دانلود تحقیق نامعادلات

فصل اول
معادلات گویا، اصم و نامعادله
بخش اول:
تعیین علامت چندجمله‌ای‌ها
تعریف: منظور از تعیین علامت چندجمله‌ای، آن است که بدانیم آن چندجمله‌ای به ازای چه مقادیری برای متغیر آن (x) مثبت یا منفی یا صفر است.

الف) تعیین علامت دو جمله‌ای درجه اول:
ابتدا ریشه آن را بدست می‌آوریم.

سپس در جدول زیر علامت آن را تعیین می‌کنیم.

+ x1 -
x
موافق ضریب x | مخالف ضریب x p
مثال) تعیین علامت کنید.

P=10-5x P=-0.1x+7
P=2x+8 p=1-1/2x
ریشه ساده: ریشه‌ای که فرد دفعه در معادله تکرار شود.

ریشه مضاعف: ریشه‌ای که زوج دفعه در معادله تکرار شود.

تذکر 1) در جدول تعیین علامت، در دو طرف ریشه مضاعف یک علامت تکرار می‌شود.

تذکر 2) عبارت داخل قدر مطلق و عبارت داخل پرانتز با توان زوج دارای ریشه مضاعف می‌باشند.

مثال) تعیین علامت کنید.

P=|2x-10| P=-|2x+3| P=(4-3x)8
P=(5-3x)7 P=-7x2
تعیین علامت عبارات حاصلضرب یا تقسیم
پس از ریشه‌یابی، ریشه‌ها را به ترتیب از کوچک به بزرگ در یک سطح و هر عبارت را جداگانه تعیین علامت می‌کنیم.

از حاصل‌ضرب عمودی علائم هر ستون علامت عبارت بدست می‌آید.

ضمن اینکه اگر ریشه‌ای مخرج کسر را صفر کند، در سطر پایین جدول «ن» می‌نویسیم.

P=4x(x+3)(2-x) P=(3x+6)(1-2x)
P=[(1-x)3(2x+1)4]/[(-5x|x+2|)] P=[x2(1-2x)]/[(|x+3|)]
P=[x(3x-1)]/[(2-5x)(-x+1)] P=[(3-6x)]/[2x(-x-5)]
ب) تعیین علامت سه جمله‌ای درجه دوم:
ابتدا عبارت را ریشه‌یابی می‌کنیم و با توجه به حالت‌های زیر، در جدول مربوط به تعیین علامت می‌شوند.

حالت اول: معادله دو ریشه حقیق متمایز دارد (Δ>0)
+ x1 x1 -
x
موافق a | مخالف a | موافق a p


حالت دوم: معادله یک ریشه مضاعف دارد (Δ=0)
+ x1 -
x
موافق ضریب a | موافق ضریب a p
حالت سوم: معادله ریشه ندارد
+ -
x
موافق ضریب a p

مثال) تعیین علامت کنید.

P=-2x2+5x P=2x2+3x-5
P=4x2+4x+1 P=x2-2x-3
P=1-x+x2 P=2x2-x-x
P=[(x2-7x+12)]/(|x|(1-2x))] P=[(x2-4)]/[(x2-2x)(1-x2)]
ج) تعیین علامت به کمک رسم نمودار:
ابتدا نمودار داده شده را رسم می‌کنیم.

سپس:
• به ازای مقادیری که نمودار بالای محور xها قرار می‌گیرد، علامت آن مثبت؛
• به ازای مقادیری که نمودار روی محور xها قرار می‌گیرد، مقدار آن صفر؛
• به ازای مقادیری که نمودار زیر محور xها قرر می‌گیرد، علامت آن منفی است.

مثال) به کمک رسم نمودار، عبارات زیر را تعیین علامت کنید.

y=-1/2x+1
y=3x-3
y=x2-4x+4
نکته:
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره مثبت باشد: a>o, Δ
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره نامنفی باشد: a>o, Δ=o؛
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره منفی باشد: a
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره نامثبت باشد: a
مثال) نشان دهید عبارت –x2+2x-3 به ازای جمیع مقادیر x منفی است.

مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت (1-m)x2+3x-4 همواره مثبت است.

مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت A=x2+mx+1^2 همواره تعریف شده باشد.

مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت P=mx2-3x+15 همواره مثبت باشد.

مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت P=(m-1)x2-2mx+(m-2) همواره منفی باشد.

مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت P=-x2+2x+2m-3 همواره مثبت باشد.

تعیین علامت هر عبارت از هر درجه در یک سطر
ابتدا ریشه‌یابی و ساده یا مضاعف بودن آن را معلوم و در یک سطر از چپ به راست در جدول قرار می‌دهیم.

سپس از هر عبارت علامت ضرب بزرگترین جمله را درنظر گرفته و در یکدیگر ضرب می‌کنیم تا اولین علامت جدول از سمت راست معلوم شود.

بعد از هر ریشه ساده، علامت را تغییر می‌دهیم و بعد از هر ریشه مضاعف علامت را تغییر نمی‌دهیم.

ابتدا ریشه‌یابی و ساده یا مضاعف بودن آن را معلوم و در یک سطر از چپ به راست در جدول قرار می‌دهیم.

مثال) عبارت زیر را در یک سطر تعیین علامت کنید.

P=-x3+x P=[(4x2-x4)]/[(3-x)] P=[(x2-4)(x-1)2]/[(x2-7x+12)(x2-25)2] P=[(x2-1)]/[(3-3x)(-x2+2x-3)] نامعادله نامعادلات درجه اول مانند معادلات درجه اول حل می‌شوند.

ضمن اینکه در انتها اگر ضریب x منفی باشد، جهت نامعادله عوض می‌شود.

نامعادلات درجه دوم و بالاتر به کمک تعیین علامت حل می‌شوند.

در نامعادلات کسری، اگر در مخرج کسر متغیر نباشد، اجازه داریم آنرا از حالت کسری خارج کنیم.

در حالت کلی، برای حل نامعادله بخصوص زمانی که از درجه اول نباشد، ابتدا نامعادله را به صورت Po درآورده، در حالت P>o نواحی مثبت و با فرض P مثال) نامعادلات زیر را حل کنید.

x2 [(x2-5x+7)]/(2x-5)] [(-3x2(x2-3x-4))]≥o حوزه تعریف عبارات جبری دامنه تعریف عبارات کثیرالجمله‌ای تمام اعداد حقیقی می‌باشد.

P=axn±bxn-1±….±k D=|R دامنه عبارات گویا، تمام اعداد حقیقی غیر از صفر کننده‌های مخرج است.

P=(ax+b)/(cx+d) D=|R{ریشه‌های مخرج} دامنه عبارات رادیکالی با فرجه زوج، تمام مقادیری است که به ازای آن مقادیر زیر رادیکال نامنفی می‌شود.

D(x)≥o در تعیین دامنه عبارات رادیکالی با فرجه فرد، نقش رادیکال بی‌تاثیر است و دامنه عبارت همان دامنه زیررادیکال است.

Dp=DK(x) دامنه عبارات رادیکالی با فرجه زوج که در مخرج کسر هستند، تمام مقادیری است که به ازای آنها زیر رادیکال مثبت می‌شود.

D=P(x)>o مثال) حوزه تعریف عبارات زیر را بیابید.

معادلات و نامعادلات قدرمطلق‌‌دار در حالت کلی برای حل معادلات و نامعادلات کافی است که دو طرف را به توان 2 برسانیم و با حذف قدرمطلق آن را حل کنیم.

مثال) معادلات و نامعادلات زیر را حل کنید.

|x+3|=2 |x+5|=|3-x| |2x+1| |x-2|>4 |x+3|≥5 |1-x|>|2x-5| تذکر: برای حل معادلات و نامعادلات قدر مطلقی می‌توان از ویژگی‌های قدرمطلق نیز استفاده کرد که به چند ویژگی مهم بیان می‌شود.

|u|=k, k>o u=±k |u|=k, K>o امکان ندارد |u|=o u=o |u|=|k| u=≥k |u|o -k |u| |u|>k, k>o u>k or u |u|>k, k |u|≤|k| u2≤k2 |u|≥|k| u2≥k2 مثال) معادلات و نامعادلات زیر را حل کنید.

|2x-1|=3 |x2-1|=0 |2x-1|=-1 |3x+1|=|2x-1| |3x+2|4 |5x-2|>-2 |3x-4| 25≥(1-2x)2 بخش دوم حل معادلات شامل عبارات گویا و اصم الف) حل معادلات شامل عبارات گویا ابتدا دامنه معادله داده شده را تعیین می‌کنیم: اگر در دو طرف معادله تنها یک کسر باشد، با طرفین وسطین کردن، معادله را از حالت کسر خارج می‌کنیم و پس از حل، با توجه به دامنه جواب‌های قابل قبول را می‌پذیریم.

اگر در یک معادله بیش از یک کسر باشد، کل این معادله را در ک.م.م مخرج‌های ضرب می‌کنیم تا معادله از حالت کسر خارج شود.

پس از حل معادله، جواب‌های قابل قبول را می‌پذیریم.

مثال) معادلات زیر را حل کنید.

تذکر: اگر در معادله‌ای دو متغیر وجود داشته باشد و مجموعه جواب معادله داده شده باشد، برای حل آن و یافتن یکی از متغیرها، مجموعه جواب داده شده را به جای متغیری که مقدار آن خواسته نشده، قرار می‌دهیم.

به این ترتیب در معادله تنها یک مجهول وجود دارد که می‌توانیم آن را بدست آوریم.

مثال) مقدار m را طوری تعیین کنید که معادله 2mx-4=7m-x دارای مجموعه جواب {2-} باشد.

مثال) اگر معادله زیر دارای جواب 3 باشد، مقدار a را بیابید.

ب) حل معادلات اصم: عبارت اصم شامل متغیر در زیر رادیکال می‌باشد.

برای حل آن، ابتدا دامنه عبارت را تعیین می‌کنیم.

1.

اگر در معادله‌ای یک رادیکال باشد، عبارت رادیکالی در یک طرف و بقیه جملات در طرف دیگر نوشته می‌شود.

سپس طرفین را به توان فرجه رسانده تا رادیکال حذف شود.

2.

اگر در معادله بیش از یک رادیکال داشته باشیم، ابتدا یک رادیکال را در طرف اول و رادیکال دوم و بقیه جملات را در طرف دوم نوشته، سپس طرفین را به توان 2 رسانده تا رادیکال از بین برود.

اگر مجدداً رادیکالی باقی بماند، باید دوباره به توان 2 برسانیم.

سپس معادله را حل کنیم.

تذکر: با توجه به اینکه جذر اعداد و ریشه‌های زوج اعداد هیچگاه منفی نمی‌شوند، در حل معادلات اصم این نکته را رعایت کنید که اگر جواب رادیکالی منفی باشد، معادله دارای جواب نیست.

تذکر: بعضی از معادلات با تغییر راحت‌تر قابل حل هستند.

+ x1 -xموافق ضریب x | مخالف ضریب xp + x1 x1 -xموافق a | مخالف a | موافق ap + x1 -xموافق ضریب a | موافق ضریب ap + -xموافق ضریب ap