دانلود تحقیق کوانتومی

حدود70 سال پیش، اروین شرودینگر نام Verschrankung را به طبیعت همبستگی کوانتومی اطلاق کرد ] Sch35 .[ درز بان محاوره آلمانی برای مردم غیرفیزیکدان این اصطلاح به معنای " مچ انداختن " کار می رود.

این واژه درزبان انگلیسی Entanglement و درزبان فارسی در هم تنیدگی ترجمه شده است که درمعنای ضمنی خود رساتر می باشد .

در هم تنیدگی کوانتومی ، نخستین بار در سال 1935 ، توسط انیشتن و همکارانش پادولسکی و روزن1 ، ] EPR35 [ به طور جدی مورد بحث قرار گرفت .

ایده این دانشمندان به صورت پارادوکسی با حروف اول اسامی آنها یعنی EPR معروف شده است .

این خاصیت در سالهای اولیه پیدایش به صورت یک معما بود ، زیرا وجود حالت های درهم تنیده ، پدیده های غیر کلاسیکی را تولید می کند .

در آن زمان وضعیت و غیر موضعی بودن سیستم های کوانتومی در هم تنیده ، موضوع اختلاف انیشتن و همکارانش از یک طرف و طرفداران مکتب کپنهاگی از سوی دیگر بود .

اما اکثر فیزیکدانان نمی توانستند دلایل موجود در مقاله EPR در رد مکانیک کوانتومی را بپذیرند.

تا اینکه در دهه 1960 ، یک آزمایش تجربی برای تحقیق درستی یا نادرستی نظریه EPR پیشنهاد شد .

درآن زمان، بل نامساوی موسوم به نامساوی بل را پیشنهاد کرد] Bel64 [ .

این نامساوی تاییدی بر غیر موضعی بودن سیستم های کوانتومی در هم تنیده است .

با گذشت بیش از چند دهه ، هنوز این خاصیت چه از دیدگاه تئوری و چه از دیدگاه عملی بسیار جالب است .

در واقع درهم تنیدگی یکی از حیرت انگیزترین جنبه های فرمولبندی مکانیک کوانتومی می باشد .

درهم تنیدگی رفتار کوانتومی سیستم های دو یا چند ذره ای است که نخست با هم برهم کنش کرده و سپس از هم جدا می شوند.

براساس مکانیک کوانتومی ، ذرات جدا شده از هم ، حتی وقتی که هیچ برهم کنش شناخته شده ای بین آنها وجود نداشته باشد، برهم اثر می کنند و داشتن اطلاعات درباره یکی ، منجر به کسب اطلاعات درباره دیگری می شود .

در چند سال گذشته با ظهور نظریه اطلاعات کوانتومی و محاسبات کوانتومی، باردیگر بحث درهم تنیدگی اهمیت فراوان یافته است.

کاربردهای متعددی ازحالت های درهم تنیده کوانتومی پیشنهاد شده، از جمله در محاسبات کوانتومی و انتقالات کوانتومی از راه دوراز این مفهوم استفاده می شود.

با به کارگیری سیستم های درهم تنیده کوانتومی در انجام محاسبات و ارتباطات می توان این اعمال را در مقایسه با روش های کلاسیکی سریعتر و از طریقی ایمن تر انجام داد .

بطور کلی انگیزه بررسی مبحث درهم تنیدگی را می توان در چهار مورد زیر خلاصه کرد :
1- انگیزه فلسفی : همانطوریکه دیدیم در هم تنیدگی ابتدا بعنوان یکی از مسائل بنیادی و نظری مکانیک کوانتومی، با طرح مقاله EPR مطرح شد.

درهم تنیدگی ازاین دیدگاه فلسفی هنوز هم ، قابل بررسی است .

2- انگیزه بنیادی فیزیکی : درهم تنیدگی یکی از مهمترین مسائل باز مکانیک کوانتومی است که باید به این سوال پاسخ دهد که : طبیعت همبستگی های کوانتومی در سیستمهای مرکب چیست ؟

3- انگیزه فیزیک کاربردی: درهم تنیدگی نقش اساسی درکاربرد فیزیک کوانتومی در اطلاعات کوانتومی دارد .

که اخیرا به آن توجه زیادی شده است و بعلت لزوم کاربرد آن در شاخه های مختلف اطلاعات کوانتومی مثل کامپیوترهای کوانتومی ، رمزنگاری کوانتومی، انتقالات کوانتومی از راه دور و...

پتانسیل عظیمی از افراد و بودجه را درسالهای اخیر به خود اختصاص داده است .

4- انگیزه ریاضی محض : مساله در هم تنیدگی مستقیما به یکی از مسائل مهم و باز جبر خطی و آنالیز بنیادی ، یعنی مشخص کردن و طبقه بندی نگاشت های مثبت در جبر *C مربوط می شود .

با ذکر انگیزه های مختلف این بحث ، می توان حدس زد که افراد مختلف با انگیزه های مختلف، شروع به ساختن پایه های تئوری این مبحث کرده اند تا با تکمیل شدن هرچه بیشتر تئوری، بتوان به کاربردهای صنعتی و تکنولوژیکی مهم آن درست یافت .

در این پایان نامه قصد داریم به معرفی دانش کلی و برخی خصوصیات این ویژگی کوانتومی بپردازیم.

در فصل اول پایان نامه ، تعریف بعضی مفاهیم و به طور خاص تعریف درهم تنیدگی و جداپذیری را ارائه داده ایم.

اولین و مهمترین بحث در مطالعه سیستم های کوانتومی درهم تنیده ، تشخیص درهم تنیدگی می باشد .

طی سالهای گذشته برای تشخیص در هم تنیدگی معیارهای مختلفی معرفی شده اند.

در فصل دوم بعضی از این معیارها را ارائه خواهیم کرد و مثالی از کاربرد هریک از ملاکها بیان خواهیم کرد.

درجه هم تنیدگی سیستم های کوانتومی متفاوت است، برخی سیستم ها از جمله حالتهای بل دارای حداکثر مقدار درهم تنیدگی می باشند و سیستم های کوانتومی دیگر درجه هم تنیدگی کمتری دارند.

تاکنون روش های مختلفی برای تشخیص اندازه درهم تنیدگی حالتها پیشنهاد شده است .

در فصل سوم به چند روش موجود تعیین درجه درهم تنیدگی اشاره خواهیم کرد و یک روش جدید برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی یک سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت-کیوتریت" بدست می آوریم.

در فصل چهارم همان سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت – کیوتریت" را در نظر می گیریم و برای این سیستم کوانتومی، حالتهای با بیشترین مقدار در هم تنیدگی را بدست می آوریم .

درفصل پنجم یکی از کاربردهای درهم تنیدگی، ارتباط از راه دور را در حضور نوفه بررسی
در این پایان نامه قصد داریم به معرفی دانش کلی و برخی خصوصیات این ویژگی کوانتومی بپردازیم.

در فصل سوم به چند روش موجود تعیین درجه درهم تنیدگی اشاره خواهیم کرد و یک روش جدید برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی یک سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت-کیوتریت" بدست می آوریم.

در فصل چهارم همان سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت – کیوتریت" را در نظر می گیریم و برای این سیستم کوانتومی، حالتهای با بیشترین مقدار در هم تنیدگی را بدست می آوریم .

درفصل پنجم یکی از کاربردهای درهم تنیدگی، ارتباط از راه دور را در حضور نوفه بررسی می کنیم.

و بالاخره در فصل ششم مفهوم در هم تنیدگی کمکی را بیان کرده و شرایط حاکم بر رده خاصی از حالتها را که این مقدار برایشان به راحتی قابل محاسبه است ، بدست می آوریم و بزرگی این رده را در دو حالت مختلف محاسبه می کنیم .

فصل اول درهم تنیدگی و جداپذیری در این فصل ، پس ازذکرمقدمات ، تعریف درهم تنیدگی ، حالت در هم تنیده و حالت جداپذیر را ارائه می دهیم .

1-1 حالت : یک توصیف کامل از یک سیستم فیزیکی را حالت گوییم.

در مکانیک کوانتومی ، یک حالت ، یک بردار در فضای هیلبرت است .

1-2 فضای هیلبرت :یک فضای برداری روی اعداد مختلط C می باشد .

بردارها را به صورت نشان می دهیم یک ضرب داخلی به صورت در این فضا وجود دارد که می تواند یک زوج مرتب از بردارها را به C (اعداد مختلط) نگاشت کند که این ضرب داخلی خواص ز یررا دارد .

مثبت بودن برای .

خطی بودن .

تقارن Skew .

فضای هیلبرت با نرم یک فضای کامل است .

1-3 کیوبیت : کوچکترین واحد اطلاعات کلاسیکی بیت نام دارد که دو مقدار را می تواند داشته باشد.

واحد مربوطه در اطلاعات کوانتومی یک بیت کوانتومی یا کیوبیت می باشد که یک حالت را در ساده ترین سیستم کوانتومی توصیف می کند .

کوچکترین فضای هیلبرت دو بعدی است ، می توان پایه های راست هنجار این فضا را به صورت و در نظر گرفت.

در اینصورت حالت نرمالیزه کلی به صورت بیان می شود که و اعداد مختلط هستند و .

یک کیوبیت یک حالت در فضای هیلبرت دو بعدی است که در حالت کلی بصورت بالاست .

با اندازه گیری روی یک کیوبیت ، کیوبیت به یکی از حالتهای یا تصویر می شود .

حالت با احتمال و با احتمال بدست می آید .

نکته مهم اینست که اندازه گیری حالت سیستم را تغییر می دهد .

بعبارتی با یک اندازه گیری نمی توان حالت سیستم را بدست آورد.

چون پس از اندازه گیری سیستم در یکی از دو حالت یا است و حالت قبلی سیستم از بین رفته است .

برخلاف کیوبیت ، یک بیت کلاسیکی را به راحتی می توان اندازه گیری کرد، بدون اینکه حالت سیستم خراب شود و در واقع می توان تمام اطلاعات داخل یک بیت را خواند .

1-4 ماتریس چگالی : مکانیک کوانتومی در طی سالهایی که از تولد آن گذشته است ، به روشهای مختلفی فرمول بندی شده است .یکی از روشهای بیان مکانیک کوانتومی ، براساس روش ماتریس چگالی است.

این روش درمواردی که حالت یک سیستم کوانتومی بطور کامل مشخص نیست، ویا درمواردی که سیستم ما مرکب ازدو یا چند زیرسیستم است ، کارآیی زیادی دارد .

یک قضیه که ما دراینجا آنرا اثبات نمی کنیم ، بیان می کند که ، اپراتور را اپراتور چگالی گوییم اگر و فقط اگر ، دو شرط زیر را داشته باشد : 1) ماتریسی با رد واحد باشد .

یک اپراتور مثبت باشد .

توضیح اینکه ما در این بحث از اپراتور چگالی و ماتریس چگالی به یک مفهوم استفاده می کنیم.

وماتریس مثبت، ماتریسی است که ویژه مقادیر غیر منفی داشته باشد .

در بحث ماتریس چگالی ازآنسامبل حالتها استفاده می کنیم که می توان آنسامبل خالص، کاملا تصادفی و مخلوط را تعریف کرد.

اگرحالت سیستم کاملا مشخص باشد یک حالت خالص داریم: .

در غیر اینصورت یک حالت مخلوط داریم که مخلوطی از حالتهای خالص فوق است .ماتریس چگالی را بر حسب حالتهای سیستم به صورت زیر نشان می دهیم : (1-1) که درآن احتمال حضور در هر حالت خاص است و.

برای یک حالت خالص شرط را داریم در حالیکه برای یک حالت مخلوط می باشد .

1-4-1 عملگر چگالی تقلیل یافته : یکی ازمهمترین دلایل استفاده ازماتریس چگالی بعنوان ابزار ریاضی بیان مبحث درهم تنیدگی، اینست که می توان برای توصیف زیر سیستم های یک سیستم کوانتومی ازآن استفاده کرد.فرض کنید سیستم های فیزیکی A و B ، سیستم کلی را بسازند .

اپراتور چگالی تقلیل یافته برای سیستم A به صورت زیر تعریف می شود: (1-2) که در آن رد جزئی نسبت به زیر سیستم B است و به صورت زیر نوشته می شود: (1-3) که و دو بردار در فضای حالت Aو و دو برداردر فضای حالت B می باشند اپراتورtr که در سمت راست معادله ظاهر شده است ، اپراتور رد روی زیر سیستم B می باشد بطوریکه (1-4) 1-4-2 ترانهاده جزئی : برای هر ماتریس چگالی که روی فضای تعریف شده باشد ، عناصر ماتریسی آنرا می توان به صورت زیر نوشت : (1-5) که درآن و پایه های راست هنجار دلخواه در فضای هیلبرت هستند که به ترتیب زیر سیستم اول و دوم را توصیف می کنند .

ترانهاده جزئی نسبت به یکی از زیر سیستم ها (مثلا دومی ) به صورت زیر تعریف می شود .

(1-6) همانطوریکه ملاحظه می شود رد جزئی نسبت به زیر سیستم دوم ، فقط همان اندیسهای لاتین مربوط به زیرسیستم دوم را تغییر داده است .

و یا می توان این عمل را به صورت زیر نشان داد : (1-7) که در آن T عملگر ترانهاده است .

1-5 درهم تنیدگی و جداپذیری : پس از ذکر مقدمات لازم برای ورود به بحث ، حال به موضوع اصلی در این پایان نامه می پردازیم .

می خواهیم توصیف علمی و دقیقی از مفهوم جداپذیری و یا درهم تنیدگی یک حالت کوانتومی ارائه دهیم .

این موضوع برای حالتهای خالص بسیار ساده است : یک حالت خالص جداپذیر نامیده می شود اگر و فقط اگر بتوان آنرا به صورت نوشت و در غیر اینصورت درهم تنیده است .

بعنوان مثالی از یک حالت جداپذیر را می توان نام برد و مثال برای حالتهای در هم تنیده خالص ، حالتهای بل هستند .

(1-8) در مورد حالتهای مخلوط: یک حالت مخلوط جداپذیر است اگر توسط دو جزء که به طور سنتی آلیس و باب نامیده می شوند به یک روش کلاسیکی آماده شده باشد .ماتریس چگالی که به این روش تولید شده باشد تنها می تواند همبستگی های کلاسیکی داشته باشد .

به زبان ریاضی می توان گفت یک حالت مخلوط جداپذیر است اگرو فقط اگر بتوان آن را به صورت زیر نوشت : (1-9) و در غیر اینصورت در هم تنیده است .

در اینجا ها حالتهای مربوط به زیر سیستم اول (آلیس ) و ها حالتهای مربوط به زیر سیستم دوم ( باب ) می باشند و باید دقت کرد که در حالت کلی و همچنین حالتهای باب نیز لزوما راست هنجار نیستند.

و ضرایب احتمال ها هستند به طوری که و.

یک مثال از یک حالت جداپذیر مخلوط که همبستگی کلاسیکی دارد ولی همبستگی کوانتومی ندارد ماتریس چگالی می باشد .

مثالی از یک حالت در هم تنیده مخلوط یک حالت ورنر1 است که مخلوطی از یکی از حالتهای بل با ماتریس واحد می باشد .

(1-10) که درآن .

حد پایین p برای اینکه حالت ورنر در هم تنیده باشد از ملاکهای در هم تنیدگی بدست می آید .

فصل دوم ملاکهای تشخیص درهم تنیدگی دربخش(1-5) تعریف یک حالت جداپذیرو یک حالت درهم تنیده را ارائه دادیم .

برای تشخیص جداپذیری یا درهم تنیدگی ، پیدا کردن بسط (1-9) یا اثبات اینکه چنین بسطی برای ماتریس چگالی وجود ندارد ، برای تمام ماتریسهای چگالی کارآسانی نیست، به همین دلیل باید به دنبال روشهای دیگری برای تشخیص جداپذیری باشیم .

در این فصل به بیان چند ملاک مهم که برای تشخیص جداپذیری حالتها ارائه شده است می پردازیم .

ذکر این نکته ضروری است که ملاکهای بیان شده در این فصل تنها ملاکهای موجود برای تشخیص جداپذیری نیستند و در سالهای اخیر ملاکهای دیگری نیز ارائه شده است ولی این ملاکها ازمهم ترین و پرکاربرد ترین آنها می باشند .

معیارهای تشخیص جداپذیری حالتها ، برحسب کارآیی آنها به دو دسته عملیاتی و غیرعملیاتی تقسیم می شوند ، منظور از یک ملاک عملیاتی اینست که به راحتی می توان روی یک ماتریس چگالی به کار برد و بلافاصله یکی از جوابهای " درهم تنیده است" یا "جداپذیر است" و یا "این ملاک به اندازه کافی قوی نیست که در مورد جداپذیر بودن این حالت تصمیم بگیرد" ، را دریافت کرد .

حال به توصیف هریک از این معیارها می پردازیم .

لازم به ذکر است در تمام موارد سیستم مورد بحث یک سیستم دو جزئی است .

2-1 میعارهای عملیاتی : 2-1-1 معیار پرس 1 : پرس در سال 1996 با استفاده از مفهوم ترانهاده جزئی یک ملاک برای تشخیص جداپذیری حالتها ارائه داد ] [Per 96 .

وی نشان داد که برای یک سیستم دو جزئی ، ترانهاده جزئی یک حالت جداپذیر نسبت به هریک از زیر سیستم های آن مثبت است .

برای یک حالت جداپذیر دو جزئی ماتریس چگالی به صورت زیر نوشته می شود : (2-1) که در آن ها احتمال هستند و .

حال اگر نسبت به یکی از زیر سیستم ها مثلا زیر سیستم اول )آلیس (عمل ترا نهاده جزئی را انجام دهیم ، داریم : (2-2) از آنجا که باز هم ماتریس چگالی برای آلیس می باشد، می توان نتیجه گرفت که یک ماتریس مثبت است یعنی .

همین نتیجه را برای ترانهاده نسبت به زیر سیستم دوم (باب ) نیز می توان بدست آورد] Bru01 [.

شرط پرس یک معیارکارآ و قابل اجرا بدست می دهد، ولی همانطوریکه ملاحظه می شود این شرط تنها یک شرط لازم است.

بلافاصله پس از ارائه این شرط توسط پرس، هرودوسکی 1ها HHH96] [ نشان دادند که این شرط در مورد سیستم های های دو جزئی فقط در ابعاد 2×2و 3×2 به شرط لازم و کافی تبدیل می شود .

بعبارت دیگر در ابعاد 2×2و3×2 مثبت بودن ترانهاده جزئی ، شرط لازم و کافی برای جداپذیری است .

ولی در ابعاد بالاتر این شرط تنها یک شرط لازم می باشد، یعنی حالتهای درهم تنیده با ترانهاده جزئی مثبت نیز وجود دارند ] H97 .

[به این حالتها ، حالتهای درهم تنیده مقید گفته می شود .

به عنوان مثالی ازکابرد شرط پرس، یک سیستم کوانتومی3×3 را به صورت زیر در نظر می گیریم ] HH99 [ (2-3) که در آن (2-4) (2-5) می باشند ودر روابط فوق و پایه های استاندارد در فضای هیلبرت سه بعدی و I ماتریس واحد در این فضا می باشد.

به راحتی می توان نشان داد که ماتریس ترا نهاده جزئی یک ویژه مقدارمنفی دارد .

بنابراین با توجه به شرط پرس، می توان با قطعیت گفت که این حالت، درهم تنیده است .

اکنون حالت زیر را در نظر می گیریم : (2-6) ملاحظه می شود که جداپذیراست .

حال حالت زیر را از دو حالت فوق می سازیم : (2-7) ماتریس چگالی فوق و ترا نهاده جزئی آن به صورت زیر می باشند: (2-8) (2-9) به راحتی می توان نشان داد که تمام ویژه مقادیر مثبت هستند، پس این حالت شرط لازم برای جداپذیری را دارد ولی از آنجا که شرط پرس در مورد ابعاد به جز 2×2و3×2 تنها یک شرط لازم است ، در مورد جداپذیر بودن یا درهم تنیده بودن این حالت با استفاده از شرط پرس ، نمی توان نظر داد .

در ] HH99 [نشان داده شده است که این حالت یک حالت درهم تنیده است .

به چنین حالتهای در هم تنیده ای که ترا نهاده جزئی مثبت دارند ، حالتهای درهم تنیده مقید گفته می شود .

2-1-2 معیار تقلیل یافتگی : بر طبق این معیار ] HH99 [ اگر جداپذیر باشد ، در اینصورت : (2-10) که در آن و به ترتیب ماتریسهای چگالی تقلیل یافته مربوط به آلیس و باب می باشنى و I ماتریس همانی با ابعاد مناسب است .

علت مثبت بودن عبارات فوق را در بخش نگاشت مثبت خواهیم دید .

بعنوان مثال ، ماتریس چگالی (2-3) را در نظر می گیریم ، ماتریس چگالی تقلیل یافته مربوط به زیر سیستم A عبارتست از : (2-11) (2-12) ماتریس فوق یک ویژه مقدار منفی دارد و بعلت وجود این ویژه مقدار, شرط تقلیل یافتگی برقرار نیست.

بنابراین با قطعیت می توان گفت این حالت کوانتومی درهم تنیده است.

حال ماتریس چگالی (2-7) را در نظر می گیریم, برای این حالت ماتریس چگالی تقلیل یافته عبارتست از : (2-13) (2-14) با بدست آوردن ویژه مقادیراین ماتریس و با توجه به شرط ملاحظه می شود که تمام ویژه مقادیر ماتریس مثبت می باشند.

بنابراین شرط تقلیل یافتگی برقرار است, به عبارتی حالت فوق شرط لازم برای جداپذیری را دارد.

ولی از آنجا که ملاک فوق تنها شرط لازم است با قطعیت نمی توان در مورد جداپذیری حالت فوق نظر دارد.

از طرفی می دانیم درهم تنیده است, پس معیار تقلیل یافتگی نیز همانند شرط پرس نمی تواند در هم تنیدگی این حالت را مشخص کند.

اگر مقایسه ای بین معیار پرس و معیار تقلیل یافتگی انجام دهیم [Bru01] , در می یابیم که هر دو معیار برای حالتهای با ابعاد 2×2 و 3×2 یکی هستند.

بعبارت دیگر برای ابعاد 2×2 و 3×2 ملاک تقلیل یافتگی نیز مانند معیار پرس یک شرط لازم و کافی است, ولی در ابعاد بالاتر , تنها یک شرط لازم است.

در ابعاد بالاتر هر حالتی که معیار پرس را نقض کند, باید معیار تقلیل یافتگی را نیز نقض کند, بنابراین معیار تقلیل یافتگی قوی تر از معیار پرس نیست.

2-1-3 معیار تفوق : برای بیان معیار تفوق, ابتدا مفهوم تفوق را توضیح می دهیم.

فرض کنید و دو بردار حقیقی d بعدی باشند.

اگر مولفه های یک بردار را از بزرگ به کوچک مرتب کنیم, می توانیم این نظم را با علامت نشان دهیم .

بنابراین اگر داشته باشیم: (2-15) دراین صورت است.

می گوییم یا y برx تفوق دارد اگر (2-16) که درآن است.

زمانی که باشد, نامساوی به مساوی تبدیل می شود.

بر طبق معیار تفوق که توسط نیلسن و کمپ1 ارائه شد] NK00 [اگر جداپذیر باشد, خواهیم داشت: (2-17) که در آن , و به ترتیب بردارهای متشکل از ویژه مقادیر ماتریس چگالی کل و ماتریسهای چگالی تقلیل یافته می باشند که به تریب نزولی مرتب شده اند برای اینکه و با ابعاد یکسان داشته باشند ویژه مقادیر صفر را به این دو بردار اضافه می کنیم .

بنابراین بطور خلاصه, برای یک حالت جداپذیر بردارهای مرتب شده ویژه مقادیر ماتریس های چگالی تقلیل یافته بر بردار مربوط به ویژه مقادیر ماتریس چگالی کل تفوق دارند.

بعنوان مثال, حالت کوانتومی (2-3) را دوباره درنظر می گیریم.

ویژه مقادیر ماتریس چگالی و ماتریسهای چگالی تقلیل یافته و عبارتند از : شرط تفوق را بررسی می کنیم : با بررسی عبارت فوق در می یابیم که این نامساوی همواره برقرارمی باشد.

یعنی شرط تفوق که شرط لازم برای جداپذیری است, برقرار است.

در صورتی که دیدیم معیار تقلیل یافتگی و شرط پرس درهم تنیدگی این حالت را که آشکارا در هم تنیده است , تایید کردند.

بنابراین معیار فوق برای تشخیص در هم تنیدگی این سیستم 3×3 ضعیف تر از شرط پرس و معیار تقلیل یافتگی عمل کرده است.

2-1-4 معیار هم ترازی: پس از اینکه موضوع درهم تنیدگی و حالتهای درهم تنیده و به تبع آن تشخیص حالتهای جداپذیر و در هم تنیده, در سالهای اخیر اهمیت پیدا کرد, تا همین اواخر تنها ملاک کاربردی برای تشخیص جداپذیری حالتها, معیار پرس و تا حدودی معیار تقلیل یافتگی و تفوق بود, تا اینکه درسال 2002 چن و وو1 ] CW02 [و رودلف2 ] Rud02 [به بیان دیگر ملاکی را ارائه دادند که بسیار محاسباتی و آسان تر است.

این ملاک از ملاک پرس مستقل است و قدرت آن به اندازه ای است که درهم تنیدگی تقریباً تمام حالتهای شناخته شده را نشان می دهد بخصوص درمورد حالتهایی که ملاک پرس کارآیی ندارد (حالتهای در هم تنیده مقید) به خوبی کاربرد دارد.

ابزاراصلی این روش علاوه بر نتایجی که از آنالیز ماتریسی [HJ91] مورد استفاده قرار می گیرد, تکنیکی است که توسط لون وپیتسیانیس 3 LP 93] [ برای تقریب ضرب کرونکر یک ماتریس ارائه شده است.

برای بیان این ملاک, ابتدا نیاز به معرفی بعضی نمادگذاری ها و تعاریف داریم.

تعریف: برای یک ماتریس A با ابعاد n×m بردار vec(A) را به صورت زیر تعریف می کنیم: (2-18) که درآن ها عناصر ماتریس A می باشند.

برای یک ماتریس بلوکه ای Z با m بلوک n×n , ماتریس هم ترازشده را که به ابعاد است و شامل همان عناصر Z می باشد و فقط جای عناصر آن تغییر کرده تعریف می کنیم : (2-19) تجزیه مقدار تکینه برای به صورت زیر است: (2-20) که درآنو ماتریسهای یکانی هستند و یک ماتریس قطری با عناصر و می باشد.

در حقیقت تعداد مقدارهای تکینه غیرصفر را مرتبه ماتریس گویند و ها, جذر نامنفی ویژه مقادیر یا می باشند.

از این رو برای هر ماتریس چگالی معین, می توان یک نسخه هم ترازشده به آن وابسته کرد.

برای مثال ماتریس چگالی دو جزئی 2×2 به شکل زیر تبدیل می شود.

(2-21) با این تعاریف, قضیه زیر را به عنوان شرط لازم برای جداپذیری بیان می کنیم.

قضیه: اگر یک ماتریس چگالی دو جزئی به ابعاد (mn×mn) جداپذیر باشد, در این صورت برای ماتریس به ابعاد , نرم کی فن که به صورت که مجموع تمام مقادیر تکیه است, باید از 1 کوچکتر باشد یا به طور معادل .

این قضیه در مورد حالتهای خالص, به نتیجه قوی تر زیر منتهی می شود: یک حالت خالص دوجزئی جداپذیر است, اگر و فقط اگر یک مقدار تکینه منحصر به فرد 1 داشته باشد.

به طور خلاصه برای استفاده از این ملاک برای تشخیص جداپذیری, کافیست ماتریس چگالی را دوباره مرتب کنیم و مجموع مقادیر تکینه آن را با عدد 1 مقایسه کنیم .

همانطوری که گفته شده این ملاک به اندازه کافی قوی هست که در هم تنیدگی حالتها را حتی در مواردی که ملاک PPT شکست می خورد (حالتهای در هم تنیده مقید) نشان بدهد.

برای روشن شدن مطلب, ماتریس چگالی (2-7) را که در قسمت (2-1-1) بررسی کردیم را در نظر می گیریم.

همانطوریکه ملاحظه شد با اینکه می دانیم این حالت, یک حالت در هم تنیده است از آنجا که ترانها ده جزئی آن مثبت است, با شرط پرس نمی توان در مورد جداپذیری آن نظر داد.

در حالی که اگر همین ماتریس چگالی را با روش هم ترازی بررسی کنیم, به راحتی در هم تنیدگی آن مشخص می شود.

ماتریس عبارت است از : (2-8) ماتریس هم ترازشده عبارتست از : با محاسبه تجزیه مقدار تکینه برای این ماتریس ملاحظه می شود که و در نتیجه حالت مورد نظر درهم تنیده است.

به یاد داریم که درهم تنیدگی این حالت بوسیله معیارهای دیگر قابل تشخیص نبود و این قدرت و کارآیی این معیار را نشان می دهد.

2-2 معیارهای غیرعملیاتی : 2-2-1 معیار نگاشت مثبت : این معیار بیان می کند ] HH96 [که جداپذیر است اگر و فقط اگر برای هر نگاشت مثبت داشته باشیم : (2-23) یک نگاشت مثبت, نگاشتی است که عملگرهای مثبت را به عملگرهای مثبت تصویر می کند.

یک نگاشت مثبت, کاملا مثبت (CP) نامیده می شود اگر هر گسترش به یک فضای هلیبرت بزرگتر نیز یک نگاشت مثبت باشد.

در اینجا x بعد آن گسترش را نشان میدهد و یک عدد اختیاری است.

از رابطه (2-23) واضح است که از آنجا که برای نگاشت های کاملاً مثبت رابطه فوق همواره برقرار است, برای تشخیص جداپذیری حالتها, تنها نگاشت های مثبتی مورد توجه هستند که کاملاً مثبت نباشند, گفته می شود نگاشت های CP در هم تنیدگی را احساس نمی کنند.

در قسمت های قبل دو مثال از نگاشت های مثبتی که CP نیستند را بررسی کرده ایم که با استفاده از آنها ملاکی برای تشخیص در هم تنیدگی حالتها ارائه شد.

این نگاشتها عبارت بودند از ترانهاده و نگاشت .

علت اینکه چرا رابطه (2-23) برای حالتهای جداپذیر برقرار می ماند را با استفاده از این واقعیت توضیح می دهیم که یک حالت جداپذیر را می توان به صورت مجموعی از حاصلضرب های تانسوری حالتهای زیر سیستم های آن نوشت.

اعمال یک نگاشت مثبت به هر یک از زیر سیستم ها, هر جمله را مثبت نگاه می دارد و در نتیجه مجموع کل نیز مثبت می ماند.

مشکل استفاده از این معیار که آن را در رده ملاکهای غیر عملیاتی قرار داده است, در واژه " هر" نگاشت مثبت می باشد.

زیرا نمی توانیم مجموعه تمامی نگاشت های مثبت را به طور کامل مشخص کنیم.

اما واضح است که اگر برای یک حالت کوانتومی, نگاشت مثبت ای وجود داشته باشد, بطوریکه مثبت نباشد, آنگاه طبق قضیه بالا, آن حالت درهم تنیده خواهد بود.

2-2-2 معیار گواه های در هم تنیدگی: بر طبق این معیار] HHH96,Ter00 [ , ماتریس چگالی درهم تنیده است اگر و فقط اگر یک عمگلر هرمیتی W وجود داشته باشد, بطوریکه باشد.

از طرف دیگر برای هر و به ازاء هر W, می باشد.

گفته میشود گواه W در هم تنیدگی را آشکار می کند.

فصل سوم مقیاس های درهم تنیدگی از آنجا که درهم تنیدگی در بسیاری ازفرآیندها بعنوان منبع کاربرد دارد (درست مانند انرژی ) ، بسیار ضروری به نظر می رسد که بدنبال روشی برای کمی کردن آن باشیم تا با انتخاب زوجهای با درجه درهم تنیدگی بالاتر ، نتیجه بهتری از فرآیند مورد نظر بگیریم .

روشهای متعددی برای تعیین میزان درهم تنیدگی زوجها ، ابداع شده است که در اینجا به ذکر مهمترین این روشها می پردازیم .

و در انتها یک روش جدید برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی سیستم کیوبیت-کیوتریت بدست می آو ریم.

3-1 آنتروپی فون نیومن: برای یک آنسامبل ، میزان آمیختگی حالتها را می توان با استفاده از آنتروپی فون نیومن که به صورت زیر تعریف می شود محاسبه کرد : (3-1) که درآن لگاریتم در مبنای 2 محاسبه می شودز رابطه فوق را به سادگی می توان با استفاده ازویژه مقادیر غیر صفر , ها محاسبه کرد (3-2) آنتروپی فون نیومن در واقع تعمیم کوانتومی آنتروپی شنون در اطلاعات کلاسیکی است .

در سال 1996 ، بنت و همکارانش ] BBP+96 [ پیشنهاد دادند که آنتروپی فون نیومن هریک از سیستم های یک سیستم مرکب ، مقیاس خوبی برای تعیین میزان درهم تنیدگی آن حالت مرکب است .به همین دلیل آنتروپی فون نیومن کاهش یافته ، به نام آنتروپی درهم تنیدگی نیز نامیده می شود .

(3-3) که درآن و ماتریسهای چگالی تقلیل یافته سیستم دو جزئی می باشند .

برای یک حالت جداپذیر و برای حالت کاملا درهم تنیده است .

این مقیاس برای حالتهای خالص یک مقیاس بسیار کارآ و آسان است ، در حالیکه برای حالتهای مخلوط با شکل مواجه می شود .

3-2 مقیاس درهم تنیدگی قابل تقطیر و مقیاس هزینه درهم تنیدگی : در نظریه اطلاعات کوانتومی برای ارتباط بهتر بین دو شخص به حالتهای کاملا درهم تنیده نیاز داریم .

ولی می دانیم وجود عوامل خارجی باعث کاهش میزان درهم تنیدگی سیستم می شود .

بنابراین به روشی نیاز داریم که بتوانیم از یک حالت مفروض ، یک حالت کاملا درهم تنیده استخراج کنیم .

فرآیندی را که طی آن از یک حالت در هم تنیده به حالت با بیشترین درهم تنیدگی می رسیم، تقطیر می نامیم.

همه حالتهای کوانتومی قابل تقطیر نیستند ولی ثابت شده است ] HHH97 [ که تمام حالتهای دو کیوبیتی درهم تنیده قابل تقطیرند .

شرط لازم و کافی برای آنکه یک حالت کوانتومی قابل تقطیر باشد اینست که آن حالت بتواند معیار جداپذیری پرس را نقض کند ] HHH 98 [.

بعبارت دیگر حالتهای درهم تنیده آزاد که ترانهاده جزئی منفی دارند قابل تقطیر می باشند، در حالیکه حالتهای در هم تنیده مقید (حالتهای در هم تنیده با ترانهاده جزئی مثبت ) قابل تقطیر نیستند .

دو مقیاس درهم تنیدگی قابل تقطیر و مقیاس هزینه درهم تنیدگی با توجه به مفاهیم فوق به صورت زیر تعریف می شوند ] BBPS 96 [ : مقیاس درهم تنیدگی قابل تقطیر به صورت ماکزیمم تعداد حالتهای بل استخراج شده با بهینه سازی روی تمام پروتکل های LOCC از یک حالت مفروض تعریف می شود .

مقیاس درهم تنیدگی عبارتست از تعداد مینمیم حالتهای بل مورد نیاز برای ایجاد یک حالت مفروض با استفاده از LOCC.

ملاحظه می شود که این دو مقیاس دوگان یکدیگر می باشند.

متاسفانه محاسبه میزان درهم تنیدگی با این روش حتی برای حالتهای خالص به سختی انجام می شود .

اما آنچه به طور شهودی واضح است اینست که : (3-4) چون در غیراینصورت می توانستیم با استفاده از LOCC ، از طریق تبدیل حالتهای بل به حالتهایی که رابطه فوق را برآورده نمی کنند و سپس با تقطیر آن حالتها ، مقداری درهم تنیدگی ایجاد کنیم .

مقادیر حدی درهم تنیدگی قابل تقطیر و هزینه درهم تنیدگی را به صورت زیر تعریف می کنیم .

(3-5) (3-6) در این شرایط می توان نشان داد ] BBPS 96 [ که هردو درهم تنیدگی قبل تقطیر و هزینه درهم تنیدگی قبل تقطیر و هزینه درهم تنیدگی با آنتروپی درهم تنیدگی مساوی هستند .

(3-6) 3-3 در هم تنیدگی ساختار : درهم تنیدگی ساختار از نظر تاریخی، اولین مقیاس درهم تنیدگی است که ارائه شده است ] BDSW96 [.درهم تنیدگی ساختار] Woo98,Woo01,HW97 [ تعمیم مقیاس آنتروپی درهم تنیدگی برای حالتهای مخلوط می باشد.

درهم تنیدگی ساختار برای یک آنسامبل متشکل از حالتهای خالص عبارت است از: میانگین آنتروپی درهم تنیدگی این حالتهای خالص.

اما از آنجا که ماتریس چگالی یک سیستم می تواند به صورتهای مختلفی از مجموعه ای از حالتهای خالص ساخته شود ، درهم تنیدگی ساختار با مینمیم سازی روی همه آسنامبل هایی که را می سازند تعریف می شود :