دانلود مقاله سپیده دم ریاضیات جدید

لگاریتم:
همچنانکه امروزه می دانیم قدرت لگاریتم به عنوان یک ابزار محاسباتی در این حقیقت نهفته است که ضرب و تقسیم به کمک آن به اعمال ساده تر جمع و تفریق تحویل می شوند.

نشانه ای از این ایده در فرمول که در زمان نپر کاملاً شناخته شده بوده پیدا شد و کاملاً محتمل است که خط فکری نپر با این فرمول شروع شده است چه در غیر این صورت تعیین محدود کردن لگاریتمها به لگاریتم سینوس زوایا توسط وی مشکل است.

نپر حداقل به مدت 20 سال بر روی نظریه خودکار کار کرد و منشاء اندیشه هر چه باشد، تعریف نهایی او از لگاریتم چنین است پاره خطی مانند AB و نیمه خطی مانند DE، به صورتی که در شکل 1 نشان داده شده در نظر بگیرید.

فرض کنید که نقاط F,C همزمان بترتیب از نقاط B,A در امتداد این خطوط با سرعت ادامه واحدی شروع به حرکت نمایند.

فرض کنید C با سرعتی که از نظر عدد برابر با فاصله CB است حرکت کند و سرعت حرکت F یکنواخت باشد در این صورت نپر DF را به عنوان لگاریتم CB تعریف می کند یعنی، با قراردادن CB=y , DF=x.

شکل 1
X=Naplogy
برای احتراز از مزاحمت کسرها نپر طول AB را به اختیار کرد زیرا بهترین جداول سینوسی که در دسترس وی بود تا هفت رقم اعشار بسط پیدا می کردند.

از تعریف نپر و از طریق استفاده از معلوماتی که در دسترس نپر نبود چنین نتیجه می شود که

لذا این بیان مکرر گفته شده که لگاریتمهای نپری لگاریتم های طبیعی هستند در واقع بی اساس است.

مشاهده می شود که لگاریتم نپری با افزایش عدد، کاهش می یابد.

بر خلاف آنچه در مورد لگاریتم های طبیعی اتفاق می افتد بعلاوه آشکار می شود که، در دوره های مساوی متوالی از زمان، y مطابق یک تصاعد هندسی کاهش پیدا می کند در حالی که x مطابق یک تصاعد حسابی افزایش می یابد.

بنابراین، اصل بینانی دستگاه لگاریتم ها یعنی ارتباط بن یک تصاعد هندسی و یک تصاعد حسابی را داریم حال، برای مثال نتیجه می شود که اگر آنگاه:
Naploga –Naplogb=Naplogc-Naplgd
که یکی از نتایج متعددی است که به وسیله ی نپر برقرار شده است.

نپر بحث خود درباری لگاریتم ها را رد 1413 در رساله ای تحت عنوان شرح قانون شگف انگیز لگاریتم ها منتشر کرد.

این اثر حاوی جدولی است که لگاریتم سینوس زوایا را برای دقیقه های متوالی یک کمان می دهد رساله شرح علاقه فوری و گسترده ای را بر انگیخت و در سال بعد از انتشار آن هنری بریگز (1561-1631) استاده هندسه در کالج گرشام در لندن و بعداً استاد در آکسفورد به ادینبورو سفر کرد تا مراتب احترام خود را به مخترع کبیر لگاریتم ها ادامه کند.

در ضمن این ملاقات بود که نپر و بریگنیر به این توافق رسیدند که جداوال در چنان تبدیل که لگاریتم 1 ماه و لگاریتم 10 هر توان مناسبی از 10 می شود مفیدتر خواهد بود بدین ترتیب لگاریتم امروزی بریگزی یا متعارفی تکوین یافت این گونه لگاریتم ها، که اساساً لگاریتم های در مبنای 10 می باشند کارآیی برتر خود را در محاسبات عددی مرهون این حقیقت هستند که دستگاه شمار مانیز در مبنای 10 است.

برای دستگاه شماری که پایه دیگری مانند b داشته باشد، البته، به منظور محاسبات عددی مناسبتر خواهد بود که جداول لگاریتم نیز در مبنای b باشند.

بریگز همه ی توان خود را در راه ساختن جدولی بر پایه طرح جدید وقف کرد و در 1624 حساب لگاریتم خود را که شامل یک جدول 14 رقمی از اعداد از 1 تا 20000 و از 90000 تا 100000 بود منتشر کرد.

مشکاف از 20000 تا 50000 بعداً به کمک آدریان ولاک (1600-1666) کتاب فروش و ناشر هلندی پر شد در 1620 ادمونه گانته (1581-1626) یکی از همکاران بریگز، یک جدول هفت رقمی از لگاریتم های متعارفی سینوس و تانژانت زوایا برای فواصل قوسی یک دقیقه منتشر نمود.

گانته بود که واژه های کسینوس و کتانژانت را ابداع کرد، مهندسان وی را به خاطر «زنجیر گانته» شناختند.

بریگز و ولاک چهار جدول بنیادی لگاریتم ها را منتشر نمودند که تنها در همین اواخر وقتی، در بین 1924 و 1949 جداوال جامع 20 رقمی در انگلستان به عنوان جزئی از جشن سیصدمین سال کشف لگاریتم محاسبه شد کنار گذاشته شدند.

کلمه لگاریتم به معنی «عدد نسبت» است و توسط نپر، بعد از آنکه بدواً از اصطلاح عدد ساختگی استفاده کرد اتخاذ گردید.

بریگز کلمه ی مانیتس را که کلمه لاتینی از ریشه اتروسکی است، معمول کرد که در اصل به معنی «جمع» یا «پارسنگ» بوده و در ولاک به کار افت عجیب است که در جدول اولیه لگاریتم های متعارفی رسم این بود که مانیتس را نیز مانند مفسر چاپ کنند، و از قرن هجدهم به بعد هم بود که رسم فعلی چاپ، مانتیسها به تنهایی، متداول گردید.

اختراع شگفت انگیز پز بگرمی در سرتاسر اروپا مورد استقبال واقع شد.

در نجوم بویژه زبان برای چنان اکتشافی بسیار آماده بود بنابه اظهار لاپلاس، اختراع لگاریتم ها «با کوتاه کردن زحمات، عمر منجمین را دو برابر کرد» بونانتوراکاوالیری تلاش زیادی برای متداول نمودن لگاریتم ها در ایتالیا به عمل آورد.

خدمت مشابهی را یوهان کپکر در آلمان و ادموند وینگبیت درفرانسه انجام دادند.

وینگیبت، که سالها زیادی را در فرانسه گذارند به صورت برجسته ترین نویسنده انگلیسی کتابهای درسی در حساب مقدماتی درآمد.

تنها رقیب نپر در پیشقدمی در اختراع لگاریتم یوبت بورگی (1552-1632) ابزار ساز سویسی بود بورگی جدولی از لگاریتم های را مستقل از نپر به تصور درآورده و آنرا ساخت و نتایج کارهای خود را در 1620 شش سال بعد از اینکه نپر کشف خود را به جهانیان اعلام کرده بود منتشر نمود.

گر چه هر دوی آنان ایده لگاریتم را مدتها قبل از انتشار در ذهن پروانده بود عموماً اعتقاد بر این است که این ایده اول بار به ذهن نپر راه یافته بود.

روش نپر هندسی بود در حالی که روش بورگی جبری بود امروزه لگاریتم به عنوان یک نما تلقی می شود مثلاً اگر را لگاریتم b گوییم.

از این تعریف، قوانین لگاریتم بلافاصله پیش از به کاربردن نماهات.

در سال 1971 نیکاراکوئه یک سری تمبر پستی در اکرام از «ده تا از مهمترین فرمولهای ریاضی» دنیا منتشر نمود.

طرح هر تمبر یک فرمول ویژه تاریخی همراه با یک تصویر است در پشت آن گفتار کوتاهی به زبان اسپانیایی در رابطه با اهمیت این فرمول آمده است.

یکی از تمبرها به کشف لگاریتم به دت نپر اختصاص داده شده است.

برای دانشمندان «ریاضیدانان باید اسباب خوشحالی باشد که فرمولهای خود را در این گونه مورد بزرگداشت ببیند.

زیرا این فرمولها سهمی بس بیشتر از کارهای شاهان و فرماندهان نظامی در پیشرفت بشریت داشته اند و تمبرهایی پستی اغلب سیمای اینان را در بر دارد.

سالها بود که محاسبه لگارتیم در دروس ریاضی اواخر دبیرستان یا اوایل کالج درس داده می شود و همچنین طی سالها خط کش محاسبه لگاریتمی که در قالب چرمی زیبایی از کمر آویخته می شد.

نشان تشخیص دانشجویان مهندسی دانشگاه ها بود.

با این حال، امروزه با ظهور ماشین حسابهای جیبی کوچک جالب و با قیمت های رو به کاهش، کسی استفاده از جدول لگاریتم یا خط کش محاسبه را در محاسبات عاقلانه نخواهد داشت.

تدریس لگاریتمی به عنوان یک ریشه محاسبه از مدارس رفت بر می بندد، سازندگان مشهور خط کش ها محاسبه دقیق به قطع تولید پرداخته اند و کتابها دستیهای جداول ریاضی مهم و فکر کنار گذاشتن جداول لگاریتمی اند.

محصولات اختراع برزگ نیز بدل به اشیایی در خود موزه ها شده اند مع هذا، تابع لگاریتمی به این دلیل ساده که تغییرات لگاریتمی و نمایی مرز اجزاء حیاتی طبیعت و آنالیز است هرگز از بین نخواهد رفت در نتیجه مطالعه خواص توابع لگاریتمی و معکوس آن تابع نمایی همواره بخش مهمی از آموز ریاضی باقی خواهند ماند.

معادله های مسئله ای الف: با استفاده از قواهد آشنای نماها، خواص مفید زیرین را برای لگاریتم ها ثابت کنید: ب: نشان دهید که 1- (با این فرمول می توانیم لگاریتم در پایه b را، وقتی که یک جدول لگاریتم در مبنای a در اختیار داشته باشیم، حساب کنیم.

ج: از گرفتن جذر 10، سپس چذر نتیجه بدست آمده ادامه این عمل به همین مقیاس، می توان جدول زیر را ساخت: با این جدول می توانیم لگاریتم های طبیعی هر عدد بین 1 و 10 و بدین ترتیب با جرح و تعدیل مفسر لگاریتم هر عدد مثبت دلخواه را حساب کنیم.

مثلاً فرض کنید N عدد دلخواهی بین 1 و 10 باشد.

N را به بزرگترین عدد موجود در جدول که از N بزرگتر نیست، تقسیم کنید فرض کنید که مقسوم علیه و خارج قسمت N1 باشد.

در این صورت باید به همین سوال عمل کنید و فرآیند را ادامه دهید تا بدست آید.

فرض کنید که عمل را زمانی متوقف کنیم که Nn را، کسری با پیکرهای معنی دار فقط از رقم ششم اعشاری به بعد باشد در این صورت تا پنج پیکر اعشاری داریم: این شیوه به روش ریشه ها برای محاسبه لگاریتم ها موسوم است را با این شیوه حساب می کنند.

حسابان و مفاهیم وابسته به آن مقدمه: دیده ایم که ریاضیات جدید و دامنه دار زیادی در تحقیقات ریاضی در قرن فهدم گشوده شدند که این دوره را به صورت دوره پرباری در بسط ریاضیات درآورده اند.

بی چون و چرا مهمترین دستاورد ریاضی این دوره ابلاغ حسابان در اواخر قرن توسط آیزک نیوتون و گوتفرید ویلهم لایبنتیز بود.

با این ابداع ریاضیات خلاق به طور کلی به درجه پیشرفته ای می رسد و تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساً با آن پایان می یابد.

فصل حاضر به رح کوتاهی از مبادی و بسط مفاهیم حسابان اختصاص می یابد، مفاهیمی که چنان کاربرد وسیعی دارندو چنان تاثیری بر دنیای جدید داشته اند که شاید گفتنش درست باشد که بدون آگاهی از آنها انسان بزحمت می تواند ادعای داشتن تحصیلات درست حسابی را داشته باشد.

جالب توجه است که بر خلاف ترتیب متداول در ارائه مطاب در دروس مقدماتی دانشگاهی فعلی، که با مشتقگیری شر وع و بعدا به انتگرال گیری می پردازیم مفاهیم حساب انتگرال از لحاظ تاریخی قبل از مفاهیم حساب دیفرانسیل به وجود آمده اند.

مفهوم انتگرال گیری ابتدا در نقشی که در یک فرآیند مجموعیابی در رابطه با یافتن بعضی مساحات، اجحام، و طول قوسها داشت، پدیدار شد بعدها، مشتقگیری در رابطه به مسائل مربوط به مماس به منحنیها و سوالاتی درباره ماکزیمم و مینیمومم توابع به وجود آمد.

و حتی خیلی بعد از آن بود که ارتباط انتگرال گیری با مشتقگیری به عنوان اعمال معکوس یکدیگر مورد توجه قرار گرفت.

گر چه قسمت عمده گفتار ما به قرن هفدهم مربوط می شود لازم است جهت آغاز مطلب به یونان باستان و قرن پنجم پیش از میلاد بازگردیم.

پارادوکس های زنون آیا باید پذیرفت که کمیتی بینهایت بار تقسیم پذیر است یا اینکه این کمیت از عده بسیار زیادی اجزای اتمی تقسیم ناپذیر تشیکل شده است؟

فرض اول به نظر بسیاری منطقی تر جلوه می کند اما مفید بودن فرض دوم پیدایش کشفیات بسیاری موجب می شودکه نامعقول بودن ظارهی آن تا حدی از بین می رود.

شواهدی در دست است که در یونان باستان، مکاتب استدلال ریاضی بر مبنای هر یک از دو فرض بالا به وجود آمده است.

برخی از اشکالهای منطقی که با هر یک از دو فرض پیش می آیند به طور شگفت انگیزی در قرن پنجم ق .

م به کمک چهار پارادوکس که توسط فیلسوف الیایی زنون (حدود 450 ق.

م) ابداع شدند آشکار شدند این پارادوکسها که تاثیر شگرفی در ریاضیات داشتند بیان می کنند که خواه فرض کنیم که کمیتی بی نهایت بار تقسیم پذیر است یا از عده بسیار زیادی اجزای اتمی ساخته شده است حرکت غیر ممکن است ما ماهیت این پارادوکسها را با دو پارادوکس زیر روشن می کنیم دیکتومی: اگر پاره خط مستقیمی بی نهایت بار تقسیم پذیر باشد آنگاه حرکت غیر ممکن است زیرا برای پیمودن طول پاره خط ابتدا لازم است که به نقطه وسط پاره خط برسیم و برای این کار لازم است تا غیر النهایه نتیجه می شود که حرکت را حتی نمی توان شروع کرد.

تیر: اگر زمان متشکل از لحظه های زیر تقسیم ناپذیر باشد آنگاه یک تیر در حال حرکت همیشه در یک جاست، زیرا در هر لحظه تیر در یک وضعیت ثابت است.

چون این مطلب در مورد هر لحظه درست است نتیجه می شود که تیر اصلاً حرکت نمی کند.

توجیه های زیادی از پارادوکسهای زنون به عمل آمده است و نشان دادن این امر مشکل نیست که این پارادوکسها با این باورهای شهودی که مجموع تعداد بینهایتی از کمیت های مثبت، کمیتی بسیار بزرگ است حتی اگر هر یک از کمیت ها فوق العاده کوچک باشد و اینکه مجموع عده ای که از کمیت های متناهی یا نامتناهی با بعد صفر است درتضاد قرار دارند.

انگیزه ی واقعی این پارادوکسها هر چه که باشد اثر آنها حذف بینهایت کوچک از هندسه برهانی یونانی بود.

روش افضای ائودوکسوس اولین مسائلی که در تاریخ حسابان پیش می آیند، به محاسبه مساحتها احجام و طول قوسها مربوط اند و در مطالعه ی آنها به شواهدی از دو فرض قابل قسمت بدون کمیت ها که در بالا به آن اشاره کردیم، بر می خوریم.

یکی از قدیمی ترین کارهای مهم در زمینه مسئله تربیع دایره کار آنتیفیون سوفسطایی (حدود 430 ق .

م) است که یکی از معاصرترین سقرط بود.

گفته اند که آنتیفون این فکر را قوت بخشیده است که با موالیا دو برابر کردن عده اضلاع یک چند ضلعی چون می توان مربعی از نظر مساحت ساخت برابر با چند ضلعی مفروض ساخت در این صورت ساختن مربعی برابر با یک دایره مسیر نخواهد بود.

این استدلال به دلیل اینکه اصل تقسیم پذیر بودن نامحدود کمیتها را نقص می کرد و اینکه به موجب اصل فوق در فرآیند آنتیفیون همه مساحت دایره به کار می رود بلافاصله مورد انتقاد قرار گرفت با این حال اظهار جسورانه آنییفیون نقطه روش افتای مشهور یونانیون را در بر داشت.

روش افنا معمولاً به ائودوکسوس (حدود 370 ق .

م) منسوب می شود و شاید بتوان آن را پاسخ مکتب افلاطونی به پارادوکسهای زنون مصوب کرد.

درا ین روش تقسیم پذیر بودن نامتناهی کمیتها پذیرفته می شود.

پایه آن گزاره زیر است اگر از کمیت دلخواهی کمیتی تا کمتر از نصف آن کسر شود از باقیمانده قسمت دیگری که از نصف آن کمتر نیست برداشته شود و این عمل به همین قیاس ادامه یابد در نهایت کمیتی باقی می ماند که از هر کمیت مفروض از همان جنس کمتر خواهد بود می خواهیم روش اخنا را برای اثبات اینکه اگر مساحت دو دایره به قطرهای باشند آنگاه: به کار بریم ابتدا، به کمک گزاره اساسی فوق نشان می دهیم که تفاضل بین مساحت یک دایره و یک چند ضلعی معانی را می توان تا هر اندازه مورد نظر کوچک کرد فرض کنید AB در شکل 2 ضلعی از یک چند ضلعی منتظم محاطی باشد و فرض کنید M نقطه وسط قوس AB باشد چون مساحت مثلث AMB نصف مساحت مستطیل ARSB و بنابراین بزرگ تر نصف مساحت نقطه دایره AMB است.

نتیجه می شود که با دو برابر کردن تعداد اضلاع به قدر کافی می توانیم تفاضل مساحات بین دایره و چند ضلعی را از مساحت هر اندازه کوچک کوچکتر نماییم حال به قضیه فوق باز می گردیم و فرض می کنیم که به جای تساوی داشته باشیم شکل 2 در این صورت می توانیم در دایره اول چند ضلعی منتظمی معاط کنیم که تفاوت مساحت آن با به قدری کوچک باشد که فرض کنید چند ضلعی منتظمی متشابه با ولی محاط در دایره دوم باشد در این صورت بنابر قضیه معروف درباره چند ضلعیها متشابه: نتیجه می شود که یا که غیر ممکن است، چون مساحت یک چند ضلعی منتظم نمی تواند بیشتر از مساحت دایره محیطی آن باش به طور مشابه می توانیم نشان دهیم که غیر ممکن است در نتیجه به موجب این مراحل برهان خلف مضاعف، قضیه ثابت می شود بنابراین اگر A مساحت و d قطر یک دایره باشد داریم که در آن k (که در واقع است) مقداری است ثابت که برای کلیه دایره ها یکی است.

ارشمیدس مدعی بود که دموکریتوس (حدود 21 ق .م) گفته است حجم هرمی که قاعده آن چند ضلعی دلخواهی باشد یک سوم حجم منشوری با همان قاعده و ارتفاع است.

در بازه دموکریتوس اطلاع کمی در دست است اما معلوم نیست که او توانسته باشد برهان دقیقی برای این قضیه ارائه نماید.

چون هر منشور را می توان به صورت مجموع منشورهای که قاعده همه آنها مثلت باشد قطعه قطعه کرد.

و منشوری از این نوع را می توان به نوبه خود به سه هرم مثلث القاعده تقطیع کرد که دو به دو قاعده های معادل و ارتفاع های یکسان داشته باشند نتیجه می شود که گره مسئله دموکرتیوس نشان دادن این امر است که دو هرم با ارتفاع های مساوی و قاعده های معادل مجموعه‌ها برابر دارند برهانی برای آن را بعداً ائودوکسوس با استفاده از روش افنا داده است.

در این قسمت دموکریتوس چگونه می توانسته به این نتیجه اخیر دست یافته باشد؟

پلوتارکلیدی در اختیار ما می گذارد ولی مواجه شدن دموکریتوس را با یک مطئله بغرنج وقتی که یک مخروط را متشکل از بی نهایت مقطع عرضی مستوی به موازات قاعده تلقی کرده نقل می گند اگر دو مقطع «مجاور» مساحت های مختلف داشته باشند جسم یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» به یک اندازه باشند یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» مساحت های مختلف داشته باشند جسم یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» به یک اندازه باشند سطح جسم مفروض به یک سلسله از پله های کوچک تقسیم خواهد شد که مطمئناً چنین چیزی در بین نیست در اینجا فرض راجع به تقسیم پذیر بودن کمیتها داریم که نت به دو فرض که قبلاً بررسی شده اند تا حدی جنبه بنیادی دارد زیرا در اینجا فرض می کنیم که حجم مخروط بینهایت بار تقسیم پذیر یعنی قابل تقسیم به بی نهایت مقطع اتمی مستوی است، اما این فرض را هم می کنیم که این مقاطع قابل شمارش اند بدین معنی که اگر یکی از آنها را در نظر بگیریم مقطعی دیگر در کنار آن قرار دارد دموکرتیوس احتمالاً چنین استدلالی کرده است که اگر دو هرم با قاعده های معادل در ارتفاعهای برابر را صفحات موازی با قاعده قطع کنند و این صفحات ارتفاعها را به یک نسبت قطع نمایندو در این صورت مقاطع مناظر تشکیل شده معادل هستند بنابراین هرم ها شامل تعدادی نامتناهی ولی متساوی از مقاطع متناظر تشیکل شده معادل هستند و بنابراین باید حجمهای برابر داشته باشند این می تواند موردی از روش تقسیم ناپذیرهای کاوالیری باشد.

اما از مردم باستان ارشمیدس بود که زیباترین کاربردهای روش افنا را عمل کرد و همه بود که به انتگرال گیری واقعی از همه نزدیکر شد به عنوان یکی از قدیمی ترین مثالها تربیع وی از یک قطعه سهمه را در نظر بگیرید.

فرض کیند E,D,C نقاطی واقع به قطعه سهموی باشند (نگاه کنید به شکل 3) که از رسم NE,MP,LC به موازات از خواص هندسی سهمی ارشمیدس نشان می‌دهد که که کاربردهای مکرر این ایده نتیجه می شود که مساحت قطعه سهموی توسط که کاربردهای مکرر این ایده نتیجه می شود که مساحت قطعه سهموی توسط داده می شود.

شکل 3 ما در اینجا گار با گرفتن حد مجموع یک تصاعد هندسی مختصر کرده ایم ارشمیدس ابزار برهان خلف مضاعف مربوط به روش افنا را به خدمت می گیرد.

ارشمیدس در مالعه اش از بعضی مساحتها و احجام به معادلهای عده ای از انتگرالهای معین که در کتابهای حسابان مقدماتی دیده می شود دست یافت.

روش تعادل ارشمیدس روش افنا روش بسیار دقیق ولی بی باری است به عبارت دیگر وقیت فرمول را بداینم روش افنا می تواند بسیار وسیله زیبایی برای اثبات آن باشد ولی این روش قابلیتی درکشف اولیه نتیجه ندارد و ازا ین احاظ روش افا بسیار شبیه به فرآیند استقراء ریاضی است سپس ارشمیدس فرمولهایی را که با آن همه خوبی به روش افنا ثابت کرده چگونه کشف کرده است؟

پرسش بلا استفاده سرانجام در 1906 با کشف نسخه ای از مقاله روش ارشمیدس که از مدتها پیش مفقود و خطاب به اراتستن نوشته شده بود توسط هالیبرگ در قسطنطنیه پاسخ داده شد.

این دست نوشته بر روی یک پالیمت سست قرار داشت.

یعنی در قرن دهم بر روی کاغذپارچه ای نوشته شده بود سپس بعدها در قرن سیزدهم شسته شده و مجدداً برای نوشتن یک متن مذهبی مورد استفاده قرار گرفته بود خوشبختانه قسمت اعظم متن اولیه از زیر نوشته ی بعدی قابل احیا بود.

ایده اصلی روش ارشمیدس چنین است برای یافتن مساحت یا حجم مطلوب آن را از راه بریدن به صورت تعداد زیادی نورهای باریک مستوی موازی یا لایه های موازی باریک در اورید و این قطعه ها را (به طرز ذهنی) در یک طرف هرم مفروض چنان آویزان کنید که با شکلی که گنجایش و مرکز هندسی آن معلوم باشد در حالت تعادل قرار گیرد برای روشن کردن این روش آنها را برای یافتن فرمول حجم کرده به کار می بریم فرض کنید r شعاع کره باشد کره را طوری قرار دهید که قطر اصلی آن در امتداد محور افقی x ها قرار گیرد و قطب شمال n در مبدا باشد (نگاه کنید به شکل 3) استوانه و مخروط دوار حاصل از دوران مستطیل NABS در مثلث NCB در طول محور xها را بسازید حال رزمه قاچ های عمودی باریک (فرض کنید که این قاچ ها استوانه های همواری هستند) به فاصله x از N و ضخامت ببرید.

حجم های این قاچ ها تقریباً عبارتند از: : کره استوانه : مخروط قاچ های کره در مخروط را در نقطه آویزان می کنیم مجموع گشتاورهای آلفا در حول N عبارت است از ملاحظه می کنیم که این مجموع چهار برابر گشتاور قاچ بریده شده از استوانه است وقتی که این قاچ در همانجا که هست بماند با افزودن تعداد زیادی از این قاچ ها بر هم رابطه زیر را به دست می آوریم: [حجم استوانه]r4= [حجم مخروط + حجم کره]r2 حجم کره] r2 حجم کره در روش گفته شده است که این طریقه ارشمیدس در کشف فرمول حجم کره بوده است ولی شعور ریاضی او به او اجازه نمی دهد که چنین روشی را به عنوان یک برهان بپذیرد و از این رو برهان دقیقی را به کم روش افنا تدارک دیده است در روش تعادل ثمر بخش بودن این فرک سست بنیاد را که یک کمیت ترکیبی از عده زیادی اجزای اتمی تلقی شود مشاهده می کنیم نیازی به گفتن نیست که با روش امروزی حد گیری، روش تعادل ارشمیدس را می توان به صورت کاملاً دقیقی که اساسا همان انتگرال گیری امروزی است در آورد.

مقدمات انتگرال گیری در اروپای غربی نظریه انتگرال گیری بعد از دستاوردهای قابل ملاحظه ارشمیدس تا دوران جدی چندان دنبال نشد.

در حدود 1450 بود که آثار ارشمیدس از طریق ترجمه نسخه ای از نوشته هایش که در قرن نهم صورت گرفته بود و در قسطنطنیه پیدا شد به اروپای غربی رسید این ترجمه را گیومونتانوس مورد تجدید نظر قرار داد و در 1540 به چاپ رسانید چند سال بعد ترجمه ی دومی از آن منتشر شد اما تنها در اوایل قرن هفدهم است که می بینیم اندیشه های قابل مقایسه با روشهای ارشمیدس را به کار می برد مهندس فلاندری سلمیون – استوین و ریاضیدانان ایتالیایی اوکا والیریو بودند.

استرین در کار خود در هیدروستانیک از چنین روشی استفاده نکرد که طی آن نیروی فشار مایع بر یک سد مستطیلی را از راه تقسیم به نوارهای افقی باریک و سپس چرخاندن این نوارها در حول لبه های پائینی و بالایی تا آنکه اینها به موازات یک صفحه افقی درآیند پیدا کرد.

این اساساً روشی است که آن را امروزه در کتابهای درسی مقدماتی در حسابان به کار می بریم.

از اولین اروپائیان جدید که ایده بینهایت کوچک ها را در ارتباط با انتگرال گیری به کار برد باید علی الخصوص یادی از یوهان کپلر کرد.

کپلر می بایست به یک روش انتگرال گیری متوسط تا مساحات مطروحه در قانون دوم حرکت سیاره ای و نیز احجام مورد بررسی در رساله اش مراجع به گنجایش بشکه های شراب پیدا کند اما کپلر نظریه دیگر هم عصران خود چندان حوصله ای برای دقت زیاد در روش افنا نداشت و بدنبال صرفه جویی در وقت و زحمت شیوه هایی را که ارشمیدس صرفاً رهگشا می نپراشت بسادگی قبلو کرد.

مثلاً کپلر محیط دایره را به صورت یک چند ضلعی منظم در نظر می گرفت که دارای بینهایت ضلع است اگر هر یک از این اضلاع باید مثلثی اختیار شوند که راس آن در مرکز دایره است در این صورت مساحت دایره به تعداد بینهایتی از مثلثهای باریک تقسیم شده است که همه ارتفاع برابر با شعاع دایره دارند.

چون مساحت هر یک از این مثلث های باریک برابر با نصف حاصلضرب محیط آن در شعاع آن می شود همچنین حجم یک کره متشکل از تعداد بی نهایتی از مخروط های باریکی گرفته شد که همه آنها راسی در مرکز کره دارناد نتیجه می شود که حجم کره برابر یک سوم حاصلضرب سطح جانبی آن در شعاعض می شود یا اینکه این روشها از دیدگاه دقت ریاضی قابل ایرادند و مهندسین چنین روشهایی اتمی را مرتباً در پدراختن مسائل ریاضی به کار می برند و بررسی دقیق حد را به عهده ریاضیدانان حرفه ای می گذارد.

هندسه دانان اغلب به مفاهیم مناسب نقاط متوالی و منحنیها و سطوح متوالی در خانواده های یک پارامتری از چنین نقاط منحنیها و سطوح متوسط می شوند.

روش تقسیم ناپذیری کاوالیری بوناونتورا کاوالیری در 1598 در میلان به دنیا آمد در سنین پایین یک یسوعا شد زیر نظر گالیله درس خواند و از سال 1629 تا زمان مرگش در 1647 در دانشگاه بولونا استاد ریا ضیات بود وی یکی از موثرترین ریاضیدانان عصر خود بود و آثار چندی در زمینه های ریاضیات اپتیک و نجوم نگاشت رواج به موقع لگاریتم در ایتالیا عمدتاً مدیون اوست.

اما بزرگترین سهم او رساله ای است هندسه تقسیم ناپذیرها که به صورت اولیه خود در 1635 منتشر شد و به روش تقسیم ناپذیرها اختصاص داده شده بود گر چه می توان رد این روش را در کارهای دموکرتیس (حدود 410 ق .

م) و ارشمیدس 0212-287 ق .

م) پس گرفت ولی بسیار متحمل است که تلاشهای کپلر در در یافتن برخی مساحتها و احجام بود که محرک کاوالیری شد.

رساله کاوالیری مطول است و به وضوح نوشته شده است و دانستن اینکه منظور او از تقسیم ناپذیر دقیقاً چیست مشکل است.

به نظر می رسد که یک تقسیم ناپذیر در یک قطعه ی مستوی مفروض وتری از آن قطعه باشد که و یک تقسیم ناپذیر در یک جسم صلب مفروض یک مقطع مستوی آن جسم است یک قطعه مستدی متشکل از مجموعه بینهایتی از وترهای و یک جسم صلب متشکل از مجموعه بینهایتی از مقطع مستوی موازی تلقی می شود بر این مبنا کاوالیری استدلال می کند که اگر هر یک از اعضای مجموعه وترهای موازی قعطه مستوی مفروض را در امتداد محورض بلغزانیم به طوری که دو سر وترها همچنان یک مرز پیوسته با بپیمایند در این صورت مساحت قطعه مستوی جدیدی که بدین ترتیب تشکیل می شود با مساحت قطعه مستوی اصلی برابر است لغزاندن مشابه مقاطع متسوی یک جسم مفروض جسم صلب دیگری به دست می دهد کخ حجم آن با حجم اصلی برابر است این نتایج وقتی اندکی تعمیم داده شوند اصول مرسوم به اصول کاوالیری را به دست می دهند: 1 – اگر در قطعه مستوی بین یک جفت خط موازی قرار گیرند و اگر دو مقطع جدا شده توسط آنها بر روی خطی به موازات خطوط در بردارنده جدا می شود طولهای برابر داشته باشن آنگاه مساحتهای قطعه های مستوی برابرند.

2 – اگر در جسم صلب بین یک جفت صحفه موازی قرار گیرند و اگر دو مقطع جدا شده توسط آنها بر روی هر صحفه به موازات صفحات در بردارند مساحتهای برابر داشته باشند آنگاه حجم دو جسم صلب با هم برابرند.

اصول کاوالیری ابزار ارزنده ای در محاسبات مساحتها و حجم هاست و پایه شهودی انها را می توان به آسانی به کمک حساب نوین انتگرال تحقیق کرد با پذیرش اینکه این اصول از لحاظ شهودی روشن اند می توان مسائل را در مساحی که معمولاً نیاز به فنون پیشرفته حسابان دارند، حل کرد.

استفاده از اصول کاوالیری را ابتدا با به کار گرفتن آنها در حالت مسطحه در یافتن مساحت یک بیضی با نیم قطرهای b,a و سپس در حالت فضایی دریافتن حجم کره ای به شعاع r تشریح می کنیم.

بیضی و دایره را که دستگاه مختصات متعامدی مطابق شکل 4 رسم شده اند در نظر گیریدو با حل هر یک از دو معادله فوق بر حسب y معادلات زیر را بدست می آوریم: از این روابط نتیجه می شود که نسبت عرض های نظیر بیضی و دایره برابر a/b است بنابراین نتیجه می شود که وترهای قائم بیضی و دایره نیز به همین نسبت هستند نتیجه می گیریم که اصل اول کاوالیری مساحتهای بیضی و دایره به همین نسبت هستند نتیجه می گیریم که شکل 4 (مساحت دایره) = مساحت بیضی این روش اساساً روشی بود که کپلر آن را در یافتن مساحت بیضی با نیم قطرهای b,a به کار گرفت.

حال فرمول آشنای حجم کره به شعاع r را به دست می آوریم در شکل 5 نیم کره ای به شعاع r در طرف چپ و استوانه ای به شعاع r و ارتفاع r در سمت راست قرار دارد که مخروطی به قاعده بالایی استوانه و به راس مرکز قاعده پایینی استوانه از آن برداشته شده است.

نیم کره و استوانه تو کنده در روی یک صفحه مشترک قرار گرفته اند حال هر دو جسم را با صحفه ای به موازات صحفه قاعده و به فاصله h از آن قطع می کنیم این صحفه یکی از اجسام را در یک مقطع مستیر و دیگری را در یک مقطع تاجی یا حلوقی شکل قطع می‌کند.

بنابر هندسه مقدماتی به آسانی نشان می دهیم که هر یک از این دو مقطع مساحتی برابر با دارد.

بنابراین کاوالیری نتیجه می شود که دو جسم حجم برابر دارند بنابراین حجم v یک کره چنین است (حجم مخروط – حجم استوانه) 2= V پذیرفتن و استفاده دائم از اصل کاوالیری استخراج بسیاری از فرمولهایی را که در هندسه فضایی دبیرستان می آیند ساده می کند این روش از سوی عده ای از مولفان کتب درسی قبول و به دلایل آموزشی از آن طرفداری شده است مثلا برای استخراج فرمول آشنای حجم چهار وجهی قسمت متشکل ابتدا آن است که نشان دهیم در هر دو چهار وجهی که قاعده های آنها معادل و ارتفاعهای وارده بر این قاعده ها برابر باشند حجم هایشان برابرند.