دانلود تحقیق توزیع نرمال

توزیع نرمال
توزیع نرمال، که ممکن است بعضی از خوانندگان، نمودار آن را به عنوان منحنی زنگدیس بشناسند، گاهی با نامهای پیرلاپلاس و کارس گاوس، که در تاریخ پیدایش آن نقش چشمگیر داشته اند، همراه است.

گاوس توزیع نرمال را با روش ریاضی به عنوان توزیع احتمال خطای اندازه گیریها به دست آورد و آن را «قانون نرمال خطاها» نامید.بعداً منجمین، فیزیکدانها، و کمی بعد از آن، کسانی که در بسیاری از رشته ها داده‌ها را گردآوری می کردند، دریافتند که بافت نگارهای این داده ها دارای این خصوصیت مشترک هستند که ارتفاع مستطیلها ابتدا بتدریج به یک مقدار بیشینه صعود می کنند و سپس به طور متقارن کاهش می یابند.

هرچه منحنی نرمال تنها منحی نیست که چنین شکلی دارد ولی معلوم شده است که در موارد بسیار زیادی، تقریب قابل قبولی به دست می دهد.

زمانی در جریان مراحل اولیه تکامل آمار، چنین احساس می‌شد که داده های مربوط به هر پدیده واقعی باید مطاق با منحنی نرمال زنگدیس باشند و در غیر این صورت می باید نسبت به فرایند جمع آوری داده ها مشکوک بود.

از اینجاست که این توزیع به نام توزیع نرمال معروف شده است.

لکن بررسی دقیق داده ها در اغلب موارد، نارسایی توزیع نرمال را آشکار ساخته است.

لکن بررسی دقیق و در حقیقت، عمومیت توزیع نرمال افسانه ای بیش نیست، و مثالهای توزیع های غیر‌نرمال در هر یک از قلمروهای تحقیقات، فراوان اند.

با وجود این، توزیع نرمال نقشی اساسی در آمار بازی می کند، و روشهای استنباطی که از آن به دست می آیند، دارای قلمرو کاربرد وسیعی هستند و ستون فقرات روشهای جاری تجزیه و تحلیل آماری را تشکیل می دهند.

هرچند در اینجا صحبت از اهمیت توزیع نرمال است، ولی بحث ما در واقع به رده وسیعی از توزیعها که دارای چگالی زنگدیس اند، مربوط می شود.

هر توزیع نرمال به وسیله مقدار میانگین آن، ، و انحراف معیار آن، ، به طور کامل مشخص می شود؛ این مقادیر در فرمول تابع چگالی احتمال ظاهر می شوند.

توزیع نرمال دارای چگالی زنگدیس زیر است:

که در آن، میانگین و انحراف معیار است.

احتمال فاصله ای که به اندازه
یک انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با

دو انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با


در فرمول تابع چگالی احتمال، مساحت دایره ای است به شعاع واحد، که به طور تقریبی 1416ر3 است و e تقریباً 7183ر2.

است فرمول خاص منحنی نرمال برای ما مهم نیست، اما توجه به بعضی از جزئیات آن لازم است.

منحنی در اطراف میانگینش که نوک زنگ را مشخص می کند.

متقارن است.

فاصله ای به اندازه یک انحراف معیار در هر طرف دارای احتمال 683ر0، فاصله از تا دارای احتمال 954ر0، و فاصله از تا دارای احتمال 997ر0 هستند.

منحنی هرگز و به ازای هیچ مقدار x به صفر نمی رسد، ولی به خاطر اینکه مساحت سطوح انتهایی خارج از فاصله خیلی کوچک اند، معمولاً نمایش هندسی را در دو سر این فاصله پایان می دهیم.

نمادگذاری توزیع نرمال با میانگین و انحراف معیار به صورت نشان داده می شود.

با تفسیر پارامترها، می توان در شکل 7-5 دید که تغییر میانگین از به یک مقدار بزرگتر ، صرفاً منحنی زنگدیس را در امتداد محور طولها تا استقرار مرکز جدید در ، منتقل می نماید و تغییری در شکل منحی به وجود نمی آورد.

تغییر مقدار انحراف معیار، منجر به تغییر نقطه بیشینه منحنی و تغییر مقدار مساحت در هر فاصله ثابت حول (شکل 7-6 را ببینید) می شود.

اگر فقطتغییر کند، مکان مرکز تغییر نمی کند.

توزیع نرمال خاصی که دارای میانگین صفر و انحراف معیار یک است توزیع نرمال استاندارد نامیده می شود.

میانگین و واریانس این توزیع با میانگین و واریانس متغیر استاندارد شده که در بخش 4-4 تعریف شد، تطبیق می کنند.

مرسوم است که متغیر نرمال استاندارد را با Z نمایش دهند.

منحنی نرمال استاندارد در شکل 7-7 نشان داده شده است.

7-2-1-استفاده از جدول نرمال (جدول 4 پیوست) جدول نرمال استاندارد در پیوست کتاب، مساحت واقع در سمت چپ هر مقدار مشخص Z را ارائه می دهد: مساحت زیر زمینی در سمت چپ برای احتمال یک فاصله [a,b] ]مساحت سمت چپ[a - ] مساحت سمت چپ [b= خواص زیر را می توان از روی خاصیت تقارن تابع چگالی حول صفر به دست آورد.

این مطلب در شکل 7-8 نشان داده شده است: الف) ب) ج)اگر z>0 داریم خاصیت (ج) برای استفاده از جدولهای نرمال دیگری لازم است که فقط احتمالهای را می دهند.

مثال 7-1 و را پیدا کنید.

با توجه به جدول 4 پیوست، می دانیم که احتمال یا مساحت واقع در سمت چپ 52ر1 برابر یا 9357ر0 است.

در نتیجه ، 9357ر0 .

بعلاوه، چون متمم است، همان طور که در شکل 7-9 می توان دید، داریم روش دیگر این است که از خاصیت تقارن برای اثبات تساوی استفاده کنیم، که احتمال اخیر به طور مستقیم از جدول 4 پیوست به دست می آید.

مثال 7-2 را محاسبه کنید.

همان طور که در شکل 7-10 می توان دید، با استفاده از جدول 4 پیوست داریم.

9452ر0=مساحت واقع در سمت چپ 4404ر0=مساحت واقع در سمت چپ 15ر0 بنابراین مثال 7-3 یا را پیدا کنید.

دو پیشامد و جدا از هم هستند، بنابراین احتمالهای آنها را با هم جمع می کنیم: یا ، همان طور که در شکل 7-11 نشان داده شده، مساحت واقع در سمت راست 1ر2 می باشد، که برابر است با یک منهای مساحت واقع در سمت چپ 1ر2، که مساوی است با 0179ر0=9821ر0-1.جدول 4 پیوست، مقدار را بطور مستقیم می دهد.

با جمع کردن این دو کمیت، داریم یا مثال 7-4 مقدار z را پیدا کنید به طوری که در صدق کند.

با استفاده از این خاصیت که مساحت کل برابر با یک است، مساحت واقع در سمت چپ zباید برابر 9750ر0=0250ر0-1 باشد.

مقدار کناری برای درایه 9750ر0 از جدول برابر یا 96ر1=z است.

مثال 7-5- مقدار 0z> را به دست آورید هرگاه .

با توجه به تقارن منحنی داریم: در جدول 4 پیوست، می بینیم که 65ر1=z منجر به و 64ر1=z به می شود.

چون 50ر0 وسط دو مقدار احتمال فوق است، با درون یابی بین این دو مقدار، 645ر1=z را به دست می آوریم.

مثالهای قبلی، سومندی نموداری را که سطح زیر منحنی نرمال استاندارد را نمایش دهد، آشکار می سازد.

یک نمودار صحیح نشان می دهد که چگونه می توان مساحت سطوح واقع در سمت چپ مقادیر مشخص z در جدول نرمال را ترکیب کرد.

خوشبختانه، برای محاسبات مربوط به توزیع های نرمال جداول دیگری لازم نیست.

توزیع نرمال این خاصیت را دارد که اگر X دارای توزیع باشد؛متغیر استاندارد شده دارای توزیع نرمال استاندار خواهد بود.

بنابراین، در حالت کلی می توان احتمالهای فواصل را با کم کردن میانگین و سپس تقسیم بر انحراف معیار، به توزیع نرمال استاندارد مربوط کرد.

دلایل درستی این روابط در زیر می آید.

این پیشامد که X کوچکتر از b باشد، همان پیشامد است، و این مقادیر X همان مقادیری هستند که به ازای آنها داریم حال توجه کنید که ، اشتراک و یا، به عبارت دیگر، اشتراک و است.

این اشتراک عبارت است از: پیشامد اخیر بر حسب متغیر نرمال استاندارد بیان شده است.

مقادیر Z در این حالت و هستند.

مثال 7-6 در صورتی که X دارای توزیع باشد، و را محاسبه کنیم.

در اینجا و ، بنابراین عدد 1 را از طرفین کم می کنیم و سپس حاصل را بر 4 تقسیم می نماییم.

مثال 7-7بعد از یک دوره کارآموزی، توزیع نمره های امتحانی مربوط به این دوره، تقریباً (2،14)N است.

اگر قرار باشد آنهایی که نمره زیر 11 می آورند دوباره کارآموزی ببینند، چند درصد از آنها دوره کارآموزی را دوباره خواهند دید؟

این درصد برابر با خاصلضرب 100 در نسبت نمره های زیر 11 می باشد.

این نسبت برابر است با احتمال اینکه نمره ای کمتر از 11 باشد، یا بنابراین درصد کار آموزانی که دوباره دوره کارآوزی را خواهند دید، برابر است با .

توزیع نرمال برای هر کاربرد بخصوصی تنها یک مدل مجرد به شمار می رود، درست همان طور که خط مستقیم مدلی برای اضلاع یا ساختمان یا مقطعی از یک بزرگراه است.

این مدل به نمره های منفی.

مثل نمره های خیلی بزرگ مثبت، مقادیر مثبتی را به عنوان احتمال نسبت می دهد.

این امر دقیقاً بدان دلیل است که این احتمالها اغلب خیلی کوچک هستند به طوری که توزیع می تواند حتی برای متغیرهایی که به دامنه ای از مقادیر مثبت محدودند مدل واقع بینانه ای به دست دهد.

7-2-2 خواص دیگر توزیع نرمال در اینجا به دو خاصیت مهم توزیع نرمال باید توجه کرد.

از خواص امید ریاضی نتیجه می گیریم که اگر آنگاه و بعلاوه، اگر x دارای توزیع باشد و .

آنگاه خاصیت دوم توزیع نرمال حاکی از آن است که توزیع مجموع متغیرهای نرمال مستقل، نرمال است.

محاسبه میانگین و واریانس مستقیماً از خواص امید ریاضی و واریانس نتیجه می شود.

7-3-تقریب نرمال توزیع دو جمله ای توزیه دو جمله ای در بخش 5-3 به عنوان توزیع X (تعداد موفقیتها در n امتخان مستقل یک آزمایش) معرفی شد که احتمال موفقیت درهر امتحان p بود.

وقتی n بزرگ باشد و P زیاد به صفر یا یک نزدیک نباشد، توزیع نرمال به عنوان تقریب خوبی برای توزیع دو جمله ای به کاار می رود.

از اثبات ریاضی این مطلب می گذریم و به توضیح نحوه کاربرد این تقریب می پردازیم.

می دانیم که یک متغیر تصادفی دو جمله ای X دارای میانگین و انحراف معیار است.

وقتی که n بزرگ باشد ولی مقدار متوسطی داشته باشد؛ یعنی وقتی که مقدار np یا n(1-p) متوسط باشد.

همچنانکه در بخش 5-8 دیدیم، توزیع پراسن را می توان به عنوان تقریبی برای احتمالهای دو جمله ای به کار برد.

تقریب نرمال را در مواردی به کار می بریم که n بزرگ است و p زیاد به صفر نزدیک نیست.

این تقریب به ما امکان می دهد که احتمالهای مربوط به مقادیر دو جمله ای X را چنان محاسبه کنیم که گویی X دارای توزیع نرمال است.

این منحنی نرمال، تقریب خوبی از قسمت بالای بافت نگار احتمال دو جمله ای را به دست می دهد.

برای محاسبه احتمال X، که مقادیر بین دو عدد صحیح a و b و خود آنها را اختیار می کند، داریم.

در ادامه محاسبه، چنان عمل می کنیم که بخواهیم احتمال این فاصله را با استفاده از توزیع نرمال محاسبه نماییم.

متغیر نرمال استاندارد شده به صورت زیر است: بنابراین احتمال دو جمله ای قبلی به وسیله تقریب می شود.

قسمت سمت راست این تقریب را می توان از جدول نرمال محاسبه کرد.

بنا به یک قاعده تجربی، این تقریب معمولاً وقتی np و بزرگتر از 15 باشند، تقریب مطلوبی است.

برای نشان دادن خوبی تقریب، بافت نگار احتمال تو.زیع با منحنی نرمال تقریبی آن که دارای و می باشد، در شکل 1407 آمده است.

اگرچه از تقریب نرمال برای مقادیر بزرگ n استفاده می شود، ولی ما 15=n را برگزیده ایم تا بتوانیم احتمالهای دقیق را از جدول دو جمله ای، جدول 2ی پیوست، به دست آوریم و مطلب روشن شود.

همان طور که ملاحظه می گردد حتی اگر n به کوچکی 15 هم باشد، تقریب، قابل قبول به نظر می رسد.

به منظور انجام مقایسه ای دقیق تر، احتمال را برای توزیع بررسی می کنیم.

مقدار دقیقی که از جدول دو جمله ای به دست می آید برابر است با فهرست مطالب عنوان صفحه توزیع نرمال 1 نمادگذاری 3 استفاده از جدول نرمال (جدول 4 پیوست) 5 خواص دیگر توزیع نرمال 11 تقریب نرمال توزیع دو جمله ای 13 دانشگاه آزاد اسلامی واحد کرج رشته عمران عنوان : توزیع نرمال استاد : آقای عطائی تهیه کننده : امیرمهدی فولادوندی 81442334022 توزیع نرمال دارای چگالی زنگدیس زیر است: که در آن، میانگین و انحراف معیار است.

احتمال فاصله ای که به اندازه یک انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با دو انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با توزیع نرمال استاندارد، دارای یک منحنی زنگدیس با: (میانگین) (انحراف معیار) است.

توزیع نرمال استاندارد به صورت (1،0)N نشان داده می شود.

اگر X دارای توزیع باشد، آنگاه دارای توزیع خواهد بود.

بنابراین: که در آن، احتمالهای مربوط به Z از جدول نرمال استاندارد به دست می آیند.

یعنی با ضرب کردن X در مقدار ثابت b و اضافه کردن ثابت a به نتیجه حاصل، تنها میانگین و واریانس توزیع نرمال تغییر می کنند.

توزیع مجموع دو متغیر نرمال مستقل، نرمال است.

اگر x دارای توزیع و Y دارای توزیع باشد، ,X و Y مستقل باشند.

آنگاه x+y دارای توزیع خواهد بود که در آن: