دانلود مقاله مثلث های رلو

مثلث های رلو :
برای جابجا کردن یک جسم از چهار چرخه استفاده می کنیم ولی اگر جسم سنگین باشد ممکنست محور چرخها در اثر سنگینی جسم کج شده و یا بشکند.

همانطور که اغلب دیده ایم برای حرکت دادن چنین اجسامی سنگینی بهتر است چند غلتک استوانه ای شکل (مثل لوله یا میله گرد قطور) را به موازات یکدیگر روی زمین قرار دهیم ، سپس یک صفحه محکم مسطح روی آنها بگذاریم و بعد جسم سنگین را روی این صفحه منتقل نمائیم ، با هل دادن این دستگاه ، صفحه با بارش روی استوانه ها غلتیده و به جلو خواهد رفت .

ضمن حرکت باید هر یکاز استوانه ها را که به ترتیب از عقب دستگاه خارج می شوند برداشته و مجداَ در جلو صفحه روی زمین قرار دهیم .

اگر زمینی که دستگاه روی آن حرکت می کند مسطح باشد ، جسم بدون تکان و به محاذات خود خواهد رفت .

علت حرکت بدون تکان جسم اینست که مقطع استوانه ای چرخنده دایره است و دایره نیز به اصطلاح ریاضیدانان یک منحنی مسدود متساوی العرض می باشد که در نتیجه فاصله بین صفحه زیر جسم و زمین همیشه ثابت
می ماند .

اگر یک منحنی مسدود محدب رابین دو خط موازی محاط می کنیم به
طوریکه دو خط با دو سمت متقابل منحنی تماس حاصل می کنند ، فاصله بین دو خط موازی را عرض منحنی در جهت مفروض نامند .

طبق تعریف بالا یک بیضی دارای عرضهای مختلف در جهات مختلف می باشد و بر خلاف دایره ، متساوی العرض نیست .

حال اگر جسمی را روی تعدادی استوانه های بیضی القاعده قرار دهیم مسلماً به طور افقی حرکت نخواهد کرد و دایماً بالا و پایین خواهد جهید ، در حالیکه حرکت هموار همین جسم روی استوانه های با قاعده دایره بدین دلیل است که دایره دارای عرضهای مساوی در جهات مختلف می باشد و می توان آنرا بین دو خط موازی (یا دوصفحه موازی) چرخاند بدون اینکه لازم باشد
فاصله بین خطوط (و یا صفحات) را تغییر دهیم .

غالباً تصور می شود کهدایره تنها شکل هندسی است که در کلیه جهات متساوی العرض می باشد ، در حالیکه تعداد چنین منحنی هایی نامحدود بوده و هر یک از آنها می توانند به عنوان مقطعی از غلتکهای زیر جسم به کار روند و جسم را با نرمی و همواری به جلو رانند .

این خود نمونه مثال کاملی است که نشان می دهد چگونه ممکنست تصورات ظاهری یک ریاضیدان باعث گمراهی و انحراف او گردد .

عدم اطلاع و شناخت چنین منحنی هایی نتایج اسف انگیزی در صنعت به بار می آورد ، بطور نمونه ممکنست در موقع ساختن یک زیربنای دریایی مدور ، فقط قطر مقاطع‌آنرا در جهات مختلف اندازه گرفته و کنترل کنیم .

در حالیکه به سهولت مشاهده می شود بدنه چنین زیردریایی دارای ناهمواری های زیادی خواهد بود و هر چه با کنترل اقطار آن بخواهیم ناهمواریها را برطرف کنیم موفق نمی شویم .

به همین دلیل است که کنترل مقاطع مختلف یک زیردریایی و یا سایر صنایع دقیق را توسط قالبها و قواره های مخصوص (Tamplate) انجام می دهند .

ساده ترین منحنی غیر مدور متساوی العرض ، مثلث رلو می باشد که به نام ریاضیدان و استاد دانشکده فنی برلین ، مهندس فرانس رلو نامیده شده است ، ریاضیدانان قبل نیز این منحنی را می شناختند ولی اولین کسی که به خاصیت متساوی العرض بودن آن پی برد رلو بود .

ترسیم وساختن منحنی رلو ساده و به شکل زیر است :
مثلث متساوی الاضلاع دلخواه ABC را رسم کنید (شکل 16) به مرکز A و شعاع AB ، قوس BC را بکشید و به همین ترتیب دو قوس دیگر را رسم کنید .

واضح است که مثلث منحنی الاضلاح (نامی که رلو روی آن گذاشته ) مذکور دارای عرضه های ثابت در جهات مختلف بوده و اندازه آنها مساوی ضلع مثلث داخلی می باشند .

اگر یک منحنی متساوی العرض را در داخل دو جفت خطوط موازی عمود به یکدیگر محاط می کنیم ، خطوط محیطی یک مربع را تشکیل خواهند داد که اضلاع آن در همه حالات بر منحنی مفروض مماس خواهند بود .

مثلث رلو شبیه یک دایره و یا سایر منحنیهای متساوی العرض می تواند به سهولت در داخل چنین مربعی بچرخند و در همه حال تماس خود را با اضلاع مربع حفظ کند (شکل 17) .

اگر خواننده یک مثلث رلو را روی یک مقوا کشیده و آنرا قیچی کند و در داخل یک سوراخ مربع شکل مناسب که روی مقوای دیکری در آورده است بچرخاند صحت گفته ما را تصدیق خواهد کرد .

در موقع چرخش مثلث رلو در داخل مربع ، نوک هر یک از گوشه های مثلث تقریباً مسیراضلاع مربع را طی می کنند و فقط در گوشه های مربع یک انحنای کوچک ایجاد می شود .

مثلث رلو موارد استعمال زیادی در صنعت دارد ولی عجیب ترین آنها ابزاریست که با استفاده از خاصیت مذکور ساخته شده است .

در سال 1914 مهندس هاری جمس وات انگلیسی بر مبنای خواص مثلث رلو مته دواری اختراع کرد که سوراخ چهارگوش بیرون می آورد !

و تا سال 1916 این مته عجحیب فقط در کارخانه ابزارسازی برادران وات ساخته می شد .

در یکی از کاتالوگهای این مته چنین نوشته شده است : «درست است که اگر کسی درباره لگن پوستی و یا موز چدنی صحبت کند می دانیم که قصد شوخی دارد ولی حالا ما بدون شوخی مته ای را به شما نشان می دهیم که سوراخ چهارگوش در می آورد .

» چنین دستگاهی در شکل 18 نشان داده شده است .

شکل 19 مقطع مته را نشان می دهد که در ضمن چرخیدن سوراخ مربع ایجاد می کند ، طرز کار آن بدین ترتیب است که‌: اول یک صفحه فلزی به سوراخ روی جسمی که باید سوراخ شود گذاشته می شود .

وقتی که مته در داخل سوراخ نامبرده شروع به چرخش کند ، گوشه های مته یک سوراخ مربع در داخل جسم به وجود می آورد .

همانطور که مشاهده می شود شکل کلی مقطع مته یک مثلث رلو می باشد که فقط در سه محل آن بریدگیهایی برای ایجاد لبه های تیز به وجود آمده تا بتواند عمل تراشیدن را انجام دهد .

چون محور مته در موقع چرخش تغییر مکان می دهد لازم است که نگهدارنده مته به شکلی ساخته شود تا اجازه چنین حرکت خارج از مرکزی به مته داده شود .

این عمل نیز توسط مکانیسمی در داخل نگهدارنده انجام می گیرد .

که حق ساختن آن در انحصار شرکت سازنده آن است و برای اطلاع بیشتر از مکانیسم آن می توان به کاتالوگها و دفترچه مشخصات فنی این مته مراجعه کرد .

مثلث رلو منحنی مسدود ممتساوی العرضی است که با عرض مفروض n در بین سایر اشکال دارای کمترین مساحت می باشد (مساحت آن مساوی است با و همچنین هر یک از زوایای رئوس آن 120 درجه می باشد که کوچکترین زاویه ممکنه برای چنین منحنی می باشد .

اگر اضلاع مثلث متساوی الاضلاع داخلی را از هر طرف به طور مساوی امتداددهیم می توانیم گوشه های مثلث رلورا گردتر کرده و از تیزی آن بکاهیم (مطابق شکل 20 ) به مرکز A و دو شعاع AD و AG دو قوس DI و GF را رسم می کنیم و این عمل را برای سایر گوشه ها تکرار می کنیم ، عرض منحنی حاصله در جمیع جهات مساوی و برابر با مجموع دو شعاع نامبرده یعنی DG خواهد بود .

و بدین صورت یک منحنی متساوی العرض با گوشه های گرد به دست خواهیم آورد .

همان اعمالی که درباره مثلث متساوی الاضلاع انجام دادیم می توانیم درباره یک پنج ضلعی منتظم (و یا هر کثیر الاضلاع منتظم دیگری که تعداد اضلاع آن فرد باشد ) تکرار کنیم و منحنی های متساوی العرض متقارن دیگری به دست آوریم .

برای رسم منحنیهای متساوی العرض نامتقارن طرق مختلفه ای وجود دارد .

یک نوع آن ترسیم به وسیله ستاره های چندپر نامنظم (با تعداد پره های فرد ) است که نمونه ای از ان ستاره هفت پر شکل 21 می باشد .

به این نکته باید توجه داشت که تمام پاره خطهایی که ستاره را تشکیل می دهند باید با یکدیگر مساوی باشند .

اگر به مرکز هر یک از نوکهای پره های ستاره ، دو نوک تقابل را باقوسی به یکدیگر وصل کنیم چون شعاع تمام قوسها مساوی است ، منحنی حاصله (منحنی داخلی شکل 21) متساوی العرض خواهد بود .

با روشی که قبلاً ذکر شد می توانیم گوشه های تیز این منحنی را گرد کنیم .

کافی است که هر یک از پاره خطهای ستاره را به یک اندازه از دو طرف امتداد دهیم (خطوط خط چین) و انتهای آنها را با قوسهایی به مرکز نوک ستاره ها به یکدیگر متصل نماییم ، منحنی با گوشه های مدور حاصله (منحنی خارجی شکل 21) نیز متساوی العرض خواهد بود .

شکل 22 طریقه ترسیم دیگری را بیان می کند بدین نحو که هر چند خط مستقیم میل دارید رسم کنید به طوری که به ترتیب هر یک دیگری را قطع کند.

هر قوسی که رسم می کنید باید به دو خط متقاطع محدود شود و مرکز قوس مفروش نیز محل تقاطع آن دو خط باشد .

به روش ساده تر چنین می توان عمل کرد که مثلاً دو خط متقاطع A و‌ B رسم کنید ، به مرکز تقاطع A و B و شعاع دلخواه در یکی از زوایای حاده این دو خط قوسی رسم کنید ، سپس خط C را متقاطع B بکشید ، به مرکز تقاطع B و C قوس دیگری در امتداد قوس قبلی بین خطوط B و C رسم کنید .

بالاخره خط N را که متقاطع خط A باشد رسم کنید .

و به مرکز تقاطع A و N قوس دیگری در امتداد قوسهای قبلی بین خطوط A و‌N رسم کنید .

اکنون نیمی از منحنی رسم شده است ، برای تکمیل آن به ترتیب به مراکز قبلی قوسهای متقابل را در دنباله قوسهای قبل بزنید ، اگر این عمل را با دقت انجام دهید منحنی بسته خواهد شد و عرض آن در تمام جهات مساوی خواهد بود .

(اثبات بسته شدن منحنی و متساوی العرض بودن ان خیلی ساده و شیرین است .

اگر خواننده خواسته باشد می تواندمدتی از وقت خود را به اثبات این سرگرمی جالب مشغول بدارد).

لازم نیست که هر منحنی متساوی العرضی حتما از مجموع قوسهای دایره ترکیب شده باشد ، بلکه می توانید یک منحنی محدب دلخواهی را در داخل یک مربع بکشید به طوری که از یک نقطه در ضلع بالای مربع شروع شده وپس از تماس با ضلع چپ تا نقطه قرینه شروع منحنی و تا ضلع پایین امتداد پیدا کند (قوس ABC شکل 23 ) این منحنی قسمت چپ یک منحنی متساوی العرض خواهد بود .

برای پیدا کردن قسمت راست آن کافیست خطوط بیشماری که هر یک موازی با مماس منحنی باشند رسم کنیم به طوری که فاصله این خوط با خطوط موازی مماس آنها مساوی ضلع مربع باشد .

این عمل را می توانیم با دو لبه یک خط کش به سهولت انجام دهیم .

عرض چنین خط کشی باید مساوی ضلع مربع باشد .

یک لبه خط کش را طوری قرار می دهیم که بر یکی از نقاط قوس ABC مماس باشد و از لبه دیگر خط کش برای کشیدن خط موازی استفاده می کنیم .

این عمل را در تمام نقاط منحنی از ابتدا تا انتها ادامه می دهیم .

نصف راست منحنی مفروض پوش این خطوط خواهد بود .

بدینوسیله می توانیم هر نوع منحنی مسدود متساوی العرض دلخواهی به دست آوریم .

لازمست توضیح داده شود که قوس ABC نمی تواند کاملاً اختیاری باشد .

به طور اجمال می توان گفت که خمیدگی و انحنای قوس در هر نقطه نباید کمتر از انحنای دایره ای به شعاع ضلع مربع باشد .

مثلاً نمی تواند در هیچ نقطه ای دارای پاره خط مستقیم باشد .

اگر شما در کارهای نجاری مهارت دارید ، می توانید برای تفریح چند غلتک استوانه ای بسازید که مقطع آنها منحنی متساوی العرض مختلف الشکل ولی هم عرض باشد .

هر گاه یک کتاب بزرگ روی آن قرار دهید و کتاب را حرکت دهید .

اغلب کسانی که آنرا مشاهده می کنند ، از اینکه می بینند کگتاب بدون تکان و پایین و بالا رفتن ، به طور یکنواخت روی این غلتکهای جوراجور حرکت می کند تعجب خواهند کرد .

طریق دیگر برای نشان دادن خاصیت چنین منحنیهایی اینست که از مقوا دو قطعه منحنی متساوی العرض مختلف الشکل که عرض هر دو به یک اندازه باشد بریده و آنها را به دو سمت یک گرده چوب نازک به طول تقریباً 15 سانتی متر میخ کنید .

لازم نیست که محل میخ کوبی در جایی که حدس می زنید مرکز منحنی است باشد ، بلکه هر جا که میل داشتید میخ را بکوبید .

یک جعبه توخالی سبک به طول بیش از 15 سانتیمتر را روی آنها قرار دهید به طوریکه با مقواهای متساوی العرض تماس داشته باشد .

جعبه را جلو و عقب ببرید ، دوسر گرده چوب به طور ناموزونی بالا و پایین می رود در حالی که جعبه به طور افقی و بدون تکان مثل اینکه روی دو چرخ دایره شکل بغلتد حرکت می کند .

درباره خواص منحنیهای متساوی العرض مطالعات زیادی به عمل آمده .

یکی از خواص جالب آنها (که اثباتش به این سادگیها هم نیست ) اینست که طول محیط کلیه منحنیهای متساوی العرض مختلف الشکل که دارای عرض ثابت n باشندبا یکدیگر مساویست و چون دایره نیز خود یک منحنی متساوی العرض است بنابراین محیط هر منحنی متساوی العرضی با عرض n مساوی یعنی مساوی محیط دایره ای با قطر n می باشد .

در مقام مقایسه با منحنیهای متساوی العرض ، اجسام سه بعدی متساوی العرض می باشند .

می دانیم کره حجمی است که می تواند در داخل یک مکعب بچرخد در حالی که همیشه با شش وجه مکعب تماس داشته باشد .

ولی این خاصیت تنها منحصر به کره نیست بلکه سایر اجسام متساوی العرض نیز چنین خاصیتی دارند .

تعداد اجسام متساوی العرض نیز نامحدود است .

یکی از آنها حجمی است که از دوران مثلث رلو یکی از محورهای تقارنش به دست می آید (تصویر سمت چپ شکل 24) .

نوع دیگر آن حجمی است که از مقایسه با مثلث رلو ، به وسیله چهاروجهی منتظم ساخته می شود.

چنین حجمی نیز در بین سایر حجم های به عرض مساوی n دارای کمترین حجم می باشد .

برای ساختن آن (مشابه با روش مثلث رلو ) بر هر یک از چهار وجه یک چهار وجهی منتظم ، چهار عرقچین کروی به شعاع یال چهار وجهی قرار می دهیم .

البته باید متوجه بود که عرقچینها کامل نبوده بلکه در سه لبه هر کدام تغییراتی حادث می شود ، تصویر سمت راست شکل 24 یک نمونه از چهاروجهی متساوی العرض را نشان می دهد .

چنانکه دیدیم کلیه منحنیهای متساوی العرضی که عرض همه آنها برابر یکدیگر باشد ، محیطشان نیز برابر است لذا چنین به نظر می آید که تمام اجسام متساوی العرضی که دارای عرضهای مساوی هستند نیز باید دارای سطح جانبی مساوی باشند .

در حالی که چنین نیست ولی به هر جهت هرمن مین کوفسکی ریاضیدان لهستانی که سهم بسزایی در تنظیم نظریه نسبیت دارد ثابت کرد که تمام تصاویر قایم یک جسم متساوی العرض ، سطوح متساوی العرضی می باشند که عرض کلیه آنها نیز با یکدیگر برابر ایت و در نتیجه محیط این سطوح تصویر نیز باز هم برابرند (مساحت آنها برابر عرض آنها است ).

مهندس میشل گلدبرگ مقیم واشنگتن چندین مقاله درباره خواص سطوح و احجام متساوی العرض تنظیم کرده که در نتیجه آن خود را به عنوان یک متخصص مطالب مذکور به مردم شناسانده است .

او به طور کلی تمام نحنیهای مسدود محدبی را که می توانند در داخل یک کثیرالاضلاع بچرخند و در تمام حالات تماس خود را با اضلاع کثیر الاضلاع حفظ کنند روتور (Rotor) نامید (روتور به معنی دوار و چرخنده می باشد ) .

همانطور که قبلاً دیدیم مثلث رلو نیز در حقیقت یک روتور واقع در یک مربع می باشد که دارای حداقل مساحت می باشد .

شکل 25 یک روتور با مینیمم مساحت برای یک مثلث متساوی الاضلاع را نشان می دهد .

این سطح عدسی شکل (توجه داشته باشید که متساوی العرض نیست ) ، از دوقوس 60 درجه دایره ای بدست آمده که شعاع آن برابر ارتفاع مثلث است .

چنانکه مشهود است این سطح در حالی که در داخل مثلث می چرخد همواره تماس گوشه های خود را با محیط مثلث حفظ می کند به طوری که حتی با گوشه های تیز مثلث نیز تماس خود رااز دست نمی دهد و اما ساختمان مته ای که با استفاده از شکل مذکور بتواند سوراخ مثلث شکلی بیرون آورد خالی از اشکال نیست ولی برادران وات انواع مته های دیگری بر مبنای خواص روتورها ساخته اند که کثیر الاضلاع های با گوشه های تیز ، مثل پنج ضلعی ، شش ضلعی و حتی هشت ضلعی بیرون بیاورد .

شبیه مسائل روتورها مساله مشهوریست به نام سوزن کاکیا که در سال 1917 توسط ریاضیدان ژاپنی به نام سیوچی کاکیا مطرح شد و بدین صورت است : « از بین سطوح مستوی مساحت چه سطحی مینیمم بوده که ضمناً پاره خطی به طول واحد بتواند 360 درجه داخل آن دور بزند » .

مسلماً عمل دوران چنین پاره خطی در داخل یک دایره به قطر واحد به سهولت میسر است ولی مساحت دایره مینیمم نیست .

سالهای متمادی ریاضیدانان تصور می کردند که دلتویید شکل 26 تنها جواب مساله (دلتویید Deltoid کلمه ای است مشتق از کلمه دلتا و آن منحنی مسدودی است که از اثر یک نقطه واقع بر محیط دایره ای که روی محیط داخلی دایره بزرگتری می غلتد ، به دست آید .

در حالی که قطر دایره کوچکتر یا دایره بزرگتر باشد ) .

اگر از قوطی کبریت یک تیکه چوب نازک به اندازه پاره خط داخل دلتویید ببرید خواهید دید که می تواند به عنوان یک روتور یک بعدی داخل دلتویید دوران کند و در همه حالات دو سر چوب تماس خود را با محیط آن حفظ خواهد کرد .

10 سال پس از طرح این مساله به وسیله کاکیا یعنی در سال 1927 جواب آبرام ساموئیلویچ بزیکویچ ریاضیدان روسی مانند بمب در بین ریاضیدانان صدا کرد .

او ثابت کرد که چنین مساله ای جواب ندارد .

به عبارت صحیحتر ثابت کرد که جواب مساله کاکیا اینست که «مساحت مینیممی وجود ندارد » یعنی به هر کوچکی که خواسته باشیم جواب مساله است .

مثلاً پاره خطی فرض کنید که طول آن از زمین تا ماه باشد .

ما می توانیم آنرا 360 درجه در داخل سطحی مساوی سطح یک تمبر پست بچرخانیم و اگر فکر می کنیم که این سطح هنوز بزرگ است می توانیم آنرا تا اندازه سطح یک ته سنجاق تقلیل دهیم .

استدلال بزیکویچ خیلی مشکل و پیچیده است و نمی توان در این مقاله مختصر به شرج آن پرداخت ولی می توان با مطالعه شکل 27 تا حدی قانع شد، با عقب و جلو کردن پاره خط از نقطه ای به نقطهدیگر و لغزاندن آن می توان آنرا یک دور کامل در داخل شکل چرخاند .

چنانکه مشاهده می شود مساحت این شکل از مساحت دلتوییدکوچکتر است .

با اضافه کردن تعداد پره های ستاره می توان مساحت آنرا به هر اندازه که خواسته باشیم نقصان دهیم .

البته به همان نسبت که مساحت کاهش می یابد و تعداد پرده ها زیادتر می گردد ، عمل جلو و عقب کردن پاره خط از پره ای به پره دیگر بیشتر می شود .

معهذا می توان مساحت را به هر اندازه که خواسته باشیم کوچک کنیم در حالی که امکاناتی برای محدود کردن تعدادحرکات پاره خط وجود دارد .

برای خوانندگانی که به حل مسائلی شبیه مسائل بالا تمایل دارند مساله زیر را طرح می کنیم (ضمناً متذکر می شویم که مساله دارای جواب صحیح و مسلم می باشد ) : کوچکترین سطح محدبی که در آن یک پاره خط به طول واحد بتواند 360 درجه بچرخد کدامست ؟

(بر حسب تعریف شکل محدب شکلی را گویند که هر خط مستقیم مفروضی ، شکل مذکور را در دونقطه قطع کند نه بیشتر وضمناً پاره خط واقع بین نقاط تلاقی کاملاً در داخل شکل قرار گیرد .

بنابراین تعریف مربع ودایره محدب اند و صلیب و هلال ماه غیرمحدب می باشند) .

حل مساله مربوط به «منحنی های متساوی العرض» مساله بدین صورت بود : کوچکترین سطح محدبی را به دست آورد که پاره خطی به طول واحد بتواند 360 درجه در آن دوران کند .

جواب آن : مثلث متساوی الاضلاع با ارتفاع واحد می باشد (سطح چنین مثلثی مساوی می باشد) .

چون هر شکلی که در آن پاره خط به طول واحد بتواند بچرخد باید عرضی اقلاً مساوی واحد داشته باشد .

از بین تمام اشکال هندسی محدب با عرض واحد ، مثلث متساوی الاضلاع با ارتفاع واحد دارای کمترین مساحت می باشد .

برای اینکه به وضع چرخش پاره خط پی ببرید به شکل 28 مراجعه نمایید .

«این متن ازترجمه ایتالیایی مقاله دکتر مارتین گاردنر که در سال 1988 در کنفرانس ریاضیات مطرح شده ، تهیه شده است .»