ارتفاع مثلث ALTITUDE OF A Triangle
هر ارتفاع مثلث، پاره خطی است که یک سر آن یک رأس مثلث، و سر دیگر آن، پای عمودی است که از آن رأس بر ضلع مقابل به آن رأس فرود میآید؛ مانند ارتفاع هر مثلث، سه ارتفاع دارد، ، و که در یک نقطه مانند به نام مرکز ارتفاعی مثلث همرسند.
اندازه ارتفاعهای ، و را بترتیب با ، و نشان میدهند.
اصل نامساوی مثلثی Axiom Triangle Inequality
هر گاه A، B و C سه نقطه دلخواه باشند، آن گاه .
تساوی، وقتی برقرار است که سه نقطه روی یک خط راست، و نقطه B بین دو نقطه A و C باشد.
انتقال) توابع مثلثاتی Axiom Triangle Inequality
برای محاسبه مقادیر نسبتهای مثلثاتی در ربعهای دوم، سوم و چهارم میتوان از رابطههای زیر استفاده کرد:
توابع کسینوس و سینوس دورهای، با دوره ْ360 هستند:
تابع تانژانت دورهای، با دوره ْ180است:
همچنین از تبدیلهای زیر نیز میتوان استفاده کرد:
اندازه زاویه Measure of an angle
نسبت آن زاویه است، به زاویهای که به عنوان واحد زاویه اختیار شده است.
اندازه شعاع کره محاطی چهار وجهی منتظم
چهار وجهی منتظم
اندازه شعاع کره محیطی چهار وجهی منتظم
چهار وجهی منتظم
اندازه مساحت مثلث Area of a Triangle
برابر است با نصف حاصلضرب اندازه هر ضلع مثلث در اندازه ارتفاع نظیر آن ضلع.
اگر مساحت مثلث ABC را با S نمایش دهیم، داریم:
با توجه به این که است، داریم:
برای محاسبه مساحت مثلث از دستور که در آن و به دستور هرون Heron مرسوم است، نیز استفاده میکنند.
اندازه نیمسازهای زاویههای برونی مثلث Measure of external angle bisectors of triangle
تصفیه: در هر مثلث، مربع اندازه نیمساز هر زاویه برونی، برابر است با حاصلضرب اندازههای دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید میآورد، منهای حاصلضرب اندازههای دو ضلع آن زاویه.
یعنی اگر در مثلث ABC ADنیمساز زاویه برونی A باشد داریم:
اگر اندازه نیمسازهای زاویهای برونی A، B و C از مثلث ABC را بترتیب با ، da و db و dc محیط مثلث را با P2 نشان دهیم، داریم:
اندازه نیمسازهای زاویههای برونی مثلث Measure of internal angle bisectors of triangle
قضیه: در هر مثلث، مربع اندازه نیمساز هر زاویه درونی برابر است با حاصلضرب اندازه دو ضلع آن زاویه، منهای حاصلضرب دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید میآورد.
یعنی اگر AD نیمساز زاویه درونی A از مثلث ABC باشد، داریم:
اگر اندازه نیمسازهای زاویههای درونی A، B و C از مثلث ABC به ضلعهای BC=a ,AC=b و AB=c را بترتیب da، db و dc بنامیم، داریم:
تابع تانژانت Tangent function
این تابع به صورت tgx = yمیباشد.
دوره تناوب آن است.
کافی است نمودار تابع را در فاصله رسم کنیم.
برای رسم نمودار در فاصله منحنی را در امتداد xها به اندازه در سمت راست xها انتقال میدهیم؛ چون میباشد، منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارند و در دارای مجانب است.
تابع سینوس Sine function
این تابع به صورت y=sin x میباشد.
دوره تناوب آن 2 است.
کافی است نمودار تابع را در فاصله رسم کنیم و برای رسم منحنی در فاصله منحنی را در امتداد xها به اندازه 2 در سمت راست xها انتقال میدهیم.
و برای رسم منحنی در فاصله منحنی را به اندازه 2 در سمت چپ xها انتقال میدهیم.
تابع روی در ماکزیمم نسبی و در مینیمم نسبی و در x= دارای عطف میباشد.
تابع کتانژانت Cotangent function
این تابع به صورت y=cotg x میباشد.
کافی است نمودار را در فاصله رسم کنیم.
برای رسم نمودار در فاصله منحنی را در امتداد xها به اندازه در سمت راست xها انتقال میدهیم؛ چون میباشد.
منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارد و در و دارای مجانب و در عطف دارد.
این تابع به صورت y=socx میباشد.
دوره تناوب آن 2 است.
کافی است نمودار را در فاصله رسم نماییم و برای رسم منحنی در فاصله منحنی را به اندازه در سمت چپ xها انتقال میدهیم.
تابع روی در مینیمم نسبی و در و دارای عطف میباشد.
تابعهایی که ضابطه آنها به کمک نسبتهای مثلثاتی تعریف شده باشد.
هر یک از تابعهای زیر مثلثاتی است: توابع f(x)= sin x و g(x)=cos x و h(x) tgx و (x)=cotg x یا ترکیبی از آنها را توابع مثلثاتی نامند.
مثلاً تابع مثلثاتی میباشد.
مثال 1: دامنه تابع گنگ مثلثاتی روی کدام است؟
مثال 2: برد تابع برابر است با: مثال 3: برد تابع کدام است؟
مثال 4: مطلوب است نمودار در یک دوره تناوب 1.تابع با ضابطه در فاصله یک به یک بوده و دارای معکوسی به صورت یاو نمودار آن و مشتق آن میباشد.
2.تابع با ضابطه به ازاء ، تابع یک به یک بوده، معکوس آن وجود داشته به صورت یا و نمودار آن و مشتق آن به صورت میباشد.
3.
تابع با ضابطه به ازاء تابع یک به یک بوده و معکوس آن به صورت یا x=tg y و نمودار آن و مشتق آن میباشد.
4.
تابع با ضابطه y=cotg x به ازاء یک به یک بوده و معکوس آن به صورت یا و نمودار آن و مشتق آن میباشد.
1.اگر دو زاویه از یک مثلث، با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند.
2.اگر یک زاویه از یک مثلث، با یک زاویه از مثلث دیگر برابر، و ضلعهای مجاور به این زاویه در دو مثلث نظیر به نظیر متناسب باشند.
3.اگر سه ضلع از یک مثلث، با سه ضلع نظیر آنها از مثلث دیگر متناسب باشند.
دو مثلث در یکی از سه حالت زیر همنهشت خواهند بود: حالت اول.
هر گاه دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی، با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر، نظیر به نظیر مساوی باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و و و این دو مثلث همنهشتند.
حالت دوم.
اگر دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی، با دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و AC=DF,AB=DE,DEF و این دو مثلث همنهشتند.
حالت سوم.
هرگاه سه ضلع از مثلثی، نظیر به نظیر با سع ضلع از مثلثی دیگر، مساوی باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و BC=EF,AB=DE,DEF و AC=DF باشد، دو مثلث ABC و DEF همنهشتند.
حد و حد حد حد () این حدود نشان میدهند تابع و در هر نقطه پیوسته و تابع f(x)=tg x روی فاصله () پیوسته و تابع f(x)=cotg x روی فاصله () پیوسته است.
مثال: مطلوب است () حد، با استفاده از قضایای حدود داریم: حد 1.سه عمود منصف ضلعها، 2.سه نیمساز زاویههای درونی، 3.نیمسازهای دو زاویه برونی با نیمساز زاویه درونی سوم، 4.سه ارتفاع، 5.سه میانه.
دایرههایی هستند که بر یک ضلع و امتداد دو ضلع دیگر مثلث مماسند.
مرکز این دایرهها، نقطههای برخورد نیمسازهای دو زاویه خارجی و نمیساز زاویه درونی سوم است.
هر مثلث سه دایره محاطی برونی دارد.
شکل صفحه بعد، دایره محاطی برونی مثلث، مماس بر ضلع BC را نشان میدهد.
دایرهای به شعاع واحد است که روی آن نقطهای به عنوان مبدأ و جهتی به عنوان جهت مثبت حرکت، اختیار شده باشد.
در حالت عمومی، انتهای سمت راست قطر افقی را به عنوان مبدأ حرکت (نقطه A) و خلاف جهت حرکت عقربههای ساعت را جهت مثبت اختیار میکنند.
دایرهای است که بر ضلعهای مثلث مماس است.
مرکز این دایره، محل برخورد نمیسازهای زاویهای داخلی مثلث است.
دایرهای است که بر سه رأس مثلث میگذرد.
مرکز آن، نقطه بر خورد عمود منصفهای ضلعهای مثلث است.
برای حل دستگاههای مثلثاتی چند مجهولی، هیچگونه قاعده کلی که در حل تمام دستگاهها بتوان از آن استفاده کرد، وجود ندارد.
ولی در این مورد، برای حل دستگاههای چند مجهولی مثلثاتی، میتوان دستگاههای دو معادله دو مجهولی را به سه نوع کلاسیک دستهبندی کرد و طریقه حل هر یک را در حالت کلی بیان کرد.
1-دستگاههای مثلثاتی کلاسیک نوع اول: برای حل این نوع دستگاهها از اتحادهای تبدیل حاصل جمع به حاصل ضرب استفاده میکنیم.
برای مثال، دستگاه زیر را حل میکنیم: بنابر این،دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده زیر تحویل میشود: 2-دستگاههای مثلثاتی کلاسیک نوع دوم: برای حل این نوع دستگاهها، از اتحادهای تبدیل حاصلضرب به حاصل جمع استفاده میکنیم.
برا مثال، دستگاه زیر را حل میکنی: بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده زیر تحویل میشود: از جمع معادلههای این دستگاه، نتیجه میشود: 3-دستگاههای مثلثاتی کلاسیک نوع سوم: برای حل این نوع دستگاههای مثلثاتی، در دو طرف معادله دوم دستگاه، به وسیله ترکیب نسبت در صورت و تفضیل نسبت در مخرج، آن را به صورت کسری که در صورت و مخرج آن، مجموع و تفاضل دو نسبت مثلثاتی همنام است، تبدیل میکنیم و پس از تبدیل صورت و مخرج کسر به حاصل ضرب، با استفااده از مقدار را تعیین نموده و از آن جا مقادیر x و y از حل یک دستگاه ساده به دست میآیند.
برای مثال، دستگاه زیر را حل میکنیم: بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده صفحه بعد تحویل میشود: مثالی دیگر: بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده زیر تحویل میشود: ارتفاع مثلثALTITUDE OF A Triangle اصل نامساوی مثلثیAxiom Triangle Inequality انتقال) توابع مثلثاتیAxiom Triangle Inequality اندازه زاویهMeasure of an angle اندازه مساحت مثلثArea of a Triangle اندازه نیمسازهای زاویههای برونی مثلثMeasure of external angle bisectors of triangle اندازه نیمسازهای زاویههای برونی مثلثMeasure of internal angle bisectors of triangle تابع تانژانتTangent function تابع سینوسSine function تابع کتانژانتCotangent function تابع کسینوسCosine function تابع مثلثاتیTrigonometric function توابع مثلثاتی() توابع معکوس مثلثاتیInverse trigonometric functions حالتهای تشابه دو مثلث حالتهای همنهشتی دو مثلثStates of congruent triangles حد توابع ساده مثلثاتی خطهای همرس در مثلثConcurrent lines in a triangle دایرههای محاطی برونی مثلثExcircles دایره مثلثاتیReigonometric circle دایره محاطی داخلی مثلثInscribed circle دایره محیطی مثلثCircumscribed circle دستگاههای مثلثاتی کلاسیکClassic trigonometric systems