دانلود مقاله دایره

دایره
معادله یک دایره
فرض کنیم C(a,b) مرکز و r شعاع دایره باشد .

فرض کنیم P(x,y) نقطه دلخواهی روی محیط دایره باشد.

در این صورت CP=r بنابراین

با مراجعه به معادله ، که عبارتی برای فاصله بین دو نقطه ارائه می دهد، داریم

که معادله مطلوب است.

اگر فرض کنیم a=b=0 یعنی مرکز دایره در مبدا باشد، در این صورت معادله به صورت زیر درمی آید.

معادله (1.19) می تواند چنین نوشته شود.

بنابراین معادله یک دایره به صورت زیر است

که در آن g ، f ، c اعداد ثابتی هستند.

بالعکس معادله (3.19) را می توان چنین بازنویسی کرد.

با مقایسه این معادله با (1.19) می بینیم که
(3.19) دایرهای به مرکز (-g-f) و با شعاع را نمایش می دهد(4.19)
در حالت کلی معادله یک دایره چنان است که
(یکم) ضرایب و مساویند (دوم) جمله xy وجود ندارد.

مثال 1.

معادله دایره ای با مرکز (4.3-) و به شعاع 7 را بیابید.

معادله عبارتست از


مثال 2.

مرکز و شعاع دایره را بیابید.

با قرار دادن معادله مفروض به صورت استانده (19.1) ابتدا لازم است طرفین را بر 4 تقسیم کنیم ، بنابراین
یعنی .

یا

بنابراین دایره دارای مرکز ( 0،2/3) و شعاع 1 است .

مثال 3، معادله دایره ای را بیابید که مرکزش (7-،4) بوده و بر خط
3x+4y-9=0
مماس باشد.

چون خط مماس بر دایره است .

بنابراین شعاع دایره برابر با فاصله عمودی مرکز تا خط می باشد .

پس
شعاع
بنابراین معادله دایره چنین است

یعنی ،

مثال ، معادله دایره ای را بنویسید که AB قطر آن باشد، در اینجا ، B,A نقاط و می باشند.

فرض کنیم P(x,y) نقطه دیگری از محیط دایره باشد (شکل 2.19 را ببنید)
شیبیهای AP و BP به ترتیب عبارتند از
و
چون AB قطر دایره است ، ؛ بنابراین AP و PB عمودند؛ پس بنابر (15.18) حاصلضرب شیبهای آنها برابر 1- است .

یعنی

یا

که شرطی است که بایستی مختصات هر نقطه دلخواه دایره در آن صدق کند و بنابراین معادله مطلوب می باشد.

2.19 معادله دایره ای که از سه نقطه غیر واقع بر یک استقامت می گذرد.

فرض کنیم که معادله دایره باشد و سه نقطه
باشند.

چون دایره ازهر سه نقطه می گذرد بایستی مختصات آنها درمعادله دایره صدق کنند.

بنابراین



دستگاهی از سه معادلهاست که می توان ان را بر حسب مجهولات g ، f و c حل کرد.

معادله دایره ای را بیابید که ازنقاط (6.1)،(3.2)،(2.3) می گذرد.

فرض کنیم معادله دایره باشد.

در این صورت چون (6.1) روی دایره قرار دارد داریم.

با حل دستگاه معادلات داریم .

بنابراین معادله مطلوب عبارتست از

3.19 معادله مماس بر دایره

درنقطه با دیفرانسیلگیری از معادله نسبت به x داریم
بنابراین شیب مماس در نقطه عبارتست از .

پس بنابر (6.18) معادله مماس چنین است.

یا یعنی ، مقدار را به هر دو طرف می افزاییم به دست می آید.

زیرا روی دایره قرار دارد.

بنابراین معادله مطلوب چنین است.

سهمی ، بیضی ، هذلولی و سهمی نیمه مکعبی مقدمه مکان هندسی نقطه P(x,y) که طوری حرکت می کند که نسبت فاصله اش از یک نقطه ثابت S (کانون ) ، و از یک خط ثابت ZQ (هادی) عددی ثابت است (e ، که به عنوان خروج از مرکز شناخته شده است)، مطابق با اینکه e کوچکتر ، مساوی یا بزرگتر از واحد باشد اشکال متفاوتی دارد.

این مکان مهمی است وقتی که e=1 ، بیضی است وقتی که e سهمی (e=1) فرض کنیم SZ خط ماربر کانون و عمود بر خط هادی ZQ باشد(شکل 1.25 را ببینید).

بنا بر تعریف مکان هندسی نقطه ، این مکان از نقطه وسط S و Z میگذرد.

صورت معادله مکان بستگی به انتخاب محورها دارد.

ساده ترین صورت معادله با گرفتن نقطه وسط S و Z به عنوان مبدأ و محورهای مختصات موازی و عمود بر QZ به دست می آید.

فرض کنیم ، نسبت به این محورها ، SO=OZ=a ، کانون S نقطه (a,0) است و هادی ZQ خط x=-a است.

اگر P(x,y) نقطه دلخواهی روی این مکان باشد.

PS=PM بنابراین یعنی بنابراین این ساده ترین صورت معادله سهمی است که با این انتخاب محورها به دست آمد.

برای رسم این سهمی (فرض کنیم a>0 ) ابتدامشاهده می کنیم که x منفی باشد y تعریف نشده است ، بنابراین منحنی تماماً درطرف راست مبدأ قرار دارد.

چون می توانیم معادله سهمی را به صورت بنویسیم، منحنی نسبت به Ox متقارن است وگاهی از این خط به عنوان محور یاد می شود.

اگر x صفر باشد ، نشان می دهد که محور y ها منحنی را در دو نقطه منطبق بر هم در نقطه (0.0) قطع می کند ، این نقطه راس سهمی نامیده می شود.

بنابراین منحنی بر محورy ها در راس مماس است.

شکل عمومی در شکل 2.25 نشان داده شده است.

طول پاره خط ماربر کانون و موازی خط هادی سهمی را وترکانونی موازی خط هادی نامند.

چون طول نقطه L x=a است، با جایگذاری در معادله (25.1) می بینیم که عرض LS دارای طول 2a است.

بنابراین مثال 1، معادله سهمی با کانون (5.4) و خط هادی x=3 را بیابید.

با مراجعه به شکل 25.2 فرض کنیم P(X,Y) نقطه دلخواهی از سهمی باشد، در این صورت P از کانون و خط هادی به یک فاصله است.

بنابراین SP=PM=PN-MN یعنی و این معادله را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد.

با مراجعه به شکل (2.25) می بینیم که راس V نقطه (4.4) می باشد.

اگر مبدا مختصات را به این نقطه منتقل کنیم معادله به صورت در می آید که همان معادله (1.25) با a=1 است.

مثال 2، معادله سهمی را بنویسید که کانونش (2،3-) و خط هادی ان x-y+1=0 باشد.

فرض کنیمP(X,Y) نقطه دلخواهی از سهمی باشد .

دراین صورت P از کانون و خط هادی به یک فاصله است .

بنابراین ](5.17) و (20.18) راببینید.[ یعنی بنابراین معادله مطلوب عبارتست از برای تحویل این معادله به ساده ترین صورت ] معادله (1.25) را ببنید[ احتیاج به تغییر مبدا و دوران محورها داریم.

این روش آخری خارج از سطح این کتاب می باشد.

مثال 3.

یک کابل تلفناز دو نقطه P و Q ، به فاصله 60 متر از یکدیگر آویزان فرض کنیم که این کابل به صورت سهمی آویزان باشد، معادله آن را بیابید.

با درنظر گرفتن محورها به صورتی که درشکل (4.20) نموده است ، معادله مطلوب به صورت می باشد.

نقطه Q دارای مختصات (30.3)است و روی منحنی قرار دارد، بنابراین و یا a=75 بنابراین معادله مطلوب عبارتست از 3.20 معادلات مماس وقائم در نقطه بر سهمی با ردیف انسیلگیری معادله سهمی .

نسبت به x داریم بنابراین شیب مماس در نقطه عبارتست از ومعادله مماس چنین است یا اما ، چون روی منحنی قرار دارد ، .

بنابراین ومعادله مطلوب عبارتست از بایستی توجه کرد که این معادله مماس را می توان از معادله اولیه سهمی با جایگذاری به جای و به جای 4ax به دست آورد.این قاعده مشابهی با قاعده ای در همین زمینه درمورد مماس بر یک دایره است.

قائم بر یک منحنی در یک نقطه خطی است ما بر آن نقطه عمود بر مماس در آن نقطه ، بنابراین چون شیب مماس است ] (3.20) را ببینید[ شیب قائم می باشد.

پس معادله قائم عبارتست از : مثال 1.

معادلات مماس بر سهمی در نقاط (3.12) و (48- ،48) را بیابید.

نشان دهید که این مماسها با هم زاویه قائمه می سازند و نقطه تقاطشان را بیابید.

در اینجا 4a=48 ؛ بنابراین a=12 برای مماس در نقطه (3.12) داریم ، .

بنابراین با جایگذاری این مقادیر در (3.20) داریم یا (یکم ) y=2x+6 همین طور برای مماس در نقطه (48- ،48) داریم یا (دوم) از (یکم) و (دوم) دیده می شود که شیبهای مماس ها 2 و 2/1- می باشند و حاصلضربشان 1- است.

بالنتیجه ، بنابر(15.18) ، مماسها بر هم عمودند.

از معادلات (یکم) و (دوم) ، در نقطه تقاطع بنابراین x=-12 و y=-18 .

دقت کنید که چون a=12 دراین حالت x=-12 معادله خط هادی است و این نقطه تقاطع روی خط هادی است.

4.20 نقاط تقاطع خط y=mx+c و سهمی برای یافتن نقاط تقاطع ، دستگاه معادله را حل می کنیم از و داریم یا مبین این معادله درجه دوم عبارتست از و یا بنابراین معادله درجه دوم (5.20) دارای دو ریشه حقیقی متمایز، دو ریشه برابر با دو ریشه مختلط هستند.

مطابق با اینکه بزرگتر ، مساوی ، یا کوچکتر ازصفر باشد.

بالنتیجه اگر ca/m خط منحنی را قطع نمی کند اگر c=a/m خط بر منحنی مماس است.

بنابراین بازاء کلیه مقادیر m ، خط بر سهمی مماس است.

مثال 1.

معادله مماس بر سهمی راکه موازی باخط y+x=5 است بیابید.

چون مماس موازی خط y+x=5 است ، شیبش با شیب خط برابر است .

بنابراین m=-1 .

چون معادله سهمی مفروض است و بنابراین a=-3 با جایگذاری این مقادیر a و m در معادله (6.20) معادله مطلوب عبارتست از یعنی مثال 2.

نشان دهید که نقطه تقاطع دو مماس عمود بر هم یک سهمی همواره روی خط هادی است.

فرض کنیم معادله سهمی باشد.

دراین صورت خط y=mx+a/m همواره بر سهمی مماس است.

اگر به جای –1/m,m قرار دهیم انگاه خط y=-x/m-am بر سهمی مماس خواهد بود که بر خط y=mx+a/m عمود است.

با تفریق آنها طول نقطه تقاطع این دو مماس از رابطه زیر به دست می آید: و یا یعنی x+a=0 و این معادله خط هادی است.

معادلات مماسهای وارد از نقطه (2.4) بر سهمی را بیابید.

معادله سهمی است ، بنابراین 4a=6 یعنی a=3/2 بنابراین هر مماس سهمی به صورت y=mx+3/2m است.

این مماس از نقطه (2.4) می گذرد هرگاه 4=2m+3/2m یعنی یا (2m-1)(m-3)=0 بنابراین m=1.2 یا m=3.2 .

پس مماسهای وارد ازنقطه (2.4) عبارتند از یعنی یعنی 5.20 معادلات پارامتری سهمی بازاء کلیه مقادیر t ، همواره ، درمعادله صدق میکند.

این عبارات را معادلات پارامتری سهمی نامند.

را می توان به عنوان یک نقطه عمومی سهمی به کار برد.

دراینجا t هر مقداری را میتواند اختیار کند.

با جایگذاری مختصات نقطه عمومی در (3.20) داریم یعنی معادله مماس در می باشد، همچنین یعنی معادله قائم در است.

نمودار یک سهمی راکه معادلات پارامتری آن و است رسم کنید.

این مثال را میتوان با فوریت با حذف t و به دست آوردن معادله دکارتی منحنی یعنی حل کرد.

درهر صورت برای روشن نمودن روش رسم از روی معادلات پارامتری به صورت زیر ادامه می دهیم : فرض کنیم t مقادیر 5- ، 4- ، 000،5+ را داشته باشد و از معادلات مفروض مقادیر x و y متناظر بامقادیر t رامی یابیم.

بنابراین می توانیم جدول زیر را بسازیم.

دو سطر آخر ما را درطرح ریزی نقاط ، و رسم منحنی بااستفاده ازآن نقاط، قادر می سازد.

(شکل 5.20) مثال 2.

مماس برسهمی درنقطه P خط هادی را در Q قطع می کند.

M نقطه وسط PQ است.

مختصات M را بر حسب پارامتر نقطه P بیابید و مکان هندسی M را هنگامی که P روی سهمی حرکت می کند بیابید.

فرض کنیم P نقطه باشد.

در این صورت بنا بر (8.20) معادله مماس در P عبارتست از بنابراین مختصات Q (-a,-a/p+ap) می باشد.

پس مختصات M عبارتست از مکان هندسی باحذف کردن P از این معادلات به دست می اید.

بنابراین داریم پس بالنتیجه مکان هندسی دارای معادله زیر است یعنی مثال 3.

یک وتر کانونی سهمی است ، S کانون است، اگر P نقطه باشد، نقطه را بیابید و سپس نشان دهید که زاویه مماسها در P و یک قائمه است.

چون P نقطه است ، معادله دکارتی منحنی است .

بنابراین S نقطه (a,0) است.

فرض کنیم نقطه باشد .

چون یک خط راست است ، شیب PS و شیب است.بنابراین یعنی ، پس از ساده کردن داریم یعنی چون ، بنابراین نقطه است.

بنابر (8.20) شیب مماس در ، 1/t است .

با استفاده از ان شیب مماس در یعنی –t است وحاصلضرب این دو شیب برابر 1- است.

پس زاویه مماسهای در P و برابر یک قائمه است.

6.20بیضی (e یادآوری می کنیم که S کانون است و ZQ خط هادی ، اگر نقطه دلخواهی ازمنحنی باشد و PM عمود بر ZQ باشد ، آنگاه SP=ePM ZSZ راعمودبر هادی ZQ می گیریم .فرض کنیم نقاط A و ، SZ را از داخل و ازخارج به نسبتe:1 تقسیم کند.

بنابراین A ، نقاط روی بیضی هستند.

صورت معادله .

شبیه سهمی .

به انتخاب محورها بستگی دارد.

ساده ترین صورت با گرفتن نقطه وسط به عنوان مبدا O و محورها مختصات ، موازی و عمود بر به دست می آید.

فرض کنیم ؛ در این صورت چون A و نقاطی روی این مکان هندسی هستند.

بنا بر تعریف ؛ بنابراین یعنی ، بنابراین پس ، بنابراین کانون S نقطه (-ae,0) است .

همچنین یعنی ، بنابراین پس ، بنابراین خط هادی ZQ ، خط است .

حال بنابراین یعنی و با نوشتن معادله به صورت زیر درمی آید.

برای رسم بیضی ، چون فقط قوای زوج x و y در معادله وجود نداردنمنحنی نسبت به هر دو محور تقارن دارد.

همچنین چون معادله رامی توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

بنابراین یا بنابراین از تقاران منحنی نتیجه می گیریم که کانون دیگری مانند و خط هادی دیگری مانند وجود دارد.

جمع بندی کنیم ، منحنی یک بیضی است با خروج ازمرکز e( مساحت یک بیضی رامی توان با روش انتگرالگیری یافت.

از شکل (8.20) بنا بر تقارن دیده می شود که مساحت مساحت بیضی حال چون بنابراین پس ، داریم بنابراین مثال 1.

(یکم )خروج ازمرکز (دوم) مختصات کانونها (سوم)معادلات خط هادی بیضی را بیابید.

(یکم ) معادله مفروض را با (13.20) مقایسه می کنیم ، داریم a=5 ، b=4 باجایگذاری این مقادیر در(12.20) داریم پس ، (دوم ) مختصات کانونها عبارتند از ، یعنی .

(سوم) معادلات خطوط هادی عبارتند از ، یعنی .

مثال 2.

نشان دهید که طول وتر کانونی موازی خط هادی از بیضی عبارتست از .

با مراجعه به شکل 8.20 وتر کانونی موازی خط هادی خطی است ماربر کانون و عمود بر محور بزرگ ، بنابراین معادله خط عبارتست از x=ae بنابراین عرض نقطه از حل دو معادله زیر به دست می آید.

بنابراین یعنی حال .

بنابر(12.20) ، پس بنابراین طول وتر کانونی موازی خط هادی مثال 3.

نشان دهید که بیضی با خروج از مرکز ، کانون (0.2) و خط هادی دارای معادله است .

فرض کنیم P(x,y) نقطه دلخواهی ازبیضی باشد و فرض کنیم PM عمود بر هادی باشد.

بنابراین ، یعنی ، بنابراین بامرتب کردن معادله داریم یعنی ، جمله بر حسب x رابه «مربع کامل» تبدیل میکنیم داریم بنابراین با مراجعه به شکل 9.10 ، اگر مبدا مختصات به نقطه تغییر مکان دهد معادلهبه صورت زیر درمیآید .

که همان معادله (13.20) است با a=3 ، b=2 نتیجه می شود که مرکز بیضی است.

7.20 معادلات مماس و قائم درنقطه بر بیضی با دیفرانسیلگیری از معادله بیضی نسبت به x داریم بنابراین شیب مماس درنقطه برابر است با ومعادله مماس چنین است یا یعنی و چون روی بیضی قرار دارد مجددا یاد آوری می کنیم که معادله مماس از روی معادله منحنی با جایگذاری به جای و به جای به دست می آید.

چون قائم بر منحنی بر مماس عمود است و از نقطه می گذرد و معادله اش چنین است یا مثال 1.

معادله مماس وقائم بر بیضی رادرنقطه (3،2-) بیابید.

معادله مماس بنابر (15.20)عبارتست از یعنی .

برای یافتن معادله قائم به جای یافتن (a) و (b) وبه کار بردن (16.20) به صورت زیر عمل می کنیم.

شیب مماس برابر است با 7/1 ، بنابراین شیب قائم 7- می باشد.

چون خط قائم همچنین ازنقطه (3،2-) می گذرد و معادله اش چنین است .

یا 8.20 نقاط تقاطع خط و بیضی برای یافتن نقاط تقاطع ، دستگاه دو معادله را حل می کنیم .

رادر قرار میدهیم ، داریم یا مبین این معادله درجه دوم برابر است با یا بنابراین معادله (17.20) دارای دو ریشه حقیقی متمایز ، ریشه مضاعف یا ریشه های مختلط است مطابق با اینکه کمتر ، مساوی یا بزرگتر از باشد.

اگر آنگاه خط بر بیضی مماس است ؛ بنابراین خطوط همواره بر بیضی مماسند.

معادله مماس بر بیضی راکه موازی خط است بیابید.

چون مماسهای موازی با این خط دارای شیبهایی برابر با شیب خط می باشند، پس شیب آنها m=-1.6 است ؛ بنابر (18.20 ) معادلات مطلوب عبارتند از معادله بیضی را به صورت بازنویسی می کنیم ، داریم ، بنابراین معادلات مماسها عبارتند از یعنی یا مثال 2.

زاویه جفت مماسهای مرسوم ازنقطه P بر بیضی هموره بربر یک قائمه است .

نشان دهید که مکان هندسی P دایره است .

خط همواره بر بیضی مفروض مماس است .

این خط از نقطه P(X,Y) می گذرد هرگاه چون X ، Y ، a و b همه مفروضند.

این معادله یک معادله درجه دوم بر حسب mاست که شیب دو مماس وارد از نقطه P بر بیضی را می دهد.

این معادله درجه دوم را می توان به صورتزیرنوشت یعنی زاویه بین دومماس برابر یک قائمه خواهد بود هرگاه شیبهای آنها m و باشد ، یعنی حاصلضرب شیبها برابر 1- باشد.

بنابراین برای اینکه مماسها بر هم عمود باشند بایستی حاصلضرب ریشه های معادله فوق برابر 1- باشد، پس شرط مطلوب برای مسئله است .

یا که شرطی است برای اینکه نقطه P(X,Y) روی دایره قرار داشته باشد.

این دایره مرسوم به دایره هادی بیضی است.

9.20 معادلات پارامتری یک بیضی بازاء کلیه مقادیر ، روابط همواره در معادله صدق می کنند.

این معادلات ، معادلات پارامتری بیضی می باشند.

نقطه را همواره می توان به عنوان یک نقطه عمومی بیضی به کار برد.

معادلات مماس و قائم بربیضی را در یک نقطه دلخواه بیابید.

هر نقطه از بیضی چنین است بنابراین ، بنابر (15.20) معادله مماس عبارتست از یا شیب مماس برابر است با ، بنابراین شیب قائم می باشد و معادله قائم چنین است یا یعنی 1.20 تعبیر هندسی پارامتر شکل 10.20 رادرنظر می گیریم بیضی است و دایره ای به قطر رسم شده است .

معادله دایره می باشد و به عنوان دایره کمکی بیضی نامیده می شود.

فرض کنیم خط قائم NP دایره کمکی را در Q قطع کند.

با مقایسه معادلات دایره و بیضی می توان دید که بنابراین اگر چون شعاع OQ برابر است ، داریم و بنابراین اگر P نقطه باشد، پارامتر زاویه QON ، زاویه خروج از مرکز می باشد.

نشان دهید که اگر P و دارای پارامترهای و باشند آنگا وتر از مرکز بیضی می گذرد.

اگر Q و نقاط متناظر با P و روی دایره کمکی باشند.

از شکل 11.20 می توان دید که Q و دو انتهاب یک قطر می باشند.

از تقارن شکل روشن است که نیز از مرکز می گذرد.

بطریق دیگر Pنقطه و نقطه یعنی است .

شیب OP برابر است با بنابراین خطی است راست.

اگر S و کانونهای یک بیضی و P نقطه دلخواهی ازمحیط آن باشد.

نشان دهیدکه که در آن طول محور بزرگ بیضی است.

فرض کنیم معادله بیضی باشد.

مختصات یک نقطه دلخواه روی بیضی می باشد و کانونها عبارتند از بنابراین بنابراین به همین طریق و از آنجا مثال 3.

اگر PG قائم در P باشد.

نشان دهید که PG زاویه رانصف می کند، دراینجا S و کانونهای بیضی هستند.

فرض کنیم Pنقطه باشد ، بنابر معادله (16.20) معادله PG عبارتست از یعنی این خط محور x ها رادر جائیکه y=0 قطع می کند یعنی بنابراین ] چون [ داریم با مراجعه به شکل پس ] بنابر (20.20) ، (21.20) [ داریم بنابراین PG نیمساز داخل زاویه است.

11.20 هذلولی (e>1) ساده ترین صورت معادله هذلولی رامیتوان به روشی مشابه آنچه در (6.20) برای به دست آوردن معادله بیضی به کار رفت به دست آورد.

با مراجعه به شکل (13.20) ، S کانون است .

ZQ هادی است .

P(x,y) نقطه دلخواهی روی منحنی است و PM عمود وارد ZQ است.

خط عمود بر هادی ZQ است .

A و نقاطی هستند که SZ را ازداخل و از خارج به نسبت e:1 تقسیم می کنند.

بنابراین A و نقاط روی هذلولی هستند.

O نقطه وسط است ومحورها چنان اند که در شکل 13.20 نشان داده شده اند.

فرض کنیم .

روشی که برای بیضی به کار رفت در اینجا ادامه می دهیم بنابراین S نقطه (-ae,0) است و ZQ خط x=-a/e می باشد.

بنابراین و با نوشتن معادله به صورت زیر درمی آید.

برای رسم هذلولی ملاحظه می کنیم که فقط قوای زوج x و Y در معادله وجود دارند .

بنابراین منحنی نسبت به هر دو محور تقارن دارد.

همچنین بنابراین تقارن .

کانون دیگری مانند و هادی دیگری مانند x=a/e وجود دارد.

بعلاوه ، چون معادله رامیتوان به صورت نوشت و طرف چپ همواره مثبت است ، بایستی مثبت باشد.

بنابراین هیچ قسمتی از منحنی در ناحیه واقع نیست.

از طرف دیگر چون ، y می تواند کلیه مقادیر را اختیار کند.

جمع بندی می کنیم ، منحنی یک هذلولی باخروج ازمرکز e(>1) است که با معادله زیر داده می شود.

کانونها نقاط می باشند و خطوط هادی است ؛ محور تقاطع است و O مرکز می باشد وتر عمود ماربر بر محور قاطع وتر کانونی موازی خط هادی می باشد.

(یکم ) خروج از مرکز (دوم) مختصات کانونها (سوم) معادلات خطوط هادی هذلولی را بیابید.

(یکم) با معادله (23.20) مقایسه می کنیم داریم و با جایگذاری در (24.20) داریم .

(دوم) مختصات کانونها عبارتند از یعنی یا .

(سوم) معادلات خطوط هادی عبارتست از ، یعنی مثال 2.

نشان دهید که طول وتر کانونی موازی خط هادی هذلولی برابر است با با مراجعه به شکل 13.20 چون مقدار y است وقتی که x=ae و ازمعادله هذلولی داریم در این صورت از معادله (24.20) بنابراین ، پس طول وتر کانونی موازی خط هادی 12.20 خواص هذلولی تعدادی از نتایج مربوط برای هذلولی را می توان ازنتایج متناظر برای بیضی با نوشتن به جای به دست آورد.

(آ) معادله مماس در نقطه عبارتست از (ب) معادله خط قائم درنقطه عبارتست از (ج) خط همواره بر هذلولی مماسند.

13.20 معالات پارامتری هذلولی رایجترین صورت معادلات پارامتری عبارتست از مثال 1.

معادلات مماس وقائم در یک نقطه دلخواه هذلولی رابیابید.

مختصات هر نقطه روی هذلولی چنین است .

بالنتیجه بنا بر (26.20) معادله مماس عبارتست از یعنی شیب این مماس برابر با یا است .

بنابراین معادله قائم عبارتست از که به صورت زیر خلاصه می شود.

نقطه ای دلخواه روی یک هذلولی به مرکز C است.

قائم درP محور بزرگ هذلولی را درG قطع می کند و خط عمود بر محور بزرگ در P محور را در N قطع می کند ثابت کنید .

فرض کنیم P نقطه باشد .

CN طول نقطه P است و بنابراین (یکم ) بنابر (31.20) معادله PG عبارتست از G روی محور x ها قرار دارد (y=0) و بنابراین طول آن از رابطه زیر به دست می آید.

(دوم ) از (یکم ) و (دوم) داریم = ] (24.20) را ببینید [ مثال 3.

اگر P نقطه دلخواهی از یک هذلولی با کانونهای S و باشد .

ثابت کنید که عددی است ثابت .

فرض کنیم P نقطه روی هذلولی باشد.

کانونهای و S به ترتیب نقاط (-ae,0) و (ae,0) می باشند.

بنابراین 14.20مجانبهای هذلولی تعریف یک مجانب این است که مجانب خط راستی است که یک منجنی را در دو نقطه در بی نهایت قطع می کند، ولی تماماً دربی نهایت نیست.

طول نقاط تقاطع خط و هذلولی از معادله زیر به دست می آید.

و بامرتبت کردن آن به عنوان معادله ای درجه دوم بر حسب 1/x داریم این معادله دارای دو ریشه برابر صفر است هرگاه تواماً و ، یعنی ، هرگاه و .

اگر ، x نامتناهی است وبنابراین هر دو خط و منحنی را دردو نقطه در بی نهایت قطع می کنند و بالنتیجه مجانب می باشند.

هر دوی این خطوط از مبدا می گذرند ونسبت به محور x ها دارای میلهای مساوی با زاویه هستند.

معادله مرکب آنها چنین است : یعنی خطوط در شکل (15.20) ، و نشان داده شده اند.

نشان دهید که هر خط راست موازی با یک مجانب منحنی را دریک نقطه متناهی قطع خواهد کرد.

هر خط موازی با یک مجانب دارای معادله است ، یعنی شیبش است .

بنابراین ، با توجه به معادله (32.20) طول نقاط تقاطع خط و هذلولی از رابطه زیر به دست می آید.

ریشه های این معادله عبارتند از یعنی یک مقدار x نامتناهی است و چون مقدار دیگر متناهی است.

P نقطه دلخواهی روی هذلولی می باشد و مماس در P مجانبها را در A و B قطع می کند .

نشان دهید که P نقطه وسط AB است.

مماس در P عبارتست از ] معادله (26.20) راببینید[.

(یکم ) معادله مرکب مجانبها عبارتست از (دوم ) از (یکم) با جایگذاری در (دوم) داریم یعنی یا یعنی که یک معادله درجه دوم بر حسب x است و ریشه های و طول های نقاط A وB می باشند.

حال یعنی که طول نقطه P است.

به همین طریق اگر X از معادلات (یکم ) و (دوم) حذف شود ، نصف مجموع عرضهای A و B برابر است با عرض نقطه P .

در نتیجه P نقطه وسط AB است .

15.20 هذلولی قائم اگر مجانبهای یک هذلولی بر هم عمود باشند آن را یک هذلولی قائم نامیم.

در این صورت میل هرمجانب نسبت به محور X ها برابر 45 درجه خواهد بود.

بنابراین از معادلات (32.20) داریم و معادله هذلولی رامیتوان به صورت یا نوشت .

نشان دهید که خروج از مرکز هر هذلولی قائم برابر است با هر هذلولی قائم دارای معادله است .

بنابراین از معادله (24.20) داریم .

و از آن 16.20 معادله یک هذلولی قائم نسبت به مجانبهایش به عنوان محورهای مختصات با مراجعه به شکل 16.20 ، P(x,y) یک نقطه دلخواه روی منحنی است .

PM عمود بر مجانب OK است.

MQ و PN عمود بر محور x ها است هستند.

اگر مختصات P رانسبت به مجانبها به عنوان محورها جدید (X,Y) بنامیم ، آنگاه و حال یعنی (یکم) همچنین یعنی (دوم) چون هذلولی قائم است معادله اش عبارتست از (سوم) با جایگذاری مقادیر (یکم) و (دوم) در(سوم) داریم یا بنابراین معادله یک هذلولی قائم نسبت به مجانبهایش به عنوان محورهای مختصات عبارتست از یا 17.20 معادلات پارامتری روابط همواره درمعادله صدق می کند ، در اینجا t یک پارامتر است .

این روابط ، ، معادلات پارامتری هذلولی می باشند.

وقتی که t تغییر می کند (ct,c/t) یک نقطه دلخواه منحنی است.

18.20 مماس و قائم درنقطه (ct,c/t) بر منحنی اگر آنگاه بنابراین .

پس شیب مماس در (ct,c/t) برابر است با در نتیجه معادله مماس عبارتست از یا مثال 1.

نشان دهید که معادله مماس در نقطه بر منحنی را می توان به صورت نوشت .

تحقیق کنید که این موضوع با معادله (38.20) سازگار است .

از داریم بنابراین در نقطه شیب مماس برابر است با و معادله اش عبارتست از چون نقطه روی منحنی قرار دارد ، داریم بنابراین یا یعنی برای تحقیق در اینکه این معادله بامعادله (38.20) سازگار است ، فرض کنیم در این صورت یعنی یا ] همانند (38.20) [ مثال 2.

مختصات رئوس وکانونهای منحنی xy=18 را بیابید.

معادله مفروض را با مقایسه می کنیم نتیجه می شود a=6 ، با مراجعه به شکل 17.20 داریم همچنین چون هذلولی قائم است .

.

بنابراین از آنجائیکه میلی برابر با 45 درجه نسبت به محورها دارد، ایجاب می کند که A و نقاط باشند و S و نقاط هستند.

19.20 سهمی نیمه مکعبی اگر k>0 آنگاه چون مثبت است ، (درنتیجه x) بایستی مثبت باشد منحنی کاملاً در طرف راست محور y ها قرار دارد.

معادله را می توان به صورت نوشت که نشان می دهد که منحنی نسبت به محور x ها تقارن دارد.

با دیفرانسیلگیری از معادله داریم بنابراین dy/dx=0 فقط وقتی که x=0 که در این صورت مماس بر منحنی افقی است .

و همان محور x ها می باشد.

بالاخره x=0 و y=0 نقطه ای روی منحنی است همچنانکه در شکل 18.20 نمایش داده شده است.

اگر k>0 آنگاه منحنی تماماً در طرف چپ محورy ها قرار دارد و تصویر منحنی فوق است در آئینه محور y ها .

20.20 مماس و قائم بر منحنی از معادله (39.20) شیب منحنی از رابطه زیر به دست می آید.

چون داریم و عبارت فوق را میتوان به صورت زیر نوست توجه کنید که حالا حذف شده است .

این بدان سبب است که بازاء هر مقدار x دو مقدار برای y وجود دارد.

و بنابراین دو مقدار ممکن برای شیب منحنی یامماس وجود دارد.

در هر نقطه مماس عبارتست از که پس ازساده کردن نتیجه می شود معادله قائم عبارتست از یا مثال 1.

مماس در هر نقطه P روی منحنی محور x ها را در T قطع می کند.

خط موازی محور y ها در P محور x ها رادر N قطع می کند.

اگر O مبدا مختصات باشد، نشان دهید که بنا بر (41.20) معادله مماس در یک نقطه دلخواه روی منحنی عبارتست از این خط محور x ها را در نقطه یا قطع می کند.

بنابراین طول نقطه T برابر است .

چون PN عمود بر محور x ها است ، N نقطه است .

در نتیجه 21.20 معادلات پارامتری بازاء کلیه مقادیر t ، یک نقطه روی منحنی است بنابراین دارای معادلات پارامتری می باشد.

با جایگذاری این مقادیر به ترتیب در (41.20) و (42.20) داریم.

یا که معادله مماس در نقطه بازاء جمیع مقادیر t می باشد.

به همین طریق یا که معادله قائم در نقطه بازاء جمیع مقادیر t ، می باشد.

از نقطه (7.6) سه مماس میتوان بر منحنی رسم کرد.

یکی از مماسها برمنحنی در نقطه ای که t=2 مماس است .

معادلات مماسها و نقاط تماس آنها را بیابید.

با مقایسه با حالت کلی داریم a=3 و b=2 بنابراین از معادله (44.30) داریم .

(یکم) که همواره بر منحنی مماس است .

این مماس ازنقطه (7.6) می گذرد هرگاه (دوم) که یک معادله درجه سوم بر حسب t است و دارای سه جواب می باشد.

یکی از ریشه ها t=2 است .

بنابراین (دوم) به صورت زیر در می آید.

یا بنابراین معادله (یکم) مماس ماربر (7.6) است هرگاه 1 ؤ 3- ، t=2 و بازاء این مقادیر سه معادله مماس زیر را داریم.