دانلود مقاله جین باتپیست جوزف فوریه

جین باتپیست جوزف فوریه :
متولد : 21 مارس 1768 در اکسر ،‌پورگن فرانسه
وفات : 16 می 1830 در پاریس فرانسه
پدر جوزف فوریه، در اکسر خیاط بود.

پس از درگذشت زن اول ، او سه فرزند داشت.

او دوباره ازدواج کرد.

جوزف نهمین فرزند از دوازده فرزندش در ازدواج دوم بود.

وقتی جوزف سه سال داشت،‌مادرش در گذشت و پدر خود را نیز سال بعد از دست داد.

اولین مدسه او در مدرسه پالایز بود – در این هنگام او با رهبر موزیک کلیسای جامع همراه شده بود.

در آنجا جوزف لاتین و فرانسه را یاد گرفت و با خود عهد بزرگی بست.

در سال 1780 به «اِکُلْ رویال میلیاتر اکسر» رهسپار شد.

مکانی که برای اولین بار استعدادش را در آثار ادبی نشان داد.

اما خیلی زود در سن سیزده سالگی، ریاضی علاقه واقعی او شد.

در سن چهارده‌سالگی او تحصیلات خود را تا کلاس ششم در رشته ریاضیات کامل کرد.در سال 1783 او جایزه اول مدرسه «باسوت» در رشته خودش، یعنی مکانیک عمومی دریافت کرد.

در سال 1787 جوزف تصمیم گرفت تا به دنبال روحانیت برود و به همین منظور به عنوان راهب وارد صومعه نبت کتین شد.

علاقه او به ریاضیات ادامه داشت به هر حال او با ال- سی پونارد استاد ریاضی در اکسر مکاتبه می کرد.

اما فوریه مطمئن نبود که تصمیم درستی در مورد روحانیت گرفته است یا خیر.

او یک نامه در حیره به مونتا کلا پاریس تسلیم کرد.

او در نامه خود به بونارد پیشنهاد کرد که قصد دارد برخورد جدی با ریاضی بکند.

او در این نامه نوشت :
دیروز تولد 21 سالگی من بود و در آن سن نیوتن و پاسکال دستاوردهای فناناپذیری را بدست آوردند.

فوریه ، صومعه را درسال 1789 ترک کرد از پاریس دیدن کرد و نامه‌ای از آکادمی عالی علمی در معادلات جبری می خواند.

در سال 1790 او معلم « بندیکتاین کالج» در اکل رویال میلیاتر اکسر همان جایی که درس خوانده بود شد و تا آن زمان یک کشمکش درونی در فوریه در این مورد وجود داشت که آیا او باید یک فرد مذهبی باشد یا یک محقق ریاضی به هر جهت در سال 1793 سومین عنصر(عامل) به کشمکش‌های او اضافه شد .

زمانی که او وارد سیاست شد و به کمیته انقلابی علمی پیوست.

او نوشت :
بر طبق قانون پیشرفته تساوی در طبیعت ممکن است که تصویر کنیم این عمل مافوق انسانی باشد که یک دولت معاف از کشیش و شاه باشد و خاک اروپا از بند یوغی دوبله که زمانی بسیار طولانی است و آن را در بر گرفته است، آزاد شود .

من زمانیکه می خوانم ،‌ شیفته این عمل هستم.

در نظر من بزرگترین و زیباترین ملت ها چنین ملتی است حتی اگر زیر بار فشارها باشد.

فوریه از تروری که نتیجه انقلاب فرانسه شد، ناراحت شد و تلاش کرد تا از کمیته استعفا دهد به هر جهت این امر غیر ممکن بود و فوریه الان کاملاً با انقلاب گرفتار شده است و نمی تواند از ان رهایی یابد.

انقلاب یک کار کاملاً پیچیده‌ای از خیلی جها ت است با اهدافی کاملاً مشابه و عملکردی شدید متقابل با هم .

فوریه از اعضا حمایت کرد به نظر می رسد فوریه از سکوی ویژه‌ای از درون مردم برخواسته است و به خوبی می تواند صحبت کند و اگر او بماند خواهد دید که جامعه اکسر بدون هیچ نگرانی خواهد بود.

این رویداد نتایج جدی داشت اما بعد از آن فوریه به اکسر برگشت و به کار در کمیته انقلابی و تدریس در دانشگاه ادامه داد .

در جولای 1794 او دستگیر شد و به خاطر واقعه اولئان به زندان افتاد .

اما پس از چندی – تغییر سیاست منجر به آزادی او شد.

در سال 1794 جوزف برای مطالعه در ایکول نرمالی در پاریس کاندید شد.

این مؤسسه برای تربیت معلمان وضع شد و قصد داشت یک روش دیگری برای تربیت معلمان در مدرسه بکار برد .

این مدرسه در جولای 1795 باز شد و فوریه مطمئناً شاگرد توانایی بود.

او از لاگرانژ چیزهای زیادی آموخته بود، لاگرانژ در آن زمان فوریه را اینطور توصیف می کرد :‌ اولین دانشمند مرد اروپا و همچنین لاپلاس کسی که برای فوریه بهای زیادی گذاشت و همین طور منگ که فوریه در باره او می گوید : دانشمندی متکبر با صدای بلند و فعال است.

فوریه در کالج فرانسه شروع به درس دادن کرد و رابطه‌اش با لاپلاس و منگ در تحقیقات ریاضی‌ شروع شد.

منگ اسم مدرسه را به ایکل پلی تکنیک تغییر داد .

در اول سپتامبر 1795 فوریه در ایکل پلی تکنیک در حال درس دادن بود.

در سال 1797 موفق شد لاگرانژ را به استادی آنالیز و مکانیک منصوب کند او به یک استاد برجسته و مشهور تبدیل شده بود.

در سال 1798 فوریه به ارتش ناپلئون در هجوم به مصر مثل یک دانشمند آگاهی دهنده پیوست منگ و ملوس نیز قسمتی از این نیروی هیدئت اعزامی بودند.

این هیئت اعزامی یک موفقیت بزرگ بود.

فوریه یک انجمن پلی تکنیک در فرانسه به کار انداخت و او امیدوار بود که یک آموزش و پروش روانی در مصر تأسیس کند و یک اکتشاف باستان شناسی انجام دهد.

فوریه یک انجمن مخفی انتخاب کرد این انجمن برای او یک موقعیت بود و تا وقتی مصر در تصرف تمام فرانسه است، با این انجمن است .

ناپلئون ارتش را ترک کرد و به پاریس برگشت .

در سال 1801 فوریه با نیروی اعزامی مانده در مصر به فرانسه برگشت.

در این زمان فوریه پستش را به عنوان پروفسور آنالیز در ایکل پلی تکنیک از سر گرفت .

اما ناراحت بود از اینکه فرهنگستان جهان و پاریس را ترک کند در حالی که نمی توانست در خواست ناپلئون را رد کند و به جرمونل رفت ،جایی که کارش از فرمانده هم بیشتر بود.

دو موفقیت بزرگ او یکی در وضعیت اداری – سرپرستی کردن اداره آبگذر در باتلاق برکوئین بود و دیگری رسیدگی به کار ساختمانی در بزرگراه جدیدی بود از جرنونل تا تدوین.

او وقت زیادی صرف کشور مصر کرد.

طی این مدت فوریه روی ریاضیات مهمش کار می کرد.

قضیه گرما که کار روی این موضوع را اطراف سال‌های 1804 تا 1807 شروع کرد.او قضیه مهمش را روی تکثیر گرما در اجسام جامد کامل کرد.

اما کمیته از این بایت احساس، ناراحتی می کردند و دو اعتراض به کار او داشتند :
اعتراض اول :
- بسط تابع فوریه از سری مثلثات توسط لاگرانژ و لاپلاس که امروزه سری فوریه، نامیده می شود البته فوریه به روشنی و به وضوح آنها را متقاعد کرد که شکست خورده‌اند.

همه نوشته ها به روشنی با مثال وجود داشتند.

دومین موضوع « استفاده کردن معادله انتقال دادن گرما :
فوریه به کاغذ بیوت 1804 به عنوان مرجع درست دست رسی نداشت اما کاغذ بیوست حتماً غلط است لاپلاس و پواسون شبیه این موضوع را داشتند.

انجمن در سال 1811 جایزه مسابقه‌ای را که موضوع آن تکثیر گرما در اجسام جامد بود را برای فوریه فرستاد به عنوان جایزه ریاضیات
فوریه در سال 1807 نظریه‌اش را به همه ارائه داد البته او روی خنک کردن جسم جامد محدود از جنس خاک و گرمای شعاعی نیز بسیار کار کرد.

مقدمات 1-1 تعریف : توابع قطعه‌ای پیوسته فرض کنیم تابع در همه نقاط بازه باز و محدود جز احتمالاً مجموعه‌ای متناهی از نقاط پیوسته باشد که در آن : اگر قرار دهیم و آنگاه تابع در هر یک از زیربازه‌های باز پیوسته است .

در نقاط انتهایی لزوماً پیوسته نیست یا حتی تعریف نشده است.

اما اگردر هریک از زیر بازه‌ها وقتی x از داخل به نقاط انتهایی میل کند.

دارای حد متناهی باشد ،‌گوئیم در بازه به صورت قطعه‌ای پیوسته است.

دقیق تر این است حدود یکطرفه : وجود داشته باشند.

اگر در نقاط انتهایی یک جزء بازه ، حد f را وقتی از داخل آن جزء به انتهای آن میل می کند نسبت دهیم ،‌آنگاه f در زیر بازه بسته پیوسته است.

چون هر تابع که در بازه بسته و محدودی پیوسته باشد محدود است.

پس می توان گفت f در تمام بازه محدود است یعنی عدد مثبتی مانند M هست که برای همه نقاط )( که در آن f تعریف شده است.

داریم مثال : تابع در بازه پیوسته است .

اما قطعه‌ پیوسته نیست زیرا موجود نیست.

اگر تابعی در بازه بسته پیوسته باشد.

آنگاه در بازه باز قطعه‌ای پیوسته است اما مثال فوق نیز نشان داده است که پیوستگی در بازه باز مستلزم پیوستگی قطعه به قطعه در آن نیست.

اگر تابع f در بازه قطعه به قطعه پیوسته باشد، همیشه انتگرال از تا وجود دارد.

انتگرال آن برابر است با مجموع انتگرال‌های بر جزء بازه‌های بازی که f در آن ها پیوسته است.

اولین انتگرال در سمت راست موجود است چون انتگرال تابعی پیوسته در تعریف شده است که اگر مقدار انتگرال است و در نقاط و مقادیر آن به ترتیب و است .

باقی انتگرال‌ها در سمت راست نیز به همین نحو تعریف شده و موجود هستند.

مثال : فرض کنید و نمودار آن به شکل زیر می باشد.

در این صورت خواهیم داشت : همان طور که مشاهده می شود مقادیر f در نقاط انتهایی تأثیری در مقدار انتگرال بر هر یک از جزء بازه‌ها ندارند .

د واقع تابع در تعریف نشده است.

اگر دو تابع و هر یک در بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، آنگاه قسمتی از بازه موجود هست بطوریکه که در هر زیر بازه بسته، چنانچه مقدار هریک از توابع را در هر نقطه انتهایی زیر بازه، ‌مقدار حدی آن تابع از داخل زیربازه تعریف کنیم ، هر دو تابع در ان زیر بازه بسته، پیوسته خواهند بود.

پس هر ترکیب خطی مانند یا حاصلضرب در هر زیر بازه دارای آن پیوستگی است.

و دربازه قطعه به قطعه پیوسته است.

پس انتگرال های تابع های و و همگی در ان بازه موجودند.

چون هر ترکیب خطی از توابع قطعه به قطعه پیوسته ، دارای آن خاصیت است می توان دسته همه توابع قطعه‌ای پیوسته که در بازه‌ای مانند تعریف شده‌اند.

یک فضای تابعی بنامیم و با نمایش می دهیم.

فضاهای تابعی دیگری در نظریه سری‌های فوریه مطرح می شوند.

در بررسی سری فوریه از مقدماتی ترین مفاهیم آنالیز ریاضی استفاده می کنیم جز وقتی که خلاف آن گفته شود.

وقتی می گویند تابع در بازه‌ای قطعه به قطعه پیوسته است، باید دانست که بازه محدود است و مفهوم قطعه به قطعه پیوسته بودن بدون توجه به اینکه بازه باز یا بسته است به کار می‌رود.

2-1 حاصلضرب های داخلی ومجموعه های متعامد : فرض کنیم f و g نمایش دو تابع باشند که روی بازه بسته و محدود پیوسته است.

این بازه را به N زیر بازه با طولهای مساوی تقسیم کرده و فرض می‌کنیم.

نقطه دلخواهی در زیر بازه k ام باشد.

در این صورت می توان گفت وقتی N بزرگ است.

تفاوت در این جا نمایش تساوی تقریبی است یعنی (1) که در ان : , پس سمت چپ عبارت (1) تقریباً مساوی است با حاصلضرب داخلی دو بردار در فضای N بعدی، وقتی N بزرگ می باشد، در واقع وقتی N به سمت میل می کند آن تقریب در حد، دقیق می شود پس با توجه یه این مطالب یک حاصلضرب داخلی از توابع f و g را به صورت ذیل تعریف می کنیم : (2) اگر توابع f و g بر بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، این حاصلضرب داخلی خوش تعریف است بازه را که توابع و حاصلضرب های داخلی آنها روی آن تعریف شده‌اند، بازه اصلی می نامند.

بنابراین با استفاده از رابطه (2) یک حاصلضرب داخلی از هر دو تابع f و g در فضای تابعی می توان تعریف کرد.

فضای تابعی با ضرب داخلی (2) مشابه فضای سه بعدی معمولی است.

برای هر تابع f و g و h در روابط زیر که نظیر خواص معمولی بردارها در فضای سه بعدی است برقرارند.

(3) (4) (5) که در ان عدد C ثابتی دلخواه می باشد و این شباهت را با تعریف نرم تابع f در ادامه می دهیم : (6) فرم تفاضل f و g (7) در واقع می‌توان گفت نرم تفاضل f و g اندازه‌ای برای فاصله بین نمودارهای مقدار میانگین به عبارت دقیق‌تر مربع‌های فواصل قائم بین نقاط روی نمودارها بر بازه است.

مقدار را انحراف میانگین مجذورات توابع f و g از یکدیگر می نامند.

دو تابع f و g در متعامدند هر گاه : (8) همچنین اگر تابع را تراز شده می نامند .

تعامد دو تابع f و g چیزی در مورد عمود بودن ارائه نمی دهد.اما در عوض مشخص می شود که حاصلضرب f.g دربازه اصلی،‌مقادیر منفی و مثبت را طوری می گیرد که رابطه (8) برقرار باشد.

مجموعه ای از توابع دربازه متعامد است .هر گاه به ازای هر m و n متمایز داشته باشیم : با فرض اینکه هیچ یک از توابع دارای نرم صفر نباشند، می توان، هر یک از آنها را با تقسیم آن بر تراز کرد.

مجموعه جدید که بدین طریق ساخته می شود، که در آن : (9) بربازه اصلی متعامدیکه است یعنی : (10) که در آن دلتای کرونکر است.

با کامل نوشتن رابطه (10) یک مجموعه متعامدیکه تبدیل می‌شود به مثال : طبق اتحاد مثلثاتی می دانیم : که در آن m و n اعداد صحیح مثبت هستند پس می توان گفت : 3-1 تابع دوره‌ای : تابع را دوره‌ای می نامند هرگاه این تابع به ازای هر عدد حقیقی تعریف شده باشد و عدد مثبتی مانند T موجود باشد بطوریکه : (1) عدد T را دوره می نامند نمودار چنین تابعی از تکرار دوره‌ای نمودار آن درهر فاصله‌ای که طول آن T باشد بدست می آید.

ازرابطه بالا نتیجه می شود که اگرn عدد صحیح دلخواهی باشد از این رو 2T و 3T و 4T و ...

نیز دوره هستند .

به علاوه چنانچه و دارای دوره باشد آنگاه دوره تابع ، T است.

همچنین دوره‌ای نیز است زیرا این تابع به ازای هر T مثبت در رابطه (1) صدق می کند.

4-1 توابع زوج و فرد : در تعیین ضرایب فوریه یک تابع هرگاه فرد یا زوج باشد می توان از محاسبات غیر ضروری اجتناب کرد تابع را زوج می نامند هرگاه : تابع را فرد می نامند هرگاه : اگر تابعی زوج باشد آنگاه : زوج اگر تابعی فرد باشد آنگاه : 5-1 عملگرهای خطی : در دو تابع متعلق به یک فضای تابعی ، دامنه تعریف آنها یکسان است و هر ترکیب خطی از آنها نیز متعلق به این فضاست.

یک عملگر خطی روی یک فضای تابعی ،‌یک عملگر مانند L است که هر تابع u از آن فضا را به یک تابع Lu تبدیل می کند و لزومی ندارد که Lu متعلق به آن فضا باشد و دارای این خاصیت است که برای هر دو تابع و هر دو ثابت داریم : (1) بخصوص : , (2) تابع Lu ممکن است یک تابع ثابت باشد توجه داریم که : و به استقرار بدست می‌آوریم که L ترتیب خطی از N تابع را به طریق زیر تبدیل می کند : (3) مثال : فرض کنید توابعی از متغیرهای مستقل باشند بر طبق خواص مقدماتی مشتق ، مشتق هر ترکیب خطی از دو تابع می تواند به صورت همان ترکیب خطی از تک تک مشتقها نوشته شود.

بنابراین : (4) مشروط بر اینکه موجود هستند .

با توجه (4) دسته همه توابع از که مشتقات جزئی مرتبه اول آنها نسبت به در صفحه موجودند یک فضای تابعی است.

عملگر روی آن فضا یک عملگر خطی است.

آن عملگر به طور طبیعی به عنوان یک عملگر دیفرانسیل خطی دسته بندی می شود.

مثال 2 : یک خط از توابع را در نظر بگیرید که روی صفحه تعریف شده‌اند.

اگر یک تابع مشخصی باشد که روی صفحه تعریف شده است.

آنگاه عملگر L که هر تابع را در ضرب می کند.

یعنی یک عملگر خطی است.

اگر عملگرهای خطی متمایز یا غیر متمایز ، L و M طوری باشند که M هر تابع u از یک فضای تابعی رابه یک تابع Mu متعلق به حوزه عمل L تبدیل کند.

دو تابع دلخواه در آن فضای تابعی باشند، آنگاه از معادله (1) نتیجه می گیریم : (5) یعنی اینکه حاصلضرب LM از عملگرهای خطی نیز یک عملگر خطی است .

مجموع دو عملگرخطی را توسط معادله زیر تعریف می کنیم : (6) اگر u را در اینجا با جایگزین کنیم می توانیم ، ببنیم که مجموع L+M یک عملگر خطی است و بنابراین مجموع هر تعداد متناهی از عملگر خطی، خطی است.

مثال 3 : فضای توابع را در نظر بگیرید که مشتقات در مرتبه اول و دوم آنها نسبت به در یک دامنه مفروض ، در صفحه موجودند و فرض کنید L نمایش عملگر روی این فضا باشد.

حاصلضرب عملگرهای خطی در مثالهای (1) و(2) روی همین فضا خطی است و بنابراین مجموع : خطی است.

6-1 اصل برهمنهی : هر جمله از یک معادله دیفرانسیل همگن خطی تابع u از حاصلضرب یک تابع از متغیرهای مستقل با یکی ازمشتقات u یا خود u تشکیل می‌شود.

بنابراین یک معادله دیفرانسیل همگن خطی به صورت زیر است : (1) که در آن L یک عملگر دیفرانسیل خطی است برای مثال اگر : (2) که در آن A تا F نمایش توابعی فقط از هستند.

معادله (1) یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با مشتقات جزئی برای تابع است.

(3) شرایط مرزی همگن خطی نیز به صورت (1) هستند.

در این صورت متغییرهایی که به عنوان شناسه‌های تابع u و شناسه‌های ضرائب تابعی عملگر خطی L ظاهر می شوند، به گونه‌ای محدود می شوند که نمایش نقاط روی یک مرز یک دامنه باشند.

اکنون فرض می‌کنیم نمایش توابعی باشد که در معادله (1) صدق می کنند، یعنی اینکه برای هر n ،‌ از خاصیت ((3 درباره عملگرهای خطی نتیجه می شود که هر ترکیب خطی از آن توابع نیز در معادله (1) صدق می کند.

اصل برهمنهی جوابها را ، که اساس روش فوریه برای حل مسائل مقدار مرزی خطی است به صورت ذیل بیان می کنیم : 7-1 قضیه اگر هرکدام از N تابع در یک معادله دیفرانسیل همگن خطی صدق می‌کند، آنگاه هر ترکیب خطی : (4) که در آن Cها ثابتهای دلخواه هستند در آن معادله دیفرانسیل صدق می‌کند.

اگر هر کدام از آن N تابع در یک شرط مرزی همگن خطی صدق کند، آنگاه هر ترکیب خطی (4) در آن شرط مرزی صدق می کند.

اصل برهمنهی در معادلات دیفرانسیل معمولی مفید است.

برای مثال از دو جواب از معادله همگن خطی می توان جواب کلی را نوشت.

مثال : معادله گرمای همگن خطی زیر : (5) و شرایط مرزی همگن خطی زیر را درنظر بگیرید : (6) به آسانی می توان نشان داد که اگر : و و آنگاه بنابراین از قضیه (1) نتیجه می‌شود برا ی هر ترکیب خطی یعنی اینکه تابع : (7) در معادله گرمای (5) صدق می کند هرگاه اگرچه نوشتن با منظور کردن به جای در عبارت (7).

خیلی طبیعی به نظر می رسد، انتخاب از نظر نمادی مناسب است.

همچنین برای شرایط مرزی (6) ،می نویسیم و مشاهده می کنیم مقدار صفر است هرگاه .

بنابراین مجدداً بنا به قضیه (1) مقدار Lu صفر است هرگاه این نشان می دهد که ترکیب خطی (7) نیز در شرایط مرزی (6) صدق می کند.

قضیه7-1 در مورد مجموعه نامتناهی از توابع به کار می رود .

همگرایی و مشتق پذیری سری نامتناهی متشکل از این توابع را بررسی می‌کنیم : فرض کنید که تابع و ثابتهای طوری باشد که سری نامتناهی متشکل از جملات در سرتاسر دامنه‌ای از متغیرهای مستقل همگرا باشد .

مجموع آن سری یک تابع به صورت زیر است : (8) فرض کنید x یکی از متغیرهای مستقل باشد آن سری نسبت به دیفرانسل پذیر، ‌یاجمله به جمله دیفرانسیل پذیر است.

اگر مشتقات موجود باشند و سری توابع به همگرا باشد : (9) توجه داریم که اگر قرار است یک سری دیفرانسیل پذیر باشد باید همگرا باشد ، بعلاوه سری سری (9) نسبت به دیفرانسیل پذیر باشد آنگاه سری (8) نسبت به دوباره دیفرانسیل پذیر است.

فرض کنید L یک عملگر خطی است که درآن Lu حاصلضرب تابعی از متغیر های مستقل در u یا در یک مشتق u است، یا Lu مجموعی از یک تعداد متناهی از اینگونه جملات است.

اکنون نشان می دهیم که اگر سری (8) برای همه مشتقات موجود در L دیفرانسیل پذیر باشد و اگر هر کدام از توابع در سری ((8 در معادله دیفرانسیل همگن خطی صدق می کند، آنگاه، u نیز در این معادله صدق می کند یعنی اینکه برای انجام کار ابتدا توجه داریم که بر طبق تعریف مجموع یک سری نامتناهی : هرگاه سری (8) نسبت به دیفرانسیل پذیر باشد .آنگاه : (10) در اینجا عملگر می تواند با مشتقات دیگر جایگزین شود.

اگر آن سری بدان نحو دیفرانسیل پذیر باشد.

سپس با جمع کردن طرفهای متناظر معادلات مشابه معادله (10) از جمله آن معادله‌ای که احتمالاً هیچ مشتقی در آن ظاهر نمی‌شود، عبارت زیر را بدست می آوریم : (11) مجموع طرف راست معادله (11) یک ترکیب خطی از توابع است و اگر بنا به قضیه (1) برای هر N می توان نوشت : بنابراین از معادله (11) نتیجه مورد نظر را داریم : یک شرط مرزی همگن خطی نیز با یک معادله نمایش داده می‌شود.

ممکن است بخواهیم تابع Lu در نقاطی روی مرز در یک شرط پیوستگی صدق کند، تا بتوانیم مقادیر آن را در چنین نقاطی، مقدار حد تابع بگیریم ، هر گاه نقاط از درون دامنه به آنها میل کنند.

فصل دوم سریهای فوریه توابع دوره‌ای به کرات در مسائل مهندسی مطرح می شوند.

نمایش این توابع بر حسب توابع دوره‌ای ساده، مانند سینوس و کسینوس که منجر به سری فوریه می گردد ، از نظر علمی اهمیت زیادی دارد.

این سری ها که به یاد ژوزف فوریه ، فیزیکدان فرانسوی ، سریهای فوریه نام گرفته‌اند ابزار پر قدرتی برای حل مسائل مختلف از جمله معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات با مشتقات جزئی هستند.

نظریه سریهای فوریه نسبتاً پیچده است.

ولی کاربرد این سریها ساده است.

مطمئناً سریهای فوریه جامعتر از سریهای تیلور هستند.

زیرا بسیاری از توابع دوره‌ای نا پیوسته را که از نظر علمی واجد اهمیت و قابل نمایش با سری تیلور نیستند؛ می توان با سری فوریه بسط داد.

سری فوریه تعمیم یافته : فرض کنید f تابعی دلخواه در cp(a,b) باشد، وفضای توابع قطعه‌ای پیوسته روی بازه تعریف شده‌اند.

اگر یک مجموعه متعامدیکه از توابع مانند در cp(a,b) مشخص شده باشد؛ ممکن است بتوانیم f را بصورت ترکیب خطی از این توابع نمایش دهیم که ترکیب خطی به سری نامتناهی تعمیم یافته که درهمه نقاط به جز احتمالاً تعدادی متناهی نقطه دربازه اصلی به همگراست.

(1) این رابطه نیز رابطه‌ای است که برای هر بردار در فضای سه بعدی برحسب سه بردار دو به دو متعامد به طول واحد مانند i و j و k بدست می آید.

برای کشف عبارتی برای ضرائب در رابطه (1) در صورت وجود چنین نمایش به جای n ازنماد جمع بندی m استفاده می کنیم پس : (2) همچنین فرض می‌کنیم که پس از ضرب کردن هر جمله آن در خاص، سری حاصل جمله به جمله در بازه انتگرال پذیر باشد پس می توان نوشت : (3) یا اما به ازای همه مقادیر m بجز وقتی m=n داریم و در حالتی که m=n داریم پس رابطه (3) تبدیل می شود به و به وضوح حاصلضرب داخلی است.

چون نمی توانیم مطمئن باشیم که نمایش (1) با ضرائب برای تابع خاص f و مجموعه متعامدیکه عملاً برقرار باشد پس می نویسم : (4) سری موجود در تناظر (4) سری فوریه تعمیم یافته تابع f دربازه نسبت به مجموعه متعامدیکه است ضرائب ثابت های فوریه می باشند .

2-2 سری‌های فوریه : می دانیم توابع (1) تشکیل مجموعه متعامدیکه ای روی بازه اصلی می دهند.

پس سری فوریه تصمیم یافته نظیر f از عبارتست از : یعنی : (2) که در آن : پس اگر قرار دهیم : (3) آن تناظر تبدیل میشود به : (4) ضرایب برای چنین تابع را در سری (4) مربوط به آن می توان تعیین کرد.

نخست را تعیین می کنیم .

از طرفین رابطه (4) از تا انتگرال می گیریم.

(5) حال را به روشی مشابه تعیین می کنیم.

با ضرب رابطه (1) در (mعدد صحیح مثبت) و سپس با انتگرال گیری از آن از تا خواهیم داشت .

(6) می دانیم : با انتگرال گیری می توان نشان داد که چهار جمله موجود در سمت راست همگی صفرند به استثنای جمله آخر سطر اول که به ازای n=m برابر است چون در رابطه (3) این جمله در ضرب شده است، طرف راست (3) برابر است پس دومین نتیجه بدست آمده بدین صورت است : (7) در پایان ضرایب رابطه (1) را معین می کنیم .

هر گاه رابطه (1) را در sin mx ضرب کنیم (m عدد صحیح مثبت) و سپس از تا از آن انتگرال بگیریم خواهیم داشت.

(8) انتگرال اول صفر است انتگرال بعدی از نوعی است که در حالت قبل بررسی شده است و چنانچه می دانیم به ازای همه مقادیر صفر است برای انتگرال آخر خواهیم داشت : جمله آخر صفر است.

جمله اول طرف راست به ازای صفر می‌باشد و به ازای و است بنابراین طرف راست رابطه (8) برابر می باشد پس نتیجه سوم نیز بدین صورت است : حال با نوشتن n به جای m فرمولهای زیر که فرمولهای اویلر نام دارند .

بدست می آید : (9) توجه کنید به دلیل دوره‌‌ای بودن انتگرال ، فاصله انتگرال گیری رابطه (9) را می توان با هر فاصله دیگری به طول ، مثلاً تعویض کرد.

برای تابع دوره‌ای با دوره با توجه به رابطه (9) می توان را محاسبه کرد و سری مثلثاتی : را تشکیل داد .این سری موسوم به سری فوریه متناظر با است.و ضرایب آن که از رابطه (6) بدست می آید ضرایب فوریه نامیده می شود.

از تعریف انتگرال معین نتیجه می‌شود که اگر پیوسته باشد یا حتی اگر فقط پیوسته تکه‌ای باشد (یعنی اگر گذشته از تعداد متناهی پرش متناهی در فاصله انتگرال گیری پیوسته باشد) انتگرال‌های (9) وجود دارند و می توان به کمک رابطه (9) ضرایب فوریه را محاسبه کرد.

3-2 مثال (موج مربعی) ضرایب فوریه تابع دوره ای را که در شکل (1) آمده محاسبه کنید.

نمایش تحلیلی چنین است : , چنین توابعی می توانند به عنوان نیروهای خارجی وارد بر دستگاه‌های مکانیکی نیروهای محرکه الکتریکی در مدارهای الکتریکی و غیره مطرح می شوند.

بنا به رابطه (6الف) خواهیم داشت این را بدون انتگرال نیز می توان بدست آورد چرا که مساحت زیر منحنی بین و برابر صفر است.

بنا به (9الف) .

چرا که در به ازای هر داریم همین طور از (9ج) بدست می آوریم : با استفاده از و از نتیجه می‌گیریم : حال و و ...

و در حالت کلی .

و بنابراین از این رو ضرایب فوریه تابع مورد نظرعبارتند از : و چون ها صفرند سری فوریه متناظر عبارتند از : (10) مجموع‌های جزئی عبارتند از : از نمودارهای شکل چنین بر می آید که سری همگراست و مجموع آن تابع مفروض است.

متذکر می شویم که در نقاط نا پیوستگی مجموع‌های جزئی برابر صفر است.

همچنین با فرض آنکه مجموع جزئی سری است با قرار دادن داریم : یا این مثال نشان می دهد که مقدار سریهای مختلف با جملات ثابت را می توان با محاسبه سری فوریه در نقاط معین محاسبه کرد.

دولم : مبحث همگرایی سریهای فوریه را با دولم یا قضیه مقدماتی شروع می کنیم.

اولی حالت خاصی از لم ریمان- لوبگ است.

لم 1 : اگر تابع G(u) بربازه قطعه‌ای پیوسته باشد آنگاه : (1) که در آن N نمایش اعداد صحیح مثبت است.

لم 2 : لم دوم شامل هسته دیر یکله است : (2) که در آن N عدد صحیح مثبت دلخواهی است.

توجه کنید که پیوسته به زوج و متناوب با دوره تناوب است.

هسته دیریکله در نظریه ما نقش بسیار مهمی دارد و دارای دو خاصیت مهم دیگر نیز می باشد که : (3) (4) خاصیت سوم با انتگرال گیری از طرفین رابطه (2) بدست می آید.

عبارت (4) را نیز می توان به کمک یک اتحاد مثلثاتی بدست آورد.

و حال صورت لم : فرض کنید تابع درباره قطعه‌ای پیوسته و مشتق راست موجود باشد در این صورت : (5) که در آن با ضابطه (2) تعریف می شود.

اثبات : برای شروع اثبات چنین می نویسیم : (6) که در آن : و بنا بر رابطه (4) اولین انتگرال را می توان بدین صورت نوشت : (7) ملاحظه می کنید که تابع خارج قسمت دو تابع قطعه‌ای پیوسته بر بازه است اگرچه مخرج در نقطه صفر می شود وجود مستلزم وجود است.

بنابراین خودش در بازه قطعه‌ای پیوسته است.

با استفاده از لم (1) در مورد انتگرال (7) می توان نتیجه گرفت : (8) باتوجه به خاصیت (3) هسته دیریکله می‌دانیم : یا (9) حال نتیجه مطلوب (5) از روابط (6) وحدهای (8) و (9) بدست می آید.

یک قضیه فوریه : قضیه‌ای را که شرایطی در مورد همگرایی سری فوریه به تابع نظیرش در بر دارد یک قضیه فوریه می نامند.حال این قضیه را بیان و اثبات می کنیم.

گرچه آن را برای تابع‌های متناوب با دوره‌ی بیان می‌کنیم، اما می توان آن را برای توابعی هم که فقط دربازه اصلی تعریف شده.

بکاربریم.

4-2 قضیه فرض کنیم f تابعی قطعه‌ای پیوسته روی بازه و متناوب با دوره تناوب باشد.

در هر نقطه که مشتق یکطرفه و موجود باشند.

سری فوریه آن : (1) (2) (3) به میانگین (4) همگراست.

اگر f در پیوسته باشد خارج قسمت (4) همان خواهد شد.

بنابراین در چنین نقطه‌ای داریم : چون فرض کردیم f قطعه‌ای پیوسته است.

پس انتگرال‌های (2) و (3) برای ضرایب همواره موجودند.

حال برای اثبات قضیه، ضرایب را در سری (1) قرار می دهیم پس خواهیم داشت.

بنابراین اگر نمایش مجموع جزئی مرکب از N+1 جمله اول سری باشد.

(5) با استفاده از هسته دیریکله رابطه (5) را می توان به شکل زیر نوشت : چون انتگرال متناوب است پس می توان بازه انتگرال گیری را با هر بازه به طول عوض کرد بدون اینکه مقدار انتگرال تغییر کند پس : (6) که در آن نقطه x مرکز بازه‌ای است که انتخاب کرده‌ایم.

حال از رابطه (6) خواهیم داشت : اگر در انتگرال (8) به جای متغیر انتگرال گیری متغیرجدید را قرار دهیم.

آن انتگرال تبدیل می شود به : (10) چون f روی بازه اصلی قطعه‌ای پیوسته و متناوب است.

بر هر بازه محدود از محور xها قطعه‌ای پیوسته است.

به همین دلیل برای مقدار ثابت تابع در عبارت (10) روی هر بازه محورها بخصوص بر بازه قطعه‌ای پیوسته است.

فرض کنید مشتق راست موجود باشد.