دانلود مقاله ریاضی کاربردی

فرض کنید تحقیقی در مورد گروهی از مریض‌ها انجام می‌شود، به طوری که احتیاج به یک رژیم غذایی دارند که بایستی حداقل 2000 کالری و حداقل 600 واحد ویتامین D مورد لزوم از دو خوراک I و II کسب شود.

هر واحد از خوراک I دارای 40 کالری و 8 واحد ویتامین D است و هر واحد از خوراک II دارای 20 کالری و 12 واحد ویتامین D است در ضمن هزینه هر واحد خوراک I برابر 4 تومان و هزینه هر واحد خوراک II برابر 5 تومان می‌باشد.

مسئله را به صورت یک برنامه‌ریزی خطی مدل‌بندی نمایید به طوری که ضمن کسب حداقل کالری و ویتامین D مورد لزوم مقدار هزینه مینیمم شود.

حل.

تعریف می‌کنیم:
تعداد واحد خوراک نوع I که فرد خریداری می‌کند برای
اطلاعات مسئله را می‌توانیم به صورت یکی از جدولهای زیر خلاصه نماییم:

حداقل مورد نیاز خوراک I خوراک II
2000 20 4 کالری
600 12 8 ویتامین D
5 4 هزینه


هزینه هر واحد ویتامین D کالری
4 8 4 X1تعداد واحد خوراک I
5 12 20 X2 تعداد واحد خوراک II
600 2000 حداقل مورد نیاز

با استفاده از هر کدام از دو جدول فوق، مدل مسئله به صورت زیر قابل بیان است:


در یک کارگاه بشقاب‌سازی بشقاب در دو اندازه کوچک و بزرگ ساخته می‌شود برای ساخت یک بشقاب کوچک، یک دسیمتر مربع ورق استیل 5/1 نفر ساعت کار مورد نیاز است.

در صورتی که برای ساخت یک بشقاب بزرگ دو دسیمتر مربع ورق استیل و 3 نفر کار مورد نیاز است.

فروش هر بشقاب کوچک 30 تومان و فروش هر بشقاب بزرگ 50 تومان سود دارد.

اگر در هفته 400 دسیمتر مربع ورق استیل و 500 نفر ساعت نیروی انسانی در اختیار داشته باشیم و هر تعداد بشقاب از هر نوع که تولید شود به فروش برسد یک مدل ریاضی برای مسئله بنویسید که تعیین کند در هر هفته از هر نوع بشقاب چه تعداد تولید می‌شود تا ضمن رعایت محدودیتهای منابع، سود حاصل از تولید ماکزیمم شود.

تعریف می‌کنیم:
تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع کوچک: x1
تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع بزرگ: x2
مقدار در دسترس بزرگ کوچک
400 2 1 ورق استیل
500 3 5/1 نیروی انسانی
50 30 سود



در کارخانه‌ای دو نوع کالا تولید می‌شود.

برای تولید هر واحد از نوع اول، 3 ساعت زمان و برای تولید هر واحد از نوع دوم، 2 ساعت زمان لازم است.

کارخانه در 24 ساعت شبانه‌روز کار می‌کند و از طرفی ماده اولیه برای تولید حداکثر 10 واحد کالا از هر نوع داریم.

هرگاه سود کالای نوع اول 400 تومان و سود کالای نوع دوم 300 تومان برای هر واحد باشد.

از هر کالا چه تعدادی در شبانه روز تولید کنیم تا سود حاصل ماکزیمم شود.

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.

تعریف می‌کنیم:
تعداد کالای نوع i برای


یک کارخانه تولیدی 5 ماشین رنگ‌کاری و یک ماشین پرس دارد.

این ماشینها برای ساخت دو نوع محصول I و II به کار گرفته می‌شوند.

با ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II، یک محصول جدید به نام III‌ به دست می‌آید.

میزان به‌کارگیری هر کدام از این ماشینها برای محصولات I و II در جدول زیر داده شده است.

مدت زمان مورد نیاز (دقیقه)
برای هر واحد
رنگ‌کاری پرس محصول
20
15 3
5 I

II

چگونگی تقسیم کار روی ماشین‌ها را تعیین کنید به طوریکه در مدت 8 ساعت کار، تعداد محصولات نهایی III ماکزیمم گردد.

تعریف می‌کنیم:
تعداد محصولات نوع I: x1
تعداد محصولات نوع II: x2
چون هر واحد از III از ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II ساخته می‌شود بنابراین III به اندازه می‌تواند تولید شود که بایستی این مقدار را ماکزیمم نماییم.

چهار فرآورده به طور متوالی روی دو ماشین پردازش می‌شوند.

مدت زمان برای پردازش هر واحد از فرآورده‌ها روی دو ماشین (بر حسب ساعت) در جدول زیر داده شده است:


زمان برای هر واحد (ساعت)
ماشین فرآورده 1 فرآورده 2 فرآورده 3 فراورده 4
1 2 3 4 2
2 3 2 1 2

هزینه کل تولید یک واحد از هر فرآورده مستقیماً با زمان مورد استفاده از ماشین متناسب می‌باشد.

فرض کنید هزینه هر ساعت استفاده از ماشین‌های 1 و 2 به ترتیب برابر 10 و 15 تومان باشد.

کل زمان در نظر گرفته شده برای تمام فرآورده‌ها روی ماشین‌های 1 و 2 برابر 500 و 300 ساعت است.

اگر بهای فروش هر واحد از فرآورده‌های 1 و 2 و 3 و 4 به ترتیب برابر 65، 70، 55 و 45 تومان باشد، برای بیشینه ساختن سود خالص کل، یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.

تعریف می‌کنیم:
میزان تولید فرآورده i‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ام برای


تولید کننده‌ای سه مدل (I، II و III) از فرآورده معینی را تولید می‌کند.

او از دو نوع ماده خام (A و B ) که از آنها به ترتیب 2000 و 3000 واحد در دسترس دارد استفاده می‌نماید.

مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از سه مدل در زیر داده شده‌اند.

مقدار لازم برای هر واحد از مدل داده شده
ماده خام I II III
A 2 3 5
B 4 2 7

زمان کار مورد نیاز برای هر واحد از مدل I دو برابر زمان کار مدل II و سه برابر زمان کار مدل III می‌باشد.

تمام نیروی کار کارخانه می‌تواند معادل 700 واحد از مدل I تولید کند برآوردی از بازار نشان می‌دهد که کمینه تقاضا برای سه مدل به ترتیب 200 و 200 و 150 واحد می‌باشد با وجود این نسبتهای تعداد واحد تولید شده باید به نسبت 5: 2: 3 باشند.

فرض کنید که سود هر واحد از مدلها به ترتیب برابر با 30 و 20 و 50 تومان باشد.

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید تا بتوانید تعداد تولید واحدهایی از هر فرآورده را که سود کل را بهینه می‌سازد به دست آورید.

تعریف می‌کنیم:
میزان تولید محصول مدل نوع I برای

توجه داشته باشید که مجموع نسبتهای داده شده برابر 10 است که متغیرهای اول تا سوم به ترتیب نسبتهای 3، 2 و 5 از آن را به خود نسبت می‌دهند.

لذا، مثلاً برای محصول نوع I داریم:

به همین نحو برای محصولهای دوم و سوم یک رابطه مشابه وجود دارد.

فرض کنید مقدار خوراک مورد نیاز در یک مرغداری 100 کیلوگرم در روز باشد.

غذای ویژه باید شامل موارد زیر باشد:
1) کلسیم، حداقل 8/0 درصد و حداکثر 2/1 درصد
2) پروتئین، حداقل 22 درصد
3) الیاف خام، حداکثر 5 درصد
فرض کنید که اجزای ترکیبی مواد غذایی که مورد استفاده قرار می‌گیرند، عبارتند از سنگ آهک، ذرت و آرد سویا.

محتوای غذایی این اجزای ترکیبی در جدول زیر داده شده‌اند.

جزء ترکیبی کلسیم پروتئین الیاف خام هزینه هر کیلو
سنگ آهک 38/0 0 0 4/16
ذرت 001/0 09/0 02/0 3/86
آرد سویا 001/0 5/0 08/0 125

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید به طوری که مشخص کند از هر جزء ترکیبی چه مقدار در بسته غذایی استفاده گردد تا ماده غذایی مورد نظر با حداقل هزینه تهیه شود، ضمن اینکه احتیاجات غذایی مورد نظر نیز برآورده گردد.

تعریف می‌کنیم:
مقدار سنگ آهک مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x1
مقدار ذرت مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x2
مقدار آرد سویا مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x3
بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی به صورت زیر خواهد بود:
ـ برای کنترل کیفیت حداقل 2500 واحد از یک کالا در مدت 7 ساعت قرار است از تعدادی بازرس از دو گروه A و B استفاده شود.

یک بازرس گروه A در هر ساعت 25 عدد کالا را با دقت 97 درصد کنترل می‌کند و هزینه بازرسی در هر ساعت 400 تومان است.

یک بازرس گروه B در هر ساعت 8 عدد کالا را با دقت 95 درصد کنترل می‌کند و هزینه بازرسی در هر ساعت 350 تومان است.

برای هر واحد کالا که ناقص باشد و از زیر دست بازرسان خارج گردد کارخانه باید 200 تومان جریمه بپردازد.

با فرض آنکه از بازرسیهای گروه A حداکثر 10 نفر و از بازرسهای گروه B حداکثر 11 نفر در دسترس هستند، معین کنید که از هر کدام از بازرسها چه تعدادی به خدمت گرفته شوند تا ضمن مینیمم کردن هزینه پرداختی، کارخانه به هدف مطلوب برسد.

حل.

تعریف می کنیم: تعداد بازرسانی که از گروه A‌ به خدمت گرفته می‌شوند: x1 تعداد بازرسانی که از گروه B به خدمت گرفته می‌شوند: x2 هزینه در این مسئله عبارت است از: هزینه جریمه + هزینه ساعتی هر بازرسی هزینه کارخانه برای یک ساعت از بازرس گروه A عبارت است از: به طور مشابه هزینه کارخانه برای یک ساعت از بازرس گروه B‌ عبارت است از: بنابراین مدل مسئله عبارت است از: ـ شرکتی سه محصول شیمیایی تولید می‌کند.

برای این که محصولی به تولید برسد، می‌بایست از چهار مرحله تولیدی عبور کند.

جدول زیر زمان مورد نیاز هر محصول جهت مرحله‌های مختلف و ظرفیت زمانی هر مرحله را بر حسب دقیق در روز نشان می‌دهد.

چنانچه حداقل تقاضا برای هر محصول به ترتیب 50، 80 و 70 واحد بوده و سود خالص هر واحد محصول به ترتیب 3، 2، 5 باشد، به منظور حداکثر کردن سود کل تولیدات این شرکت، مسئله را به شکل یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید تا معین کند از هر محصول چه تعدادی تولید شود.

ابتدا می‌بایست متغیرهای تصمیم را تعریف نماییم.

در اینجا می‌خواهیم بدانیم از هر محصول چقدر باید تولید کنیم.

لذا متغیرهای تصمیم به شکل زیر تعریف می‌گردند: X1= تعداد تولید محصول 1 X2= تعداد تولید محصول 2 X3= تعداد تولید محصول 3 و یا به طور خلاصه می‌نویسیم: Xj= میزان (مقدار) تولید از محصول j برای حال با این تعریف تابع هدف ما چنین خواهد بود: که دراینجا z معرف سود کل شرکت می‌باشد.

برای ظرفیت زمانی چهار پروسه تولیدی، چهار محدودیت زیر را خواهیم داشت: برای هر محصول، یک محدودیت حداقل تقاضا وجود دارد لذا خواهیم داشت: نهایتاً چون مقدار منفی برای متغیرهای ما بی‌مفهوم است داریم: (البته باید توجه داشت که در این مسئله، محدودیتهای حداقل تقاضا، ضرورت نوشتن وضعیت متغیرها یعنی را رفع می‌نماید.) لازم به توضیح است که چون xj معرف تعداد تولید محصولی خاص است لذا شرط صحیح بودن برای متغیرهای تصمیم نیز بایستی در نظر گرفته شود.

اما معمولاً به جز در مسائلی که شرط صحیح بودن الزامی است از نوشتن این شرط صرف‌نظر می‌شود و در عمل اگر پس از حل مسئله و تعیین جوابی که بهترین مقدار را به تابع هدف می‌دهد مقدار متغیری مثلاً به صورت x=3.5 محصول در یک دوره زمانی است، آن را به صورت x=35 محصول در ده دوره زمانی تعبیر می‌نماییم.

نکته: سعی کنید در مسائلی که فرموله می‌کنید نکات زیر رعایت گردند.

1.

بین تابع هدف و محدودیتهای از یکی از کلمات «به طوری که»، «تحت شرایط»، «با قیود»، «مشروط به این که»، «Subject to» یا به طور خلاصه «S.

t.» استفاده نمایید.

2.

متغیرها را به شکل مرتب در تابع هدف و محدودیتها، زیر هم بنویسید.

3.

در محدودیت‌ها، متغیرها در سمت چپ نامساوی و مقادیر ثابت در سمت راست نامساوی قرار بگیرند.

4.

هر محدودیت صرفاً دارای یک علامت مساوی یا نامساوی ( و ) باشد.

ـ چهار محصول به طور متوالی به وسیله دو ماشین ساخته می‌شوند.

زمان تولید برای ساخت هر محصول در هر ماشین بر حسب ساعت در جدول زیر مشخص شده است: کل هزینه تولید هر واحد محصول بر اساس زمانی است که ماشین برای تولید آن مصرف می‌کند.

فرض کنید که هزینه هر ساعت کار ماشین 1 و 2 به ترتیب 10 و 15 واحد پول قراردادی است.

کل ساعاتی که برای تولید تمام محصولات روی ماشینهای 1 و 2 در نظر گرفته شده است 500 و 380 ساعت می‌باشد.

اگر قیمت فروش هر واحد محصول 1 و 2 و 3 و 4 به ترتیب 65 و 70 و 55 و 45 واحد پول قراردادی باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی که کل سود را ماکزیمم سازد فرموله کنید.

قبل از هر عملی اطلاعات داده شده برای مسئله را در جدول زیر خلاصه می‌کنیم: در این جدول برای محاسبه سود خالص هر واحد محصول، هزینه کل تولید را از قیمت فروش آن کسر کرده‌ایم به عنوان نمونه هزینه تولید محصول 1 با 2 ساعت کار ماشین 1، 20(=10*2) و با 3 ساعت کار ماشین 2، 45 (=15*3) و به عبارتی 65 (=45+20) واحد پول برابر می‌باشد و چون قیمت فروش آن نیز 65 واحد است لذا سود خالص آن صفر خواهد بود.

متغیر تصمیم این مسئله چنین خواهد بود: xjمقدار تولید از محصول j برای بنابراین داریم: تابع هدف (حداکثر کردن سود خالص) محدودیت ظرفیت موجود ماشین 1 محدودیت ظرفیت موجود ماشین 2 محدودیت غیرمنفی بودن تولیدات ـ یک کارخانه کلاه‌سازی دو نوع کلاه تولید می‌کند.

ساخت هر واحد کلاه نوع 1، به اندازه دو برابر کلاه نوع 2، نیروی انسانی لازم دارد.

اگر تمام کلاه‌ها فقط از نوع 2 باشند، کارخانه می‌تواند جمعاً 500 کلاه در روز تولید کند.

حداکثر تقاضای روزانه برای کلاه‌های نوع 1 و 2 به ترتیب 150 و 250 کلاه است.

فرض کنید که سود هر کلاه نوع 1 و 2 به ترتیب 8 و 5 واحد پول قراردادی است.

به منظور ماکزیمم کردن سود معلوم کنید که از هر یک از کلاه‌های نوع 1 و 2 چند عدد باید تولید گردد.

ابتدا خلاصه اطلاعات مسئله را در جدول زیر می‌آوریم.

در اینجا اگر نیروی انسانی لازم برای کلاه نوع 2 را m فرض کنیم، این میزان برای کلاه نوع 1 برابر m2 بوده و ظرفیت موجود کارخانه در این راستا، m500 در روز برآورد می‌گردد.

متغیرهای تصمیم این مسئله چنین تعریف می‌گردند: تعداد کلاه تولید شده از نوع j : با هدف حداکثر کردن سود داریم: برای محدودیت نیروی انسانی پس از حذف پارامتر m از طرفین نامعادله خواهیم داشت: محدودیتهای حداکثر تقاضا چنین می‌باشند: چون مقدار منفی برای تولیدات مفهومی ندارد خواهیم داشت: ـ یک کارخانه می‌تواند سه مدل 1 و 2 و 3 از محصولی را تولید کند.

این کارخانه دو نوع ماده خام A و B مصرف می‌کند که از آنها به ترتیب 2000 و 3000 واحد در دسترس است.

مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از مدلهای 1 و 2 و 3 در جدول ذیل نشان داده شده است: نیروی انسانی لازم برای هر واحد از مدل 1 به اندازه دو برابر مدل 2 و سه برابر مدل 3 است.

کل نیروی انسانی که کارخانه می‌تواند در اختیار داشته باشد معادل تولید 700 واحد از مدل 1 است.

قسمت بازاریابی اعلام کرده است که حداقل تقاضا برای سه مدل به ترتیب 200 و 200 و 150 واحد است.

لیکن نسبت تعداد محصولهای تولید شده باید به صورت 3: 2: 5 باشد.

فرض کنید که سود هر واحد از مدلهای 1 و 2 و 3 به ترتیب 30 و 20 و 50 واحد پول قراردادی است.

به منظور تعیین تعدادی که از هر مدل باید تولید گردد تا سود کل ماکزیمم نماید مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.

خلاصه اطلاعات مسئله و متغیر تصمیم‌گیری به شرح ذیل خواهد بود: برای j=1, 2, 3 متغیر xj را به صورت تعداد تولید مدل نوع j تعریف می‌کنیم، بنابراین مشابه مسئله قبل به فرموله کردن مسئله می‌پردازیم: محدودیت موجودی ماده خام A محدودیت موجودی ماده خام B محدودیت موجودی نیروی انسانی محدودیت حداقل تقاضای محصول 1 محدودیت حداقل تقاضای محصول 2 محدودیت حداقل تقاضای محصول 3 محدودیت نسبت تولید محصولات محدودیتهای غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم در محدودیتهای حداقل تقاضا لحاظ شده است.

ـ تاجری این اختیار را دارد که پولش را در دو طرح سرمایه‌گذاری کند.

طرح A ضمانت می‌کند که بعد از سرمایه‌گذاری هر واحد پول قراردادی به اندازه 70 درصد واحد پول قراردادی در یک سال عایدی به بار آورد، در صورتی که طرح B عایدی 2 واحد پول قراردادی را برای هر واحد تضمین می‌نماید.

ناگفته نماند در طرح B سرمایه‌گذاری پس از دو سال عایدی خواهد داشت، به منظور ماکزیمم کردن درآمد در پایان سال سوم مبلغ 100000 واحد پول قراردادی را چگونه باید سرمایه‌گذاری نمود؟

مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.

ابتدا به تشریح شماتیکی مسئله می‌پردازیم.

ما به هر میزان که بخواهیم، با توجه به سرمایه موجود در ابتدای هر سال، بر روی دو طرح A و B سرمایه‌گذاری می‌کنیم.

سرمایه موجود در ابتدای سال اول 100000 واحد پول است که تماماً بر روی دو طرح سرمایه‌گذاری می‌گردد اما سرمایه موجود در ابتدای سال دوم، اصل سرمایه و سود حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح A در ابتدای سال اول خواهد بود.

«توجه داشته باشید که سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح B، هنوز درگیر بوده و در پایان سال اول، بازگشتی ندارد.» در ابتدای سال سوم سرمایه موجود، مجموع بازگشتی حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح A در ابتدای سال دوم و بازگشتی حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح B در ابتدای سال اول می‌باشد و ...

شکل ص 24 اگر Xij را میزان (مقدار) سرمایه‌گذاری انجام شده در ابتدای سال i، بر روی پروژه j (i=1, 2, 3, ...) j=A,B بنامیم موجودی حاصله پس از سه دوره یک ساله (پایان سال 3) با توجه به توضیحات داده شده و شکل شماتیکی آن، به خواهد رسید که هدف ما، بیشینه کردن آن است لذا مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله به شکل زیر درمی‌آید.

توجه داشته باشید که در ابتدای سال سوم سرمایه‌گذاری بر روی B به علت آن که دو ساله بازگشت سرمایه داشته و از دوره برنامه‌ریزی ما خارج می‌گردد، منطقی نمی‌باشد و لذا می‌توان متغیر X3B را از ابتدا صفر فرض کرده و از مدل فرموله شده مسئله کنار گذاشت.

(محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال اول) (محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال دوم) (محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال سوم) لازم به ذکر است که در هر سال، آن چه را که داریم بر روی دو طرح (به علت آن که سودده هستند) سرمایه‌گذاری می‌کنیم به عنوان مثال در ابتدای سال دوم موجودی X1A 7/1 است که با سرمایه‌گذاری روی طرحهای A و B یعنی X2A+X2B برابری می‌کند.

از اینکه X3B در محدودیت‌ها بیان شده، بهتر است قید X3B=0 به قیود اضافه گردد.

برای یک کارگاه تولیدی شبانه‌روزی در ساعات مختلف روز تعدادی تکنسین به شرح زیر مورد نیاز است: هر تکنسین در روز 8 ساعت متوالی کار می‌کند.

هدف پیدا کردن کمترین تعداد تکنیسین است که نیاز فوق را برآورده سازد.

فرض کنید هر تکنسین در شروع یکی از دوره‌ها شروع به کار نموده و هشت ساعت متوالی کار می‌کند.

(لازم به ذکر است که این مسئله به شکلهای مختلفی قابل بیان است و نمونه‌های مشابهی از آن در مسائل دیگر آمده است) حل.

طرح شماتیک مسئله به صورت ذیل است: در شکل رسم شده دقت داشته باشید که آخرین دوره زمانی روی محور طولها به صورت دو ساعت می‌باشد و نه چهار ساعت.

شکل ص 26 از آنجائی که هر تکنسین در روز 8 ساعت کار می‌کند، بنابراین در دو شیفت متوالی برابر شکل فوق، حضور خواهد داشت لذا کافی است در هر شیفت، جمع افرادی را که در آن شیفت و در شیفت قبل شروع به کار کرده‌اند با نیاز آن شیفت مقایسه نمود.

مدل این مسئله به شکل ساده زیر درمی‌آید: متغیرهای تصمیم‌گیری را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: X1= تعداد تکنسینی که از ساعت 2 شروع به کار می کنند.

X2= تعداد تکنسینی که از ساعت 6 شروع به کار می‌کنند.

X3= تعداد تکنسینی که از ساعت 10 شروع به کار می‌کنند.

X4= تعداد تکنسینی که از ساعت 14 شروع به کار می‌کنند.

X5= تعداد تکنسینی که از ساعت 18 شروع به کار می‌کنند.

X6= تعداد تکنسینی که از ساعت 22 شروع به کار می‌کنند.

(عدد صحیح) ـ یک شرکت راه‌سازی اقدام به ترتیب راننده جهت ماشینهای غلتک می‌نماید.

هر راننده تربیت شده جهت تربیت 10 نفر کارآموز جدید به کار گرفته می‌شود.

برنامه‌ کارآموزی یک ماه به طول می‌انجامد.

این شرکت از تجارب گذشته خود دریافته است که از 10 نفر کارآموز که استخدام می‌شوند فقط 7 نفر برنامه را با موفقیت به پایان می‌رسانند.

(کارآموزان ناموفق در پایان اولین ماه استخدامشان اخراج خواهند شد.) این شرکت راننده‌های تربیت شده را علاوه بر مربی شدن برای کارآموزان جدید، برای رانندگی این ماشینها نیز نیاز دارد.

نیاز شرکت در ماههای آینده برای رانندگی به صورت زیر است: علاوه بر این، این شرکت احتیاج به 250 راننده تربیت شده در ماه تیر دارد.

این شرکت دارای 30 راننده در اول فروردین است.

حقوق ماهیانه افراد به ترتیب زیر است: هر کارآموز 4000 تومان، هر راننده تربیت شده (راننده یا مربی) 10000 تومان، هر راننده تربیت شده بیکار 6000 تومان (شرکت بر اساس ضوابط قانون کار، نمی‌تواند آنها را به علت عدم نیاز اخراج کند.) یک مدل برنامه‌ریزی خطی آنچنان ارائه دهید که ضمن برآوردن نیاز شرکت، هزینه استخدام و تربیت راننده این شرکت را به حداقل ممکن برساند.

(راهنمایی: از رابطه تعادلی زیر استفاده کنید: تعدادی که رانندگی می‌کنند + تعدادی که تعلیم می‌دهند = تعداد راننده‌ها در اول هر ماه - تعدادی که بیکارند) حل.

در اینجا فرض شده است که به ازای هر مربی، 10 کارآموز وجود دارد.

همچنین با توجه به اطلاعات داده شده در مسئله، اخراج رانندگان نیز در نظر گرفته نمی‌شود.

جهت تشریح مسئله و تعریف متغیرهای تصمیم‌گیری به شکل شماتیکی ذیل توجه کنید: شکل ص 29 در ابتدای هر دوره موجودی رانندگان در اختیار، به سه وظیفه رانندگی، مربیگری و یا بیکار بودن تقسیم‌ می‌شوند و در انتهای هر دوره 70 درصد کارآموزان به موجودی اول دوره بعد اضافه می‌گردند که بالطبع موجودی اول دوره بعد را تشکیل می‌دهند.

بنابراین از رابطه تعادلی در هر مرحله، برای تعریف محدودیتها استفاده خواهیم کرد لذا خواهیم داشت: متغیر تصمیم‌گیری: تعداد راننده تربیت شده که به کار مربیگری در ماه i می‌پردازد = Xi1 برای (i=1, 2, 3) تعداد راننده تربیت شده بیکار در ماه (i=1, 2, 3) Xi2=i تابع هدف (عدد ثابت) =Min.

z و یا (عدد ثابت) =Min.

z در تابع هدف مقدار عدد ثابت، دستمزد پرداختی به رانندگانی است که به فعالیت رانندگی اشتغال دارند.

این میزان برای 4 ماهه فروردین تا تیرماه برابر 7000000= (250+200+150+1000) 10000 است.

محدودیتهای مسئله چنین می‌باشند: محدودیت تعادل در فروردین ماه محدودیت تعادل در اردیبهشت ماه محدودیت تعادل در خرداد ماه محدودیت تعادل در تیرماه و یا می‌توانیم بنویسیم: نهایتاً متغیرهای تصمیم‌گیری، غیرمنفی و عدد صحیح می‌باشند: (عدد صحیح) ـ یک کارگاه راه‌سازی موقتی که دارای یک برنامه 4 هفته‌ای است با 20 کارگر ماهر شروع به کار می‌نماید.

در پایان چهار هفته نیز می‌خواهد همه کارگران را اخراج نماید.

می‌خواهیم یک برنامه استخدام، اخراج، آموزش و اشتغال به کار اصلی تحت شرایط زیر آنچنان ارائه دهیم که هزینه کارگاه در رابطه با این کارگران حداقل باشد.

هر کارگر ماهر اگر در عرض هفته به کار اصلی مشغول یا بیکار باشد 1500 تومان در هفته حقوق می‌گیرد.

هر کارگر ماهر که به کار آموزش در هفته بپردازد 2000 تومان در هفته حقوق می‌گیرد.

کارگران تازه استخدام پس از یک هفته به کارگر ماهر تبدیل می‌شوند.

هر کارگر ماهر می‌تواند پنج کارگر تازه استخدام را آموزش دهد.

5.

حقوق هفتگی هر کارگر تازه استخدام 1000 تومان در هفته است.

6.

هزینه اخراج هر کارگر ماهر 3000 تومان است.

همانند مسئله قبل در اینجا فرض می شود به ازای هر مربی، 5 کارآموز وجود دارد و موضوع اخراج کارگران نیز مطرح است.

روش حل مسئله کاملاً مشابه مسئله قبل می‌باشد لذا از تشریح آن خودداری می‌گردد.

لازم به ذکر است که چون در پایان هفته چهارم تمامی کارگران اخراج خواهند شد، وجود مربی و کارآموز در هفته چهارم، بی‌مفهوم است لذا می‌توان x43 را از ابتدا صفر فرض کرده و از فرمول مسئله خارج کرد.

همچنین توجه داشته باشید که چون اطلاعات داده شده برای کارگران دارای کار اصلی و بیکار، یکسان می‌باشد، می‌توان از یک نوع متغیر تصمیم (به عنوان مثال xi1) برای هر دو به صورت ادغامی استفاده کرد.

با توجه به آنچه که گفته شد، متغیر تصمیم مسئله به شکل زیر بوده و مدل مسئله به دنبال آن می‌آید.

(i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته i‌ام به کار اصلی اشتغال دارند.

=xi1 (i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته iام بیکار هستند.

=xi2 (i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته i‌ام به مربیگری اشتغال دارند.

=xi3 (i=1,2,3,4) تعداد کارگران ماهری که در هفته i‌ام اخراج می‌شوند.

=xi4 (عدد صحیح) ـ یک طرح تولید محصول شیمیایی می‌تواند با استفاده از دو روش مختلف و با ترکیب مواد خام R1 و R2 محصولات O1 و O2 را حاصل نماید.

روش اول با ترکیب 7 تن از R1 و 5 تن از R2 می‌تواند2 تن از O1 و 6 تن از O2‌ در یک روز تولید کند.

روش دوم با ترکیب 5 تن از R1 و 8 تن از R2 می‌تواند 5 تن از O1 و 4 تن از O2 در یک روز تولید کند.

مقدار 350 تن از R1 و 400 تن از R2 جهت استفاده در این طرح موجود است.

حداقل تقاضا نیز برای محصولات O1‌ و O2 به ترتیب 100 تن و 120 تن است.

به علت اختلاف در دو روش، سود خالص روزانه حاصل از روش اول 3000 تومان است در حالی که سود روش دوم 4000 تومان در روز است.

با فرض اینکه در این طرح، تغییر از یک روش به روش دیگر به راحتی میسر باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.

ابتدا اطلاعات مسئله را در جدول ذیل خلاصه‌ می‌کنیم.

حال به راحتی مشاهده می‌گردد که این مسئله به راحتی فرموله می‌شود.

متغیر تصمیم به شکل ساده زیر تعریف می‌گردد: xi: تعداد روزهایی که به روش i محصول تولید می‌گردد.

i=1,2 مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله عبارت است از: ـ یک کارگاه دارای یک ماشین مته و پنج ماشین فرز است که برای تولید یک محصول مونتاژ شده از دو قطعه 1 و 2 به کار می‌روند.

بهره‌وری از هر ماشین برای تولید دو قطعه به صورت زیر داده شده است: هدف آن است که تعادل کار بر روی ماشینها طوری انجام شود که هیچ ماشینی بیش از 30 دقیقه از هر ماشین دیگر در روز کار ننماید.

(تصور کنید که فرزکاری به طور یکنواخت بین هر پنج ماشین مربوطه تقسیم می شود.) زمان کار مفید را بین ماشینها طوری تقسیم‌بندی کنید تا تعداد کل محصولات مونتاژی تکمیل شده در 8 ساعت کاری در روز ماکزیمم باشد.

یک مدل برنامه‌ریزی خطی برای مسئله بنویسید.

(راهنمای: x1 و x2 را برابر تعداد قطعات تولید شده در روز اختیار کنید و به علاوه هر قطعه باید از ماشینهای فرز و مته استفاده نماید.) حل.

به منظور تشریح مسئله به شکل شماتیکی زیر توجه کنید: شکل ص 34 چنانچه به تعداد x1 از قطعه 1 و به تعداد x2 از قطعه 2 تولید کنیم (x1 و x2 متغیرهای تصمیم مسئله خواهند بود.) در نهایت به تعداد Min {x1 , x2} محصول نهایی خواهیم داشت که هدف ما حداکثر کردن آن است.

(به عنوان یک مثال عددی، چنانچه 50 عدد از قطعه 1 و 20000 عدد از قطعه 2 تولید کنیم بدیهی است که تنها 50 عدد یعنی Min (50, 20000) محصول نهایی خواهیم داشت و مابقی قطعه 2 یعنی 19950 عدد آن، بلااستفاده خواهد ماند.) بنابراین می‌توانیم بنویسیم: (1) حال اگر تعداد محصول نهایی را برابر y (متغیر تصمیم سوم) قرار دهیم، یعنی y=Min (x1 , x2) در این صورت می‌توانیم به جای تابع هدف غیرخطی بالا، چنین بنویسیم: (2) مجدداً به صورت مسئله باز می‌گردیم و اطلاعات مربوط به محدودیتهای مسئله را جمع‌بندی می‌کنیم: به منظور ایجاد تعادل کار بر روی ماشینها، به گونه‌ای که مسئله تشریح کرده است داریم: (4) توجه داشته باشید که (4x1+3x2) زمان کار مفید ماشین مته و (3x1+5x2) زمان کار مفید هر ماشین فرز می‌باشد، لذا با تبدیل این محدودیت غیرخطی به دو محدودیت خطی خواهیم داشت: (5) حال می‌توان مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله را به شکل زیر خلاصه کرد: (2) (3) (5) ـ یک واحد از محصولی از چهار واحد زیر مونتاژ A به علاوه سه واحد زیر مونتاژ B تشکیل شده است.

هر دو واحد زیر مونتاژ A و B از مواد اولیه‌ای تشکیل شده‌اند که از آنها به ترتیب 100 و 200 واحد در دسترس می‌باشد.

برای ساخت این دو زیر مونتاژ، سه بخش تولید دخالت دارند که به روشهای مختلفی زیر مونتاژ را درست می‌کنند.

جدول زیر میزان مواد مورد لزوم را در هر بار تولید و میزان تولید حاصل از هر زیر مونتاژ نشان می‌دهد: چنانچه هدف ماکزیمم کردن تولید محصول نهایی باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید.

به منظور تشریح مسئله شکل شماتیکی زیر را در نظر بگیرید.

شکل ص 36 همان‌گونه که ملاحظه می‌شود، تفاوت چندانی بین این مسئله و مسئله قبلی وجود ندارد.

متغیرهای تصمیم، مشابه قبل تعریف می‌شوند.

xi: تعداد مرتبه تولید توسط بخش i برای (i=1,2,3) بدین ترتیب تعداد زیر مونتاژهای تولیدی از نوع A برابر 7X1+6X2+8X3 می‌گردد.

اما در تولید هر محصول نهایی، چهار زیرمونتاژ نوع A مصرف دارد.

بنابراین حداکثر محصول نهایی که از طریق تولیدات زیرمونتاژهای A ممکن می‌گردد، (7X1+6X2+8X3)/4 می‌باشد.

با همین استدلال تعداد زیرمونتاژهای تولیدی از نوع B، برابر 5X1+9X2+4X3 می‌گردد و حداکثر محصول نهایی که از طریق تولیدات زیرمونتاژهای از نوع B ممکن می‌شود (5X1+9X2+4X3)/3‌است.

اگر تعداد محصول نهایی را y بنامیم، با توجه به شکل زیر: خواهد شد.

شکل ص 36 بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله به شکل زیر درمی‌آید.

به طوری که: محدودیت ماده اولیه محدودیت ماده اولیه محدودیت غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم‌گیری ـ یک کارخانه اسباب‌بازی تولید کننده سه نمونه اسباب بازی (کوچک، متوسط و بزرگ) می‌باشد.

کل کارگران تولید کننده این کارخانه 400 نفر است.

در زیر سود و زمان لازم برای تولید و همچنین مواد اولیه مورد لزوم را برای هر واحد از این سه نمونه ملاحظه می‌کنید: مقدار مواد اولیه در دسترس روزانه 20000 کیلوگرم است.

اگر تعداد ساعات کاری هر کارگر در روز 6 ساعت باشد و مدیر کارخانه تصمیم داشته باشد که به علت فروش اسباب‌بازیهای نوع کوچک آنها را به اندازه مجموع دو نمونه دیگر تولید کند، به منظور ماکزیمم کردن سود، متغیرهای تصمیم را تعریف کرده و مسئله را فرموله کنید: