دانلود تحقیق جبر خطی و هندسه تحلیلی

جبر خطی و هندسه تحلیلی
1-1 ماتریس
یک ماتریس از مرتبه n×m جدول مستطیلی از اعداد شامل m سطر و n ستون است که به صورت زیر آن را نمایش می دهیم:



که عنصطر سطرi ام و ستون j ام است را درایه (مولفه ) I,j ام ماتریس A می نامیم.
دو ماتریس A و B را مساوی گوییم هرگاه مرتبه های آنها با هم برابر باشد (هم مرتبه باشند) و درایه های متناظر آنها با هم مساوی باشد.
1-1-1- معرفی برخی از ماتریس های خاص
1) ماتریس سطری: اگر ماتریس A دارای یک سطر یعنی از مرتبه باشد آن را سطری از مرتبه n می نامیم.
2) ماتریس ستونی: اگر ماتریس A دارای یک ستون یعنی از مرتبه باشد آن را ستونی از مرتبه m می نامیم.
3) ماتریس صفر: ماتریسی که همه درایه های آن صفر است یعنی را ماتریس صفر نامیده و اگر از مرتبه باشد آن را با نماد نمایش می دهیم.
4) ماتریس مربعی: ماتریسی که تعداد سطرها و ستون های آن با هم مساوی هستند را ماتریس مربعی می نامیم و اگر تعداد سطرهای آن nباشد به آن ماتریس مربعی از مرتبهn می گوییم.
5) قطر اصلی: دریک ماتریس مربعی درایه های که برای آنها i=j باشد را درایه های قطری می نامیم و قطری که شامل این درایه هاست، قطر اصلی نامیده می شود.
6) اثر (تریس) ماتریس : در هر ماتریس مربعی مجموع عناصر واقع بر قطر اصلی را اثر (تریس) A نامیده و با trA نمایش می دهیم یعنی در هر ماتریس مربعی از مرتبه n:

7) ماتریس بالا و پایین مثلثی : ماتریس مربعی که همه درایه های زیر قطر اصلی آن صفر هستند یعنی
:
را ماتریس بالا مثلثی و ماتریس مربعی که درایه های بالای قطر اصلی آن صفر هستند، یعنی
:
را ماتریس پایین مثلثی می نامند.
8) ماتریس قطری: ماتریس مربعی که هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی است یعنی درایه های خارج قطر اصلی آن صفر هستند ( : ( را ماتریس قطری می نامند.
9) ماتریس همانی (واحد): ماتریس مربعی که همه عناصر خارج قطر اصلی آن صفر و درایه های قطر اصلی همگی 1 باشند و به عبارتی

را ماتریس همانی می نامند و اگر از مرتبه n باشد آن را با نماد نمایش می دهند.
تذکر: معمولاً درایه های ماتریس را با نمایش می دهند.
1-1-2- اعمال جبری روی ماتریس
1) جمع: اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند جمع آنها ماتریسی است که هر درایه آن از جمع درایه های متناظر در ماتریس های A و B بدست می آید به عبارتی اگر آنگاه

2) تفریق : اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند، تفاضل آنها یعنی ماتریسی است و

3) ضرب عدد (اسکالر) در ماتریس : اگر A ماتریس و عددی دلخواه باشد و انگاه

یعنی اسکالر در تک تک مولفه های A ضرب می شود.
4) ضرب: اگر و (تعداد سطرهای B با ستون های A برابر باشد) ماتریس حاصل ضرب آنها یعنی یک ماتریس است و

به عبارت دیگر از ضرب سطر j ام A در ستون j ام Bبه صورت مولفه به مولفه بدست می آید.
نکته 1: اعمال جبری روی ماتریس ها تمامی خواص اعمال جبری روی اعداد (مانند جابه جایی، شرکت پذیری و ... ) را دارند به جز آنکه ضرب ماتریس ها در حالت کلی خاصیت جابه جایی ندارد یعنی
نکته 2: ماتریس همانی در ضرب، مانند عدد 1 عضو خنثی است یعنی

و ماتریس صفر در جمع (مانند عدد 0) عضو خنثی است یعنی
A+0=0+A=A
5) توان های یک ماتریس: اگر A ماتریس مربعی و از مرتبه n باشد توان های مختلف آن قابل تعریف هستند به این صورت که و به طور کلی از ضرب A در به دست می آید.
نکته 3: اگرA و B جابه جا شونده باشند یعنی اتحادهای جبری در مورد A و B برقرار خواهند بود مثلاً
و
نکته 4: حاصل ضرب دو ماتریس بالا(پایین) مثلثی یک ماتریس بالا(پایین) مثلثی است که درایه های قطر اصلی آن از ضرب درایه های متناظر روی قطر بدست می آید.
نکته 5: با توجه به نکته بالا اگر یک چندجمله ای و A ماتریس بالا (پایین) مثلثی باشد ماتریسی بالا (پایین) مثلثی است و درایه واقع بر قطر آن است.
نکته 6: برای محاسبه سطر iام ماتریس AB کافی است سطر iام A را در ماتریس B ضرب کنیم و برای محاسبه ستون j ام ماتریس AB کافی است ماتریس A را در ستون j ام B ضرب کنیم.