دانلود مقاله بررسی خواص مقدماتی و رفتار فرایندهای شاخه ای گالتون - واتسون

چکیده
هدف از این تحقیق بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی با تابع خانواده زیر جمعی و احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است.

مدلی از فرآیند شاخه ای دو جنسی مفروض است به طوری که توزیع زاد و ولد به اندازه جمعیت بستگی دارد.

همچنین حالت خاص را در نظر می گیریم که در آن نرخ رشد جمعیت (میانگین توزیع زاد و ولد)، وقتی به میل می کند .

برای این نوع از فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی شرط لازم برای همگرایی فرآیند در و ارائه می گردد.

همچنین شرط کافی برای همگرائی در به دست خواهد آمد.

مقدمه
تا کنون مطالعات زیادی روی نحوه رشد جمعیت و احتمال انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد انجام شده است.

در حالت دوجنسی (که مدل مناسبی برای جامعه انسانی است) تعمیم این قضایا لازم به نظر می رسد.

زمانی که ما چگونگی رشد جمعیت را بدانیم، می توانیم زمان انقراض رفتار مجانبی رشد جامعه را بررسی کنیم و مدل مناسبی برای آن بدست آوریم.

فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون دو جنسی اولین بار توسط دالی در سال 1968 و پس از آن توسط آسمونس در سال 1980 تعریف و بررسی شد.

دالی نشان داد که فرآیند شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی یک زنجیر مارکوف با ماتریس احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای با فضای حالت صحیح و نامنفی است.

در نظریه فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد می دانیم که فرآیند با احتمال 1 منقرض می شود اگر و فقط اگر میانگین تولید مثل برای هر فرد دلخواه کمتر از 1 باشد.

حال ما می خواهیم بدانیم «آیا قوانین متشابهی برای احتمالات انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی وجود دارد؟»
در سال 1968 دالی یک شرط لازم و کافی برای احتمال انقراض 1 برای فرآیندهای با توابع خانواده خاص به دست آورد.

هدف از این تحقیق معرفی فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی و فرآیند زوجهای هم خانواده و بیان ویژگی های آنها و مقایسه احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است ابتدا شروط انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی را بررسی می کنیم سپس قوانین کلی انقراض و در نهایت گشتاورهای فرآیند و برخی خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم.

فصل اول


فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد


1-1-مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
1-2-فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد







مقدمه
هدف از این فصل ارائه مطالب کلی و مورد نیاز برای مطالعه فصل های بعدی می باشد در بخش اول برخی از تعاریف و قضایای مقدماتی را که بعداً به آنها نیاز خواهیم داشت بررسی می کنیم و در بخش دوم فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد و برخی خواص عمومی آن را مورد مطالعه قرار می دهیم.

1-1- مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
تعریف 1-1-1: یک فرآیند تصادفی عبارتست از گرد آیه ای مانند از متغیرهای تصادفی ، که در یک فضای احتمال مشترک و با مقادیر در فضای حالت S تعریف می‌شوند.

T زیر مجموعه‌ای از است و معمولاً به عنوان مجموعه پارامتر زمان تعبیر می‌شود .

هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان پیوسته می نامند و هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان گسسته نامند.

معمولاً اگر فرآیند را به صورت نمایش می دهند.

فرآیند مورد نظر ما در این رساله فرآیند با زمان گسسته است.

تعریف 1-1-2: فرض کنید فرآیند تصادفی با زمان گسسته و فضای حالت شمارای S باشد گوئیم این فرآیند یک زنجیر مارکوف است اگر به ازای هر و هر و y از حالتها، رابطه زیر برقرار باشد: (1-1) یعنی فقط اطلاع از حالت فرآیند در مرحله n برای تعیین توزیع حالت فرآیند در مرحله کفایت می کند و اطلاعات قبل از آن مؤثر نخواهد بود.

احتمال شرطی را احتمال انتقال یک مرحله ای از x در مرحله n ام به y در مرحله ام می نامیم.

احتمالات انتقال را با نشان می‌دهیم بنابراین: ماتریس را که درایه های آن احتمالهای انتقال یک مرحله است ماتریس احتمال انتقال یک مرحله ای می‌نامیم.

سطر x ام این ماتریس احتمالهای انتقال از x به یکی از حالتهای زنجیر در یک مرحله است، اگر احتمالات انتقال یک مرحله ای از متغیر زمان مستقل باشد گوئیم فرآیند مارکوف دارای احتمالات انتقال مانا می باشد.

تعریف 1-1-3: فرض کنید دنباله ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده بر فضای احتمال باشد.

همچنین دنباله ای از میدانهای باشد که برای هر n داشته باشیم : است اگر: یک زیر مارتینگل نسبت به است اگر : آ.به ازاء هر n.، روی اندازه پذیر باشد.

ب : به ازاء هر n ، ج : به ازاء هر n ، هر گاه یک زیر مارتینگل باشد ، آنگاه یک زیرمارتینگل است .

هر گاه و یک زیر مارتینگل باشند آنگاه یک مارتینگل نسبت به می باشد .

تعریف 1-1-4 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشند ،‌دنباله همگرای a.s.

به متغیر تصادفی X است اگر : تعریف 1-1-5 : فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد .

گوئیم این دنباله در به متغیر تصادفی X همگراست هر گاه : تعریف 1-1-6 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد دنباله همگرا در احتمال به متغیر تصادفی X است .

هر گاه بازاء هر لم 1-1-1 : فرض کنید متغیرهای تصادفی در یک فضای احتمال باشند ، اگر وقتی همگرا در به X باشد‌ ، آنگاه همگرا a.s.

به X است .

لم 1-1-2 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد .

اگر وقتی ، همگرایی a.s.

به X باشد آنگاه همگرا در احتمال به X است .

لم 1-1-3 : (قضیه همگرائی مارتینگل ها) : آ : فرض کنید یک زیر مارتینگل صادق در : باشد .

در این صورت یک متغیر تصادفی متناهی مانند X وجود دارد که با احتمال یک به همگراست یعنی (1-2) لم 1-1-4 : (نامساوی جانسن) : آ : متغیر تصادفی X مفروض است .

اگر g(x) تابعی مقعر باشد آنگاه : ب : متغیر تصادفی X مفروض است .

اگر g(x) تابعی محدب باشد آنگاه : لم 1-1-5 : به فرض f انتگرالپذیر و نزولی بر باشد ، و در این صورت : اگر و فقط اگر : لم 1-1-6 : فرض کنید f تابع نزولی مثبت باشد .

در این صورت برای هر و داریم : لم 1-1-7 : فرض کنید f(x) یک تابع مثبت و نزولی بر باشد بطوریکه xf(x) صعودی باشد و .

همچنین فرض کنید دنباله ای از اعداد مثبت باشد .

اگر به ازاء یک و هر داشته باشیم .

آنگاه : آ : موجود است .

ب: ای که فقط به f و m بستگی دارد موجود است به طوریکه اگر آنگاه .

1-2- فرایندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد : فرآیندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد را می توان به شکل زیر تشریح کرد : فرض می کنیم فرآیند در نسل آغازین (صفر ام) N عضو داشته باشد ، یعنی در نسل صفر پس از یک نسل هر فرد با احتمال ، k فرزند به وجود می آورد .

یعنی که در آن تعداد فرزندان فرد ام است .

عده‌ نسل اول خواهد بود .

لذا تعداد فرزندان نسل آغازین و اندازه جمعیت در نسل اول خواهد بود .

اگر آنها را 1 و 2و ...

و بنامیم هر فرد به تعداد فرزند بوجود می آورد .

پس عده نسل دوم برابر است با و نسل ادامه می یابد .

به طور کلی : تعریف 1-2-1 : فرض کنیم موجود زنده ای در پایان عمرش تعداد تصادفی نوزاد با توزیع احتمال : (1-3) به وجود می آورد که در آن و همچنین تمام فرزندان مستقل از هم عمل می کنند و در آخر عمرشان فرزندانی بر طبق توزیع احتمال (1-3) خواهند داشت .

بدین ترتیب نسلشان ادامه خواهد یافت .

اندازه جمعیت در نسل n‌ام و تعداد فرزندان خانواده k ام از نسل nام است .

; (1-4) (با مجموع تهی تعریف شده صفر) را فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد می نامیم .

اصولاً فرایندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد با 2 پارامتر زیر مشخص می‌شوند :‌ 1- : اندازه جمعیت در نسل‌آغازین 2- : قانون احتمال زاد و ولد .

یعنی احتمال اینکه یک فرد دلخواه n فرزند داشته باشد است .

لم 1-2-1 : فرض می کنیم فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد باشد .

یک زنجیر مارکف با فضای حالت صحیح و نامنفی است .

همچنین وضعیت صفر ، وضعیت جاذب است و احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای مانا است .

تعریف 1-2-2 : برای فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد تابع مولد احتمال نسل nام را با نمایش داده و تعریف می کنیم : (1-5) بنابراین خواهیم داشت : (1-6) یعنی توزیع را یافته ایم .

لم 1-2-2 : برای فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد به همواره رابطه زیر برقرار است : (1-7) لم 1-2-3 : با شرایط لم (1-2-2) برای هر رابطه زیر برقرار است : (1-8) (1-9) اگر به جای داشته باشیم آنگاه و (1-10) زیرا با فرض رابطه (1-7) برقرار است .

اما رابطه (1-8) و (1-9) دیگر برقرار نخواهد بود.

رابطه (1-8) به ازاء برقرار خواهد بود .

از این به بعد فرض می کنیم ، مگر آنکه عکس این مطلب بیان شود .

لم 1-2-4 : فرض می کنیم و موجود و متناهی باشد آنگاه : آ : (1-11) یعنی رشد متوسط جمعیت نمائی است .

ب: = (1-12) تعریف 1-2-3 : احتمال انقراض در نسل n ام را با نمایش می دهیم و برابر است با : (1-13) از رابطه (1-13) به راحتی به دست می آید : (1-14) زیرا : لم 1-2-5 : فرض می کنیم فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد باشد و احتمال انقراض در نسل n ام باشد ، در این صورت موجود است .

که در آن q کوچکترین ریشه مثبت معادله می باشد .

تعریف 1-2-4 : q را احتمال انقراض نهائی می نامیم و تعریف می کنیم : (1-15) لم 1-2-6 : برای هر فرآیند گالتون - واتسون استاندارد رابطه زیر برقرار است .

(1-16) که در آن لم 1-2-7 : برای هر فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد داریم : (1-17) تعریف 1-2-5 : در فرایندشاخه ای گالتون - واتسون استاندارد ، را به شکل زیر تعریف می کنیم به طوریکه لم 1-2-8 : در یک فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد ، دنباله یک مارتینگل است .

لم 1-2-9 : در یک فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد ؛ وقتی ، دنباله به صورت a.s.

، همگرا به یک متغیر تصادفی متناهی و نامنفی مانند w است .

برهان : یک مارتینگل است پس با توجه به قضیه همگرائی مارتینگلها یک متغیر تصادفی متناهی مانند w موجود است به طوریکه : فصل دوم فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی (GWBP) تعاریف و خصوصیات اصلی 2-1- فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی (GWBP) 2-2 توابع خانواده زیر جمعی 2-3 فرآیند شاخه‌ای زوجهای هم خانواده مقدمه : در این فصل ابتدا تعریف فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون را می آوریم سپس به خصوصیات اصلی و پارامترهای آن می پردازیم .

در ادامه تابع خانواده زیر جمعی را تعریف می کنیم و در نهایت فرآیند شاخه‌ای زوجهای هم خانواده را بررسی می کنیم هدف کلی از این فصل درک مفاهیم کلی درباره فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی که تابع خانواده زیر جمعی دارند می باشد .

2-1-فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دو جنسی (GWBP) فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی را می توان به صورت زیر خلاصه نمود : تولید مثل موفق یک روند تکاملی شامل تعداد زنان و تعداد مردان می باشد که زوج را تشکیل می دهند که در آن یک تابع با مقدار عددی صحیح و غیرمنفی که بر حسب غیرنزولی است فرزندان زوج تشکیل نسل ام را می دهند ، به طوریکه که در هر نسل زوجها به طور مستقل تولید مثل می کنند .

به طور کلی گروه (GWBP) شامل 4 پارامتر زیر می باشد .

1-تعداد زوجها در نخستین نسل را برابر می گیریم .

2-تابع خانواده را با L نشان می دهیم .

3-قانون احتمال تولید مثل را با نشان می دهیم به این معنی که احتمال اینکه یک زوج اختیاری n فرزند داشته باشد برابر است .

4-احتمال این را که یک فرد متولد شده مذکر باشد با نشان می دهیم .

دالی در سال 1968 نشان داد که یک زنجیر مارکوف با احتمال انتقال تک مرحله ای است .

فضای حالت از اعداد صحیح غیرمنفی تشکیل می شود حالت صفر وضعیت جاذب و بقیه حالات وضعیت گذرا یا انتقال هستند .

عناصر ماتریس احتمالهای انتقالی به صورت زیر محاسبه می شود : در اینجا ها زنان و مردانی را که توسط i امین زوج در () امین نسل تولید شده‌اند نشان می دهند .

2-2- توابع خانواده زیر جمعی تعریف 2-2-1 : یک تابع خانواده مانند را زبر جمعی است اگر برای هر یک از زوجهای و از اعداد صحیح غیرمنفی در رابطه زیر صدق کند .

با توجه به تعریف فوق برای هر مجموعه متناهی و از اعداد صحیح غیرمنفی رابطه زیر برقرار است : در عمل اکثر توابع خانواده‌ای که با آنها سروکار داریم زبرجمعی هستند (نه فقط فرآیند های شاخه ای دو جنسی) این توابع شامل موارد زیر می شوند : نشان دهنده جزء صحیح x است .

خانواده تصادفی (a) : میانگین حسابی (b) : میانگین هندسی (C) : میانگین موزون (d) (e) اگر چون 2-3- فرآیند شاخه ای زوجهای هم خانواده (SMOBP) تعریف 2-3-1 : فرآیند شاخه ای زوجهای هم خانواده (SMOBP) یعنی اینکه یک زن و مرد فقط زمانی تشکیل یک زوج می دهند که از یک نسل و از یک زوج مشترک باشند (یک پدر و مادر داشته باشند) بنابراین اگر یک نسل j زوج داشته باشد ، نسل بعدی زوج خواهد داشت .

منظور از () زنان و مردان متولد شده توسط i امین زوج است .و تمامی شرطهای (GWBP) توسط (SMOBP) پوشش داده می شود ، بطوریکه همان 4 پارامتر را نیز داراست .

در یک (SMOBP) زوجهای مختلف در نسلهای مختلف به طور مستقل تولید مثل می کنند و حتی به طور مستقل تشکیل خانواده می دهند .

فصل سوم احتمالات انقراض 3-1- انقراض در فرآیند هایی که تابع خانواده زیرجمعی دارند 3-2-معیارهای کلی انقراض مقدمه هدف کلی از این فصل بدست آوردن معیاری کلی برای انقراض در فرایندهای شاخه‌ای گالتون - واتسون دو جنسی است .

در ابتدا انقراض در فرایندهایی را که تابع خانواده زیرجمعی دارند بررسی می کنیم .

سپس احتمال انقراض در فرایندهای شاخه‌ای گالتون - واتسون دو جنسی را با فرایند شاخه ای زوجهای هم خانواده مقایسه می کنیم .

و در نهایت معیارهای کلی انقراض را مورد بررسی قرار می دهیم .

3-1- انقراض در فرایندهایی که تابع خانواده زبرجمعی دارند تعریف 3-1-1 : احتمال انقراض فرآیند با شروع از یک نفر در نسل صفر را با Q نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم .

دالی در سال 1968 یک شرط لازم و کافی برای اینکه احتمال انقراض برابر یک شود به دست آورد به این صورت که فرآیند باید از نوع یکی از دو تابع خانواده زیر باشد : تشکیل زوجها به صورت کاملاً بی قاعده و دیگری زمانی که یک مرد می تواند چند زن داشته باشد که d یک عدد صحیح مثبت است (یک مرد می تواند تا d همسر داشته باشد) مشکلی که در اینجا مطرح است ساختن یک توضیح کلی راجع به احتمال انقراض برای همه توابع خانواده ممکن است .

قضیه 3-1-1 : فرض کنید یک (GWBP) و یک (SMOBP) با پارامترهای مشابه و تابع خانواده زبرجمعی هستند ، Q و به ترتیب احتمالات انقراض را نشان دهند در آن صورت خواهد بود .

اثبات : داریم : دالی در سال 1968 نشان داد که هر یک از فرآیند های و تصادفی یکنوا هستند .

بنابراین دالی همچنین رابطه : را که از آن برای اثبات فرضیه اش استفاده کرده است به دست آورد .

از آنجایی که یک (SMOBP) مانند یک فرآیند شاخته ای استاندارد عمل می کند اگر و تنها اگر و در آن است .

از قضیه بالا نتیجه زیر را فوراً بدست می‌آوریم .

نتیجه : اگر آنگاه و یا به طور مساوی اگر آنگاه است .

برای اینکه نشان دهیم عکس قضیه همیشه درست نیست ، فرض کنید یک با تابع خانواده زبرجمعی است .

L(x,y)= در جاهای دیگر فرض کنید .

و برای بقیه و است به راحتی می توانیم مساله را برای و یا امتحان کنیم و می بینیم که بنابراین اگر بخواهیم عکس قضیه را درست در نظر بگیریم است .

از طرف دیگر : و از آنجایی که : و در نتیجه بسط حاصلضرب در بالا همگراست و بنابراین بزرگتر از صفر است ، یعنی اینکه است (با قرار دادن ، ) بنابراین شرط موجود در نتیجه فوق لازم است ولی کافی نیست و ما برای چنین شرایطی نمی توانیم یک راه حل قطعی ارائه دهیم.

3-2- معیارهای کلی انقراض هال در سال (1982) انقراض در یک فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون (GWBP) در دوره هایی از میانگین تولید مثل یعنی در دوره هایی از را مورد بررسی قرار داد او توجه اش را روی توابع خانواده زبرجمعی معطوف کرد .

یعنی تابع خانواده از فرمول تبعیت می‌کند .‌ او ‌ثابت‌ کرد‌ برای ‌واحدهایی که قادر به تشکیل خانواده هستند برای اینکه: برابر یک شود ، یک شرط لازم است ولی با یک مثال می توان فهمید که شرط موجود کافی نیست .

هال نتوانست راه حل مناسبی برای ارائه شرط کافی به دست آورد .

ما می‌خواهیم برای توابع خانواده دو جنسی اختیاری در دوره هایی از میانگین واحد تولید مثل جواب مناسبی بدست آوریم .

ملاحظه یکی از مثالهای عددی هال آموزنده است ، اگر جاهای دیگر L(x,y)= x= و با توجه به اینکه () و در نتیجه فرآیند موردنظر میراست اگر و تنها اگر نسلی وجود داشته باشد که همه فرزندانش فقط زن یا فقط مرد باشد یعنی اینکه است و با انتخاب و می شود اما برای Q کوچکتر از یک به دست می آید .

نکته ای که باید به آن توجه کنیم اینست که یعنی برای هر بزرگتر از 3 است.

بنابراین فرآیند به اندازه کافی بزرگ است .

این فرآیند شبیه به یک (GWBP) با میانگین واحد تولید مثل بزرگتر از یک عمل می کند .

انقراض یک روند ممتد و دنباله دار است و این واضح است که دوره های (3-1) باید در ملاحظات ذکر شود .

قضیه 3-2-1 : فرض کنید () یک (GWBP) با توزیع تولید مثل و یک تابع خانواده دو جنسی اختیاری باشد .

اگر میانگین تولید مثل برای هر زوج برای همه kها محدود باشد و برای k های بزرگ کوچکتر از یک باشد .

آنگاه اثبات : فرض کنید و همچنین اگر b= (3-2) جاهای دیگر طبق فرض داریم که و است .

فرض کنید f(s) یک تابع تولیدمثل از توزیع تولید مثل باشد .

بنابراین برابر است با احتمال اینکه یک زوج دلخواه هیچ فرزندی یا فقط فرزند پسر داشته باشند .

چون پس است ، و چون زوجها به طور مستقل تولید مثل می‌کنند رابطه زیر برقرار است .

(3-3) حال بر اساس موارد و از رابطه (3-2) نتیجه می شود که (3-4) با جمع بندی روی به دست می آوریم .

(3-5) هر چند یک وضعیت جاذب است .

طبق (3-3) همه حالات به ازای مجموعه به دست می آیند .

یعنی در سمت راست حاصل جمع در (3-5) وقتی می رود همگرا می شود یعنی به ازای متناهی است .

مسلماً یک زنجیر مارکوف با تنها وضعیت جاذب و در بقیه حالا گذراست از آنجایی که احتمال جذب همیشه وجود دارد ، در نتیجه باید جذب شود یا اینکه به بی‌نهایت میل کند .

بنابراین .

ملاحظه : در موارد خاص و و است و شرط قضیه (3-2-1) شرطی لازم و کافی برای انقراض است .

این مطالب در سال 1968 توسط دالی و با استفاده از تابع تولید مثل اثبات شده است .

مقایسه : موارد خاصی که دالی ارائه داد به خوبی کار سواستیانوبود و زابکو نشان داد که قضیه (3-2-1) از روی ضرورت مطرح شده است و شرط برای انقراض کافیست .

بهتر است از یک مثال عددی استفاده کنیم .

اگر فرض کنید جای دیگر 0 و فرض کنید یعنی و در نتیجه یا اینکه به علاوه اگر و باشد .

چون و پس است .

می بینیم که تابع خانواده دو جنسی را به شکل و اگر یا باشد .

حال داریم که : و یا بالعکس با جایگذاری داریم که از آنجایی که همگرای a.s.

روی به ازای ، داریم که مشخص است که : و‌ است .

در نتیجه و است و از طرف دیگر داریم که : و وقتی آنگاه بنابراین در صورتی که ما توابع خانواده ای را در نظر بگیریم که به صورت باشد آنگاه یک شرط لازم و کافی برای انقراض خواهیم داشت .

قضیه (3-2-2) : فرض کنید : و ‌,‌‌ باشد اگر به ازای و آنگاه : اثبات : فرض کنید : و و چون : و این مطلب بیان می کند که : و (3-6) توجه کنید که به ازای هر است .

همانطور که برای هر روابط و برقرارند و این مطلب معادله معروف را بیان می کند و چون : معادله نتیجه می شود و از معادله (3-6) اثبات کامل می شود .

این قضیه به خودی خود قابل اجرا نیست ولی به وضوح حدود تلاشهایی از فرمول بندی معیارهای انقراض را در دوره هایی از واحدهای تولید مثل نشان می دهد .

فصل چهارم میزان هندسی رشد در فرآیند های شاخه ای وابسته به حجم جامعه 4-1 زمانهای فرآیند و مارتینگل 4-2 شرط لازم برای همگرایی در 4-3 شرط کافی برای همگرایی در مقدمه فرض کنید یک دنباله از توزیعهای احتمال روی اعداد صحیح غیرمنفی باشد، در این صورت یک فرآیند وابسطه به حجم جامعه یک زنجیر مارکوف جور شده روی اعداد صحیح غیرمنفی است که احتمالهای گذرا از رابطه زیر بدست می آیند : (4-1) در اینجا حلقه های i تایی از دنباله در نقطه j است .

نشان دهنده توزیع نخستین از زنجیر است .

که به صورت غیرتصادفی است .

برابر با اندازه احتمال وقتی است.()فضای‌احتمالیرا تشکیل می دهند .

و وجود آن بوسیله قضیه کلموگروف ثابت می شود .

می دانیم که برای روابط برقرار است‌ و در اینجا موردی را بررسی می کنیم که در آن میانگین تولید مثل : میل می کند .

حال نکاتی را در زیر معرفی می کنیم : فرض کنید : .

فرمولهای بالا به ترتیب میانگین و واریانس توزیع تولید مثل است ، وقتی که حجم جامعه برابر n است .

واریانس جبری ایجاد شده توسط n تولید مثل اول فرآیند است اگر (4-2) برای بعضی ثابتهای و و و آنگاه همگراست و هر W در ناتباهیده است از اینرو شرط (4-3) شرط کافی برای افزایش سریع جبری در می‌باشد .

حال ما می خواهیم شروط لازم برای همگرایی در و شروط لازم و کافی برای همگرایی در به یک حد ناتباهیده برای یک نوع از فرایندهای را بدست آوریم.

4-1-زمانهای فرآیند و مارتینگل موارد زیر براحتی از مورد (1) نتیجه می شوند : (4-3) (4-4) (4-5) (4-6) (4-7) (4-8) (4-9) بعنوان یادآوری (4-10) و از رابطه (5) داریم که (4-11) و در نتیجه یک مارتینگل است .

لم 4-1-1 : فرض کنید یک تابع مثبت غیرصعودی است پس برای و اگر و فقط اگر اثبات : اگر و فقط اگر اگر و فقط اگر اگر و فقط اگر 4-2-شروط لازم برای همگرایی در ما در اینجا نوعی از فرآیندهای مانند که همگرا به است و از بالا یا پایین یکنواخت است در نظر می گیریم.

یعنی یک دنباله غیر صعودی است که همه ها در آن هم علامتند.

یک تابع غیر صعودی است بطوریکه و است.

یک تابع مثبت است که در آن و است.

اگر دنباله محدود باشد پس یک متغیر تصادفی مانند W با وجود دارد بطوریکه به W همگراست.

بعلاوه اثبات : اگر یک دنباله محدود باشد.

براحتی از رابطه (4-6) می فهمیم که یک ثابت K وجود دارد که برای همه n ها رابطه زیر برقرار است.

(4-12) چون ها هم‌علامتند و غیر منفی است از رابطه (4-12) بدست می آوریم که (4-13) در نتیجه : (4-14) و (4-15) چون محدود است از (4-10) و (4-13) داریم که از این رو و بوسیله قضیه همگرایی مارتینگل، متغییر تصادفی مانند Y وجود دارد که و از (4-15) داریم که همگراست.

پس به همگرا است.

با استفاده لم (4-1-1) نتیجه می گیریم که و از (15) داریم که (16-4) نتیجه 4-2-1 : اگر در همگرا باشد پس همگرا است.

قضیه 4-2-2 : شرط (A) برای همگرایی در لازم است.

)A) اثبات : اگر در به w همگرا باشد آنگاه از قضیه (4-2-1) داریم که ((4-17 چون غیر صعودی است از (4-17) داریم که 18-4)) چون w غیر نزولی است پس است در نتیجه از (4-18) و لم(4-1-1) حکم ثابت است.

قضیه 4-2-3 : اگر رابطه به ازای بعضی از و همه n ها برقرار باشد آنگاه در همگرا نیست.

اثبات : از رابطه (4-8) داریم که پس در نتیجه حکم ثابت است.

قضیه 4-2-4 : فرض کنید یک تابع مانند وجود دارد که غیر صعودی است و برای همه هم علامتند.

سپس شرط (B) برای همگرایی در به یک حد ناتباهیده یک شرط لازم است .

(B) اثبات : اگر در همگرا باشد از رابطه (4-9) داریم که (4-19) از نتیجه (4-2-1) و رابطه (4-19) داریم که (4-20) و از رابطْ (4-20) و (4-16) رابطه زیر را بدست آوریم.

(4-21) چون غیر صعودی است و در نتیجه از رابطه (4-21) داریم که (4-22) حال فرمول (4-22) که از غیر نرولی بودن w و لم (4-1-1) بدست آمد حکم را ثابت می‌کند.

4-3- شروط کافی برای همگرایی در در این قسمت روی نوع خاصی از فرایندهای که شامل تابع .مثبت غیر صعودی که ، روی تعریف شده است کار می کنیم.

ابزار اصلی که همگرایی را نشان می دهد در لم زیر آمده است.

لم 4-3-1 : فرض کنید یک تابع مثبت غیر صعودی روی است بطوریکه غیر نزولی است و (4-23) و فرض کنید دنباله اعداد مثبت برای بعضی و همه N ها باشد.

(4-24) پس : (ii) یک عدد ثابت مانند Z وجود دارد که به f و m رابطه است.

بطوریکه اگر آنگاه است.

اثبات : رابطه (4-23) می گوید که است.

بنابراین عدد ثابتی مانند c وجود دارد که است.

تعریف 4-3-1 : تعریف می کنیم از لم (4-1-1) و رابطه (4-23) روشن است که فرض کنید باشد پس از (4-24) مشخص است که و (4-25) از (4-25) روابط (4-26) و (4-27) بدست می آید.

(4-26) (4-27) ما دو حالت متفاوت به صورت زیر داریم.

(I) عددی مانند n وجود داشته باشد بطوریکه (II) برای همه ، باشد.

اگر حالت I برقرار باشد با استقرا روی n می توان نشان داد که برای همه رابطه زیر برقرار است : (4-28) چون از (4-27) می فهمیم که برای رابطه (4-28) درست است .

اگر (4-28) برای n درست باشد سپس از (4-27) می توان گفت که برای () نیز درست است .

و از (4-28) برای داریم که : (4-29) و از (4-29) و (4-26) داریم که (30-4) اگر حالت II برقرار باشد از غیر نزولی بودن استفاده می کنیم و از (4-25) داریم که (4-31) مشخص است که یک دنباله کچی ‌است پس به b همگراست و متناهی است.

بنابراین در هر دو حالت I و II و متناهی است پس و متناهی است.

با قرار دادن در حالت I داریم که است.

پس با قرار دادن داریم که اگر سپس و اثبات کامل است.

قضیه 4-3-1 : فرض کنید درست باشد : () سپس : (i) و (ii) یک متغیر تصادفی مانند w با وجود دارد بطوریکه همگرای به W است .

برای استفاده‌های بعدی توابع زیر را تعریف می کنیم.

یک تابع مثبت که در آن قضیه 4-3-2 : فرض کنید یک تابع غیر صعودی است و یک تابع غیر نزولی است بطوریکه توابع روی تعریف شده اند و همچنین فرض کنید شروط و برقرارند.

سپس در به یک حد ناتباهیده W همگراست .

نتیجه‌4-3-1‌: فرض کنید برای N و همه روابط زیر برقرار باشد.

)C( )D( که در آن و اعداد ثابتند.

سپس در به یک حد ناتباهیده W همگراست.

تذکر: اگر ، سپس بطور یکنوا نزولی است.

چون پس شرط A برقرار نیست.

پس قضیه (4-2-2) به ما می گوید که در همگرا نیست.

بنابراین دنباله یک دنباله نرمال نیست و در این حالت هنوز دنباله نرمال مناسبی پیدا نشده است.

فهرست منابع 1-کارین، ساموئل و تیلور، هوودار دام، نخستین درس در فرآیندهای تصادفی، ترجمه دکتر علی اکبر عالم زاده، دکتر عین الله پاشا، مؤسسه نشر علم نوین، 1373 2-بارتل، ربرت جی، اصول آنالیز حقیقی، ترجمه جعقر زعفرانی، مرکز نثر دانشگاهی، 1366 3-رانداس بات، نظریه احتمال مدرن، ترجمه دکتر بزرگ نیا و دکتر علامتساز، مانی، 1357 4-Asmussen, s.(1980) on some two-sex population models.

Ann.

prob.

8,727-744.

5-Daley, D.J,(1968a) Extinction conditions for certain bisexual Gelton-watson branching processes.Z.

wahrsheinlichkeitsth.

9,315-322 6-Daley, D.J.(1968) stochastically monotone marlivchails.

Z.wahrscheinlichleitsth.

10,305-317 7-Hull, D.M.(1982) Anecessary condition for extinction in those bisexual Galton- watson branching processes governed by superadditive mating functions.

J.Appl.prob.19,847-850 8-sevastyan, B,A, And zubkov,A-M(1971) controlled branching processes.

Theory prob, Appl.19,14-24 9-Fujimagari, T.(1976) controlled Galton- watson process and its asymptotic behavior.

jodai mathe.

sem.

rep.27,11-18 10-klebaner,F,C(1983)population- size- dependent branching process whith linear rate of growth.

J.Appl.prob.20,219-250 10-knopp,k(1998) Theory and Applications of Infinite servies.

Blackie&sons, London.

12-labrovski, V,A,(1972) A limit theorem for generalized bravching process depending on the size of the population.

theory prob.

Appl.17,72-85 13-Hepfner, R.(1983) in some classes of population-size- dependent Galton-watson processes submitted to J.Appl.prob 14-Karr,A."probibility", springer- varlay, New york, 1993 15-leave, m."probability theroy , II,"springer-verlag, newyork 1978.

16-knopp, k,Theory and applications of infinite series., Blacki &sons, London, 1928.

17-Gonzalez, M., molina, M., "in the limit behavior of a supperaddititive bisexual Galton- watson branching process."J.Appl prob.Data, 1998,33,960.

Abstract In this research we study the asymtotic behaviour of a bisexual Galton - Watson branching process .

A bisexual branching process is considered , where the low of offspring distribution is superadditive and depends on the population size .

We condiser the case when the mean growth rate (the mean of offspring distribution) tend to a limit r>1 as For this class of the processes , the necessary condition for the convergence in L1 , L2 , and sufficient condition for the convergence in L1 , L2 and a.s.convergence of the process isproved .