دانلود مقاله حلقه ها در ریاضی

Word 2 MB 25392 83
مشخص نشده مشخص نشده ریاضیات - آمار
قیمت قدیم:۳۰,۰۰۰ تومان
قیمت: ۲۴,۸۰۰ تومان
دانلود فایل
  • بخشی از محتوا
  • وضعیت فهرست و منابع
  • حلقه و ایده آل :
    تعریف : حلقه مجموعه ای است مانند R همراه با دو عمل دوتایی که معمولا با جمع و ضرب نشان می دهند به طوری که :
    1 .

    ( R , + ) گروه آبلی است .


    2 .

    به ازای هر R α , b , c (α b ) c = α ( b c ) .

    ( شرکت پذیر )
    3 .

    .

    (α + b ) c = α c + b c , α ( b + c ) = α b + α c ( پخشی )
    هرگاه علاوه بر این :
    4 .

    اگر به ازای هر R α , b α b = b α گوییم حلقه تعویض پذیر است .


    5 .

    هرگاه R شامل عنصری مانند 1 R باشد بطوری که : به ازای هر R α 1R .

    α = α .

    1R = α آنگاه گوییم R یک حلقه تعویض پذیر یک دار است .


    نکته : عنصر همانی جمعی حلقه عنصر صفر نام دارد و با 0 نمایش داده می شود .


    تعریف : فرض کنید S , R حلقه و R → S : f یک نگاشت باشد در این صورت f را همومورفیسم ( یا همومورفیسم حلقه ای ) گوییم اگر و فقط اگر شرط های زیر برقرار باشند:
    1 .

    به ازای هر R α .

    b f (α + b ) = f (α ) + f ( b ) ؛
    2 .

    به ازای هر R α , b f (α b ) = f (α ) f ( b ) ؛
    3 .

    f ( 1 R ) = 1 s
    نکته : اگر f : A → B , g : B → C همومورفیسم حلقه ای باشند آنگاه ترکیبشان نیز همومورفیسم حلقه ای است .


    تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد زیر مجموعه I از R را یک ایده آل می نامیم اگر شرط های زیر برقرار باشند :
    1 .

    I زیر گروه جمعی R باشد .

    R r ، I i نتیجه بدهد R ir ؛
    تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد .

    مقسوم علیه صفر R عضوی مانند R r است که به ازای آن عضوی مانند R y با شرط 0R ≠ r y .


    تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد .

    در این صورت R را یک دامنه صحیح می گوییم اگر
    1 .

    R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1R و
    2 .

    0R تنها مقسوم علیه صفر R باشد .


    یا به عبارت دیگر اگر R α , b α b = 0 R آنگاه α = 0 R یا b = 0s .


    لم 2- 1- 1 : اگر R دامنه صحیح باشد تنها مقسوم علیه صفر حلقه همان عضو صفر حلقه
    است .


    برهان : فرض کنید R α مقسوم علیه صفر R باشد آنگاه R b وجود دارد بطوری که α b = 0 و 0 ≠ b .

    چون R دامنه صحیح است لذا α = 0 یا b = 0 .

    ولی 0 ≠ b لذا باید α =0 .

    بنابراین تنها مقسوم علیه صفر α = 0 عضو صفر آن است .


    تعریف : یک حلقه یکدار با خاصیت 0 R ≠ 1 R را که هر عنصر تا صفر آن یکه باشد حلقه بخشی نامیم .

    عضور وارون پذیر ( یکه ) R عضوی چون R r است که به ازای آن عضوی مانند R u وجود داشته باشد بطوری که ru=1R .

    می گوییم R میدان است اگر :
    1 .

    R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1 R
    2 .

    هر عضو ناصفر R وارون پذیر باشد
    یا به عبارت دیگر هر حلقه بخشی تعویض پذیر را میدان گوییم .


    نکته : هر میدان دامنه صحیح است ولی عکس این مطلب در صورت متناهی بودن حلقه برقرار است .

    ( قضیه 1- 6- 3 و 1- 6- 4 از مرجع [ 3 ] ) .


    تعریف : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر بوده و f : R → S یک
    همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f را که با ker f نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم :
    لم 2- 1- 2 : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r f = { 0 R } اگر و فقط اگر f یک به یک باشد .


    برهان : فرض کنید R r , و به فرض ( ) f = ( r ) f .

    در این صورت
    0 = ( ) f - ( r ) f = ( - r ) f لذا { 0 } = ker f - r .

    بنابراین = r .

    یعنی f یک به یک است .

    برعکس فرض کنید f یک به یک باشد و بفرض x عضو دلخواهی از ker f باشد در این صورت 0 s = ( x ) f .

    از طرفی چون 0 s = ( 0s ) f .

    بنابراین f ( x ) = 0 s از طرفی چون f ( 0 R ) = 0 s .

    بنابراین f ( x ) = f ( 0 R) و چون f یک به یک است لذا
    x = 0R .


    گزاره 2- 1- 1 : f ker ایده آلی از R است .


    برهان : فرض کنید بنابراین داریم f ( β ) = 0 s و f (α ) = 0 2 .

    از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s لذا
    Ker f α + β .

    از طرفی برای R r اگر f ker κ آنگاه
    r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f ( r κ ) = 02 بنابراین f ker rκ .


    تعریف : فرض کنیده S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه
    همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f را که با ker f نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم : لم 2- 1- 2 : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r f = { 0 R } اگر و فقط اگر f یک به یک باشد .

    برهان : فرض کنید R r , و به فرض ( ) f = ( r ) f .

    در این صورت 0 = ( ) f - ( r ) f = ( - r ) f لذا { 0 } = ker f - r .

    بنابراین f ( x ) = f ( 0 R) و چون f یک به یک است لذا x = 0R .

    گزاره 2- 1- 1 : f ker ایده آلی از R است .

    برهان : فرض کنید بنابراین داریم f ( β ) = 0 s و f (α ) = 0 2 .

    از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s لذا Ker f α + β .

    از طرفی برای R r اگر f ker κ آنگاه r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f ( r κ ) = 02 بنابراین f ker rκ .

    تعریف : فرض کنیده S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت تصویر f را که با f I m نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می شود : { R x : ( x ) f } = ( R ) f = I m f .

    تذکر : به وضوح f پوشاست اگر و فقط اگر S = f I m .

    نکته : فرض کنید لذا داریم .

    یعنی هر چه i کوچکتر شود اشتراک رو به بالا می رود و .

    لذا اگر ø = I آنگاه خودمان تعریف می کنیم که .

    و اگر ø = قرار داد می کنیم R = .

    تعریف : فرض کنید A , B دو ایده آل از حلقه تعویض پذیر R باشند .

    آنگاه حاصل ضرب دو ایده آل A , B را با AB نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود : = AB که یک ایده آل از حلقه R است.

    در حالت کلیتر اگر ایده آل هایی روی R باشند آنگاه : تعریف : اگر R یک حلقه باشد و A یک زیر مجموعه ناتهی از R باشد بطوری که A≠R آنگاه R را یک ایده آل حقیقی روی R می گوییم .

    تعریف : گروه خارج قسمتی R | I ضرب تعریف شده ای از R به ارث می برد که حلقه ای می سازد که حلقه خارج قسمتی R | I نامیده می شود .

    عضو همانی این حلقه 1 + I وعضو صفر آن نیز برابر 0 + I = I است .

    { R r : I + r }=R | I .

    تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر و I ایده آلی از آن باشد آنگاه نگاشت R|I → R : f را با ضابطه I + r = ( r ) f به ازای هر R r همومورفیسم پوشای حلقه ای با هسته ی I است .

    این همومورفیسم را اغلب همومورفیسم طبیعی گویند .

    تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر و R α .

    در این صورت مجموعه { Rr : a r } = α R ایده آلی از R است و ایده آل اصلی تولید شده توسط α نامیده می شود و اغلب با (α ) نمایش داده می شود .

    ( 0 ) ایده آل تولید شده توسط صفر است و R = (1) .

    تعریف : دامنه صحیحی که هر ایده آل آن اصلی باشد یک دامنه ایده آل اصلی گفته می شود .

    نکته : واضح است که a وارون پذیر است اگر و فقط اگر (α ) = R = (1) گزاره 2- 1- 3 : فرض کنید R یک حلقه مخالف صفر باشد .

    آنگاه موارد زیر معادلند: 1 .

    R میدان است 2 .

    تنها ایده آل ها در R ایده آل های (0) , (1) است 3 .

    هر همومورفیسم از R بتوی حلقه غیر صفر S یک به یک است برهان : ( 2 ) → ( 1) فرض کنید I ایده آلی از R باشد و (0) ≠ I .

    پس عضو I i ≠ 0 وجود دارد و چون R میدان است بنابراین i وارون پذیر است لذا R = (1 ) = (i) I .

    از طرفی R I لذا I = R .

    (3) → (2) فرض کنید f : R → S ( ≠ 0 ) همومورفیسم حلقه ای باشد .

    آنگاه چون f ker ایده آلی از R است و چون 0 ≠ 1s و 0 ≠ S و 1s = ( 1R ) φ لذا f ker 1s بنابراین R ≠ f ker .

    چون تنها ایده آل های R (1) و (0) است بنابراین f = (0) ker لذا f یک به یک است .

    (3) → (1) به برهان خلف فرض کنید R میدان نباشد لذا عنصری از R مانند x ≠ 0 یافت می شود که وارون پذیر نیست .

    بنابراین (x) ≠ R بنابراین اگر به فرض قرار دهیم : f : R → S ( ≠ 0 ) , S = R | (x) بنابراین ker f = ( x ) وبنابه ker f = (x) = (0) = 0 (3) یعنی x = 0 که تناقض است .

    لذا R میدان است .

    تعریف : فرض کنید I , J ایده آل های حلقه تعویض پذیر R باشند .

    خارج قسمت ( I : J ) بصورت{I r J : R r } = ( I : J ) تعریف می شود .

    بوضوح ( I : J ) I .

    2- 2- لم زورن : تعریف : فرض کنید V مجموعه ناتهی باشد .

    رابطه را ترتیب جزیی روی V می نامیم اگر بازتابی ( یعنی به ازای هر V u u u ) متعدی ( یعنی به ازای V u , v , w ازv w , u v نتیجه شود w u و پاد متقارن ( یعنی به ازای هر V u , v از u v , v u نتیجه شود u = v ) باشد .

    اگر یک رابطه مرتب جزیی روی V باشد گوییم که ( و V ) مجموعه مرتب جزیی است .

    مجموعه مرتب جزیی را مرتب کلی گوییم هرگاه به ازای هر V u , v حداقل یکی از روابط u v , v u برقرار باشد .

    تعریف : فرض کنید W زیر مجموعه ناتهی از مجموعه مرتب جزیی V باشد .

    عضو Vv را کران بالای W گوییم هرگاه به ازای هر W w , v w .

    تعریف : اگر ( , V ) مجموعه مرتب جزیی باشد آنگاه به ازای هر V u , v می نویسیم v u اگر v u , v ≠ u عضو V m را عضو ماکسیمال V می گوییم اگر عضوی مانند V w وجود نداشته باشد بطوری که w m .

    لذا V m یک عضو ماکسیمال است اگر و فقط اگر v m , V v نتیجه بدهد m = v .

    تعریف : مجموعه Ω که یک رابطه ترتیبی جزیی را دارد یک دستگاه استقرایی گوییم هرگاه هر زیر مجموعه مرتب کلی دارای یک کران بالا باشد .

    لم زورن : هر دستگاه استقرایی غیر تهی دارای حداقل یک عضو ماکسیمال است .

    تعریف : فرض کنید ( V , ) مجموعه مرتب جزیی باشد گوییم : 1 .

    ( V , ) در شرط زنجیره صعودی صدق می کند .

    اگر به ازای هر خانواده از عضوهای V چون N I ( i V ) با ویژگی .

    V i+1 Vi .

    V2 V1 عدد Z + k وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر عدد طبیعی V k = V k + i, I .

    2 .

    ( V , ) در شرط ماکسیمال صدق می کند اگر هر زیر مجموعه ناتهی از V شامل عضوی ماکسیمال ( نسبت به ) باشد .

    گزاره 2- 2- 1 : فرض کنید مجموعه ناتهی از ایده آل های حلقه R به وسیله رابطه شمول مرتب کلی باشد و اگر B را اجتماع ایده آل های متعلق در نظر می گیریم آنگاه B یک ایده آل است .

    بعلاوه اگر همه عضوهای ایده آل حقیقی باشد آنگاه B نیز ایده آل حقیقی است .

    برهان : ابتدا ثابت می کنیم B یک ایده آل است .

    فرض کنید B R r .

    پس ایده آل های A , در وجود دارد بطوری که A , و چون به وسیله رابطه شمول مرتب کلی است لذا هر کدام از A یا A برقرار است .

    لذا اگر A آنگاه و بنابراین چون ایده آل است لذا و و لذا .

    ثابت شد که B یک ایده آل است .

    بالاخره فرض کنید هر ایده آل متعلق به حقیقی است .

    آنگاه هیچ یک از این ایده آل های درون نمی توانند 1R باشند .

    چون تنها ایده آل که شامل عضو همانی است خود حلقه است و بنابراین و لذا B حقیقی است .

    2- 3- ایده آل اول و ماکسیمال : تعریف : ایده آل P از R را اول گوییم هرگاه A , B ایده آل هایی از R باشند بطوری که : 1 .

    P ≠ R ؛ 2 .

    اگر P AB آنگاه P A یا P B قضیه 2- 3- 1 : اگر P ایده آلی در حلقه تعویض پذیر R باشد بطوری که R ≠ P و به ازای هر R α , b P α b نتیجه بدهد P α یا P b آنگاه P اول است و بر عکس .

    برهان : هرگاه A , B ایده آل هایی باشند به طوری که P AB , P A آنگاه عضوی مانند P- A α وجود دارد .

    به ازای هر B b P AB α b .

    که از آنجا P α یا P b .

    چون P α لذا باید به ازای هر B b P b .

    یعنی P B بنابراین P اول است .

    برعکس هرگاه P یک ایده آل بوده ، P α b آنگاه طبق تعریف ایده آل اصلی (α b ) P آنگاه (α b ) ( b ) ( α ) که از آنجا P (α ) ( b ) هرگاه P اول باشد آنگاه P (α ) یا P ( b ) که از آنجا P α یا P b .

    لم 2- 3- 1 : اگر R دامنه صحیح باشد آنگاه ایده آل صفر آن یک ایده آل اول آن است.

    برهان : ایده آل صفر ایده آلی است که به وسیله عنصر صفر تولید می شود 0 = (0) .

    ثابت می کنیم که (0) ایده آل اول است .

    اولا چون R حلقه ناصفر است لذا R ≠ ( 0 ).

    از طرفی اگر به فرض به ازای هر R α , b که ( 0 ) α b .

    لذا داریم α b = 0 و چون R دامنه صحیح است α = 0 یا b = 0 .

    یعنی (0) α یا ( 0 ) b .

    لذا ( 0 ) ایده آل اول است .

    لم 2- 3- 2 : فرض کنید یک خانواده ناتهی از ایده آل های اول حلقه R باشد فرض کنید این خانواده با رابطه شمول مرتب کلی است .

    آنگاه هر دو ایده آل های اول هستند .

    برهان : قرار دهید ، آنگاه به وسیله گزاره 2- 2- 1 P° ایده آل حقیقی است .

    اینک به فرض P° a فرض کنید P° a و ثابت می کنیم P° .

    آنگاه iای وجود دارد بطوری که P I a .

    چون P i α و چون i P α و چون P i ایده آل اول است بنابراین P i .

    چون P ° P i بنابراین P° و این ثابت می کند که P ° ایده آل اول است .

    اینک قرار دهید .

    بوضوح ایده آل حقیقی است .

    فرض کنید و به فرض ά .

    i را طوری انتخاب می کنیم که P I .

    چون P i ها ایده آل اول هستند لذا .

    فرض کنید j عضو دلخواهی از I باشد.

    اگر آنگاه .

    از طرف دیگر اگر آنگاه در حالیکه و لذا در هر دو حالت چون بنابراین ایده آل اول است .

    لم 2- 3- 3 : فرض کنید P یک ایده آل اول از حلقه تعویض پذیر R باشد و فرض کنید که و .

    آنگاه حداقل وجود دارد بطوری که .

    برهان : با استقرار روی n اگر n = 1 یا n = 2 لم اثبات شده است .

    بنابراین فرض کنید که 2 n و فرض کنید لم برای n – 1 اثبات شده است .

    داریم از این رو با استفاده از تعریف ایده آل اول داریم یا کار تمام است و اگر .

    چون و چون لم برای n – 1 برقرار است لذا حداقل وجود دارد بطوری که .

    بنابراین حداقل وجود دارد بطوری که .

    گزاره 2- 3- 1 : فرض کنید P ایده آل اول از حلقه تعویض پذیر R باشد .

    در این صورت اگر آنگاه وجود دارد بطوری که .

    برهان : به برهان خلف فرض کنید به ازای هر داشته باشیم نتیجه می شود که وجود دارد بطوری که و از اینکه نتیجه می شود که وجود دارد بطوری که و به این ترتیب از اینکه نتیجه می شود که وجود دارد بطوری که .

    بنابراین چون لذا بنا به لم قبل لااقل وجود دارد بطوری که و این تناقض است .

    بنابراین وجود دارد بطوری که .

    گزاره 2- 3- 2 : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر یکدار و P ایده آلی از آن باشد آنگاه P اول است اگر و فقط اگر حلقه خارج قسمتی R | P دامنه صحیح باشد .

    برهان : چون عضو همانی این حلقه 1 + P و عضو صفر آن نیز برابر 0 + P = P است لذا اگر به فرض P اول باشد چون R = ( 1 ) ≠ P آنگاه 1 R + P ≠ P .

    از طرفی ( α + P ) ( b + P ) = P α b + P = P α b P α P یا b P در نتیجه α + P = P یا b + P = P .

    بنابراین R | P دامنه صحیح است .

    بر عکس اگر حلقه خارج قسمتی R | P دامنه صحیح باشد بنا به تعریف دامنه صحیح 1R ≠ 0 لذا 1 R + P ≠ 0 + P .

    بنابراین P 1 R و لذا P ≠ R .

    b + P = P یا α + P = P P α b + P = P ( α + P ) ( b + P ) = P α b بنابراین P α یا P b لذا P اول است .

    تعریف : ایده آل M از حلقه تعویض پذیر R را ماکسیمال می گوییم اگر M ≠ R و به ازای هر ایده آل N که R N M داشته باشیم M = N یا R = N .

    تعریف : یک حلقه با تنها تعداد متناهی ایده آل های ماکسیمال نیمه موضعی نامیده می شود.

    قضیه 2- 3- 2 : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر یکدار باشد آنگاه هر ایده آل ماکسیمال M در R اول است .

    برهان : فرض کنید M b α ولی M α ، M b .

    در این صورت ( α ) + M M , ( b ) + M M .

    بنابر ماکسیمالی M داریم ( b ) M + = R = ( α ) M + .

    چون M b α به دلیل اینکه حلقه تعویض پذیر است داریم M ( α b ) ( b ) ( α ) .

    بنابراین M M + ( α b ) ( ( b ) + M ) ( ( α ) M + ) = R 2 = R و این با R ≠ M متناقض است .

    لذا M اول است .

    قضیه 2- 3- 3 : در هر دامنه ایده آل اصلی هر ایده آل اول غیر صفر ماکسیمال است .

    برهان : اگر 0 ≠ ( x ) ایده آل اول باشد و ( y ) ( x ) آنگاه ( y ) x و بنابراین برای بعضی R z x = y z .

    اینک ( x ) y z x = , ( x ) y , ( x ) ایده آل اول است .

    بنابراین ( x ) z و لذا برای بعضی R t z = t x از این رو x = yxt و لذا x ( 1- y t ) = 0 چون R یک دامنه صحیح است بنابراین x ≠ 0 نتیجه می دهد که 1 – yt = 0 و بنابراین y t = 1 .

    از این رو y وارون پذیر است و ( y ) = R بنابراین ( x ) یک ایده آل ماکسیمال است .

    تعریف : زیر مجموعه S از R یک زیر حلقه است اگر و فقط اگر : ( S , + ) ( 1 زیر گروه ( R , + ) باشد .

    2 ) S تحت عمل ضرب بسته است .

    لم 2- 3- 4 : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر یکدار و اگر P ایده آل ماکسیمال باشد آنگاه R | P میدان است .

    برهان : به فرض P ایده آل ماکسیمال باشد لذا بنا به قضیه 2- 3- 2 P اول است بنابراین بنا به گزاره 2- 3- 2 R | P دامنه صحیح است و لذا R | P میدان است .

    تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد .

    طیف اول R یا به اختصار طیف R را مجموعه همه ایده آل های اول R تعریف می کنیم .

    طیف R را با ( R Spec ( نمایش می دهیم .

    نکته : R ناصفر است اگر و فقط اگر ≠ Spec ( R ) .

    تعریف : یک ایده آل اول P یک ایده آل اول مینیمال از ایده آل A روی حلقه تعویض پذیر R نامیده می شود اگر : 1 .

    P A ؛ 2 .

    ایده آل اول کوچکتر با این خاصیت وجود نداشته باشد .

    قضیه 2- 3- 4 : فرض کنید A زیر مجموعه یک ایده آل اول P باشد آنگاه P شامل یک ایده آل اول مینیمال از A است .

    برهان : Ω را مجموعه ی ایده آل های اول که شامل A بوده و زیر مجموعه ی P است نمایش می دهیم .

    آنگاه Ω P و بنابراین Ω تهی نیست .

    اگر Ω آنگاه خواهیم نوشت اگر .

    یک رابطه ترتیبی جزیی روی Ω است ثابت می کنیم Ω یک دستگاه استقرایی است .

    بفرض Σ یک زیر مجموعه مرتب کلی از Ω باشد .

    لذا بنا به لم 2- 3- 2 اشتراک همه عناصر Σ یک ایده آل اول است و شامل A است یعنی و .

    در نتیجه Ω .

    همچنین چون برای هر ، لذا برای هر داریم .

    پس یک کران بالا برای است و لذا Ω یک دستگاه استقرایی است .

    بنابراین بنا به لم زورن Ω شامل یک عنصر ماکسیمال است.

    چون Ω لذا یک ایده آل اول است و P A .

    نشان می دهیم ایده آل اول کوچکتر با این خاصیت وجود ندارد .

    فرض کنید P 1 یک ایده آل اول است که در صدق می کند لذا Ω P 1 .

    بنابراین چون در Ω ماکسیمال است لذا = P 1 .

    لذا چنین ایده آل اولی وجود ندارد .

    بنابراین یک ایده آل اول مینیمال از A است .

    2- 4- بسته ضربی : تعریف : فرض کنید R یک حلقه و S زیر مجموعه غیر تهی از R باشد .

    S را بسته ضربی گوییم هرگاه S s , نتیجه بدهد S .

    گزاره 2- 4- 1 : فرض کنید S یک زیر مجموعه بسته ضربی ناتهی از حلقه R باشد و فرض کنید که S عضو صفر حلقه R را شامل نشود .

    اگر فرض کنید Ω مجموعه ای از همه ایده آل هایی است که S را قطع نمی کنند ( یعنی اشتراکشان با S تهی است ) و به وسیله رابطه مرتب به ترتیب جزیی است .

    آنگاه هر عضو ماکسیمال آن ایده آل اول است .

    برهان : چون S 0 و چون اعضای Ω اشتراکشان با S تهی است بنابراین Ω ( 0 ) و بنابراین ≠ Ω .

    فرض کنید Σ مجموعه ایده آل های R باشد که با مراتب کلی است و Ω Σ که ≠ Σ .

    فرض کنید = B .

    لذا B نیز یک مجموعه مرتب کلی است .

    ثابت می کنیم = S B .

    به برهان خلف فرض کنید S B s آنگاه S s B , چون B = لذا Σ A0 وجود دارد بطوری که A 0 s یعنی S A0 s و این چون Ω B .

    بنابراین به ازای هر Σ A که A B = که B A لذا B ≥ A .

    بنابراین هر زیر مجموعه غیر تهی مرتب کلی از Ω دارای یک کران بالا در Ω است .

    بنابراین Ω یک دستگاه استقرایی است و بنا به لم زورن Ω P .

    لذا کافیست نشان دهیم P ایده آل اول است .

    به برهان خلف فرض کنید در عین حالیکه P α b داشته باشیم P b P , α فرض کنید } P π R , r : π + α r } = C به راحتی ثابت می شود که C ایده آل است .

    می دانیم 0 + α .

    1 = α بنابراین C α .

    اما P α بنابراین C P .

    اینک فرض کنید } P π R , r : π + r b } = D و به راحتی ثابت می شود که D هم یک ایده آل از حلقه R است و D P .

    اگر = S C بنابراین Ω C است .

    چون P عضو ماکسیمال Ω است با C P در تناقض است .

    چون باید C = P پس ≠ S C .

    به همین ترتیب ≠ S D .

    بنابراین S D s2 , S C s 1 وجود دارد .

    اگر + r 1α = s1 طبق فرض P b α بنابراین و چون S بسته ضربی است لذا S s1s2 و بنابراین P S s1s2 و این یعنی = S P .

    که تناقض است .

    لذا فرض اینکه P b , P α باطل است و داریم P α یا P b .

    قضیه 2- 4- 1 : فرض کنید S یک زیر مجموعه بسته ضربی ناتهی از حلقه R باشد و A یک ایده آل باشد که = S A آنگاه یک ایده آل اول P وجود دارد بطوری شامل A بوده و با S اشتراک ندارد .

    برهان : چون = S A و S 0 بنابراین A 0 .

    اگر Ω مجموعه ای از همه ایده آل هایی است که S را قطع نمی کنند .

    طبق گزاره 2- 4- 1 Ω دستگاه استقرایی است و Ω P وجود دارد که طبق لم زورن P ایده آل ماکسیمال است و از طرفی بنا به قضیه 2-3-2 P اول است و بعلاوه چون P ماکسیمال است P A .

مقدمه: مدل LWR (لایتیل و ویتام، 1955 و ریچارد1965) به دلیل دارا بودن خصوصیات زیر در حال حاضر یکی از موضوعات تحقیقاتی فعال و به روز است: ساده است، هم به صورت عددی و هم به صورت تحلیلی، به آسانی قابل محاسبه است و با یک پدیده ترافیکی دقیق و منطقی آن دوباره به دست می آید در بسیاری از موقعیت‌های ترافیکی را به خوبی مدلسازی می کند. آن در چندین مدل مجزا اجرا شده است، برای مثال می توان به ...

چکیده سازمان تجارت جهانی (WTO) به عنوان یکی از 118 مولفه‌ جامعه­ موج سوم(1)، و همچنین تحولات پارادایمی در صنایع خودروسازی جهانی که در آستانه ورود به قرن دوم حیات خود است، استراتژیک­‌ترین چالشها، برای خودروسازان نوپای منطقه­ای به ویژه شرکتهای خودروساز ایرانی به حساب می­آیند. این مقاله گزیده‌های مطالعه‌ای را ارایه می‌دهد که الزامات بسترسازی در زیرساختهای رقابتی صنایع خودروسازی ...

چکیده این مقاله سیستم‌های اطلاعات مدیریت MIS را پوشش می‌دهد. از آنجا که MIS ترکیبی از سه پدیده سیستم، اطلاعات و مدیریت می‌باشد ابتدا این موارد را بررسی میکند. به علت تأثیرات قابل توجه سیستمهای اطلاعاتی بر روی MIS مبحث دیگر مقاله، درباره آن می‌باشد. متخصصان اطلاعاتی شامل تحلیل‌گر سیستمها، مدیران پایگاههای داده، متخصصان شبکه، برنامه‌نویس‌ها و اپراتورها در قسمت بعدی بررسی شده است. ...

خلاصه: مصر همیشه به عنوان یک صادره کننده کیفیت بالای منسوجات پنبه ای و پنبه خام مشهور بوده است. پنبه مصری برای ویژگی های خاصی که مصرف کنندگاه بازار با موقعیت مناسب را جذب می کند شهرت بین المللی دارد.تحت شرایط محیطی بسیاری صادرات پنبه خام ومنسوجات پنبه ای مصر کاهش یافت که به مسائل اجتماعی واقتصادی منتهی شد. وضعیت فعلی صنعت منسوجات مصر وکاربردهای آتی چندین توافق نامه تجاری دوجانبه ...

چکیده : این مقاله نشان دهنده نمودار و کنشهای ریاضی بین محیط و سیاستهای اقتصادی حکومتی در رفتار طولانی مدت از سیستم پیچیده را شرح می دهد یعنی روابط داخلی حکومت در جریان سهام سرمایه گذاری معدنی می باشد. این مقاله بوسیله مدل شبیه سازی کامپیوتر در سیستمهای دینامیکی سنتی پیشرفت می کند. تجزیه و تحلیل کمی داده های موجود مدلی را در پیش روی ما قرار داده که در آن زمینه شبیه سازی پیشرفته ...

اين مقاله نشان دهنده نمودار و کنشهاي رياضي بين محيط و سياستهاي اقتصادي حکومتي در رفتار طولاني مدت از سيستم پيچيده را شرح مي دهد يعني روابط داخلي حکومت در جريان سهام سرمايه گذاري معدني مي باشد. اين مقاله بوسيله مدل شبيه سازي کامپيوتر در سيستمهاي دينا

مقایسه فرمولاسیون های مبدأ – مقصد مقدمه: انواع موثری (کاربردی) روشهای تجزیه ای نوعاً به ارزیابی اثر طرح های کنترل ترافیک جایگزین در یک تعداد ( در یکسری از) اندازه گیری های ( سنجشهای) اثر (MOES) شامل تاخیر و توان عملیاتی و انرژی و انتشار خطر تصادف نیاز داد به خاطر اینکه شبکه های ترافیک: محیطهای دینامیک و پویا هستند. در پاسخ به تغییرات در کنترل ترافیک، ترکیب جریان ترافیک ممکن است ...

چکیده بسیاری از مصادیق فناوری در دنیای امروز، ماحصل تسلسل زنجیره وار یک سری ازخلاقیت‌ها ونوآوری‌های نوع بشر در طول تاریخ است که روندی تکاملی را طی کرده و به موجودیت کنونی رسیده است . زنجیره‌های تکاملی خلاقیت وجهی دیگر از تکامل پیوسته دانش وفناوری هستند که در آنها نقش حلقه‌های (مراحل) تکامل بارزتراست . رشد این زنجیره ها تا پیش از این ، حالت خودجوش داشته و عمدتاً مدیون درخشش افراد ...

خلاصه همانند سازی عددی واکنش تغییر آب و گاز، در یک کاتالیزور صنعتی انجام می‌گیرد. تجزیه و تحلیل این سیستم روی تاثیرات چند جانبه انتقال جرم ذرات درونی و واکنش کاتالیزور متمرکز می شود. واکنش های سلول wk در تغییرات مرحله‌ای یک وضعیت جریان ورودی، الگوسازی می شود. مقدار داده های موجود مهم برای مقایسه حقیقی آزمایشات و همانند سازی ها، برای چندین واکنش ها در تغییرات مرحله‌ای غلظت مورد ...

از عوامل موثری که در بهبود درس ریاضی می‌تواند اثربخش باشد فعالیت‌های‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌ است که‌ قسمتی‌ از فرایند تدریس‌ فعال‌ و پویاست‌. این‌ فعالیت‌ها را می‌توان‌ به‌ گونه‌ای‌ در تدریس‌ طراحی‌ نمود که‌ فرصت‌ اندیشیدن‌، حل‌ مساله‌، ایجاد انگیزه‌ و تثبیت‌ یادگیری‌ را به‌ دنبال‌ داشته‌ باشد. تجارب‌ نگارنده‌ در بررسی‌های‌ گوناگون‌ ]و بررسی حاضر[ خصوصاً در درس‌ ریاضی‌ حاکی‌ از ...

فصل اول: مفاهيم پايه اي تاريخچه زبان پاسکال زبان سطح بالاي Algol يک زبان ساختار يافته جهت پياده کردن الگوريتم هاي رياضي مي باشد اما داراي کاستي هايي همچون نداشتن داده هاي کراکتري و پونيتري است. در تکامل اين زبان، زبان پاسکال توسط پروفسور نيکلاث وير

ثبت سفارش
تعداد
عنوان محصول