حلقه و ایده آل :
تعریف : حلقه مجموعه ای است مانند R همراه با دو عمل دوتایی که معمولا با جمع و ضرب نشان می دهند به طوری که :
1 .
( R , + ) گروه آبلی است .
2 .
به ازای هر R α , b , c (α b ) c = α ( b c ) .
( شرکت پذیر )
3 .
.
(α + b ) c = α c + b c , α ( b + c ) = α b + α c ( پخشی )
هرگاه علاوه بر این :
4 .
اگر به ازای هر R α , b α b = b α گوییم حلقه تعویض پذیر است .
5 .
هرگاه R شامل عنصری مانند 1 R باشد بطوری که : به ازای هر R α 1R .
α = α .
1R = α آنگاه گوییم R یک حلقه تعویض پذیر یک دار است .
نکته : عنصر همانی جمعی حلقه عنصر صفر نام دارد و با 0 نمایش داده می شود .
تعریف : فرض کنید S , R حلقه و R → S : f یک نگاشت باشد در این صورت f را همومورفیسم ( یا همومورفیسم حلقه ای ) گوییم اگر و فقط اگر شرط های زیر برقرار باشند:
1 .
به ازای هر R α .
b f (α + b ) = f (α ) + f ( b ) ؛
2 .
به ازای هر R α , b f (α b ) = f (α ) f ( b ) ؛
3 .
f ( 1 R ) = 1 s
نکته : اگر f : A → B , g : B → C همومورفیسم حلقه ای باشند آنگاه ترکیبشان نیز همومورفیسم حلقه ای است .
تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد زیر مجموعه I از R را یک ایده آل می نامیم اگر شرط های زیر برقرار باشند :
1 .
I زیر گروه جمعی R باشد .
R r ، I i نتیجه بدهد R ir ؛
تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد .
مقسوم علیه صفر R عضوی مانند R r است که به ازای آن عضوی مانند R y با شرط 0R ≠ r y .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد .
در این صورت R را یک دامنه صحیح می گوییم اگر
1 .
R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1R و
2 .
0R تنها مقسوم علیه صفر R باشد .
یا به عبارت دیگر اگر R α , b α b = 0 R آنگاه α = 0 R یا b = 0s .
لم 2- 1- 1 : اگر R دامنه صحیح باشد تنها مقسوم علیه صفر حلقه همان عضو صفر حلقه
است .
برهان : فرض کنید R α مقسوم علیه صفر R باشد آنگاه R b وجود دارد بطوری که α b = 0 و 0 ≠ b .
چون R دامنه صحیح است لذا α = 0 یا b = 0 .
ولی 0 ≠ b لذا باید α =0 .
بنابراین تنها مقسوم علیه صفر α = 0 عضو صفر آن است .
تعریف : یک حلقه یکدار با خاصیت 0 R ≠ 1 R را که هر عنصر تا صفر آن یکه باشد حلقه بخشی نامیم .
عضور وارون پذیر ( یکه ) R عضوی چون R r است که به ازای آن عضوی مانند R u وجود داشته باشد بطوری که ru=1R .
می گوییم R میدان است اگر :
1 .
R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1 R
2 .
هر عضو ناصفر R وارون پذیر باشد
یا به عبارت دیگر هر حلقه بخشی تعویض پذیر را میدان گوییم .
نکته : هر میدان دامنه صحیح است ولی عکس این مطلب در صورت متناهی بودن حلقه برقرار است .
( قضیه 1- 6- 3 و 1- 6- 4 از مرجع [ 3 ] ) .
تعریف : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر بوده و f : R → S یک
همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f را که با ker f نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم :
لم 2- 1- 2 : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r f = { 0 R } اگر و فقط اگر f یک به یک باشد .
برهان : فرض کنید R r , و به فرض ( ) f = ( r ) f .
در این صورت
0 = ( ) f - ( r ) f = ( - r ) f لذا { 0 } = ker f - r .
بنابراین = r .
یعنی f یک به یک است .
برعکس فرض کنید f یک به یک باشد و بفرض x عضو دلخواهی از ker f باشد در این صورت 0 s = ( x ) f .
از طرفی چون 0 s = ( 0s ) f .
بنابراین f ( x ) = 0 s از طرفی چون f ( 0 R ) = 0 s .
بنابراین f ( x ) = f ( 0 R) و چون f یک به یک است لذا
x = 0R .
گزاره 2- 1- 1 : f ker ایده آلی از R است .
برهان : فرض کنید بنابراین داریم f ( β ) = 0 s و f (α ) = 0 2 .
از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s لذا
Ker f α + β .
از طرفی برای R r اگر f ker κ آنگاه
r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f ( r κ ) = 02 بنابراین f ker rκ .
تعریف : فرض کنیده S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه
همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f را که با ker f نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم : لم 2- 1- 2 : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r f = { 0 R } اگر و فقط اگر f یک به یک باشد .
برهان : فرض کنید R r , و به فرض ( ) f = ( r ) f .
در این صورت 0 = ( ) f - ( r ) f = ( - r ) f لذا { 0 } = ker f - r .
بنابراین f ( x ) = f ( 0 R) و چون f یک به یک است لذا x = 0R .
گزاره 2- 1- 1 : f ker ایده آلی از R است .
برهان : فرض کنید بنابراین داریم f ( β ) = 0 s و f (α ) = 0 2 .
از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s لذا Ker f α + β .
از طرفی برای R r اگر f ker κ آنگاه r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f ( r κ ) = 02 بنابراین f ker rκ .
تعریف : فرض کنیده S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت تصویر f را که با f I m نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می شود : { R x : ( x ) f } = ( R ) f = I m f .
تذکر : به وضوح f پوشاست اگر و فقط اگر S = f I m .
نکته : فرض کنید لذا داریم .
یعنی هر چه i کوچکتر شود اشتراک رو به بالا می رود و .
لذا اگر ø = I آنگاه خودمان تعریف می کنیم که .
و اگر ø = قرار داد می کنیم R = .
تعریف : فرض کنید A , B دو ایده آل از حلقه تعویض پذیر R باشند .
آنگاه حاصل ضرب دو ایده آل A , B را با AB نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود : = AB که یک ایده آل از حلقه R است.
در حالت کلیتر اگر ایده آل هایی روی R باشند آنگاه : تعریف : اگر R یک حلقه باشد و A یک زیر مجموعه ناتهی از R باشد بطوری که A≠R آنگاه R را یک ایده آل حقیقی روی R می گوییم .
تعریف : گروه خارج قسمتی R | I ضرب تعریف شده ای از R به ارث می برد که حلقه ای می سازد که حلقه خارج قسمتی R | I نامیده می شود .
عضو همانی این حلقه 1 + I وعضو صفر آن نیز برابر 0 + I = I است .
{ R r : I + r }=R | I .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر و I ایده آلی از آن باشد آنگاه نگاشت R|I → R : f را با ضابطه I + r = ( r ) f به ازای هر R r همومورفیسم پوشای حلقه ای با هسته ی I است .
این همومورفیسم را اغلب همومورفیسم طبیعی گویند .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر و R α .
در این صورت مجموعه { Rr : a r } = α R ایده آلی از R است و ایده آل اصلی تولید شده توسط α نامیده می شود و اغلب با (α ) نمایش داده می شود .
( 0 ) ایده آل تولید شده توسط صفر است و R = (1) .
تعریف : دامنه صحیحی که هر ایده آل آن اصلی باشد یک دامنه ایده آل اصلی گفته می شود .
نکته : واضح است که a وارون پذیر است اگر و فقط اگر (α ) = R = (1) گزاره 2- 1- 3 : فرض کنید R یک حلقه مخالف صفر باشد .
آنگاه موارد زیر معادلند: 1 .
R میدان است 2 .
تنها ایده آل ها در R ایده آل های (0) , (1) است 3 .
هر همومورفیسم از R بتوی حلقه غیر صفر S یک به یک است برهان : ( 2 ) → ( 1) فرض کنید I ایده آلی از R باشد و (0) ≠ I .
پس عضو I i ≠ 0 وجود دارد و چون R میدان است بنابراین i وارون پذیر است لذا R = (1 ) = (i) I .
از طرفی R I لذا I = R .
(3) → (2) فرض کنید f : R → S ( ≠ 0 ) همومورفیسم حلقه ای باشد .
آنگاه چون f ker ایده آلی از R است و چون 0 ≠ 1s و 0 ≠ S و 1s = ( 1R ) φ لذا f ker 1s بنابراین R ≠ f ker .
چون تنها ایده آل های R (1) و (0) است بنابراین f = (0) ker لذا f یک به یک است .
(3) → (1) به برهان خلف فرض کنید R میدان نباشد لذا عنصری از R مانند x ≠ 0 یافت می شود که وارون پذیر نیست .
بنابراین (x) ≠ R بنابراین اگر به فرض قرار دهیم : f : R → S ( ≠ 0 ) , S = R | (x) بنابراین ker f = ( x ) وبنابه ker f = (x) = (0) = 0 (3) یعنی x = 0 که تناقض است .
لذا R میدان است .
تعریف : فرض کنید I , J ایده آل های حلقه تعویض پذیر R باشند .
خارج قسمت ( I : J ) بصورت{I r J : R r } = ( I : J ) تعریف می شود .
بوضوح ( I : J ) I .
2- 2- لم زورن : تعریف : فرض کنید V مجموعه ناتهی باشد .
رابطه را ترتیب جزیی روی V می نامیم اگر بازتابی ( یعنی به ازای هر V u u u ) متعدی ( یعنی به ازای V u , v , w ازv w , u v نتیجه شود w u و پاد متقارن ( یعنی به ازای هر V u , v از u v , v u نتیجه شود u = v ) باشد .
اگر یک رابطه مرتب جزیی روی V باشد گوییم که ( و V ) مجموعه مرتب جزیی است .
مجموعه مرتب جزیی را مرتب کلی گوییم هرگاه به ازای هر V u , v حداقل یکی از روابط u v , v u برقرار باشد .
تعریف : فرض کنید W زیر مجموعه ناتهی از مجموعه مرتب جزیی V باشد .
عضو Vv را کران بالای W گوییم هرگاه به ازای هر W w , v w .
تعریف : اگر ( , V ) مجموعه مرتب جزیی باشد آنگاه به ازای هر V u , v می نویسیم v u اگر v u , v ≠ u عضو V m را عضو ماکسیمال V می گوییم اگر عضوی مانند V w وجود نداشته باشد بطوری که w m .
لذا V m یک عضو ماکسیمال است اگر و فقط اگر v m , V v نتیجه بدهد m = v .
تعریف : مجموعه Ω که یک رابطه ترتیبی جزیی را دارد یک دستگاه استقرایی گوییم هرگاه هر زیر مجموعه مرتب کلی دارای یک کران بالا باشد .
لم زورن : هر دستگاه استقرایی غیر تهی دارای حداقل یک عضو ماکسیمال است .
تعریف : فرض کنید ( V , ) مجموعه مرتب جزیی باشد گوییم : 1 .
( V , ) در شرط زنجیره صعودی صدق می کند .
اگر به ازای هر خانواده از عضوهای V چون N I ( i V ) با ویژگی .
V i+1 Vi .
V2 V1 عدد Z + k وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر عدد طبیعی V k = V k + i, I .
2 .
( V , ) در شرط ماکسیمال صدق می کند اگر هر زیر مجموعه ناتهی از V شامل عضوی ماکسیمال ( نسبت به ) باشد .
گزاره 2- 2- 1 : فرض کنید مجموعه ناتهی از ایده آل های حلقه R به وسیله رابطه شمول مرتب کلی باشد و اگر B را اجتماع ایده آل های متعلق در نظر می گیریم آنگاه B یک ایده آل است .
بعلاوه اگر همه عضوهای ایده آل حقیقی باشد آنگاه B نیز ایده آل حقیقی است .
برهان : ابتدا ثابت می کنیم B یک ایده آل است .
فرض کنید B R r .
پس ایده آل های A , در وجود دارد بطوری که A , و چون به وسیله رابطه شمول مرتب کلی است لذا هر کدام از A یا A برقرار است .
لذا اگر A آنگاه و بنابراین چون ایده آل است لذا و و لذا .
ثابت شد که B یک ایده آل است .
بالاخره فرض کنید هر ایده آل متعلق به حقیقی است .
آنگاه هیچ یک از این ایده آل های درون نمی توانند 1R باشند .
چون تنها ایده آل که شامل عضو همانی است خود حلقه است و بنابراین و لذا B حقیقی است .
2- 3- ایده آل اول و ماکسیمال : تعریف : ایده آل P از R را اول گوییم هرگاه A , B ایده آل هایی از R باشند بطوری که : 1 .
P ≠ R ؛ 2 .
اگر P AB آنگاه P A یا P B قضیه 2- 3- 1 : اگر P ایده آلی در حلقه تعویض پذیر R باشد بطوری که R ≠ P و به ازای هر R α , b P α b نتیجه بدهد P α یا P b آنگاه P اول است و بر عکس .
برهان : هرگاه A , B ایده آل هایی باشند به طوری که P AB , P A آنگاه عضوی مانند P- A α وجود دارد .
به ازای هر B b P AB α b .
که از آنجا P α یا P b .
چون P α لذا باید به ازای هر B b P b .
یعنی P B بنابراین P اول است .
برعکس هرگاه P یک ایده آل بوده ، P α b آنگاه طبق تعریف ایده آل اصلی (α b ) P آنگاه (α b ) ( b ) ( α ) که از آنجا P (α ) ( b ) هرگاه P اول باشد آنگاه P (α ) یا P ( b ) که از آنجا P α یا P b .
لم 2- 3- 1 : اگر R دامنه صحیح باشد آنگاه ایده آل صفر آن یک ایده آل اول آن است.
برهان : ایده آل صفر ایده آلی است که به وسیله عنصر صفر تولید می شود 0 = (0) .
ثابت می کنیم که (0) ایده آل اول است .
اولا چون R حلقه ناصفر است لذا R ≠ ( 0 ).
از طرفی اگر به فرض به ازای هر R α , b که ( 0 ) α b .
لذا داریم α b = 0 و چون R دامنه صحیح است α = 0 یا b = 0 .
یعنی (0) α یا ( 0 ) b .
لذا ( 0 ) ایده آل اول است .
لم 2- 3- 2 : فرض کنید یک خانواده ناتهی از ایده آل های اول حلقه R باشد فرض کنید این خانواده با رابطه شمول مرتب کلی است .
آنگاه هر دو ایده آل های اول هستند .
برهان : قرار دهید ، آنگاه به وسیله گزاره 2- 2- 1 P° ایده آل حقیقی است .
اینک به فرض P° a فرض کنید P° a و ثابت می کنیم P° .
آنگاه iای وجود دارد بطوری که P I a .
چون P i α و چون i P α و چون P i ایده آل اول است بنابراین P i .
چون P ° P i بنابراین P° و این ثابت می کند که P ° ایده آل اول است .
اینک قرار دهید .
بوضوح ایده آل حقیقی است .
فرض کنید و به فرض ά .
i را طوری انتخاب می کنیم که P I .
چون P i ها ایده آل اول هستند لذا .
فرض کنید j عضو دلخواهی از I باشد.
اگر آنگاه .
از طرف دیگر اگر آنگاه در حالیکه و لذا در هر دو حالت چون بنابراین ایده آل اول است .
لم 2- 3- 3 : فرض کنید P یک ایده آل اول از حلقه تعویض پذیر R باشد و فرض کنید که و .
آنگاه حداقل وجود دارد بطوری که .
برهان : با استقرار روی n اگر n = 1 یا n = 2 لم اثبات شده است .
بنابراین فرض کنید که 2 n و فرض کنید لم برای n – 1 اثبات شده است .
داریم از این رو با استفاده از تعریف ایده آل اول داریم یا کار تمام است و اگر .
چون و چون لم برای n – 1 برقرار است لذا حداقل وجود دارد بطوری که .
بنابراین حداقل وجود دارد بطوری که .
گزاره 2- 3- 1 : فرض کنید P ایده آل اول از حلقه تعویض پذیر R باشد .
در این صورت اگر آنگاه وجود دارد بطوری که .
برهان : به برهان خلف فرض کنید به ازای هر داشته باشیم نتیجه می شود که وجود دارد بطوری که و از اینکه نتیجه می شود که وجود دارد بطوری که و به این ترتیب از اینکه نتیجه می شود که وجود دارد بطوری که .
بنابراین چون لذا بنا به لم قبل لااقل وجود دارد بطوری که و این تناقض است .
بنابراین وجود دارد بطوری که .
گزاره 2- 3- 2 : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر یکدار و P ایده آلی از آن باشد آنگاه P اول است اگر و فقط اگر حلقه خارج قسمتی R | P دامنه صحیح باشد .
برهان : چون عضو همانی این حلقه 1 + P و عضو صفر آن نیز برابر 0 + P = P است لذا اگر به فرض P اول باشد چون R = ( 1 ) ≠ P آنگاه 1 R + P ≠ P .
از طرفی ( α + P ) ( b + P ) = P α b + P = P α b P α P یا b P در نتیجه α + P = P یا b + P = P .
بنابراین R | P دامنه صحیح است .
بر عکس اگر حلقه خارج قسمتی R | P دامنه صحیح باشد بنا به تعریف دامنه صحیح 1R ≠ 0 لذا 1 R + P ≠ 0 + P .
بنابراین P 1 R و لذا P ≠ R .
b + P = P یا α + P = P P α b + P = P ( α + P ) ( b + P ) = P α b بنابراین P α یا P b لذا P اول است .
تعریف : ایده آل M از حلقه تعویض پذیر R را ماکسیمال می گوییم اگر M ≠ R و به ازای هر ایده آل N که R N M داشته باشیم M = N یا R = N .
تعریف : یک حلقه با تنها تعداد متناهی ایده آل های ماکسیمال نیمه موضعی نامیده می شود.
قضیه 2- 3- 2 : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر یکدار باشد آنگاه هر ایده آل ماکسیمال M در R اول است .
برهان : فرض کنید M b α ولی M α ، M b .
در این صورت ( α ) + M M , ( b ) + M M .
بنابر ماکسیمالی M داریم ( b ) M + = R = ( α ) M + .
چون M b α به دلیل اینکه حلقه تعویض پذیر است داریم M ( α b ) ( b ) ( α ) .
بنابراین M M + ( α b ) ( ( b ) + M ) ( ( α ) M + ) = R 2 = R و این با R ≠ M متناقض است .
لذا M اول است .
قضیه 2- 3- 3 : در هر دامنه ایده آل اصلی هر ایده آل اول غیر صفر ماکسیمال است .
برهان : اگر 0 ≠ ( x ) ایده آل اول باشد و ( y ) ( x ) آنگاه ( y ) x و بنابراین برای بعضی R z x = y z .
اینک ( x ) y z x = , ( x ) y , ( x ) ایده آل اول است .
بنابراین ( x ) z و لذا برای بعضی R t z = t x از این رو x = yxt و لذا x ( 1- y t ) = 0 چون R یک دامنه صحیح است بنابراین x ≠ 0 نتیجه می دهد که 1 – yt = 0 و بنابراین y t = 1 .
از این رو y وارون پذیر است و ( y ) = R بنابراین ( x ) یک ایده آل ماکسیمال است .
تعریف : زیر مجموعه S از R یک زیر حلقه است اگر و فقط اگر : ( S , + ) ( 1 زیر گروه ( R , + ) باشد .
2 ) S تحت عمل ضرب بسته است .
لم 2- 3- 4 : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر یکدار و اگر P ایده آل ماکسیمال باشد آنگاه R | P میدان است .
برهان : به فرض P ایده آل ماکسیمال باشد لذا بنا به قضیه 2- 3- 2 P اول است بنابراین بنا به گزاره 2- 3- 2 R | P دامنه صحیح است و لذا R | P میدان است .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد .
طیف اول R یا به اختصار طیف R را مجموعه همه ایده آل های اول R تعریف می کنیم .
طیف R را با ( R Spec ( نمایش می دهیم .
نکته : R ناصفر است اگر و فقط اگر ≠ Spec ( R ) .
تعریف : یک ایده آل اول P یک ایده آل اول مینیمال از ایده آل A روی حلقه تعویض پذیر R نامیده می شود اگر : 1 .
P A ؛ 2 .
ایده آل اول کوچکتر با این خاصیت وجود نداشته باشد .
قضیه 2- 3- 4 : فرض کنید A زیر مجموعه یک ایده آل اول P باشد آنگاه P شامل یک ایده آل اول مینیمال از A است .
برهان : Ω را مجموعه ی ایده آل های اول که شامل A بوده و زیر مجموعه ی P است نمایش می دهیم .
آنگاه Ω P و بنابراین Ω تهی نیست .
اگر Ω آنگاه خواهیم نوشت اگر .
یک رابطه ترتیبی جزیی روی Ω است ثابت می کنیم Ω یک دستگاه استقرایی است .
بفرض Σ یک زیر مجموعه مرتب کلی از Ω باشد .
لذا بنا به لم 2- 3- 2 اشتراک همه عناصر Σ یک ایده آل اول است و شامل A است یعنی و .
در نتیجه Ω .
همچنین چون برای هر ، لذا برای هر داریم .
پس یک کران بالا برای است و لذا Ω یک دستگاه استقرایی است .
بنابراین بنا به لم زورن Ω شامل یک عنصر ماکسیمال است.
چون Ω لذا یک ایده آل اول است و P A .
نشان می دهیم ایده آل اول کوچکتر با این خاصیت وجود ندارد .
فرض کنید P 1 یک ایده آل اول است که در صدق می کند لذا Ω P 1 .
بنابراین چون در Ω ماکسیمال است لذا = P 1 .
لذا چنین ایده آل اولی وجود ندارد .
بنابراین یک ایده آل اول مینیمال از A است .
2- 4- بسته ضربی : تعریف : فرض کنید R یک حلقه و S زیر مجموعه غیر تهی از R باشد .
S را بسته ضربی گوییم هرگاه S s , نتیجه بدهد S .
گزاره 2- 4- 1 : فرض کنید S یک زیر مجموعه بسته ضربی ناتهی از حلقه R باشد و فرض کنید که S عضو صفر حلقه R را شامل نشود .
اگر فرض کنید Ω مجموعه ای از همه ایده آل هایی است که S را قطع نمی کنند ( یعنی اشتراکشان با S تهی است ) و به وسیله رابطه مرتب به ترتیب جزیی است .
آنگاه هر عضو ماکسیمال آن ایده آل اول است .
برهان : چون S 0 و چون اعضای Ω اشتراکشان با S تهی است بنابراین Ω ( 0 ) و بنابراین ≠ Ω .
فرض کنید Σ مجموعه ایده آل های R باشد که با مراتب کلی است و Ω Σ که ≠ Σ .
فرض کنید = B .
لذا B نیز یک مجموعه مرتب کلی است .
ثابت می کنیم = S B .
به برهان خلف فرض کنید S B s آنگاه S s B , چون B = لذا Σ A0 وجود دارد بطوری که A 0 s یعنی S A0 s و این چون Ω B .
بنابراین به ازای هر Σ A که A B = که B A لذا B ≥ A .
بنابراین هر زیر مجموعه غیر تهی مرتب کلی از Ω دارای یک کران بالا در Ω است .
بنابراین Ω یک دستگاه استقرایی است و بنا به لم زورن Ω P .
لذا کافیست نشان دهیم P ایده آل اول است .
به برهان خلف فرض کنید در عین حالیکه P α b داشته باشیم P b P , α فرض کنید } P π R , r : π + α r } = C به راحتی ثابت می شود که C ایده آل است .
می دانیم 0 + α .
1 = α بنابراین C α .
اما P α بنابراین C P .
اینک فرض کنید } P π R , r : π + r b } = D و به راحتی ثابت می شود که D هم یک ایده آل از حلقه R است و D P .
اگر = S C بنابراین Ω C است .
چون P عضو ماکسیمال Ω است با C P در تناقض است .
چون باید C = P پس ≠ S C .
به همین ترتیب ≠ S D .
بنابراین S D s2 , S C s 1 وجود دارد .
اگر + r 1α = s1 طبق فرض P b α بنابراین و چون S بسته ضربی است لذا S s1s2 و بنابراین P S s1s2 و این یعنی = S P .
که تناقض است .
لذا فرض اینکه P b , P α باطل است و داریم P α یا P b .
قضیه 2- 4- 1 : فرض کنید S یک زیر مجموعه بسته ضربی ناتهی از حلقه R باشد و A یک ایده آل باشد که = S A آنگاه یک ایده آل اول P وجود دارد بطوری شامل A بوده و با S اشتراک ندارد .
برهان : چون = S A و S 0 بنابراین A 0 .
اگر Ω مجموعه ای از همه ایده آل هایی است که S را قطع نمی کنند .
طبق گزاره 2- 4- 1 Ω دستگاه استقرایی است و Ω P وجود دارد که طبق لم زورن P ایده آل ماکسیمال است و از طرفی بنا به قضیه 2-3-2 P اول است و بعلاوه چون P ماکسیمال است P A .