایده iام، ai گالن و نیز تقاضا انبار jام bj گالن باشد، فرض کنید cij هزینه هر واحد حمل و نقل از محل مزایده iام به انبار jام باشد.

الف) مساله مینیمم کردن کل هزینه خرید را به صورت برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

ب) فرض کنید وقتی کمیت سفارشی از سطح ai بیشتر شود، مزایده iام در هزینه هر واحد حمل و نقل تخفیفی پیشنهاد کند.

چگونه این تغییر را در مدل قسمت الف ایجاد می‌کنید.

کیفیت هوا در یک ناحیه صنعتی به طور بسیار زیادی به انتشار گازهای خروجی n کارخانه مستقر در آن ناحیه بستگی دارد.

هر کارخانه می‌تواند m نوع سوخت مختلف مصرف کند.

فرض کنید کل انرژی مورد نیاز کارخانه jام در هر روز bj واحد انگلیسی ترمال و نیز cij مقدار گاز خروجی به ازای هر تن سوخت مصرفی نوع iام در کارخانه jام است.

به علاوه، فرض کنید هر تن سوخت نوع iام، ci دلار هزینه دربر می‌دارد و نیز هر تن این نوع سوخت aij ترمال انرژی در کارخانه jام تولید می‌کند.

میزان آلودگی هوای این ناحیه از b میکروگرم در مترمکعب بیشتر نیست.

سرانجام، فرض کنید γj پارامتر اندازه‌گیری انتشار گازهای خروجی کارخانه jام باشد.

الف) مساله تعیین سوخت‌های ترکیبی که باید در هر کارخانه مصرف شود را فرمول‌بندی کنید.

ب) چگونه فن‌آوری یکسانی را که استفاده از بعضی سوخت‌های ترکیبی را در بعضی از کارخانه ممنوع می‌سازد، اعمال می‌کنید؟

ج) چگونه از بکارگیری یکسان آن در کارخانه‌ها مطمئن می‌شوید.

مواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد اصلیویتامین‌هاپروتئینکلسیمچربی خاکذرت81068سنگ آهک654106دانه سویا101266پودر ماهی4869 مواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیمواد مغذیویتامین‌هاویتامین‌هاپروتئینپروتئینکلسیمکلسیمچربی خاکچربی خاکتولیدحداقلحداکثرحداقلحداکثرحداقلحداکثرحداقلحداکثرخوراک گاو66748خوراک گوسفند66646خوراک طیور466646 هیدروکربن‌هاویتامین‌هاپروتئین‌هاچربی‌هاهزینه سرویس (دلار)سبزیجاتنخود131010/0نخود فرنگی152012/0بامیه151013/0ذرت261209/0ماکارونی421110/0برنج511107/0گوشتمرغ213170/0گوشت گاو385220/1ماهی366163/0دسرپرتقال131028/0سیب120042/0پودینگ100015/0ژله100012/0 تیرآهنماشینماشینماشینتیرآهنABCکوچک300600800متوسط250400700بزرگ200350600خیلی بزرگ100200300 نوع پنیرهفتههفتههفتههفتههفتههفتههفتههفتهنوع پنیر12345678پنیر سوئیسی1212121616202020پنیر تند88101012121212 گازوئیلنفت سفیدسوخت هواپیمانفت خام سفید4/02/035/0نفت خام سنگین32/04/02/0 ماده شیمیایی1234درصد A30204020درصد B20603040درصد C40152530هزینه/کیلوگرم20302015 ماشینماشینماشینماشینمحصول1234144572675631210811 ماشینماشینماشینماشینمحصول123413/025/02/02/022/03/02/025/038/06/06/05/0 کارخانه مبلمان سازیکارخانه مبلمان سازیکارخانه مبلمان سازیکارخانه مبلمان سازیشرکت الوار123123525/248/4336/32/3 شرکت اقماریپروژهنرخ بهرهسقف سرمایه‌گذاری118%6 میلیون دلار126%5 میلیون دلار137%9 میلیون دلار245%7 میلیون دلار258%10 میلیون دلار269%4 میلیون دلار3710%6 میلیون دلار386%3 میلیون دلار