دانلود تحقیق منحنی‌ها

منحنی‌ها در حالت کلّی – فرم پارامتری یک منحنی:
در ابتدا می‌خواهیم فرم پارامتری یک منحنی را مشخص کنیم.

لذا لازم است که درشروع، پارامتر را معرفی می‌کنیم:
فرض می‌کنیم c نمودار تابع پیوسته‌ی و p یک نقطه‌ی متغیر روی این منحنی باشد.

t را به عنوان یک پارامتر انتخاب می‌کنیم، هرگاه تغییر مکان، نقطه‌ی p روی منحنی c به‌وسیله‌ی t به طور منحصر به فردی تعیین گردد.

مثلاً در شکل فوق، می‌توان موقعیت p را با مقادیر تعیین کرد یا حتی با ، موضع p مشخص می‌شود؛ زیرا با معلوم بودن و یا مقدار t را به طور منحصر به فردی مشخص می‌شود و در نتیجه موضع p به عنوان تابعی از t مستلزم تعیین به صورت توابعی از t است.

لذا جفت معادله‌ی و معادلات پارامتری منحنی c خوانده می‌شوند.

زیرا با تغییر منحنی c حاصل می‌شود.

در این جا فرض می‌کنیم که دارای یک قلمرو بوده و بر این قلمرو پیوسته می‌باشد.

مثال(1) منحنی به معادله‌ی قطبی و را می‌توان با توجه به اینکه و به فرم پارامتری زیر نشان داد:
و که زاویه‌‌ی به عنوان پارامتر مشخص شده است.

مثال(2)در نظر بگیرید معادله‌ی دایره‌ی دارای نمایش پارامتری به صورت و است که زاویه‌ای است که با جهت مثبت محور xها می‌سازد؛ زیرا هر t، p منحصر به فردی را مشخص می‌کند و یا حتی
و همان دایره‌ی را نمایش می‌دهد.

همچنین می‌توان برای معادله‌ی فوق، طول قوس را به عنوان پارامتر در نظر بگیریم؛ زیرا هر s یک p منحصر به فرد را معلوم می‌کند.

داریم: و بنابراین:
c=


که فرم پارامتری دایره‌ی بر حسب پارامتر طول قوس می‌باشد.

مثال(3) منحنی و یک بیضی است، اگر که و باشند.

حل: از خذف t از دو معادله‌ی بالا داریم و
و در نتیجه:
که معادله یک بیضی است.

مثال(4) منحنی و که در آن هر دو مثبت‌اند را در نظر می‌گیریم.

حل: با حذف t از دو معادله داریم: و
بنابراین: که معادله هذلولی است.

مثال(5) فرض کنیم که یک دایره به شعاع در امتداد یک خط افقی بدون لغزش، بغلطد.

فرم پارامتری منحنی‌ای را بیابید که به‌وسیله‌ی نقطه‌ی p از محیط آن رسم می‌شود.

حل: با فرض اینکه خط افقی محور xها زاویه‌ی دوران دایره باشد، با توجه به شکل داریم:

اما مساوی طول قوس است؛ چرا که دایره بدون لغزش می‌غلطد.

بنابراین است.

لذا است و اما :

توجه کنید که این منحنی نمودار یک تابع متناوب با دوره‌ی تناوب مثل است.

این منحنی که توسط p به‌وجود می‌آید، )) نام دارد و نشان دادیم که دارای این معادلات پارامتری است:
و

قضیه (1):منحنی و را که در آن fو g در بازه‌ی باز مشتق پذیرند را در نظر بگیرید.

فرض می‌کنیم که در تغییر علامت نمی‌دهد یا صفر نمی‌شود.

در این صورت منحنی و نمودار یک تابع مشتق‌پذیر مانند و است و

اگر توابع f و g، nبار مشتق پذیر باشند، نیز چنین است.

قضیه‌ی (2): فرض می‌کنیم که c یک منحنی با معادلات پارامتر ی و بوده و توابع و در موجود و پیوسته باشند، در این صورت با طول متناهی است و :
(1) dt

مثال(6) می‌خواهیم طول یعنی (محیط) دایره‌ی و را به‌دست آوریم.

حل:

تذکر: اگر c نمدار تابع باشد، می‌توان معادلات پارامتری و را برای آن در نظر گرفت.

طبق فرمول (1) :
dt است و یا معادلاً (2) که رابطه‌ای بسیار مفیدی برای یافتن طول منحنی می‌باشد.

تست(1) طول منحنی c نیم دایره‌ای کدام است؟

1) 2) 3) 4)
حل: گزینه‌ی (1)؛
چون است، خواهیم داشت:







مثال(7) اگر c دارای نمودار قطبی باشد، فرم پارامتری آن عبارت است از : و
از این‌ها نتیجه می‌شود: =


در نتیجه

بنابراین: (3)

و یا: (4)

تست (2): طول منحنی دلگون c به معادله‌ی کدام است؟

1)8 2)10 3)16 4)20
حل: گزینه‌ی (3)؛
با توجه به تقارن نسبت به محور xها داریم:



طول قوس به عنوان پارامتر – انحناء فرض کنیم که c منحنی به معادلات پارامتری و باشد که در آن‌ها و در موجود و پیوسته است.

همچنین .

لذا و هیچ‌گاه با هم در صفر نمی‌شوند؛ مانند شکل زیر.

مانند شکل فرض می‌کنیم طول قوس c از نقطه‌ی تا نقطه‌ی متغیر باشد.

بالاخص و که L طول تمام منحنی c است.

لذا بنا بر قضیه‌ی(2) داریم: حال طبق قضیه (1) نتیجه می‌شود که s تابعی مشتق پذیر از t بوده و که را عنصر نامیده می‌شود و می‌دانیم غیر صفر (در واقع مثبت) است.

حال اگر بخواهیم طول قوس یک منحنی به معادله‌ی قطبی را بدست آوریم، با استفاده از رابطه‌ی (3) داریم: و در نتیجه : و یا : از روابط (5) و (6) نتیجه می‌شود که در .

بنابراین تابع در صعودی است.

بنابراین معکوس پذیر بوده و معکوس آن در که در آن L طول c است، موجود و پیوسته است.

حال با استفاده از تابع طول قوس ، کمیتی را تعریف می‌کنیم که میزان تغییر جهت منحنی c، به معادلات پارامتری و را توصیف می‌کند.

علاوه بر رابطه‌ی (5)، فرض می‌کنیم منحنی c جز در نقاط ابتدا و انتها، خود را قطع نکند و مشتقات دوم ممکن است به ازای و بوده و موجود نباشد.

این تنها به خاطر جهش تیز امکان پذیر است، به عنوان زاویه‌ای لزوماً در بازه‌ی ، امّا در این حالت را از طرف راست رابطه‌ی (8) بدست می‌اوریم.

حال حالت قطبی معادله‌ی c را در نظر می‌گیریم.

اگر c دارای معادله‌ی قطبی باشد داریم: لذا: و و با جایگذاری در رابطه‌ی (8) و بازگشت به متغیر ،خواهیم داشت: تست(3): انحنای دلگون در برابراست با: 1)صفر 2)1 3)بی نهایت 4) حل: گزینه‌ی (3)؛ حال اگر توابع و در موجود و پیوسته باشد، فرض می‌کنیم میسل مماس به c در نقطه‌ی باشد، در این صورت منظور از انحنای منحنی c در p یعنی مشتق زاویه‌‌ی میل به قوس، است.

می‌دانیم: و .

امّا می‌دانیم : بنابراین: که و .

و که در آن و .

که در آن و است.

لذا .

بنابراین حال با جایگذاری دیده می‌شود: .

تابع برداری در حالت کلی، یک تابع قانونی است که به هر عنصر از دامنه یک عنصر در برد نسبت می‌دهد.

پس یک تابع با مقادیر برداری یا تابع برداری که دامنه‌ی آن یک مجموعه از اعداد حقیقی و برد آن مجموعه‌ای از بردارهاست که ممکن است دو بعدی یا سه بعدی باشند و به صورت زیر تعریف می‌گردد: تعریف(1): تابع برداری، تابعی است که از فضای به فضای تعریف می‌گردد؛ به طوریکه به هر nتایی یک mتایی مرتب را نسبت می‌دهند.

تعریف(2): هر تابع که دامنه‌ی آن در |R و برد آن در باشد، یک تابع برداری نامیده می‌شود.

اگر متغیر مستقل باشد، آن‌گاه مقدار تابع برداری به این صورت نمایش داده می‌شود : که در آن ها به ازای توابع حقیقی از به هستند و به توابع مؤلفه‌ای معروف هستند.

نکته: تابع برداری سه بعدی r، از معادله‌ی فوق به ازای به دست می‌آید.

دامنه‌ی توابع برداری:دامنه‌ی ، اشتراک دامنه‌ی توابع متناظر است.

برای نمونه یک تابع برداری دو بعدی با دامنه‌ی و و یک تابع برداری از فضای و با دامنه‌ی می‌باشد.

مثال(8): دامنه‌ی برداری داده شده را بیابید.

حل: دامنه‌ی تابع برداری r شامل همه‌ی مقادیر می باشد که در آن مؤلفه‌های و و تعریف شده‌اند، یعنی: تست(4): تابع با ضابطه‌ی تعریف شده است.

دامنه‌ی عبارت است از: 1) 2) 3)|R 4) حل: گزینه‌ 4؛ چون دامنه‌ی اشتراک دامنه‌ی هاست، ابتدا باید به تعیین دامنه‌ی سه تابع داده شده بپردازیم: پس: حال می‌خواهیم یک نمایش هندسی برای تابع برداری ارئه دهیم.

فرض می‌کنیم t معرف زمان باشد، در این صورت بردار مکان در زمان نقطه‌ی و را در صفحه مشخص می‌کند و یا تغییر زمان مجموعه نقاطی که در صفحه مشخص می‌کند، تغییر خواهند داد.

بدین ترتیب یک منحنی در صفحه مشخص می‌شود که متناظر با تابع برداری است.

به همین صورت می‌توان یک نمایش هندسی برای تابع برداری سه بعدی ارائه داد که آن‌را هم فضایی می‌نامیم.

مثال(9): یک نمایش هندسی برای ارائه دهید.

حل: این تابع در زمان t=0 نقطه و در زمان نقطه‌ را در صفحه مشخص می‌کند.

توجه کنید که در هر زمان مجموعه نقاط ای که مشخص می‌شوند روی بیضی قرار می‌گیرند.

به این ترتیب نمایش این تابع به صورت یک بیضی با شعاع‌های 2و3 می‌باشد.( شکل الف) البته توجه کنید ممکن است که دو تابع برداری متفاوت ، نمایش هندسی یکسانی داسته باشند.

برای نمونه تابع همان بیضی را نمایش می‌دهد، ولی در زمان به نقطه‌ی اشاره می‌کند (شکل ب) .

لذا اگر توابع r(t) و Q(t) را به عنوان بردارهای حرکت ذره‌ای 1 و 2 در نظر بگیریم، آن‌گاه ذره‌ی 1 با سرعت بیشتری نسبت به ذره‌ی 2 روی بیضی حرکت می‌کند.

مثال(10) : خم متناظر با تابع را تعریف کنید.

حل: این تابع در زمان t، نقطه‌ی را با مختصات و و مشخص می‌کند، می‌دانیم که این معادلات ، معادلات پارامتری خطی است موازی با بردار که از نقطه‌ی می‌گذرد.

مثال(11): نمایش هندسی تابع برداری را بیابید.

حل: در زمان t=0 بردار مکان نقطه‌ی را مشخص می‌کند.

با توجه به ضابطه‌ی تابع در هر لحظه داریم: بنابراین مجموعه نقاطی که مشخص میشود، روی استوانه‌ای قرار خواهند گرفت و با توجه به اینکه است، لذا با افزایش زمان ، این خم در امتداد محور xها پیش می‌رود.

به این ترتیب یک خم مارپیچ شکل در فضا مشخص می‌شود.

نمودار توابع پارامتری: یک ارتباط نزدیک بین توابع برداری و منحنی‌ها در فضا وجود دارد، به این صورت که اگر یک نقطه از ناحیه تعریف شده تابع برداری r باشد، آن‌گاه: یک بردار ثابت در فضا می‌باشد، که موقعیت نقطه با و و را مشخص می‌نماید.

مجموعه c تشکیل شده از همه نقاط به صورت: و و است که t مقداری در فاصله‌ی I باشد یک منحنی فضایی نامیده می‌شود.

هم‌چنین معادلات فوق،معادلات پارامتری c و t یک پارامتر نامیده می‌شوند، می‌توانید تجسم نمائید که مجموعه c اثر حرکت یک ذره در هر لحظه از زمان t است که در موقعیت قرار دارد.

به این ترتیب منحنی‌ها در صفحه را نیز می‌توان با علامت برداری با خذف یکی از توابع مؤلفه‌ای نشان داد: که در آن و می‌باشند.

تذکر: رسم نمودار برداری در در حالت کلی مشکل است؛ مگر در موارد خاص که به اندازه‌ی کافی نیز جالب هستند.

به هر حال به کمک CAS می‌توان به آسانی منحنی فضایی c را با یک دستور رسم نمود.

مثال(12):منحنی تابع برداری داده شده را رسم کنید.

حل: معادله‌ی پارامتری برای این منحنی عبارت است از: چون ، منحنی روی استوانه‌ی دایره‌ای قرار دارد.

نقطه به طور مستقیم با z=tبالای نقطه قرار می‌گیرد که نشان‌دهنده‌ی حرکت در جهت خلاف عقربه‌های ساعت روی دایره‌ی در صفحه‌ی xy است، در نتیجه c یک منحنی مارپیچ دورانی رو به بالای استوانه‌ی فوق با افزایش t می‌باشد.

مثال(13): تعیین منحنی حاصل از تقاطع صفحه با استوانه ضابطه‌ی تابع برداری که نشان‌دهنده‌ی منحنی محل تقاطع صفحه‌ی با استوانه را می‌یابیم.

حل: منحنی c حاصل از محل تقاطع آن‌ها یک بیضی می‌باشد.

تصویر c در صفحه‌ی xy ، دایره‌ی با z=0 است.

یعنی : از معادله‌ی صفحه داریم: بنابراین معادله‌ی پارامتری برای بیضی c به صورت زیر بدست می‌آید: در نتیجه معادله‌ی برداری متناظر عبارت است از: جهت حرکت c نیز در شکل روبرو با افزایش t نشان داده شده است.

مثال(14): رسم یک تابع برداری روی رویه با روش رویه‌ها معادله‌ی برداری را رسم کنید.

حل: با حذف پارامتر t از دو معادله‌ی پارامتری x=t و y= ، معادله‌ی استوانه‌ی سهمی به دست آید، پس منحنی روی استوانه‌ی فوق قرار دارد.

روش دیگر: چون منحنی روی استوانه‌ی (حذف پارامتر از تابع مؤلفه‌ای اول و سوم) نیز قرار دارد؛ پس محل تقاطع استوانه‌های y= و می‌باشد.

5-حدود پیوستگی توابع برداری تعریف: فرض کنید یک تابع برداری و L یک تابع برداری باشد.

در این صورت هنگامی که t به نزدیک می‌شود، می‌گوئیم حد r برابر است و می‌نویسیم: هر گاه برای ، یک موجود باشد، به‌طوری‌که برای هر t : قضیه(3): فرض کنیم باشد، در این صورت است؛ اگر تنها اگر: و و برهان: با توجه به این‌که: و حکم به سادگی ثابت می‌شود.

قضیه(4):تابع برداری در حدی برابر دارد؛ هر گاه: برهان: ابتدا فرض می‌کنیم که است.

پس برای هر یک یافت می‌شود که هر گاه را داشته باشیم، خواهیم داشت: برای این کار از نامساوی کوشی-شوارتز استفاده می‌کنیم که چنین است: که می‌توانیم آن‌را به صورت روبه‌رو بنویسیم: زیرا: حال اگر باشد، طبق فرض و طبق نامساوی کوشی-شوارتز داریم: زیرا: و این یک طرف قضیه را ثابت می‌کند.

عکس قضیه: حال فرض می‌کنیم که .بایستی نشان دهیم که: چون توابع مؤلفه‌ای دارای حد هستند، داریم: لذا و اثبات قضیه تمام است.

مثال(15):حد تابع برداری داده شده را بیابید.

حل: مطابق تعریف حد داریم: مثال(16):اگر باشد، حد آن‌را در بیابید.

حل: مثال(18): را بیابید.

حل: از طرفی داریم: پس : تست (5): برای هر و که کدام گزینه همواره درست است؟

پاسخ گزینه‌ی (3)؛ عبارت بیان شده در گزینه‌ی 3، یکی از صور مبهم نامساوی کوشی-شوارتز است که اثبات آن‌را بیان می‌کنیم: برهان: تابع را در نظر میگیریم.

خواهیم داشت: که در آن و و .

با توجه به تعریف اولیه تابع نمی‌تواند مقادیر منفی داشته باشد، چون y مجموع مقادیری مثبت استو در نتیجه سهمی فوق نیز نمی‌تواند در بیش از یک نقطه محور xها را قطع کند.

یعنی معادله‌ی نمی‌تواند دو ریشه‌ی حقیقی متمایز داشته باشد.

پس داریم: با توجه به مقادیر A,B,C داریم: در نتیجه خواهیم داشت: مثال(19): حد تابع برداری را وقتی که بدست آورید.

حل: همان‌طور که مشاهده می‌شود و و است، لذا تابع در حد ندارد.

تعریف پیوستگی: تابع برداری در نقطه‌ی موجود باشد و تابع برداری r در بازه‌ی I پیوسته است؛ اگر در هر نقطه از بازه پیوسته باشد.

نتیجه: تابع برداری در پیوسته است، اگر و تنها اگر تابع مؤلفه‌ای در پیوسته است.

مثال(20): تابع در پیوسته است؛ زیرا : آزمون مؤلفه‌ای برای پیوستگی در یک نقطه: تابع برداری در پیوسته است اگر؛ و تنها اگر f,g.h در پیوسته باشند.

6-مشتق تابع برداری: مشتق تابع برداری در صورت وجود، تابعی برداری مانند است که : از طرفی: لذا داریم: نتیجه : در مشتق پذیر است؛ اگر و تنها اگر تمام مؤلفه‌های در مشتق پذیر باشند.

تعبیر هندسی: از نظر هندسی بردار به عنوان بردار مماس بر خم در لحظه‌ی t تعبیر می‌شود که در جهت افزایش tاست.

بردار یکّه‌ی هم راستای بردار عبارت است از: تذکر: مشتق یک تابع برداری نیز به صورت مؤلفه به مؤلفه انجام می‌شود.

قضیه‌ی (5): اگر باشد، آن‌گاه: برهان: کافی است برای محاسبه‌ی حد با استفاده از قضیه‌ی (3) به صورت مؤلفه به مؤلفه حد بگیریم.

مثال(21): مشتق تابع برداری را بیابید.

حل: با استفاده از قضیه‌ی (5) داریم: مثال(22): برای فضایی یک بردار مماس و خط مماس را در نقطه‌ی بیابید.

حل: مطابق قضیه‌ی (5)، است.

پس بردار یک بردار مماس بر خم نقطه‌ی می‌باشد، این بردار در امتداد خط مماس در می‌باشد.

پس معادله‌ی پارامتری خط مماس عبارت است از: مثال(23): صفحه‌ی عمود بر منحنی را در نقطه‌ی بیابید.

حل: صفحه‌ای که بر منحنی عمد باشد، در واقع بر خط مماس آن عمود است.

پس بردار مماس، یک بردار نرمال برای چنین صفحه‌ای می‌باشد.

لذا معادله‌ی این صفحه عبارت است از: مثال(24):ثابت کنید زاویه‌ی ، میان یک بردار مماس مارپیچ و محور zها برای تمام نقاط مارپیچ یکسان است.

حل: بردار در لحظه‌ی t بر مارپیچ مماس است.

کسینوس زاویه‌ی که این بردار با محور zها می‌سازد، برابر است با: هر tثابت است؛ لذا همواره مثبت است.

مثال(25): زاویه‌ی تقاطع خم‌های و را تقریب بزنید.

حل: ابتدا نقطه‌ی تقاطع دو خم را می‌یابیم.

ممکن است نقطه‌ی تقاطع دو خم در زمان‌های متفاوتی برای و رخ دهد.

لذا اسم پارامتر در را عوض می‌کنیم تا از پارامتر تابع متمایز شود.

سپس مؤلفه‌ها را به طور کتناظر، مساوی یکدیگر قرتار می‌دهیم و نقطه‌ی تقاطع را از حل دستگاه می‌یابیم.

لذا تقاطع دو خم در لحظه‌ی t=1 برای و s=2 برای رخ می‌دهد که نقطه‌ی مشترک می‌باشد.

زاویه‌ی تقاطع دو خم در این نقطه، زاویه‌ی میان بردارهای مماس آن‌هاست.

از طرفی: و لذا زاویه‌ی میان دو بردار، برابر است با: 7- منحنی هموار منحنی که در آن است هموار نامیده می‌شود؛ هرگاه : الف) در فاصله‌ی موجود و پیوسته باشند.

ب) در فاصله‌ی رابطه‌ی برقرار باشد.

تذکر: مشتق یک منحنی هموار، برداری غیر صفر بوده ( به جز احتمالاً در نقاط انتهایی بازه) و موازی بردار مماس بر منحنی است.

مثال(26) معادله‌ی خط مماس بر مارپیچ با معادله‌ی پارامتری زیر را در نقطه‌ی بیابید.

حل: معادله‌ی برداری مارپیچ می‌باشد، بنابراین: چون همواره است، پس منحنی مارپیچ همه جا هموار است.

مقدار پارامتری متناظر با نقطه ، نقطه‌ی است.

بنابراین بردار مماس می‌باشد.

اکنون معادله‌ی خط مماس که از نقطه‌ی می‌گذرد، با بردارهای با توجه به رابطه‌ی عبارت است از: 8-فرمول‌های مشتق‌گیری فرض کنید uو v توابع برداری مشتق پذیر، k یک اسکالر و f یک تابع حقیقی مشتق پذیر باشد، آن‌گاه فرمول‌های مشتق عبارتند از: مشتق ضرب اسکالر در تابع برداری مشتق جمع دو تابع برداری قاعده‌ی زنجیره‌ای مشتق ضرب تابع اسکالر در تابع برداری برای نمونه شماره‌ی (4) را ثابت می‌کنیم: برهان: که برای اثبات از خواص ضرب خارجی استفاده می‌کنیم.

قوانین مشتق‌گیری ضرب توابع برداری اگر u و v توابع برداری مشتق پذیر باشند، آن‌گاه: تذکر: چون ضرب خارجی خاصیت جابجایی را ندارد، در مشتق پذیری بایستی به ترتیب ضرب توابع برداری توجه نمود.

مثال(27):اگر و باشد آن‌گاه را در t=3 بیابید.

حل: با توجه به خاصیت داریم: مثال (28): نشان دهید .

حل: مطابق خاصیت (2) از قوانین فوق داریم: چون حاصل ، برابر صفر است، بنابراین حاصل برابر است.

مثال(29): شرط کافی تعامد مشتق تابع برداری بر خودش نشان دهید که اگر (اندازه‌ی بردار همواره ثابت باشد.) ،آن‌گاه به ازای هر t به عمود است.

حل: چون در ، ثابت است ، طبق خاصیت (1) از قوانین فوق ، نتیجه‌ی زیر حاصل می‌شود: بنابراین که از آن نتیجه می‌شود بر عمود است.

تعبیر هندسی مثال (29) : اگر منحنی c دایره‌ی با معادله‌ی برداری زیر باشد: آن‌گاه مطابق شکل ، در هر نقطه از دایره، بر بردار شعاعی عمود است.

همچنین می‌توانید تجسم نمائید، که اگر منحنی cروی یک کره قرار داشته باشد، بردار مماس در هر نقطه از منحنی بر بردار حالت منحنی عمود است.

مثال(30): نشان دهید برای هر خمی که روی کره‌ای با مرکز مبدا قرار گیرد، همواره بردار مماس بر بردار مکان عمود است.

حل: اگر خم روی کره‌ای با شعاع c و مرکز مبدا قرار گیرد، آن‌گاه: به عبارتی همواره است، لذا است، یعنی: یعنی در هر لحظه، عمود بر و متعاقباً عمود بر می‌باشد.

مثال (31):اگر باشد، نشان دهید: حل: می‌دانیم برای تابع حقیقی f، است،پس: و در اینجل نیز چون یک تابع حقیقی یک متغیره است، داریم: مثال(32): را بیابید.

حل: تابعی حقیقی می‌باشد.

از خواص مشتق در مورد این رده از توابع داریم: مشتق‌های مراتب بالاتر توابع برداری: درست همانند توابع حقیقی، مشتق دوم تابع برداری r، مشتق می‌باشد، یعنی و به همین ترتیب برای مشتق‌های بالاتر نیز قابل تعمیم است.

9- توابع برداری با طول ثابت هنگامی‌که ذره‌ای روی کره‌ای به مرکز مبدا حرکت می‌کند، بردار موقعیت دارای طولی ثابت معادل شعاع کره خواهد بود و بردار سرعت که بر مسیر حرکت مماس است، بر کره مماس می‌شود و بر r عمود می‌گردد.

از این موضوع می‌توان به حالتی کلی برای توابع مشتق‌پذیر با طول ثابت دست یافت؛ یعنی توابع برداری با طول ثابت بر مشتق اولش عمود است.

یعنی تغییر در یک تابع برداری با طول ثابت، فقط جهت آن را تغییر می‌دهد و تغییر جهت تحت زاویه‌ی قائم رخ می‌دهد.

اگر u تابع برداری مشتق پذیر از t با طول ثابت باشد، آن‌گاه: در مورد معادله‌ی فوق، فرض کنید u تابع مشتق پذیر از t و ثابت باشد، پس با مشتق پذیری از طرفین رابطه داریم: با گرفتن و به کار بردن ضرب نقطه‌ای ضرب نقطه‌ای، جابجایی است.

مثال(33): نشان دهید که ، دارای طول ثابت بوده و بر مشتقش عمود است.

حل: 10- بردار سرعت و شتاب توابع برداری بردار سرعت: اگر یک متحرک روی منحنی با معادله‌ی حرکت کند، سرعت لحظه‌ای آن با نمایش داده می‌شود، به صورت تعریف می‌شود.

بدیهی است که بردار سرعت در نقطه‌ی که همان مشتق تابع برداری در A می‌باشد، بر منحنی مماس است.

به اندازه‌ی بردار سرعت یعنی ، تندی ذره (متحرک) در زمان t می‌گوئیم و به صورت زیر تعریف می‌گردد: بردار شتاب: اگر تابع برداری تعریف شده و c نمایانگر منحنی این تابع باشد و متحرکی در امتداد منحنی c در حرکت باشد، در این‌صورت شتاب لحظه‌ای متحرک به صورت تعریف می‌شود.

در نتیجه اندازه‌ی شتاب از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید: مثال(34): ذره‌ای روی منحنی حرکت می‌کند.

تندی این ذره در لحظه‌ی چقدر است؟

حل: لذا تندی در لحظه‌ی برابر است با: مثال (35): مکان یک ذره در لحظه‌ی با تابع برداری مشخص می‌شود.

این ذره چه وقت و کجا برای اولین بار، بیشترین تندی را اخذ می‌کند؟

لذا تندی ذره در زمان t برابر است با: این تابع به ازای ، اولین بار در به ماکزیمم مقدار خود؛ یعنی می‌رسد.

در این لحظه ذره در مکان است.

تست(6): معادله‌ی حرکت یک متحرک به صورت تعریف شده است.

زاویه‌ی بین بردار سرعت و شتاب اولیه‌ی این متحرک کدام است؟

1) 2) 3) 4) حل: گزینه‌ی (3)؛ با توجه به تعریف بردار سرعت و شتاب داریم: اگر زاویه‌ی بین بردار و باشد، داریم: 11- بردارهای یکّه‌ی مماس و قائم بردار یکه‌ی مماس: این بردار که با نشان داده می‌شود، نیز یک تابع برداری است که در هر زمان اندازه‌ی آن برابر بردار واحد است و برای تابع برداری به صورت یزر تعریف می‌شود: نتایج تعریف: در امتداد بردار خواهد بود.

آن‌جا که همواره است، نتیجه می‌شود که : .

همواره بر بردار عمود است، زیرا: حال از طرفین تساوی فوق نسبت به t مشتق می‌گیریم: و چون است، پس دو بردار بر هم عمودند.

از آن جا که بردار همواره برداری است عمود بر ، بنابراین بردار قائم یکه‌ی اصلی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: این بردار به سمت خمیدگی (تقعر) منحنی c می‌باشد، چرا که بردار همواره در جهت تقعر c است.

مثال(36): بردار یکه‌ی مماس و بردار قائم یکه‌ی اصلی برخم را در زمان بیابید.

حل: لذا بردار قائم اصلی در عبارت است از: T بردار مماس برc و در سوی افزایش t و N برداری عمود برT و در جهت تقعر منحنی c می‌باشند.

بردار یکه‌ی قائم تاکنون برای خم بردار یکه‌ی مماس T را در نقطه‌ی p تعریف کردیم.

سپس از روی آن توانستیم یکی از بردارهای قائم بر T (و در نتیجه قائم بر خم) را بیابیم که آن را بردار قائم یکه‌ی اصلی نامیدیم.

از حاصل ضرب خارجی به یاد داریم که برداری عمود بر که: ؛ لذا این بردار را بردار قائو یکه‌ی دوم در نقطه‌ی pمی‌نامیم.

سه بردار که دو به دو بر هم عمودند، تشکیل یک پایه‌ی متعامد می‌دهند که با تغییر موضع نقطه‌ی p تعیین می‌کنند.

این پایه، پایه‌ی موضعی سه وجهی حرکت خم نام دارد.

مثال(37): بردارهای یکه‌ی مماس، قائم و یکه‌ی اصلی و قائم یکه‌ی دوم را برای مارپیچ در بیابید.

حل: و پس: و در لحظه‌ی داریم: و لذا در این لحظه بردار قائم یکه‌ی دوم عبارت است از: این سه بردار را به شکل زیر مشخص می‌کنیم: تست(7): اگر باشد، و به ترتیب کدامند؟

1) 2) 3) 4) حل: گزینه‌ی (1): می‌دانیم که ، پس داریم: و چون است داریم: انتگرال توابع برداری انتگرال معین یک تابع برداری با روش مشابه توابع با مقادیر حقیقی تعریف می‌شود، به جز اینکه نتیجه همواره یم بردار است.

انتگرال یک تابع برداری را نیز برای سادگی می‌توان بر حسب انتگرال توابع مؤلفه‌ای متناظر تعریف و محاسبه کرد.

حال فرض می‌کنیم باشد.

با توجه به اینکه حد توابع برداری را تعریف کردیم، انتگرال را می‌توانیم به صورت حد مجموع ریمانی تعریف نمائیم.

زمانی‌که فرم بردار به سمت صفر میل می‌کند، داریم: بنابراین داریم: اکنون می‌توانیم گسترش قضیه‌ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را برای تابع برداری پیوسته به صورت زیر بیان کنیم: که در آن R یک ضد مشتق (انتگرال نامعین) از r است؛ یعنی: .

مثال (38): اگر باشد، مطلوبست .

حل: مثال(39): اگر باشد، ابتدا انتگرال نامعین را بیابید، سپس انتگرال معین از 0 تا 1 را ارزیابی کنید.

حل: مثال(40): فرض کنیم یک تابع برداری باشد.

اگر و باشد درای صورت را بیابید.

حل: با استفاده از شرایط اولیه داریم: پس و و و بنابراین: تذکر: با توجه به تعریف انتگرال معین به عنوان ضد مشتق، بدیهی است که انتگرال گیری از بردار شتاب، بردار سرعت و با انتگرال گیری از بردار سرعت، بردار حالت یا وضعیت معلوم می‌شود؛ یعنی: که در آن‌ها و بردارهای ثابت نامعلوم هستند.

برای مشخص شدن باید وضعین اولیه و سرعت اولیه مشخص باشند.

مثال(41): تعیین بردار حالت از روی بردار شتاب یک ذره از وضعیت نخست با سرعت اولیه‌ی شروع بع حرکت می‌کند.

شتاب آن است.

بردار سرعت و بردار وضعیت را در زمان t بیابید.

حل: با توجه به تذکر فوق داریم: مثال (42): فرض کنید سرعت حرکت ذره در فضا برابر باشد با: .

مطلوبست بردار مئقعیت ذره در صورتیکه در لحظه‌ی t=0 موقعیت به صورت بردار باشد.

حل: معادله‌ی دیفرانسیل شرط اولیه با انتگرال گیری از طرفین معادله نسبت به t داریم: حال از شرط اولیه برای یافتن مقدار c استفاده می‌کنیم: موقعیت ذره به عنوان تابعی از t به صورت زیر می‌شود: 13- طول قوس یک منحنی از حساب دیفرانسیل و انتگرال یک متغیره به یاد دارید که طول یک منحنی با معادلات پارامتری و در فاصله‌ی به صورت حد مجموع طول خط‌های شکسته می‌باشد که اگر پیوسته باشند، فرمول زیر حاصل می‌شود: حال اگر منحنی c دارای معادله‌ی برداری ، باشد و توابع در فاصله‌ی پیوسته باشد، آن‌گاه طول قوسی از منحنی c از نقطه‌ی a تا b را می‌توان به صورت حد مجموع طول خط‌های شکسته بدست آورد.

از طرفی چون برای تابع برداری داریم: پس بهتر است فرمول را به صورت زیر نوشت: مثال(43): طول قوس منحنی مارپیچ دایره‌ای با معادله‌ی برداری از نقطه‌ی تا را بیابید.

حل: چون است، داریم: از طرفی چون طول کمان از تا با توصیف پارامتری در بازه‌ی می‌باشد، پس از فرمول داریم: مثال(44) طول خم را به ازای بیابید.

حل: مثال(45): خم یک ستاره‌گون نام دارد.

طول یک ضلع آن را بیابید.

حل: از آن‌جا که خم‌های مسطح، حالت خاصی از خم‌های فضایی هستند، لذا داریم: تست (8): اگر منحنی c دارای معادله‌ی برداری باشد، طول قوس منحنی از چقدر است؟

1) 2) 3) 4) حل: گزینه‌ی (3)؛ هر سه مؤلفه‌ی توابعی پیوسته روی هستند، لذا: تذکر: قبلاً داشتیم ، حال می‌خواهیم t را برحسب پارامتر طول قوس بدست آوریم: و نیز برای بردار سرعت خواهیم داشت: و چون است، پس: 14- تابع طول قوس فرض کنید که c یک منحنی تکه‌ای هموار باشد، که به ازای با تابع برداری داده شده باشد.

اگر حداقل یکی از توابع مؤلفه‌ای f و g و یا h روی یک به یک باشد، در این صورت تابع طول قوس s به صورت زیر تعریف می‌شود: که در آن طول منحنی جهت دار c بین وضعیت‌های است.

اکنون اگر از طرفین رابطه‌ی فوق، مشتق بگیریم، به کمک قضیه‌ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال نتیجه می‌شود: اگر بردار وضعیت مسیر یک ذره باشد، برابر اندازه‌ی سرعت یا تندی را می‌دهد.

پارامتر سازی بر حسب قوس= اگر بر حسب پارامتر t و تابع طول قوس داده شده در معادله‌ی باشد، می‌توانیم t را به عنوان تابعی از s حل کنیم.

منحنی با جایگزینی به صورت پارامتری بر حسب s تبدیل می‌شود.

برای نمونه اگر s=3 باشد، بردار وضعیت نقطه‌ای با طول قوس 3 واحد نسبت به شروع می‌باشد.

نکته: زمانی می‌توانستیم تابع برداری را به صورت تابعی از طول قوس در آوریم، می‌توان بردار مماس یکه را به صورت زیر محاسبه نمود: لذا با توجه به قاعده‌ی زنجیره‌ای داریم: مثال(46): خم را به صورت تابعی از طول قوس در آورید.

حل: نقطه‌ی t=0 را ثابت در نظر می‌گیریم.

در این صورت تابع طول قوس عبارت است از: با توجه به اینکه تابعی یک به یک است، نیز یک به یک است، لذا معکوس این تابع وجود دارد.

بنابراین با جایگذاری این عبارت به جای t، در معادله‌ی تابع برداری داریم: به این ترتیب r را به صورت تابعی از طول قوس در آوردیم.

مثال(47): منحنی مارپیچ کلی را نسبت به طول قوس از نقطه‌ی شروع در جهت افزایش t پارامتری نمایید.

حل: نقطه‌ی شروع متناظر با مقدار پارامتر t=0 است.

بنابراین: در نتیجه ، که با جایگذاری به جای t در معادله‌ی برداری منحنی مارپیچ داریم: منحنی‌های تکه تکه هموار در عمل خواهید دید، که اغلب منحنی‌های روی یک بازه در تعداد متناهی نقطه شرط را ندارد، این منحنی‌ها ، تکه تکه هموار نامیده می‌شوند.

به عبارت دیگر یک منحنب c تکه تکه هموار است؛ اگر از اتصال تعداد متناهی منحنی هموار تشکیل شده باشد که برای هر صورت پارامتری به صورت زیر است: که در بازه‌ی باز ، است.

به این ترتیب طول قوس منحنی تکه تکه هموار c برابر است با : دستگاه TNB (کنج فرنه) فرض کنید منحنی فضایی هموار باشد، در این صورت بردار زیر ، بردار مماس یکانی بر منحنی در هر نقطه می‌باشد.

چون بردار مماس T یکانی است ( یعنی )، پس بر بردار مماس T عمود است.

در نتیجه بردار یکانی بر T عمود است که بردار قائم اوّل منحنی نامیده می‌شود.

هپچنین با توجه به خاصیت ضرب خارجی بردار یکانی زیر بر بردارهای T و N عمود است: ، که به بردار یکانی قائم دوم منحنی معروف است.

سه تایی T ،N ،B که یک پایه ( دستگاه راستگرد) برای فضای تشکیل می‌دهند، به دستگاه TNB یا کنج فرنه معروف است.

مثال(48): دستگاه کنج فرنه را برای منحنی زیر بیابید.

حل: ابتدا مشتق تابع برداری و اندازه‌ی آن‌را میابیم.

اکنون مشتق تابع بردار مماس و اندازه‌ی آن را در هر نقطه‌ی t برای تعیین عمود اول، یعنی N محاسبه می‌کنیم: و در نهایت قائم دوم در هر نقطه‌ی t بدست می‌آید: 15- صفحه‌ی بوسان و عمود سه بردار T ،N، B تشکیل دو صفحه‌ی مهم می‌دهند.

صفحه‌ی تشکیل شده (گذرنده) از بردارهای T ،N که شامل نقطه‌ی p که بر منحنی c مماس است؛ به صفحه بوسان معروف است.

صفحه‌ی دیگر از بردارهای قائم Nو B تشکیل شده است در هر نقطه‌ی p از منحنی c بر منحنی عمود است که به منحنی قائم معروف است.

نتیجه‌ی حاصل از تعریف عبارت است از: