حلقه و ایده آل :
تعریف : حلقه مجموعه ای است مانند R همراه با دو عمل دوتایی که معمولا با جمع و ضرب نشان می دهند به طوری که :
1 . ( R , + ) گروه آبلی است .
2 . به ازای هر R α , b , c (α b ) c = α ( b c ) . ( شرکت پذیر )
3 . . (α + b ) c = α c + b c , α ( b + c ) = α b + α c ( پخشی )
هرگاه علاوه بر این :
4 . اگر به ازای هر R α , b α b = b α گوییم حلقه تعویض پذیر است .
5 . هرگاه R شامل عنصری مانند 1 R باشد بطوری که : به ازای هر R α 1R . α = α . 1R = α آنگاه گوییم R یک حلقه تعویض پذیر یک دار است .
نکته : عنصر همانی جمعی حلقه عنصر صفر نام دارد و با 0 نمایش داده می شود .
تعریف : فرض کنید S , R حلقه و R → S : f یک نگاشت باشد در این صورت f را همومورفیسم ( یا همومورفیسم حلقه ای ) گوییم اگر و فقط اگر شرط های زیر برقرار باشند:
1 . به ازای هر R α . b f (α + b ) = f (α ) + f ( b ) ؛
2 . به ازای هر R α , b f (α b ) = f (α ) f ( b ) ؛
3 . f ( 1 R ) = 1 s
نکته : اگر f : A → B , g : B → C همومورفیسم حلقه ای باشند آنگاه ترکیبشان نیز همومورفیسم حلقه ای است .
تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد زیر مجموعه I از R را یک ایده آل می نامیم اگر شرط های زیر برقرار باشند :
1 . I زیر گروه جمعی R باشد .
2 . R r ، I i نتیجه بدهد R ir ؛
تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد . مقسوم علیه صفر R عضوی مانند R r است که به ازای آن عضوی مانند R y با شرط 0R ≠ r y .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد . در این صورت R را یک دامنه صحیح می گوییم اگر
1 . R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1R و
2 . 0R تنها مقسوم علیه صفر R باشد .
یا به عبارت دیگر اگر R α , b α b = 0 R آنگاه α = 0 R یا b = 0s .
لم 2- 1- 1 : اگر R دامنه صحیح باشد تنها مقسوم علیه صفر حلقه همان عضو صفر حلقه
است .
برهان : فرض کنید R α مقسوم علیه صفر R باشد آنگاه R b وجود دارد بطوری که α b = 0 و 0 ≠ b . چون R دامنه صحیح است لذا α = 0 یا b = 0 . ولی 0 ≠ b لذا باید α =0 . بنابراین تنها مقسوم علیه صفر α = 0 عضو صفر آن است .
تعریف : یک حلقه یکدار با خاصیت 0 R ≠ 1 R را که هر عنصر تا صفر آن یکه باشد حلقه بخشی نامیم .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد . عضور وارون پذیر ( یکه ) R عضوی چون R r است که به ازای آن عضوی مانند R u وجود داشته باشد بطوری که ru=1R .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد . می گوییم R میدان است اگر :
1 . R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1 R
2 . هر عضو ناصفر R وارون پذیر باشد
یا به عبارت دیگر هر حلقه بخشی تعویض پذیر را میدان گوییم .
نکته : هر میدان دامنه صحیح است ولی عکس این مطلب در صورت متناهی بودن حلقه برقرار است . ( قضیه 1- 6- 3 و 1- 6- 4 از مرجع [ 3 ] ) .
تعریف : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر بوده و f : R → S یک
همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f را که با ker f نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم :
لم 2- 1- 2 : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r f = { 0 R } اگر و فقط اگر f یک به یک باشد .
برهان : فرض کنید R r , و به فرض ( ) f = ( r ) f . در این صورت
0 = ( ) f - ( r ) f = ( - r ) f لذا { 0 } = ker f - r . بنابراین = r . یعنی f یک به یک است . برعکس فرض کنید f یک به یک باشد و بفرض x عضو دلخواهی از ker f باشد در این صورت 0 s = ( x ) f . از طرفی چون 0 s = ( 0s ) f . بنابراین f ( x ) = 0 s از طرفی چون f ( 0 R ) = 0 s . بنابراین f ( x ) = f ( 0 R) و چون f یک به یک است لذا
x = 0R .
گزاره 2- 1- 1 : f ker ایده آلی از R است .
برهان : فرض کنید بنابراین داریم f ( β ) = 0 s و f (α ) = 0 2 . از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s لذا
Ker f α + β . از طرفی برای R r اگر f ker κ آنگاه
r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f ( r κ ) = 02 بنابراین f ker rκ .
تعریف : فرض کنیده S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه