دایره
معادله یک دایره
فرض کنیم C(a,b) مرکز و r شعاع دایره باشد . فرض کنیم P(x,y) نقطه دلخواهی روی محیط دایره باشد. در این صورت CP=r بنابراین
با مراجعه به معادله ، که عبارتی برای فاصله بین دو نقطه ارائه می دهد، داریم
که معادله مطلوب است.
اگر فرض کنیم a=b=0 یعنی مرکز دایره در مبدا باشد، در این صورت معادله به صورت زیر درمی آید.
معادله (1.19) می تواند چنین نوشته شود.
بنابراین معادله یک دایره به صورت زیر است
که در آن g ، f ، c اعداد ثابتی هستند. بالعکس معادله (3.19) را می توان چنین بازنویسی کرد.
با مقایسه این معادله با (1.19) می بینیم که
(3.19) دایرهای به مرکز (-g-f) و با شعاع را نمایش می دهد(4.19)
در حالت کلی معادله یک دایره چنان است که
(یکم) ضرایب و مساویند (دوم) جمله xy وجود ندارد.
مثال 1. معادله دایره ای با مرکز (4.3-) و به شعاع 7 را بیابید.
معادله عبارتست از
مثال 2. مرکز و شعاع دایره را بیابید.
با قرار دادن معادله مفروض به صورت استانده (19.1) ابتدا لازم است طرفین را بر 4 تقسیم کنیم ، بنابراین
یعنی .
یا
بنابراین دایره دارای مرکز ( 0،2/3) و شعاع 1 است .
مثال 3، معادله دایره ای را بیابید که مرکزش (7-،4) بوده و بر خط
3x+4y-9=0
مماس باشد.
چون خط مماس بر دایره است . بنابراین شعاع دایره برابر با فاصله عمودی مرکز تا خط می باشد . پس
شعاع
بنابراین معادله دایره چنین است
یعنی ،
مثال ، معادله دایره ای را بنویسید که AB قطر آن باشد، در اینجا ، B,A نقاط و می باشند.
فرض کنیم P(x,y) نقطه دیگری از محیط دایره باشد (شکل 2.19 را ببنید)
شیبیهای AP و BP به ترتیب عبارتند از
و
چون AB قطر دایره است ، ؛ بنابراین AP و PB عمودند؛ پس بنابر (15.18) حاصلضرب شیبهای آنها برابر 1- است . یعنی
یا
که شرطی است که بایستی مختصات هر نقطه دلخواه دایره در آن صدق کند و بنابراین معادله مطلوب می باشد.
2.19 معادله دایره ای که از سه نقطه غیر واقع بر یک استقامت می گذرد.
فرض کنیم که معادله دایره باشد و سه نقطه
باشند. چون دایره ازهر سه نقطه می گذرد بایستی مختصات آنها درمعادله دایره صدق کنند. بنابراین
دستگاهی از سه معادلهاست که می توان ان را بر حسب مجهولات g ، f و c حل کرد.
مثال 1. معادله دایره ای را بیابید که ازنقاط (6.1)،(3.2)،(2.3) می گذرد.
فرض کنیم معادله دایره باشد. در این صورت چون (6.1) روی دایره قرار دارد داریم.
با حل دستگاه معادلات داریم . بنابراین معادله مطلوب عبارتست از
3.19 معادله مماس بر دایره
درنقطه با دیفرانسیلگیری از معادله نسبت به x داریم