دانلود مقاله بررسی حرکت شتابدار

بررسی حرکت شتابدار
حرکت شتابدار، حرکتی است که در آن مقادیر سرعت در طول زمان تغییر می‌کند.

به این ترتیب، مقدار عدد سرعت در ثانیه‌هاس متفاوت، متغیر خواهد بود.

در صورتی که این تغییرات بصورت خطی باشد، شتاب حرکت، عدد ثابتی است.

a عدد ثابتی است

خلاصه:
1) برای حرکت یکنواخت با شتاب صفر (a=0)

2) حرکت شتابدار
xمستقل از
t‌مستقل از
در حرکت شتابدار توسط سقوط آزاد g به جای a جایگزین می‌شود:

مثال: جسمی با سرعت اولیه به طرف بالا پرتاب می‌شود.

مطلوب است: ( )
الف) زمان اوج ب) ارتفاع اوج ج) وضعیت جسم در ثانیه 5/1

د) وقتی که زمان طی شده یک ثانیه باشد، مطلوب است محاسبه ارتفاع طی شده.

مثال) یک سفینه در مراحل آخر فرود تحت تاثیر نیروی رانش معکوس موتور خود را با سرعت به فاصله 6 متر از سطح ماه می‌رساند.

اگر در لحظه موتور ناگهان خاموش شود، سرعت برخورد سفینه را با ماه محاسبه کنید.

شتاب گرانش ماه را فرض کنید.

مثال) توپی با سرعت m/s 24 در لبه یک صخره 60 متری به سوی بالا پرتاب می‌شود.

h ارتفاعی که توپ بالا می‌رود و t زمان از هنگام پرتاب تا رسیدن به پای صخره را حساب کنید.

معادله تغییرات حرکت متحرک بر حسب زمان به شرح زیر است:

سرعت جسم را در ثانیه دهم محاسبه کنید.

شتاب جسم را در زمان‌های t=0.5, 10s بدست آورید.

معادله حرکت متحرکی به صورت است.

مطلوب است محاسبه شتاب در ثانیه پنجم و مسافت طی شده در حد فاصل ثانیه دوم و سوم.

حرکت بر مسیر منحنی

حرکت بر مسیر منحنی:

مبداء حرکت نسبت به محور xها و yهاست.

تعیین معادلات نیز باید بر اساس یک مبداء مشخصی باشد.

متحرک در پلان فوق از نقطه A به نقطه B رسیده است.

در طول حرکت خود دارای است، در صورتی که ناظر روی محور x' باشد، این نوع حرکت، مستقیم‌الخط است، اما در صورتی که ناظر در نقطه o قرار گیرد، در آن صورت نوع حرکت متحرک از نگاه ناظر یک نوع حرکت زاویه‌دار است.

یعنی زاویه متحرم از θ1 θ2 رسیده است، این مابه‌التفاوت را با Δθ یا dθ نمایش می‌دهند.

لذا تغییر متحرک از نگاه ناظر o یک تغییر زاویه‌ای است.

به سرعت این متحرک ω می‌گویند و رابطه آن عیناً مانند رابطه خطی است.

سرعت زاویه‌ای به تغییرات سرعت در واحد زمان، شتاب زاویه‌ای می‌گویند و با α نمایش می‌دهند: شکل کلی این مساله نیز همانند مساله خطی است.

مثال) رابطه بر حسب زمان در خصوص متحرکی به شکل زیر است.

مطلوب است محاسبه سرعت زاویه‌ای ω در لحظه t=4s و تعیین تغییرات شتاب در زمان t=4 تا t=6.

مثال) مطلوب است تعداد دور توسط A وقتی سرع زاویه‌ای آن از Rad/s60 به Rad/s20 کاهش می‌یابد.

(α=3Rad/s2).

یک دو کامل، 2n است.

حرکت با شتاب صفر مثال) گوله توپی با سرعت اولیه m/s300 و با زاویه ْ30=α از نقطه A پرتاب می‌شود.

مطلوب است: الف) تعیین مقادیر R (برد)، h (ارتفاع اوج) و t (زمان اوج).

ب) محاسبه بهترین حالت پرتاب که بیشترین برد را داشته باشد.

سیستم مختصات عمودی ـ مماسی (n-t): برای بیان حرکت در حالت حرکت در مسیر منحنی به غیر از سیستم دکارتی، سیستم دیگری به نام عمودی مماسی وجود دارد که نحوه بررسی حرکت ذره بر روی آن به صورت زیر است: ذره از نقطه A به B می‌رسد، ممکن است سرعت آن که همواره مماس است، متغیر یا ثابت باشد، منحنی در فاصله کوتاه dx به اندازه dθ تغییر مکان می‌دهد.

dx=ρ.dθ ρ: شعاع انحنا (در حالت خاص دایره ρ=r) سرعت تابعی از تغییر جابجایی ذره در واحد زمان (Vn=0 در جهت مرکز، سرعت صفر است).

شتاب تغییرات سرعت در واحد زمان at شتاب مماس مربوط به Vt است اگر ρ ثابت باشد: به ذره‌ای که بر مسیر منحنی حرکت می‌کند، علاوه بر شتاب مماسی، شتاب جانب مرکز یا شتاب عمودی وارد می‌شود.

این شتاب عمودی در راستای مرکز انحنا می‌باشد و به شرح زیر است: بنابراین راستای شتاب جانب مرکز به طرف مرکز بوده و اندازه آن با کمک روابط به صورت زیر بدست می‌آید: شتاب در صفحه با دو مولفه مشخص می‌شود، چون روی دو محور t, n قرار داریم، لذا دو بردار که en, et داریم، مثل i, j.

لذا: مثال: راننده‌ای با توجه به پستی و بلندی جاده، پدال ترمز را به نحوی فشار می‌دهد که سرعت اتومبیل با شتاب منفی ثابتی کاهش می‌یابد.

سرعت اتومبیل در پایین سراشیبی در نقطه A برابر با km/h100 و در بالای سربالایی در نقطه c برابر است با km/h50.

فاصله این دو نقطه برابر است با 120 متر و کل شتابی که سرنشینان اتومبیل در A حس می‌کند، برابر با m/s2 3 می‌باشد و شعاع انحنا یا برآمدگی جاده در نقطه c برابر با 150متر است (نقطه B نقطه عطف است).

مطلوب است: الف) شعاع انحنا مسیر در نقطه A را بدست آورید.

ب) شتاب اتومبیل در نقطه B را بدست آورید.

ج) شتاب کل اتومبیل را در نقطه C بدست آورید.

سیستم مختصات قطبی: پس از یادگیری سیستم مختصات دکارتی، سیستم دیگری به نام عمودی مماسی بررسی شد.

اینک در خصوص سیستم قطبی (r-θ) بحث می‌شود.

ممکن است حرکت در ----- به حرکت آن در قالب یکی از دستگاه‌ها سریعتر به جواب برسد.

لذا ممکن است یک یا دو بار دستگاه فوق استفاده شود: در سیستم (r=θ): برای حالت سیستم قطبی مقادیر سرعت و شتاب عبارتند از: مقادیر V عبارتند از: اگر حرکت ذره فقط در راستای r بدون هیچ تغییر زاویه‌ای باشد (ثابت = θ)، تنها Vr داریم: محاسبه a کل که ناشی از ar, aθ است، نیز همان a کل دو مختصات x-y, n-t است.

مسائل دینامیک با توجه به آسانی استفاده از این روابط قابل حل خواهد بود.

معمولاً در این قبیل مسائل معمولاً مقادیر r, θ، یعنی توابع حرکت ذره بر روی لغزنده‌ها به صورت فرمولی از زمان ارئه می‌گردد و با مشتق‌گیری هر جزء مقادیر Vθ, Vr, aθ, ar بدست می‌‌آید: مراحل حل مساله: مثال) اتومبیلی روی مسیر افقی که شعاع آن 80 است، از حال سکون حرکت می‌کند.

تندی اتومبیل با آهنگ ثابتی حرکت می‌کند (ثابت=a) افزایش می‌یابد و در مدت 10 ثانیه به سرعت km/h100 می‌رسد.

8 ثانیه بعد از شروع حرکت، شتاب چقدر است؟

مثال) قطاری با سرعت km/h100 در قسمتی از مسیر خود به صورت مسیر منحنی است، وارد می‌شود و سرعت خود را با شتاب منفی ثابت در مدت 12 ثانیه به km/h50 می‌رساند.

شتاب‌سنجی که در داخل قطار نصب گردیده، 6 ثانیه بعد از ورود قطار به این قسمت شتاب افقی آن را برابر m/s22 نشان می‌دهد.

شعاع انحناء مسیر در لحظه موردنظر چقدر است؟

سنتیک بررسی نقش دوم مسائل دینامیک از طریق روش‌های: 1.

نیوتنی 2.

کار و انرژی 3.

ضربه یا ------- (برخورد) از میان روش‌های بالا که خلاصه آنها به صورت زیر است: بخش دوم مربوط به سنتیک ذرات است که در آن حضور نیرو بررسی می‌گردد که این بررسی با یکی از سه روش گفته شده انجام می‌گیرد.

بسته به نوع مساله، از یکی از این روش‌ها کمک می‌گیریم.

برای روش نیوتنی آنالیز همانند مسائل استاتیکی است، با این تفاوت که در آنها است، بلکه تابعی از شتاب متحرک است، در صورت وجود تعادل (سرعت ثابت) (که حالت خاصی از تعادل است)، شتاب صفر خواهد بود و می‌باشد.

مسائل مربوط به سنتیک همانند مسائل استاتیک نیاز به ترسیم ترسیمه آزاد دارد، یعنی در ابتدا باید شکل درستی از مجموعه نیروهای وارد بر جسم ترسیم و سپس مقادیر شتاب برای آن محاسبه شود.

به مثال زیر توجه شود.

مثال) مردی به جرم 75 کیلوگرم در داخل یک آسانسور روی ترازوی فنری ایستاده است.

آسانسور از حالت سکون به حرکت درمی‌آید.

در 3 ثانیه اول حرکت نیروی کششی T آسانسور به 8300 نیوتن می‌رسد.

ترازو در این مدت چه عددی را نشان می‌دهد.

سرعت در ثانیه سوم را نیز محاسبه کنید.

جرم آسانسور، مرد و ترازو جمعاً 750 کیلوگرم است (g=9.81m/s2).

کل جسم با شتاب a بالا می‌رود.

لذا این a مربوط به آسانسور، ترازو و مرد است.

برای محاسبه عددی که ترازو نشان می‌دهد، باید دیاگرام آزاد را برای آن ترسیم نماییم.

این دیاگرام آزاد تعادلی است، بین مرد و ترازو.

مثال) هواپیمایی با سه چرخ و چهار موتور که هر موتور نیروی جلو برنده‌ای برابر 6000 نیوتن دارد، از حالت سکون شروع به حرکت می‌کند.

در صورتی که نیروی اصطکاک برای هر چرخ برابر 200 نیوتن باشد، مطلوب است شتاب حرکت (μ=0.2, m=300ton).

(a) (جرم هواپیما) = (نیروی مخالف) – (نیروی جلو برنده) نکته: در سفینه: m.s = (وزن + مقاومت هوا) – (نیروی بالا برنده) مثال) در آزمایش ترمز اتومبیلی به جرم 150 کیلوگرم که موتور آن در عقب قرار دارد، مشاهده شده است که اتومبیل در حرکتی با سرعت اولیه km/h 100 پس از طی مسافت 50 متر متوقف می شود.

می‌دانید که نیروی موتور چهار چرخ اتومبیل یکسان است.

با فرض اینکه شتاب اتومبیل در این حرکت ثابت باشد، نیروی ترمز هر یک از چرخ‌ها را بدست آورید.

مثال) صندوقی به جرم 50 کیلوگرم با سرعت اولیه m/s8 از سطح شیب‌دار نشان داده شده به پایین هل داده می‌شود.

زمان t برای متوقف شدن جعبه در فاصله پیموده شده را در حالت زیر بدست آورید.

سوال) در چه زاویه‌ای بدون اعمل نیرو (بدون) جسم شروع به حرکت می‌کند؟

روابط کشاورزی: حاصل ضرب نیرو در راستای انتقال ذره که آن ذره را به اندازه dx جابجا نماید، با فرمول ω=f.x نشان می‌دهیم که دیمانسیون آن ML است و برای عدم تشابه به واحد گشتاور با ژول نشان می‌دهیم.

در این مبحث با کمک مسائل تحلیل می‌شود.

در شکل الف ذره‌ای به جرم m به اندازه x از نقطه 1 به 2 منتقل شده است.

لذا کار انجام شده برابر است با ω=f.x و در شکل (ب) کار انجام گرفته برابر است با تصویر نیروی F در راستای x.

طبیعتاً این جابجایی ذره در سمت فوق از V1 به V2 رسیده و با توجه به عدم وجود اصطکاک به ازای نیروی وارده، یک نیروی جنبشی در آن ذخیره می‌شود.

انرژی جنبشی که با تعمیم رابطه VdV=adx بدست می‌آید، به رابطه: صندوق شکل مقابل در نقطه A با سرعت اولیه m/s4 به طرف پایین سطح شیبدار حرکت می‌کند، سرعت صندوق در نقطه B چقدر است؟

با کمک رابطه انرژی VB را بدست آورید (μk=0.3).

حل: در روش انرژی باید تعادل کار خارجی و انرژی جنبشی با هم برابر باشند: با کمک روش‌های نیرویی (F=ma) می‌توان حرکت در مسیر منحنی را نیز تحلیل نمود.

حرکت بر مسیر منحنی از دو دستگاه مختصات (r-θ, n-t) مورد بررسی قرار گرفت، در صورتی که ذره‌ای بر مسیر منحنی حرکت نماید، نیز دارای تصاویری از F است.

همچنین در سیستم قطبی (r-θ) نیز: مثال) در شکل مقابل، حداکثر سرعتی که قطعه هنگام عبور از A را داشته باشد، بی‌آنکه تماسش با سطح قطع شود، چقدر است؟

در رابطه بالا دیده می‌شود که افزایش و کاهش سرعت کنده شدن به مقدار شعاع انحنا بستگی دارد.

هرچه ρ بزرگتر باشد، ذره می‌تواند با سرعت بیشتری حرکت کند و کنده شود.

خطر کنده شدن زمانی است که ρ کم شده باشد.

مثال) اتومبیلی به جرم 1500 کیلوگرم در جاده‌ای افقی به قسمت پیچ و خم می‌رسد و سرعت خود را با آهنگ یکنواختی از km/h100 در A به km/h50 در c می‌رساند.

ρ در A برابر 400 متر و در C برابر 80 متر است.

کل نیروی افقی وارده که جاده بر چرخ‌های اتومبیل وارد می‌کند، در C,B,A بدست آورید.

نقطه B نقطه عطف تغییر قوس است.

جسم 2 کیلوگرم نشان داده شده با سرعت m/s5/3 از نقطه B واقع در بالای قسمت دایره‌ای سطح می‌گذرد.

الف) مقدار نیروی عمودی nB را که به سطح موردنظر وارد می‌کند، بدست آورید.

ب) حداکثر سرعتی که جسم می‌تواند در A داشته باشد، بی‌آنکه تماس با سطح قطع شود، چقدر است؟

مثال) کامیون شکل مقابل که صندوق به جرم 80 کیلوگرم را حمل می‌کند، از حالت سکون به راه می‌افتد و در حرکتی با شتاب ثابت پس از طی مسافت 75 متر در جاده مسطح به سرعت km/s72 می‌رسد، کاری را که نیروی اصطکاک وارد بر صندوق در این مدت وارد می‌کند، بدست آورید.

ضریب اصطکاک استاتیکی و جنبشی بین صندوق و کف کامیون برابر است با 3/0 و 28/0 ب) 25/0 و 2/0.

نکته: نیروی ناشی از حرکت کامیون بر اجزای -------: الف) استاتیکی 3/0 دینامیکی 28/0 ب) استاتیکی 25/0 دینامیکی 2/0 مولفه‌های دوم و سوم انرژی: نیرو عامل حرکت است و اساساً هر کاری حضور نیرو معنی پیدا می‌کند.

کار یک کمیت اسکالر است و اساساً ماهیت آن مثبت است، یعنی تولید را نرمال می‌نماید.

در مقابل کار همواره مولفه‌های مقاوم وجود دارند (Rassive) که میزان راندمان را کاهش می‌دهند.

بطور کلی کار حاصل از اعمال نیرو به سه حالت تجزیه می‌شوند: d موازی و در راستای نیروی F (F.d) حاصل ضرب داخلی d*F حاصل ضرب خارجی d عمود بر راستای F است.

k: سختی فنر V2: سرعت ثانویه V1: سرعت اولیه Δh: اختلاف ارتفاع ثانویه از اولیه x2: طول افزایش یافته ثانویه x1: طول افزایش یافته اولیه کار حاصل از اعمال نیرو بر حرکت ذره برابر است با کار حاصل از انرژی جنبشی، انرژی پتانسیل و انرژی فنر موقعیت ذره در انتها نسبت به ابتدای کار سنجیده می‌شود (به مسیر بستگی ندارد)، به عنوان مثال در شکل در صورتی که V2=0, V1=0 باشد، UΔt=0 مثال) مطلوب است محاسبه سرعت عبور گلوله از نقطه B: قطعه از A در مسیر ربع دایره از حالت سکون حرکت می‌:ند و در انتهای ربع دایره به مسیر مستقیم B-C می‌رسد، ضریب سختی فنر برابر N/m30 می‌باشد و کشیدگی فنر در A برابر 40 سانتیمتر می‌باشد.

مطلوب است سرعت ذره در لحظه عبور از نقطه B (جرم ذره 2 کیلوگرم می‌باشد).

کلیه واحدها باید متناب باشند: مثال) جرم m برابر 20 کیلوگرم روی سطح شیبدار قرار دارد.

در نقطه A فشردگی فنر برابر 6- سانتیمتر طول خط AC برابر 60 سانتیمتر و طول خط CB برابر 40 سانتیمتر می‌باشد و نیروی T برابر با 300 کیلوگرم و AB برابر است با 300 سانتیمتر.

در لحظه عبور از نقطه B سرعت قطعه را بدست آورید (بر حسب K) و طول فنر 15 سانتیمتر می‌باشد.

تنها مجهول VB است که بدست می‌آوریم.

اگر شتاب حرکت را بخواهیم از رابطه V2-Vo2=2ax بدست می‌آوریم.

اگر مقادیر AC, BC را نداشته باشیم، باید از روابط مثلثاتی استفاده نماییم.

مثال) مقدار کشش P را در کابل شکل زیر به گونه‌ای محاسبه کنید که بلوک 400N شتاب پایای m/s22 را به سمت بالا داشته باشد.

مثال) یک گلوله فولادی توسط دو طناب A, B در داخل یک قاب شتابدار به صورت معلق نگه داشته شده است.

اندازه شتاب A را به گونه‌ای تعیین کنید که کشش در طناب A دو برابر مقدار آن در طناب B شود.

مثال) n نسبت نیروی رانش خالص به وزن هواپیمای جت چقدر باشد تا هواپیما بتواند با زاویه θ نسبت به افق و با شتاب a اوج بگیرد.

مثال) در سیستم شکل زیر هنگامی که x=0 است، فنر در حال کشیدگی است.

اگر جسم از حالت اولیه خودش که در x1=100mm است، حرکت کرده و موقعیت‌ رهایی خود که x2=200mm است، برسد، آنگاه: الف) مقدار کار انجام شده از جانب فنر بر روی جسم را محاسبه کنید.

ب) کار ناشی از وزن جسم را بر روی آن محاسبه نمایید.

مثال) یک بلوک کوچک در نقطه A با سرعت m/s5 در حال حرکت است.

با چشم‌پوشی از اصطکاک سرعت این بلوک را در نقطه B حساب کنید.

اگر شعاع انحنا در B برابر 200 متر باشد، شتاب کل وارد بر ذره در نقطه B را حساب کنید.

مثال) صندوق 30 کیلوگرم از مسیر خمیده در صفحه به پایین می‌لغزد.

اگر سرعت صندوق در نقطه A برابر m/s2/1 باشد، در جهت شیب و در نقطه B برابر m/s8 باشد، کار انجام شده بر روی صندوق را از نقطه A تا B محاسبه کنید.

مثال) یک مسیر فنری اتومبیل به گونه‌ای طراحی شده است که اتومبیل از سرعت km/h8 پس از آنکه فنر داخل آن به اندازه mm150 تغییر شکل یافت، از حرکت باز ایستد.

سختی مورد نیاز هر یک از فنرها را برای این کار تعیین کنید (m=1500kg).

مثال) یک قلاف کوچک که دارای جرم m است که از نقطه A و از حالت سکون رها خواهیم کرد که بدون اصطکاک به طرف پایین خواهد لغزید.

سرعت برخورد در نقطه B را حساب کنید.

مثال) غلاف A که دارای وزن 120 نیوتن است، از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده رها خواهد شد.

سپس بر اثر نیروی ثابت P=200N که به کابل اعمال می‌شود، بر روی میله بدون اصطکاک که دارای زاویه شیب 30 درجه است، به سمت بالا کشیده خواهد شد.

اندازه سختی میز را به نحوی حساب کنید که حداکثر تغییر طول که در فنر ایجاد خواهد شد، برابر 150 میلی‌متر باشد، قرقره کوچک B در مکان خود ثابت باقی خواهد ماند.

مثال) یک جرثقیل تخریب ساختمان که با سرعت km/h2/3 در حال حرکت است.

ناگهان توقف می‌کند.

در این صورت، حداکثر زاویه θ را برای نوسان کابل گلوله تخریب کنند، بدست آورید.

مثال) یک گوی که وزن آن برابر 4 کیلوگرم است و میله متصل به آن که دارای وزن اندکی است، در یک ---- قائم و حول محور گذرنده از o دوران خواهد کرد.

اگر بر اثر نیروی 60 نیوتن که همواره بر امتداد میله عمود است، میله را از حالت سکون و در موقعیت θ=0 حرکت دهیم، آنگاه سرعت V گوی را در لحظه‌ای که اندازه‌ی زاویه θ به 90 درجه نزدیک می‌شود، را حساب کنید.

گوی را می‌توانید به عنوان یک ذره فرض کنید.

مثال) یک غلاف که دارای جرم 2 کیلوگرم می‌باشد، از حالت سکون در موقعیت A رها کرده و غلاف بر روی یک میله ثابتی که در ------- قائم قرار داشته و شیب دارد به سمت پایین می‌لغزد.

با فرض ضریب اصطکاک سنتیکی برابر 4/0: الف) سرعت V غلاف را هنگام رسیدن و برخورد آن به فنر را بدست آورید.

ب) حداکثر تغییر شکل x در فنر را حساب کنید.

الف) ب) مثال) یک طوقه که دارای وزن 300 گرم است، به صورت آزاد بر روی یک میله ثابت منحنی شکل که در صفحه قائم قرار دارد، بر اثر نیروی کششی 2/5 نیوتن توسط طناب از A تا B حرکت خواهد کرد.

سرعت طوقه را به شرطی که در نقطه A ساکن بوده باشد، در نقطه B بدست آورید.

دستگاه مختصات انتقالی دستگاه‌های مورد بررسی تاکنون ثابت بوده و حرکتی نداشتند.

در این جلسه در خصوص وضعیتی از ذره که در آن دستگاه‌های مختصاتی خود نیز انتقالی می‌باشد، بحث می‌شود.

دو نوع حرکت وجود دارد: 1) حرکت بر روی خط راست 2) خرکت بر مسیر منحنی در شکل زیر، ذره A به طرف محور yها در حرکت است و ذره B با سرعت VB به سمت منفی محور xها در حرکت است.

در شرایط فعلی سرعتی که ذره از نگاه ناظر B دارد، برابر است با: همچنین سرعت B از نگاه ناظر A برابر است با: ضربه یا مومنتوم: با انتگرال‌گیری از رابطه F=ma نسبت به زمان می‌توان تغییرات زمانی را بر طول اعمال نیرو بر ذره به صورتی بدست آورد که به این ترتیب روابط تابعی از زمان باشند.

در هنگام محاسبات t فقط مربوط به دوره‌ای می‌باشد که در آن نیروی F به صورت مستمر بر ذره وارد شده است، همانند نیروی وزن: با انتگرال‌گیری از رابطه بالا بر حاصل ضرب f.t ضربه می‌گویند: که با حاصل ضرب جرم در تفاضل سرعت ذره در انتها به ابتدا برابر است: به این ترتیب، f.t برابر است با: در بخش دوم، در خصوص حرکت منحنی به دلیل‌ آنکه ذره متحرک روی مسیر منحنی دارای یک سرعت زاویه‌ای نیز می‌باشد، لذا جمله r*ω نیز به آن اضافه می‌گردد.

مثلاً اگر B بر مسیر منحنی باشد: در صورتی که هر دو ذره بر روی مسیر منحنی باشد، در هر دو جمله سرعت نسبی جمله rω برای آن ذره مربوطه نوشته می‌شود.

مثال) دو هواپیما بر مسیرهای زیر در حال حرکت می‌باشد.

مطلوب است محاسبه سرعت‌های نسبی در هواپیما به یکدیگر.

در ادامه بحث، انرژی و بقایای آن حالت پایانی مربوط به ضربه می‌باشد که آن در صورت عدم وارد شدن نیرو در لحظه ضربه مومنتوم دارای بقا می‌باشد.

این روابط قبلاً به صورت تعریف شده بود و شامل مجموعه نیروهایی بوده است که عامل ضربه می‌باشد و با G نمایش می‌دهیم و .

در لحظه ضربه (برخورد) این بقاء با فرمول‌های زیر مشخص می‌شود: شکل توسط یافته فرمول فوق در خصوص برخورد دو گلوله بصورت زیر است (در سطح افقی صیقلی).

سوال) وزن m چقدر باشد تا جسم واژگون نشود؟

اصل بقای مومنتوم خطی درمورد ضربه در راستای دو محور x, y می‌شود راندمان ضربه در راستای محوری است که مراکز ثقل را به هم متصل می‌کند.

در راستای محور xها (عمود بر محور گذرنده از مراکز ثقل) اصولاً ضربه‌ایی وجود ندارد.

هدف از طرف مسائل ضربه، بدست آوردن سرعت انجام پس از برخورد است.

چون در لحظه ضربه، نیروی دیگری وارد نمی‌شود، لذا قانون بقای مومنتوم خطی برقرار است: بعد از ضربه = قبل از ضربه داریم: در راستای محور xها که اساساً ضربه‌ای به وقوع نپیوسته است: به این ترتیب با داشتن روابط فوق می‌توان مقادیر را محاسبه نمود.

ممکن است در این مساله به دلیل اختلاف از و یا از و یا از اتفاقات دیگری به غیر از شکل شماتیک بالا اتفاق بیافتد که در همه آنها با داشتن روابط فوق می‌توان مقادیر مجهول را بدست آورد.

فرضیات بالا بر اساس خواص مواد همگن است و در صورتی که بخواهیم نوع جنس مواد را تغییر دهیم، در آن صورت ضریبی به نام ضریب بازگشت را تعریف نماییم که به خصوصیات مکانیکی آن مواد معرف است و برابر است با: رابطه کمکی بالا نیز با مشخص بودن e (جزو اطلاعات مساله است)، رابطه‌ای برای سرعت‌ها و زوایا بدست می‌آورد که به عنوان رابطه کمکی در محاسبه سرعت‌‌ها موثر است.

مثال) یک گلوله 50 گرم با سرعت m/s600 بطور افقی در راستایی که از مرکز قطعه 4 کیلوگرم می‌گذرد، با هم برخورد می‌کند و در آن فرو می‌رود.

این قطعه قبل از برخورد گلوله با سرعت m/s12 در جهت نشان داده شده در حرکت بوده است.

بردار سرعت قطعه و گلوله را بلافاصله پس از برخورد بدست آورید.

مثال) گلوله‌ای به جرم m=60kg با سرعت اولیه m/s200 به گلوله‌ای به جرم M=400kg که در حالت سکون می‌باشد، برخورد می‌کند.

در صورتی که e=0.75 باشد، مطلوب است مقادیر سرعت دو گلوله و زوایای آنها پس از برخورد.

سرعت نسبی دور شدنe=سرعت نسبی نزدیک شدنe=