خط مماس
بسیاری از مسائل مهم حساب دیفرانسیل وانتگرال، به مسئله پیدا کردن خط مماس وارد بر منحنی در یک نقطه معین روی منحنی مربوط می شوند. در هندسه مسطحه اگر منحنی دایره باشد، خط مماس در یک نقطه P روی دایره، به عنوان خطی تعریف می شود که دایره را فقط در یک نقطه قطع می کند. این تعریف در حالت کلی برای همه منحنیها صادق نیست. به عنوان مثال، خطی که می خواهیم در نقطه P بر منحنی مماس باشد، منحنی را در نقطه دیگری مانند Q قطع خواهد کرد.
در این بخش، تعریف مناسبی از خط مماس بر نمودار یک تابع در نقطه ای روی نمودار، ارائه می دهیم. برای این کار، ضریب زاویه خط مماس در یک نقطه را تعریف می کنیم، زیرا اگر ضریب زاویه یک خط و نقطه ای روی آن معلوم باشند، آن خط معین می شود.
تصور کنید تابع f در x1 پیوسته است. می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار f در نقطه P(x1,f(x1)) را به دست آوریم. فرض کنید I بازه بازی باشد که شامل x1 است و f بر این بازه تعریف شده است.نقطه دیگر Q(x2,f(x2)) را روی نمودار f در نظر می گیریم به طوری که x2 نیز در I باشد. خطی را که از p و Q می گذرد رسم می کنیم. هر خطی که از دو نقطه یک منحنی بگذرد، خط قاطع نامیده می شود؛ پس خط گذرنده از p و Q یک خط قاطع است. خط قاطع به موازی مقادیر مختلف x2 رسم شده است . یک خط قاطع خاص نشان داده شده است. در این شکل Q در طرف راست P قرار دارد. معهذا، Q می تواند در طرف چپ P نیز باشد .
تفاضل طولهای نقاط P و Q را با نشان می دهیم. بنابراین
ممکن است مثبت یا منفی باشد. پس، ضریب زاویه خط قاطع PQ به شرطی که PQ قائم نباشد، از رابطه زیر به دست می آید.
چون x2=x1+ ، معادله فوق را می توانیم به صورت زیر بنویسیم.
حال فرض نقطه P ثابت باشد، و نقطه Q را در طول منحنی به طرف P حرکت دهیم، یعنی Q به سمت P میل کند.این عمل معادل است با اینکه را به سمت صفر میل بدهیم. ضمن انجام این عمل، خط قاطع حول نقطه ثابت P گردش می کند. اگر این خط قاطع دارای یک وضعیت حدی باشد، همین وضعیت حدی است که ما می خواهیم خط مماس بر نمودار در نقطه P باشد. از این رو، می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار در P، برابر با حد mPQ باشد وقتی که به سمت صفر میل می کند، البته چنانچه این حد وجود داشته باشد. اگر یا ، آنگاه به صفر میل می کند و خط PQ به سمت خطی که از P می گذرد و موازی محور Y هاست، میل می کند. در این حالت، می خواهیم خط مماس بر منحنی در P همان خط x=x1 باشد.
رسم نمودارهایی سهمی Y=x2-4x+7
برای رسم نمودار 7، چند نقطه و قطعه ای از خط مماس در چند نقطه را رسم می کنیم. مقادیر x را به طور دلخواه اختیار می کنیم و مقدار متناظر y را از معادله داده شده محاسبه می کنیم. همچنین مقدار m را از معادله (2) به دست می آوریم. پیدا کردن نقاطی که در آنها خط مماس بر نمودار افقی است، واجد اهمیت است. چون ضریب زاویه خط افقی صفر است، این نقاط را از معادله m(x1)=0 می توان به دست آورد. اگر این محاسبات را برای این مثال انجام دهیم، داریم 2x1-4=0 که به دست می دهد x1=2 بنابراین، در نقطه ای که طول آن 2 است، خط مماس موازی محور x ها است.
تعریف خط قائم بر منحنی در نقطه مفروض، عبارتست از خط عمود بر خط مماس در آن نقطه.
چون خط قائم در یک نقطه عمود برخط مماس در آن نقطه است حاصلضرب ضریب زاویه های آن ها برابر -1 است.
3 . 2. 1 تعریف مشتق تابع f تابعی است که با علامت f1 نشان داده می شود و مقدار آن در هر عدد x واقع در قلمرو f به صورت زیر داده می شود.
(2)
به شرطی که حد فوق وجود داشته باشد.
علامت دیگری که به جای f1(x) به کار برده می شود Dx f(x) است، که خوانده می شود «مشتق اِفِ اِکس نسبت به اِ کس».
اگر x1 عدد خاصی از قلمرو f باشد، آنگاه داریم
(3)
فرض کنید در این فرمول،
(4)
پس
(5) معادل است با .
از فرمولهای (3)، (4) و (5) فرمول زیر را برای محاسبه f1(x1) به دست می آوریم
(6)
اگر y=f(x) ، آنگاه f1(x) عبارت است از مشتق y نسبت به x ؛ و گاهی نماد Dxy به جای f1(x) به کار می رود. همچنین نماد y1 نیز برای مشتق y نسبت به یک متغیر مستقل (در صورت مشخص بودن متغیر مستقل) به کار برده می شود.
اگر تابع f به صورت y=f(x) تعریف شده باشد، فرض می کنیم
بنابراین از فرمول (2) داریم
مشتق را گاهی با نماد dy/dx نمایش می دهند، اما این علامت را قبل از اینکه dx,dy را تعریف کنیم به کار نخواهیم برد.
مثال فرض کنید
و Dxy را پیدا کنید.
حل
F1(x) می تواند برای بعضی از مقادیر x در قلمرو f وجود داشته باشد و برای مقادیر دیگری از x واقع در قلمرو f، وجود نداشته باشد.
تعریف تابع f را در x1 مشتق پذیر گوییم اگر F1(x1) وجود داشته باشد.
نمونه 1 از تعریف بالا نتیجه می شود که تابع به ازای همه اعداد بجز صفر مشتق پذیر است.