دانلود تحقیق جبرگزاره ها

- جبرگزاره ها:
تعریف گزاره:
گذاره جمله ایست خبری که درستی ونادرستی آن ممکن است برمامعلوم نباشد.

مثال 1: پنج عددفرد است .

مثال 2:عدد11231 اول است.

مثال 3:سحردانشجوی عمرا ن است.

- نمایش گزاره ها:
گزاره ها راباحروف لاتین (p,r,s,f,…)نمایش میدهند.

نکته:
نیزعلامت نقیض یاناارز است.

- ارزش یک گزاره وناگزاره:
p
t
f
مثال: اگر n=1 21=2


مثال:اگر n=2 22=4
Q P
T T
F T
T F
F F



(معادل یا هم ارز)
- رابطه گزاره ها: (نماد) (معنی)
1)واو عطف ^ و
2)یای فاصل یا
3)شرطی اگر.........انگاه
4)دوشرطی اگروفقط اکر

اگر(( if and only اگر((2شرطی است i.f.f

-گزاره های مرکب:
1)ترکیب عطفی: q^p (گزاره یاخبر)
2) فصلی : q7p : تالی:q

3)شرطی : p q نکته: مقدم:p
-ارزش گزاره های مرکب:
1-ترکیب عطفی:
زمانی درست است که هردوگذار درست باشند.

((دربقیه حالات نادرست است))
2)ترکیب فصلی : زمانی درست است که حداقل یکی ازگزاره هادرست باشد.

3)ترکیب شرطی:
زمانی نادرست است که مقم درست وتالی آن نادرست باشد
((در بقیه ی موارد درست میباشد))
4)دوشرطی
ترکیب دوشرطی زمانی درست است که دوگزاره متحدالارزش باشد.

((هردو درست یاهردونادرست باشند)) دربقیه مواردنادرست است.

-جدول ارزش درستی گذاره ها:
دوشرطی شرطی فصلی عطفی
P q
P q
q7p p Q p
T T T T T t
F F T F F T
F T T F T F
T T F F F F


مثال: 1
ارزش گزاره های زیر رامعلوم کنید:
-( q8 p)
نکته :ترکیب عطفی زمانی درست است که هردودرست باشند.

q 8 p
q
q p
F F t t
t T F t
F F t F
F T F F
مثال:2(p 7q ) فصلی
q7 p
p
q p
t F t t
F F F t
t T t F
t T F F

مثال:3(p q )
تالی مقدم
p q
p
Q p
t F T t
t F F t
t t T F
F t F F

مثال :(4p q )

p q
q
p
q p
t F F t t
F t F F t
F F T t F
t t T F F

ارزش گزاره های زیررا معلوم کنید:
-سوال گزاره ها:
1)اگر P^ q ) )و r درست باشندارزش گزاره های زیرراباذکردلیل معلوم کنید؟

الف) r P
ب) q p
P=t
Q=f Q=t P^q=t


نکته:ترکیب عطفی زمانی درست میباشدکه هردوگزاره درست باشند.

r= t r=f
الف)t f (نادرست)
ب)f t (درست)
-گزاره نما:
عباراتی هستندکه د رآن متغییریامتغییرهایی به کاررفته باشند که به آن گزاره نما گویند
مثال:
1p(x):3x+4=7:
p(x):4x+7y=11:2

نکته:درگزاره نما د امنه متغییرومجموعه جواب مشخص باشد.

1: گزاره گزاره نما =د امنه
2: گزاره گزاره نما =مجموعه جواب
مثالها:
1:درگزاره نمای 3x+9=-3 = p(x)دامنه متغییرومجموعه جواب رابیابید؟

-4 X=-12/3= =-3-9 3x 3x+9+3=0

مجموعه جواب= 4
2: درگزاره نمای p(x)= x+3 =5 د امنه متغییرومجموعه جواب رابیابید؟

2 - x
X=13/4 0 5x-10=x+3 5x-x-10-3= 0 4x-13= x-2=0 x=2 R-{2}

مجموعه جواب

3) ( 3 = 8-4x p(X) (د امنه متغییرومجموعه جواب رابیابید؟

8-4>0 8-4x>0 -4x>-8 x>-8/4 x>2 x<2>
دامنه:R=(-&,2)
8-4=9 8-4X-9=0 -4X-1=0 X=-1/4

مجموعه جواب= -


2n
N EN,F(X)= g(X)

انگاه {g(x)>0 DF={X
-سورها:
سورچیست: علائمی هستند که به جلوی گذاره نما اورده میشود تاازانهاب درستی
یانادرستی نتیجه بگیریم.

انواع سورها: (نماد) (معنی)
1:سورعمومی (همه .هر)
2:سور وجودی (برخی/بعضی/حداقل یک مقدار)
3:دروحدت یایگانه !

(فقط یک مقدار)
4:سورصفر (هیچ)
ارزش سورها:
1: سور عمومی:زمانی درست است که دامنه یامتغییربامجموعه جواب=باشد.

2:سوروجودی:زمانی درست است که مجموعه جواب آن باشد.

3:سورحصر:زمانی درست است که مجموعه جواب آن فقط1عضوداشته باشد.

4:سورصفر:زمانی درست است که مجموعه جواب آن باشد.

4:سورصفر:زمانی درست است که مجموعه جواب آنباشد.

مثالها: 1:ارزش گزاره های سوری زیرراتعیین کنید؟

الف) 0 RX2 x ( + R=(- = دامنه متغییر R-{0} = مجموعه جواب پس ارزش گزاره فوق نادرست ب) 3X=1+8 مجموعه جواب= {} پس ارزش گزاره های وجودی فوق درست است -جبرمجموعه: مجموعه: دسته ای ازاشیاءکاملامشخص ودوبه دومتمایزاست.

منظورازمشخص:این است که یک مجموعه ریاضی صرف نظرازهرعقیده یاسلیقه پیش همگان یکسان است یعنی اختلاف سلیقه ای وجود ندارد.

منظوراز دوبه دومتمایز: انست که تکرارعضودریک مجموع ای باتاثیراست.

مجموعه تهی: به مجموعه ای گویندکه دارای هیچ عضوی نیست وآن رابه صورتیا{}نشان میدهند.

مثال: { X X R,X2-X+1=0 } عضوهای این مجموعه ریشه های حقیقی معادلهX2-X+1=0میباشدوچون است پس معادله چواب حقیقی نداردومجموعه فوق عضوی نداردوبرابر تست: 1:کدامیک ازعبارات زیریک مجموعه ریاضی است؟

11_مجموعه انسانهای ساعی 22_مجموعه شاعران 33_مجموعه گلهای زیبا 44_مجموعه اعدادطبیعی کمترازیک (درست) نکته:نمایش مجموعه هابااستفاده ازعلائم ریاضی: X}, B={X 3 مثالها: مثال1:شهرهای جالب یک مجموعه نمیباشدزیرااعضای انهامشخص نیستتند.

مثال2:اعد اد بزرگ یک جمعه نیست چون نمیتوان اظهارنمودکه عدد2000عضو مجموعه هست یا خیر.

مثال3:اعدادگویا مجموعه ای مشخص است وهمینطورمجموعه حروف الفبای فارسی نکته: مجموعه هامعمولا باحروف بزرگ انگلیسی نشان داده میشوندوبرای بیان عضویت یک شی ریک مجموعه ازعلامتاستفاده میشود((((X E Aیعنی Xعضوی ازمجموعه A است و(( (( Xیعنی xعضوAنیست.

-نمایش مجموعه ها: برای نمایش مجموعه هامعمولااز3روش استفاده میکنیم.

1)بااستفاده ازعلامت{} 2)مجموعه اعدادطبیعی= N={1,2,3,4….} 3)مجموعه اعداداحتسابی= W={0,1,2,3,….} 4)مجموعه اعدادصحیح= Z={…..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..} 5)مجموعه اعدادگویایامنطق= 0} b a,b, Q={ 6)مجوعه اعداداعصم یاگنگ -نمایش مجموعه هابااستفاده ازاشگال هندسی: که نمایش هندسی مجموعه{1و2و3}یا{a,b,c,d }میباشند نکته: مجموعه اراباحروفهای بزرگ نشان میدهند.

نمادعضویت وعدم عضویت: (عضویت ) (عدم عضویت) مثال: X XEZ-2 A={X A={-2,-1,0,1,2} OEA(T) ER(T) 3 EA(F) -2EA(T) -1EA - زیرمجموع های یک مجموعه: اگرتمام عضوهای مجموع Aمتعلق به مجموعه BباشدAرازیرمجموعهBگویندوتعریف ریاضی آن به شرح زیراست.

B (ACB) ( XEA XEB) مثال: اگرACB B{1,2,3,4},a={2,4} -خواص زیرمجموعه ها: الف)هرمجموعه ای زیرمجموعه خودش میباشدACA)) ب)مجموعه تهی زیرمجموعه هرمجموعه ای است.

ج)n=تعدادعضوهای مجموعه.

2n تعدادزیرمجموعه هابادرنظرگرفتن مجموعه تهی.

2 n-1تعدادزیرمجموعه های محض (بدون درنظرگرفتن مجموعه تهی) د)تعدادزیرمجموعه های mعضوی ازمجموع ای که عضوداردبرابراست با: n !

n = M m !(n-m!) مثال زیرمجموعه: B ACB:UXEA XEB A={1,2} B={1,3,5,7} ACB B A سوال: 1)تمام زیرمجموعه های مجموعه روبرورابنویسید؟

A={2,{2}} )O 2) {2},{{2}} 3) {2,{2}}{{2},2} 4) 2{2,{2}}1 2)کلیه زیرمجموعه های مجموعه {2و5و7}=Bرابنویسید؟

زیرمجموعه ای تک عضوی:O , {2},{5},{7} زیرمجموعه های دوعضوی:2,5},{2,7},{5,7}} زیرمجموعه های سه عضوی:{2,5,7} -مجموع جداازهم: دومجموع درصورتی جداازهم میباشندکه عضومشترک نداشته باشند.

B,A ( جداازهم باشند B={ 2,4,6} A={1,3,5,7,} -اعمال رروی مجموعه ها: 1)اجتماع : AUB={XIXEAvXEB} 2)اشتراک :A B={XIXEA^EB} 3)تفاضل دراولی هست در دومی نیست: A-B={XIXEA^X {XIXEA^XEB} 4)تقاضل متقارن: B A A-B=AB A A الف)اجتماع: اجتماع ومجموعه ((a,bرابه صورت :AUBنمایش میدهندوبه شرح زیراست: { AUB={XIXEA ,XEB ( AUB ) مثال: A={2,3,5,7} B={3,4,7,8,} AUB={2,3,4,5,7,8} - خواص اجتماع مجموعه ها: AB AUB=Bالف AUA=A ب B AUA=M ج AUO=A د M AUM=M ح مثال2:Mمجموعه مرجع جهانی یامادراست.

مجموعه(M) A A =O AUA=M M={1,2,3,4,5,6} B={1,4} A={2,3,5,6} B={1,5,6} B={2,3,4} C={4,6} C ={1,2,3,5} ب)اشتراک : اشتراک دومجموعه رابه صورتB Aنشان میدهند وبه شرح زیراست: B A AB={XIXEA,XEB} ( A B) مثال: A={2,3,5,7} B{3,4,7,8} A B={3,7} -خواص اشتراک مجموعه ها: الف) ب)A A=A ج)A A=O د)A O=O ه)A M=A ج)تفاضل دومجموعه: تفاضل دومجموعهA,Bرابه صورتA-Bنشان میدهندوبه مجموعه ای گفته میشودکه شامل عضوهایی ازمجموعهAمیباشدکه درمجموعهBنیستند.

تفاضل دومجموعهA,Bبه صورت ر یاضی به شرح زیرتعریف میشوند: A-B={XIX,XEB} (A-B) د)تفاضل متقارن: تفاضل متقارن مجموعه های A,Bرابه صورت : A میدهندوبه شرح زیراست: B A A ( (A تساوی دومجموعه: مثال: A=B ACB^BCA اگرAUB=Oباشدثابت کنیدB=O,A=O میدانیم: ACAUB اولی زیرمجموعه دومی: ACO طبق فرض دومی زیرمجموعه اولی: OCAازسویی ازمقایسه 1و2بنابه تعریف تساوی ومجموعه A=O میدانیم : BCAUB BCO OCB B=O مثال: اگرA ثابت کنیدB=M,A=M Mمجموع مرجع است.

1)ACAUB 2)BCAUB 3)A 4)A میدانیم:A طبق فرض1:MCA A=Mازمقایسه1و2بنابه تعریف طبق فرض2:ACM تساوی دیگر.

زیرمجموعه های محض یاخالص یااکید: A={a.b.c} O {a},{b},{c} {a,b},{a,c},{b,c} {a,b,c} 1 زیرمجموعه های محض سوال: 1)دومجموعه a,bروی هم دارای 10عضواست وتعدادزیرمجموعه های مجموعه aچهاربرابرتعدادزیرمجموعه bاست ومعین کنیدهریک ازمجموعه هاچندعضودارد؟

N(a)=x n(b)=y x+y=10 2x=4*2y =4 2=2 x-y=2 x-y=2 2x=12 x=6 y=4 x+y=10 امتحان مسئله: a:24=16 B=26=64=4*16 2)معین کنیدمجموعهaدارای چندزیرمجموعه است؟ثانیاتعیین کنیدگزاره زیردرست است یانادرست؟باذکردلیل؟

({a}EA)^({a}Ca) A={a,{a},{a,{a}} ({a}EA^({a}CA) درست درست =Tنادرست درست اتحادها: اتحادچیست؟یک حفی یاحروفی است که به ازاءجمیع مقادیرآنحرف یاحروف برقراراست 1)مربع مجموعه یاتفاضل دوجمله: a,bER (a+b)2 =a2+b2+2ab b2-2ab + a2= a-b)2) 2)مکعب مجموعه یا تفاضل دومجموعه: a,bER (a+b)3 =a3+3b+3ab2+b3 (a-b)3 =a3-3b+3ab2-b3 نکته:تعدادجملات حاصل دربسط دوجمله ای n(a+b)برابرn+1خواهدبود.

3)اتحادمزدوج: a,bER (a+b)(a-b)=a2-b2 4)مربع سه جمله: a,b,cER(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 5)اتحاد چاق ولاغر: (a+b)(a2-ab+b3)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b3)=a3-b3 6)اتحادجمله مشترک: X+a)(x+b)=x2+(ab)x+ab) ب) 4+3)=4+3+4 2(2)( +2( (2)2+(=22+)2+ نکته :)چون مثبت داردa>0اگر: ج *329*2+4*3+12=(3 2(3 =18+12+126=30+12 2A=3 3B=2 د)( + +(=(2(1)(+ 2(( +(1)2= 2( 1+)1/1)2=) 1)حاصل هریک ازعبارات زیررابااستفاده ازاتحادهابه دست اورید: - (x4+y5)2=(x4)2+(y5)2+2(x4)(y5)=x8+y10+2y5 Xy+2)(xy-2)=(xy)2-(2)2=y2-4 ) - -(ab+5)(ab+4)=x=ab a=5 b=4 (ab)2+(5+4)(ab)+(4*5)= ab2+9ab+20 (X2+)2=5 x2++2(x)( سوال: tgx+coty x=10باشدمطلوبستtx+cotxرابدست اورید: (Tgx+cotyx)3=103 Tgx+3gx.cotgx+3tgx.cogx+cogx=1000 3x+3tgx.cotx(tgx+cotgx)+cotgx=1000 Tg3+cotx=1000-30=970 اگرداشته باشیم a2+b2=3abمطلوبست2)=tرابیابید: T= حاصل عبارت زیررابه کمک اتحادها بدست اورید: (2+ (4-3)(4+3-4 روشهای تجزیه: 1)روش فاکتورگیری: مثال: 2x5-7x3+14x10=x3(2x2-7+14x7) 8c4+10bc8-14c4=2bc4=(4b2+5ac-7ab ) 2)دسته بندی:برای دسته بندی حد اقل به4جمله نیازاست: Ax+ay+bx+by= (ax+ay)+(bx+by)= a(x+y)+b(x+y)= (xy)(a+b) 3)استفاده ازاتحادها: الف)اگرعبارات سه جمله ای باشدممکن است یکی ازاتحادهای زیرین باشد: 1: (a+b)2=a2+b2+2ab 2: (a-b)2=a2+b2-2ab مثالها: 1:x4+y2+y4=(x2+y2)2 2: x2-2x+1=(x-1)2 ب:اگرعبارت دوجمله ای باشدممکن است یکی ازاتحادهای زیرین باشد: 1: (a+b)(a2-ab+b2)a3+b3 2: (a+b)(a2+ab+b2)=a3-b3 مثالها: 1:هریک ازعبارتهای یرراتجزیه کنید: 27x3+y3=3(x)3+(y)3=(3x+y)(9x2-3xy+y2) 1- -2 b3-8= (abc)3-(2)3=(abc-2)(c2+2abc+4) نکته: ازمنفی هانمیتوانیم جذربگیریم.

4:روش افزودن وکاستن: 5:روش نوشتن یک جمله به صورت مجموعه دوجمله: 6:تلفیقی ازروشهای فوق: مثالها: عبارات زیررابه حاصلضرب عوامل اول تجزیه کنید: A:X4+4=x4+4+4x2-4x=2(x)2(2)=4x2(x4+4x2+4)-4x[(x2+2)+2x][(x2+2)-2x](x2+2x+2)(x2-2x+2) B:X4+ +y4=x4+y2+y2-y2=(x4+2y2+y4)-y2(x2+y2)2-y2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy) C: X3+4x+5=(x3+1)+(4x+4)=(x+1)(x2-x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2-x+1+4)=(x+1)(x2-x+5) D:X2-y2+4x+4=(x2+4x+4)-y2=2(x)2=4x(x+2)2-y2=(x+2)-y=(x+2+y)(x+2-y) معادله: معادله:یک تساوی حرفی است که به ازای بعضی ازمقادیرآن ممکن است برقرارباشدراگویند.

مثال: 1: 2: 3: 4: 5: معادله یک مجهولی درجه اول: فرم کلی :AX=B =Bعدداول =AXضریب مجهول بحث: 1:اگر Aباشدمعادله دارای ریشه (جواب) است.X= 2:A=0,B=0باشدمعادله به صورت X=0,X=درمیایدکه مبهم است.

3:اگرA=0,Bباشدمعادله به صورتX=درمیایدکه نشدنی یاممتنع است.

مثال: 1)معادلات زیرراحل کنید: 1:AX+B=A+BX اگرaباشدمعادله دارای جواب است.

X= Ax-b=a-b (a-b)x=-a-b 2:اگرa-b=0,a=bباشدبه صورت 0*x=0است که مبهم ax-ab=-bx ax+bx=ax(a+b)x=ab اگر 0a+bیاaباشدمعادله دارای جواب است.x= اگرa+b=0یاa=-bیاxیاxx=abنشدنی یاغیرممکن است.

اگرa+b=0,x=-ab=0مبهم M2(x+1)=x+m x+m2=x+m x-x=m-m2 (m2-1)x=m(1-m) اگر0-1یا1یاااm2باشدمعادله دارای جواب: X= اگر1mیاm-1=0 اگر 0*x=0 ya x= مبهم بیشمارجواب دارد.

اگر m=-1 0*m=-2 ya x= نشدنی یاغیرممکن معادله یک مجهولی درجه دوم: فرم کلی:ax2+bx+c=0 فرمول کلی= =b2-4ac 1:اگرباشدمعادله دارای ریشه متمایزاست.

X= 2:اگر 0= باشدمعادله دارای دوریشه برابراست (ریشه مضاعف) X= 3:اگر0= باشدمعادله ریشه حقیقی ندارد.

مثالها: 1:3x2+2x-5=0 b2-4ac =(2)2-4(3)(-5) =4+6=64 = A=3 b=2 c=-5 X= = = X2 - 1 = = + X1 = X= X= + x= = - x = نکته: درمعادله درجه دومax2+bx+c=0 a 1 X1= اگرa+b+c=0 الف: x2 = =-1 X1 اگرa+c=b ب: = X2 الف:a=3 b=2 c=-5 a+b+c=0 x1=1 x2= = ب:a=4 b=7 c=3 a+c+b x1=-1 = X دستگاه معادلات: الف:دستگاههای دومعادله دومجهولی: Ax+by=c Ax+by=c روش حذفی:دردومعادله (yیاx)را قرینه منماییم.

مثالها: 1:دستگهای زیرراحل کنید؟

2x+3y=8 2x+3y=8 5x-6y=-7 5x-6y=-7 2 4x+6y=-16 5x-6y=-7 9x=9 x=1 2x+3y=8 2(1)=8 3y=8-2 3y=6 y=2 4 = + 2: 2= - =4 + 3 2 = - 5 10= 5y= = = = - = =4 + 4= + 12 = + Y=2 10 = - 3: 63 3 -=63 = - -13 = + -13 = + 176 = 189-13= = 3*63 = - -13 = + 3.2 = = 176(x-3)=44 176x-528=44 176=44+528 176x=572 x= 63 = - 60-63= 63= - 63 = - -3y-6-5=-36y=11 y=- ب:دستگاهای 3معادله سه مجهولی درجه اول: Ax+by+cz=d Ax+by+cz=d Ax+by+cz=d سوال: الف:3 ب:4 ج:5 د:6 گزینه د؛درست است = نکته:2تاzو2تاyو2تاxفاکتورمیگیریم.

= = x+y=5 y+z=3 z+n=4 (x+y+z)=5+3+4=12 x+y+z=6 =5 + =5 =7 + =7 =6 + =6 5+7+6=12=9 ( + + ) =5 2 + 9 = + + 7 = + 6 = + 4 z= = 9 = + =9 5 + + 7+ =9 =2 x= 3 y= = =9 6+ ماتریس: هرارایشی ازاعدادحقیقی اشیا درتوابع وغیره را ماتریس میگویند.

B= A B C D E A = D= C= 5 درایه عضوودرایه عمومی: Aدرایه ای است که سطرi وستون jواقع است.

A= A1=a a2=b a21=c a22=d a31=e a32=f a41=g a42=f h g مرتبه یک ماتریس: هرماتریسی ازتعدادی سطروستون تشکیل شده است که به صورت (m*n)نشان داده میشود وبه آن مرتب ماتریس میگویند.

تعداد سطرها m*n تعداد ستونها D= C= B= a b c d e A= B=1*5 5 D=2*2 C=4*1 A=3*2 مثال: اگر A= باشد ؟

الف:مرتبه ماتریس را مشخص کنید: A=2*3 ب:هریک از اعضای زیررابنویسید؟

A21=4 a13=7 a22=3 ماتریسهای خاص: 1:ماتریس سطری m=1 2:ماتریس ستونی n=1 3:ماتریس مربع m=n نکته: m*1تعداد سطرهاو1*nتعدادستونها.

B= a b c d A= 1 2 A= B= B= A= 4:ماتریس صفر: ماتریسی است که کلیه درایه های آن صفرمیباشد.

O A= B= 5:ماتریس واحد: به ماتریس مربعی گفته میشود که درایه های قطراصلی برابریک وبقیه درایه ها صفرند.

I = n*n I2*2= i2*3= 6:ماتریس قطری: ماتریس مربعی است که درایه های روی قطراصلی مخالف صفروبقیه اعضا آن صفرند.

D= 7:ماتریس اسکالر(عددی): ماتریس مربعی است که درایه های روی قطر اصلی همگی برابرkوبقیه اعضاآن صفراست.

8:ماتریس بالا مثلثی: ماتریس مربعی است که اعضا زیر قطراصلی آن برابرصفراست.

9:ماتریس پایین مثلثی: ماتریس مربعی که اعضا بالای قطراصلی برابرصفراست.

10:اثرماتریسtrc(a) : دریک ماتریس مربع مجموع درایه های روی قطراصلی رااثرماتریس مینامند.

A= TRC(A)=2+4+10=16 B = TRC(B)=5+9=14 A= -1 2 0 1 5 7 4 -11 1 8 3 2 -4 -2 -2 -1 TRC(A)=a11+a22+a33+a44 Trc(a)=-1+7+8-4=10 11:ماتریس جابه جاشده یا ترانهاده یاترانسپوزیاترانسپوزه: هرگاه دریک ماتریس جای سطروستون هاراعوض نماییم ماتریس جابه جاشده یا ترانهاده یاترانسپوزمینامندوبانهادAنشان میدهند.

جواب A = A= B= B= نکته:A=(A) یعنی باهم برابرند.

B= (B)=B 12:اعمال برروی ماتریس: 1:جمع وماتریس:(هم مرتبه):دو ماتریس رازمانی میتوان باهم جمع نمود که هم مرتبه باشندوبرای این منظوردرایه های آن را نظیربه نظیرجمع میکنیم.

A= B= C= 3*2 3*2 2*2 الف:A+B=تعر یف نشد ه است.

ب:A+C= = + ج:=B+Cتعریف نشد ه 12:ضرب یک عدددرماتریس: برای این منظورعدد داده شده رادرکلیه درایه هاضرب میکنیم.

نکته: هرماتریسی راباقرینه آن ماتریس جمع بزنیم میشودماتریس صفر A+(-A)=0 د: K=-8 KA= 13:ضرب دوماتریس: AM*N+BN*P=C M*P نکته: ضرب دوماتریس درحالت کلی خاصیت جابه جایی ندارد.

A*B 1:اگرA= B=باشدمطوبست: الف:A*B ب:B*A A*B= * = (1*0) +(2*2)=4 (1*1+(2*5 )=11 (3*0)+(4*2)=8 (3*1 )+(4*5)=23 B*A= (0*1)0(1*3 ) =3 (0*2) +(1*4)=4 A*B B*A (2*1)+(5*3 ) =17 (2*2 )+(5*4 )=24 14:تساوی دوماتریس:دوماتریس زمانی باهم مساوی هستندکه اولاهم مر تبه باشندثانیا درایه های آنهانظیربانظیرباهم برابرباشند.

B= C= A= الف:A=C ب:A B ج:B C سوال: اگر A= و B= X,Yراطوری بیابیدکه دوماتریس باهم ساوی باشند.

X2+5X-6=0 X1=1 X2= =-6 (X-1)(X+6)=0 X-1=0 X=1 X+6=0 X=-6 2Y2+5Y+3=0 = Y1=-1 Y2= 15:توان ماتریسها: توان برای ماتریسهای مربع تعریف میشود.

A2=A*A مثال: 1:اگرA= مطلوبست A2 = * A=A* A 2:اگر A= مطلوبست A2 A2=A*A * = (0*0)+(0*1) +(2*3)=6 (0*0 )+( 0 *5)+( 2*1 )=2 (0*2 )+(0*4 )+(2*2 ) =4 ( 1*0 )+( 5*1 )+(4*3 )=17 (1*0 )+( 5*5 )+(4*1 ) =29 (1*2 ) +( 5*4 )+(4*2 )=30 (3*0) +(1*1)+( 2*3 ) =7 (3*0 )+( 1*5 )+(2*1 ) =7 (3*2 )+(1*4 ) +(2*2 ) =14 3:هرگاه داشته باشیم :A= (X,Y)راطوری تعیین کنیدکه داشته باشیم: A2=XA+YI2*2 A2=a*a= * = (1*1)+( 2*3 )=7 (3*1 )+(4*3)=15 ( 1*2) +( 2*4 )=10 ( 3*2 )+(4*4 )=22 = Xa=x= ضرب یک عدد درماتریس.

ماتریس واحد=i2*2= Yi2*2=y = Xa+yi2*2= جمع دوماتریس.

تساوی دو ماتریس = X+y=7 5+y=7 y=2 2x=10 3x=15 x=5 4x+y=22 4:اگر باشدماتریس x2*2راطوری تعیین کنیدکه داشته باشیم: A2=3ax+i2*2=0 A=a*a= * = (1*1)+(2(-2)=1-4=-3 (1*2)+(2*3)=2+6=8 (-2*1)+(3*-2)=-2-6=-8 (-2*2)+(3*3)=-4+9=5 ضرب یک عدد درماتریس: -3ax= * = -3(x)+(-6*z) ماتریس واحد: I2*2= = + + -3x-6z-2=0 -3y-6t+8=0 6x-9z-x=0 6y-9t+6=0 16:دترمینال:مقدارعددی یک ماتریس مربع رادترمینال آن ماتریس مینامند.

1:محاسبه دترمینال ماتریسهای 2*2 حاصلضرب درایه های روی قطراصلی(-)حاصلضرب درایه های روی قطر(فرعی) A= det a ya a Det a= ad -bc Ad-bc= مثال: اگر a= و b=باشدمطلوبست: الف:A1 = ب: (1*4)-(2*3)=4-6=-2 = det A ج:A*B = * = د: Det(a*b)= (2*31)-(13*4)=62-52=10 17:محاسبه دترمینال ماتریس های(3*3) بسط برحسب سطر اول c + b- a A(bc-cb)-b(ac-ac)+c(ab-ba)=a=abc-acb-bac+bac+cbc= (abc+bac+cab)-(acb+bac+cba) :1دترمینالهای زیرمحاسبه کنید: الف: 3- 2 = +4 2(0-10) -3( 0-(-50+4(2-(-1*0)=20-15+8=27 18:روش ساده: فقط درمحاسبه دترمینال 3*3کاربرد دارد.

(abc+bca+cab)-(acb+bac+cba) 19:ماتریس وارون یا معکوس: ماتریس مربع aوارون پذیراست هرگاه دترمینال آن مخالف صفرباشد.

A محاسبه ماتریس وارون(معکوس)ماتریسهای2*2 Deta=ad -bc A= اعضای قطراصلی راعوض کردیم وفرعی راتغییرعلامت میدهیم.

فرمول:A-1= مثال: 1:وارون هریک ازماتریسهای زیر رادرصورت وجودبیابید: الف:A= det A=(2*3)-(0*1)=6 پس aمادون پذیراست.

A-1 = A-1 = A= deta=(1*-2)-92*2)=-2 0 A-1= a-1= سوال: اگرa= باشدمطلوبست .

الف:A-1=deta=(1*8)-(2*3)=8-6=20 Deta= A-1= تعریف :اگرA,Bدوماتریس مربع هم مرتبه بوده وداشته باشیم A*B=B*A=i دراین صورت Bراماتریس معکوس ماتریس Aنامیده وبا(1-A)نشان میدهند.

A*A-1=A-1*A=iM*N 20:استفاده ازماتریس درحال دستگاه ها: Ax+by=c Ax+by=c ماتریس ضرایب:A= ماتریس مجهولات: x= ماتریس مقادیرمعلوم: B= معادله ماتریسی:AX=B A-1(AX)=A-1*B (A-1*A)X=A-1*B IX=A-1*B = X=A-1*B مثالها: 1:بااستفاده ازروش ماتریس معکوس دستگاه های زیر راحل کنید: الف: 3Y-Y=11 X+2Y=6 A= DETA=6+1=7 پسAوارون پذیراست.

X= A= B= A-1= X=A-1*B = * = Y=1 X=4 = = = = = مثال2: ب: 2X+3Y=8 5X-Y=3 Deta=(2*-1)-(3*5)=-17 A= A-1= X= A-1= B= X=A-1*B = = = * = = = = = X=1 y= 4 21:معادله مفسرومقادیرویژه ماتریس ای2*2 A= k2-(a+d)k+(ad-bc)=0 یا: K2-trc(a)k+detA=0 مثال: 1:معادله ی مفسرومقادیرویژه ی هریک ازماتریسهای زیرراتعیین کنید: A= K2-(A+D)K+(AD-BC)=0 K2-(1+3)K+(1*3-4*1)=0 یا معادله مفسرK2-4K-1=0 K= B2-4AC =16-4(1)(-1)=0 = =2 K1= (+): K= =20 :k2= ( -) ptf QPTTFTTFFF P qP qq7ppQpTTTTTtFFTFFTFTTFTFTTFFFF q 8 pqqpFFtttTFtFFtFFTFF q7 ppqptFttFFFttTtFtTFF p qpQptFTttFFtttTFFtFF p qqpqptFFttFtFFtFFTtFttTFF AAA