دانلود مقاله مسائل مقدار مرزی

مقدمه :
بطورکلی یک مسأله مقدار مرزی بصورت زیر می باشد :

(1-1)
که در آن L یک عملگر دیفرانسیلی مرتبه m ام ، r یک تابع مفروض و شرایط مرزی می باشند .

فرض کنید x یک متغیر مستقل برای مسأله مقدار مرزی باشد و شرایط مرزی در دو نقطه (مرزها) باشد بنابراین رابطه
(1-1) را می توانیم به فرم خطی زیر نیز بنویسیم :

(1-2)
برای ، k تا شرط مرزی مستقل خطی که تنها شامل مشتقات تا مرتبه (q-1)ام می باشند را شرایط مرزی essential (اساسی) می گوئیم .

و ( ) شرط باقیمانده را شرایط مرزی Suppressible می نامیم .

ساده ترین مسأله مقدار مرزی که با معادله دیفرانسیل مرتبه دوم می باشد بصورت زیر است :
(1-3)
با یکی از سه نوع شرایط مرزی که در زیر داده شده اند :
شرایط مرزی نوع اول
شرایط مرزی نوع دوم
شرایط مرزی نوع سوم که گاهی شرایط مرزی Sturm's نامیده می شود :

بطوریکه و و و ثابتهای مثبت می باشند .

اگر در رابطه (1-1) ، معادله دیفرانسیل همگن نامیده می شود و همچنین بطور مشابه اگر در رابطه (1-2) ها آنگاه شرایط مرزی همگن نامیده می شوند .

بنابراین مسأله مقدار مرزی همگن نامیده می شود اگر معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی همگن باشند یک مسأله مقدار مرزی همگن ( و ) تنها دارای جواب بدیهی می باشد .

بنابراین ما آن دسته از مسائل مقدار مرزی را در نظر می گیریم که اگر یک پارامتر را در معادله دیفرانسیل یا در شرایط مرزی اثر دهیم بتوانیم آن را مشخص کنیم (به این ‌ها مقادیر ویژه گفته می شود) در این صورت مسأله مقدار مرزی جواب غیربدیهی دارد و به این جوابها توابع ویژه می گوئیم .

در مسائل مقدار مرزی ثابتهای دلخواه در جواب از روی شرایط مرزی که در بیشتر از یک نقطه باشند بدست می آید .

بنابراین امکان دارد که بیشتر از یک جواب داشته باشیم یا هیچ جوابی نداشته باشیم .

قضیه (1-1-1) : مسأله مقدار مرزی زیر را در نظر بگیرید :

و فرض کنید که f در ناحیه R پیوسته می باشد .

,
همچنین f در شرط لیپ شیتز صدق می کند یعنی :


برای هر
در مجموع فرض کنید f در ناحیه R در شرایط زیر صدق می کند :

( ثابت) و همچنین برای شرایط مرزی مسأله فرض کنید :

آنگاه مسأله مقدار مرزی (BVP) داده شده یک جواب منحصر بفرد دارد .

[2]

1-2-وجود و یکتایی جواب مسائل مقدار مرزی :
مسأله مقدار مرزی زیر را در نظر بگیرید :
(1-4)
(1-5)
پارامترهای k و 2 یا ثابت می باشند .

فرض کنید :

رابطه (1-4)را با عملگر دیفرانسیلی بالا به صورت می‌توان‌نوشت.

نتایج و قضایایی که در زیر می آوریم اساسی ترین نتایج می باشند :
قضیه (1-2-1) : فرض کنید هر گاه ثابت k درنامساویهای زیر صدق کند :
اگر
اگر
بطوریکه کوچکترین صفر مثبت توابع بسل می باشد .

آنگاه مسأله مقدار مرزی (1-4) و (1-5) دارای یک جواب منحصر بفرد u(x) است .

[12]


نتیجه (1-2-2) : فرض کنید و و و .

آنگاه برای هر داریم .

معادله غیرخطی مربوطه را به این ترتیب در نظر بگیرید :
(1-7)
فرض کنید :
(1-8)

در حالت غیرتکین با فرض مناسبی روی می توانیم یک و را بطریقی انتخاب کنیم بطوریکه دنباله تکراری تعریف شده در مسئله خطی زیر:
(1-9) (1-10) همگرایی یکنواخت به جواب مسأله (1-5) و (1-7) داشته باشد .

ساختار وجود جواب قضیه که این چنین بنا می کنیم اساس روندهای مختلف عددی است .

قضیه (1-2-3) : فرض کنید که توابع باشند بطوریکه و (1-11) (1-12) (1-13) (1-14) هر گاه تابعی پیوسته باشد و اگر یک ثابت موجود باشد بطوریکه : (1-15) برای در ناحیه برقرار باشد .

آنگاه مسأله (1-5) و (1-7) حداقل دارای یک جواب در ناحیه S می باشند .

در حقیقت هنگامیکه یک انتخاب شود بطوریکه در فرض (1-15) صدق کند دنباله تکراری تولید شده بوسیله (1-9) و (1-10) با مقدار اولیه دارای همگرایی یکنواخت نزولی به جواب u(x) از مسأله های (1-5) و (1-7) می‌باشد .

لذا بطورمشابه از بعنوان یک مقدار اولیه که منجر به یک دنباله صعودی می شود که همگرا به جواب می باشد و هر جواب Z(x) در S درشرط زیر صدق می کند : (1-16) اثبات : با شرط نمودن K می توان F(x,u) را به یک تابع یکنوا از u تبدیل نمود آنگاه از روابط (1-11) و (1-12) و نتیجه (1-2-2) می توان نتیجه گرفت که بطور مشابه از (1-13) و (1-14) داریم : برای هر K در حقیقت (با استفاده از قضیه همگرایی Dini) این بیانگر همگرایی است .

در نمایش توابع گرین و با تعویض حدود انتگرال گیری می توان نشان داد که حد توابع u(x) و V(x) جوابهای کلاسیک را تشکیل می دهند .

یک جواب Z(x) در S می تواند همان نقش را بازی کند .

بنابراین با فرض و بطور مشابه می توان نتیجه گرفت که در شرایط معین می توان و که در قضیه مورد نیاز است را ساخت .

نتیجه (1-2-4) : فرض کنید علاوه بر فرضیات قضیه (1-2-3) ، برای همه u‌ها شرط نیز برقرار باشد .

اگر و جوابهای معادله های زیر باشند : آنگاه حکم قضیه (1-2-3) برقرار است .

نتیجه (1-2-5) : فرض پیوسته در ، و در شرط (1-15) صدق کند اگر سپس مسائل (1-5) و (1-7) یک جواب غیرمنفی u(x) دارد .

اگر و تنها اگر دنباله تکراری تعریف شده در روابط (1-9) و (1-10) با انتخاب بطور یکنواخت کراندار می باشد .

اگر یک جواب غیرمنفی بهینه u(x) وجود داشته باشد آنگاه دنباله ای یکنواخت صعودی و همگرا به آن است .

اثبات : در فرضیات قضیه (1-2-3) صدق می کند .

اگر یک جواب بهینه غیرمنفی وجود داشته باشد همان نقش در قضیه را داراست .

برعکس به آسانی دیده می شود که یک جواب وجود دارد .

اگر دنباله بطور یکنواخت کراندار باشد قضیه (1-2-3) پیوستگی و وجود جواب را بدست می‌دهد .

در برخی از شرایط یکتایی موضعی از جوابهای مسأله های (1-5) و (1-7) را می‌توان استدلال کرد که اگر موضعاً در شرط صدق نماید .

شرط Lipschitz را به این فرم در نظر می گیریم : برای هر یک ثابت وجود دارد بطوریکه : (1-17) اگر ثابت وجود دارد بطوریکه : (1-18) اگر با این شرایط ممکن است شرایط مرزی را به شرایط مرزی همگن تبدیل سازیم : (1-19) بدون اینکه به کلیت خللی وارد شود .

قضیه (1-2-6) : فرض کنید پیوسته است و در شرایط (1-17) و (1-18) صدق کند و همچنین () در شرایط (1-6) صدق کند .

آنگاه (1-19) و (1-7) یک جواب منحصر به فرد u(x) دارد اگر برای ، و جواب منحصر بفرد آنگاه .

همچنین اگر برای آنگاه برای هر و دنباله تکراری در (1-9) و (1-10) هنگامیکه با شروع اولیه همگرای نزولی (به همین ترتیب با تقریب اولیه همگرای صعودی) به است .

اثبات : ابتدا نشان می دهیم که یک جواب (1-19) و (1-7) منحصر بفرد است .

فرض کنید که جواب و وجود دارد و برقرار است .

یک مقدار ثابت C وجود دارد بطوریکه و بطوریکه در بازه و باشد .

فرض کنید باشد .

بنابراین داریم : نتیجه (1-2-2) نشان می دهد که که این یک تناقض است .

از قضیه (1-2-1) و (1-2-3) داریم خوش تعریف و غیرمنفی است .

بنابراین شرط (1-18) بیان می کند که بنابراین : از آنجائیکه در نامساوی معکوس صدق می کند .

نتیجه ای بدنبال از نتیجه (1-2-2) حاصل می شود .

1-3-تفاضلات متناهی : در این بخش یک روش تفاضلی سه نقطه ای را بکار می گیریم .

برای عدد صحیح N فرض کنید که و عملگر در نظر می گیریم و با روش سه نقطه ای تفاضل متناهی ذیل تقریب می زنیم : (1-20) بطوریکه : تنها برای در نظر می‌گیریم .

عملگر (1-20) برای و همه h ها از نوع مثبت است .

تقریب بطور یکنواخت با تقریب L سازگار است در فاصله با به این معنی که برای هر داریم : برای مسأله مقدار مرزی غیرخطی : (1-21) با تقریب می زنیم .

که فرم‌برداری معادلات آن بصورت زیر می باشد : (1-22) (1-23) مسأله گسسته (1-22) و (1-23) در شرایطی که مسأله پیوسته (1-21) جواب دارد .

مشکل در استدلال کردن همگرایی جواب آن به جواب مسأله پیوسته است .

برای مسائل خطی روش تکرار کردن است بجز اینکه با ثابت برای مسائل غیرخطی بطور مستقیم بصورت یک کلاس کوچکتر از عملگرهای خطی Lu رفتار می کنیم .

1-4-یادآوری خواص ماتریس ها : در این قسمت بعضی از ویژگیهای ماتریسها را یادآوری می کنیم که از آنها در بررسی پایداری و همگرایی روشهای تفاضلی برای حل مسائل مقدار مرزی استفاده می کنیم .

تعریف (1-4-1) : فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی و هم مرتبه باشند .

می‌گوئیم ماتریس A متشابه است با ماتریس B اگر ماتریس غیرمنفرد P وجود داشته باشد بطوریکه : توجه داشته باشید که این یک رابطه متقارن است یعنی : تعریف (1-4-2) : ماتریس A را تحویل پذیر (reducible) گوئیم اگر و تنها اگربا ماتریس قطعه ای به فرم زیر متشابه باشد : بطوریکه و مربعی هستند و P یک ماتریس جایگشت می باشد.

بعلاوه ماتریس سه قطری A تحویل پذیر است اگر و تنها اگر : تعریف (1-4-3) : ماتریس را قطر غالب گوئیم اگر و می گوئیم اکیداً قطر غالب اگر در رابطه بالا برای همه i ها نامساوی به فرم اکید باشد .

اگر ماتریس A تحویل ناپذیر و قطر غالب باشد آنگاه حداقل برای یک I نامساوی بالا به فرم اکید می باشد.

- از نماد (چه بردار چه ماتریس باشد) این را استنباط می کنیم که همه عناصر غیرمنفی می باشند بنابراین تعریف می کنیم : تعریف (1-4-4) : ماتریس A یکنواخت (monotone) است اگر بنابراین در نتیجه هر ماتریس یکنواخت یک ماتریس غیرمنفرد می باشد .

تعریف (1-4-5) : ماتریس A یکنواخت است اگر و تنها اگر تعریف (1-4-6) : اگر ماتریس A تحویل ناپذیر و قطر غالب باشد و بجز عناصر روی قطر آن غیرمنفی باشد آنگاه A یک ماتریس یکنواخت می باشد .

تعریف (1-4-7) : اگر A و B دو ماتریس یکنواخت باشند و آنگاه 1-5-حل سیستمهای سه قطری : در بعضی مواقع برای حل معادله های دیفرانسیل با شرایط مرزی به حل یک سیستم سه قطری با N مجهول مواجه می شویم که در این قسمت روش حل این سیستم را بیان می کنیم .

فرض کنید مسأله مقدار مرزی دارای شرایط مرزی و باشد وسیستم سه قطری به فرم زیر باشد : (1-24) اگر و و و برای بنابراین ما می توانیم الگوریتم مناسبی برای حل سیستم سه قطری بسازیم .

رابطه تفاضلی زیر را در نظر بگیرید : (1-25) و همچنین (1-26) از رابطه (1-24) بنا به رابطه (1-26) را حذف می کنیم.

بنابراین : (1-27) از مقایسه رابطه (1-25) با (1-27) داریم : بنا به شرایط مرزی بنابراین و .

سایر و برای را محاسبه می کنیم .

بنابراین شرط مرزی بنابراین به فرم زیر محاسبه می‌شوند :