دانلود مقاله ریاضیات مهندسی

ریاضیات مهندسی:
فصل اول: بررسی های فوریه:
مقدمه: تفکیک یک تابع به چند جزء مختلف و یا بسط آن به یک سری گسترده از توابع دارای بورد کاربردی مختلف در ریاضی و فیزیک است، یکی از این موارد بسط توابع برحسب مجموعه ای از توابع هارمونیک مثلثاتی با فرکانسها و دامنه ای مختلف است.

در این فصل ضمن آشنایی قدم به قدم به اصول این روش با کاربردهای حاصل از آن نیز آشنا می شویم.

1-1- توابع متناوب: اگر شکل تابع در فواصل منظم تکرار شود آنرا تناوب گوئیم.

در مورد یک تابع متناوب می توان نوشت:
(1) f (x+T) = f(x)
در این رابطه f تابعی از متغیر x و دوره تناوب T می باشد.

براساس این تعریف ملاحظه می شود که اگر g,f توبام هم پریود باشند، تابعی که به صورت زیر تعریف می شود نیز با آنها هم پریود است.

(2) h = f + g
sin و cos از جمله توابع متناوبند.

Sin x 2
Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟

Sin x 2
Cos x 
بنابراین دوره تناوب تابع مذکور 2 می باشد.

به این ترتیب دوره تناوب مجموعه ای توابع به صورت زیر برابر 2 خواهد بود.

(3)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anconx+b.+b1sinx+b2Sin2x+…+bnSinx
در بخشهای بعد دیده می شود که می توان برای تابعی با دوره تناوب 2 ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 یک سری مثلثاتی مثل رابطه (3) پیدا کرد.

مثال: کوچکترین دوره تناوب توابع زیر را بدست آورید:
الف) sinx ب) sin2x ج) sin2x د)
T=2 T= T=1 T=T
ه) sin2nx و) ز)
T=1/x T=T/n T=4
ح) ط) 3sin4x+cos4x
T=12 T=/4
1-2- توابع متاعد:
دو تابع f و g را در فاصله (a,b) عمود بر هم گوئیم هرگاه داشته باشیم:

که به اختصار آنرا به صورت (f.g)=0 نمایش می دهیم.

براین اساس:
(Cosmx, Sin nx)=0
(Sin mx, Sin nx)=0
(Cos mx, Sin mx)=0
در فاصله (0,2) تمام این توابع بر هم عمود هستند.

توابع تناوب را اعم از اینکه دارای دوره تناوب 2 باشد یا نباشد می توان برحسب توابع هامونیک cos, sin نوشت.

بسط حاصل از تفکیک یک تابع به اجزاء هارمونیکی یک سری فوریه می گوئیم.

اکنون به معرفی سری فوریه می گوئیم.

1-3-1- بسط توابع دوره تناوب 2
تابعی را با دوره تناوب 2 در نظر بگیرید.

این تابع را با سری مثلثاتی رابطه (3) می توان جایگزین کرد یعنی می توان نوشت:

برای اثبات این ادعا لازم است ضرائب a0، an و bn را محاسبه کنیم.

محاسبه این ضرائب با توجه به خاصیت متعاصر تابع های هارمونیکی قابل انجام است.

مثلا برای محاسبه an طرفین رابطه (8) را در cosx ضرب نموده و سپس انتگرال گیری نمائیم.

+

1-3-1- بسط تابع با دوره تناوب 2v

ضرائب a0، an و bn =؟

برای محاسبه a0 از طرفین T- تا T انتگرال می گوییم


برای تعیین ضرائب جملات کسینوسی طرفین را در Cosmx ضرب می کنیم و از –T تا T
انتگرال می گیریم.

تمامی جملات به جز جمله در حالتی که n,m باشد برابر صفرند و در حالت n,m مستقر برابر 2n است
برای تعیین جملات سینوسی، طرفین در Sinx ضرب تمامی جملات بجز آنهم زمانی که m، n است برابر صفرند و در حالت m، n این جمله برابر : ضرائب فوریه مثال: سری فوریه را برای تابع زیر بیابید: - F(x)= 0 a0=0 n فرد باشد 2 1-cos= n زوج باشد 0 B4=0 63=4k/3 b2=0 61=4k/ F(x)=4k/(sinx+1/3sinx+1/5sin5x+…) 1-3-2- بسط توابع با دوره تناوب دلخواه: تابعی مانند fT(t) را که در یک تناوب در فاصله (4/ و 4/-) واقع شده را در نظر بگیرید.

با تغییر متغیر T/2t= x تابعی به صورت f(x) بدست می آید که دارای دوره تناوب 2 است.

4/T =t متناظر است با = x برای تابع f(x) با دوره تناوب 2 سری فوریه بدست آورده شد.

اگر به جای x در این رابطه متناظرش را قرار دهیم: مثال: برای موج سینوسی با فرکانس w که در قسمت منفی آن حذف شده است، بسط فوریه را بدست آورید: -/w F(t)= 0 n=1 E0/2 bn= به همین ترتیب n1 0 مثال: مطلوبست محاسبه بسط فوریه که در فاصله (-2,2) به صورت زیر تعریف شده است: f(t)= 4-t2 -2 T= 4 = 4 را ازاین رابطه محاسبه کنید: تمرین: برای توابع زیر که دارای دوره تناوب 2 هستند و در فاصله (1 و 1-) تعریف شده اند سری فوریه را بیابید: f(x)= Sgn (x)(الف f(x)= U (x)(ب f(x)= x(ج f(x) = x (و f(x)= x2(هـ f(x)= Sinx(و قضیه: سری فوریه یک تابع متناوب یکی است.

بنابراین از هر روشی که به سری فوریه یک تابع برسیم، در تابع یک سری فوریه منحصر به فرد برای یک تابع متناوب خواهیم داشت.

1-4- توابع زوج و فرد و یک سری فوریه f(-x) = f(x) : تابع زوج f (-x)= - f(x): تابع فرد سایر توابع نه زوج و نه فرد هستند.

مانند ex یا 1+x اگر O(x) یک تابع فرد و E(x) یک تابع زوج و f(x) نه زوج و نه فرد باشد آنگاه: o1+o2=o3 E1+E2=E3 O+E=f O1-O2=E O1.E=O2 E1.E2=E3 این خصوصیات هیچ شباهتی به خاصیت اعداد زوج و فرد ندارد.

براساس تعریف تابع های زوج و فرد توابع Sinx و Cosx به ترتیب فرد و زوج محسوب می شوند.

اگر f(t) تابعی زوج باشد T/ f(t) cos 2nt یک تابع زوج است.

بنابراین ضرائب an به این صورت محاسبه می شوند: f(t).

Sin 2nt/T یک تابع زوج * یک تابع فرد فرد bn برابر صفر است به همین صورت اگر f(t) فرد باشد قضیه: ضرائب فوریه مجموعه 2f + 1f برابر با مجموعهای ضرائب متناظر 1f و 2f هستند و ضرائب فوریه cf برابر C ضرب در ضرائب فوریه متناظر f هستند.

مثال: بسط فوریه تابع متناوب f(x)= +x که در یک دوره تناوب در فاصله (-,) است را بدست آورید.

T= 2 تابع f(x) را می توان به صورت مجموع دو تابع f1(x)= و f2(x)=x نوشت.

چون عدد ثابتی است پس بسط فوریه f1(x) همان می شود.

اکنون بسط فوریه تابع f2(x) را که یک تابع فرد است بدست می اوریم: تمرین: سری فوریه توابع زیر را بدست آورید: f(x)= 1+Sgn (x) T=2 -1 1-5- شکلهای مختلف نمایش سری فوریه: سری فوریه را می توان به کمک توابع نمایی نمایش داد.

از مقایسه این دو رابطه می توان فهمید که f0 همان a0 است.

روابط محاسبه ضرائب بسط را می توان به طور مشابه با جایگزینی عبارات نمایی به جای روابط مثلثاتی بدست آورد.

در نهایت می توان با تغییر متغیر =2t/T رابطه فوق را برای تابعی با دوره تناوب دلخواه T تعمیم داد.

مثال: سری فوریه مختلط f(x)=ex را اگر :داریم سری های مثلثاتی می توان به صورت مجموع عبارتهای مثلثاتی با دامنه و فاز مجزا نمایش داد.

جمله x ام یک سری فوریه مثلثاتی AnConw0t+BnSin nw0+ اگر این جمله را طبق قاعده فوق مرتب نمائیم: An و Bn همچنان از روابط مربوط به خودشان پیدا می شوند 1-6- بسط نیم دور: به روشهای مختلف می توان تابعی را که در فاصله محدودی تعریف شده است را به صورت متناوب گسترش داد به عنوان مثال تابع شکل زیر را می توان به صورت شکلهای توابع متناوب نمایش داد: به طوری که ملاحظه می شود اولا هر دو تابع در فاصله (0,a) شبیه تابع اصلی است و ثانیا هر دو متناوب هستند.

برای استفاده از مزایایی سری فوریه حتی توابع غیر متناوب را در محدوده معین به صورت یک تابع پریودیسک در نظر گرفته و آن را به با یک سری جایگزین می نمائیم از میان شکلهای دوره ای مختلف که می توان برای تناوبی کردن یک نتایج در نظر گرفت، دو صورت زوج و فرد به دلیل سادگی بیشتر مورد توجه است.

سری فوریه ناشی از این اشکال را بسط نیم دور سینوسی یا کسینوسی می نامند.

براساس نتایج بخش قبل در مورد توابع زوج و فرد، ملاحظه می شود که برای تابعی که در فاصله (0,f) تعریف شده، سری فوریه مثلثاتی زوج به صورت زیر است: T=2L که ضرائب an,a0 از روابط زیر پیدا می شوند.

و به طور مشابه برای بسط نیم دور سینوسی داریم: مثال: در x=1/2 ترتیب تابع f(x)=x را از طریق بسط نیم دور سینوسی و کسینوسی بدست آورید: الف) برای بسط زوج داریم: بنابراین: f(x)= ½- 4/2 (Cox+1/32cos3x+1/525x+0x) f(1/4)= 1/4 برای بسط فرد داریم: انتگرال فوریه: در بخش های قبل ملاحظه شد که یک نوسان پریودیک را می توان به مجموع نوسانهای هارمونیک با فرکانس 2x/T یا nw تفکیک نمود و برای هر مقدار n دامنه های an و bn را توسط روابط اوید محاسبه کرد.

از آنجا که بسیاری از مسائل عملی شامل توابع نا دوره ای هستند، این پرسپ پیش می آید که چه کاری می توان کرد تا روش سری های فوریه به این گونه توابع تعمیم یابد؟

اکنون تابع f(x) با دوره تناوب 2f را در نظر بگیرید.

بررسی می کنیم که اگر L بدست سیل کند برای سری فوریه چه پیش می آید.

به عنوان مثال فرض کنید تابع fL(x) با دوره تناوب 2L>2 به صورت زیر مشخص شود.

چون تابع fL(x) یک تابع زوج است.

پس به ازای هر n داریم bn=0 و برایan ها از فرمول اویر داریم: این دنباله ضرائب فوریه را طیف دامنه fL می نامند.

زیرا: an max (anCosnaL) همان طور که ملاحظه می شود با افزایش L دامنه ها روی محور wn به سمت محور قائم منقبض می شوند.

درصو وقتی wn به سمت صفر می رود، این طیف پیوسته به منحنی پیوسته ای مبدل خواهد شد an(wn) به A(w) و سری فوریه به انتگرال فوریه تبدیل می شود.

اکنون به استخراج انتگرال فوریه می پردازیم: تابع fL(x) با دوره تناوب 2L را در نظر بگیرید که سری فوریه آن به شکل زیر است.

خواهیم دید که اگر f آنگاه با یک انتگرال فوریه به جای سری فوریه خواهیم داشت که شامل coswn و sinwn باشد و w در آن دیگر محدود به نصارب /L نباشد، بلکه تمام مقدار را اختیار می کند.

اگر در بسط فوریه تابع fL(x) مقادیر an و bn را از فرمولهای اویر جایگزین نمائیم: این رابطه به ازای هر مقدار شخص L هر قدر بزرگ ولی متناهی برقرار است.

حال اگر L بدست میل کند در این صورت: 0 L/1 و مقدار جمله اول برابر صفر خواهد شد و نیز w=/L نیز به سمت صفر خواهد کرد و بنابراین سری نامتناهی فوق به صورت انتگرالی از صفر تا در می آید که f(n) را نمایش می دهد.

جایگزین می کنیم: و بنابراین خواهیم داشت: این نمایش f(n) به صورت انتگرال فوریه همان طور که در مورد سری فوریه بیان شد، انتگرال فوریه نیز برای توابع زوج و فرد ساده تر می شود.

در واقع اگر f(x) تابعی زوج باشد آنگاه B(w)=0 و اگر f(x) تابعی فرد باشد: A(w)=0 اگر از سری فوریه نمایی استفاده کنیم می توان نوشت: حال اگر T به سمت بی نهایت میل کند T: تبدیل معکوس فوریه تبدیل فوریه رابطه که تبدیل فوریه را بیان می کند شبیه تبدیل لاپلاس و در واقع حالت ویژه آن است.

مفهوم فرکانس منفی در کلیه روابط فوق به اندازه مفهوم زبان منفی غیر واقعی و مجازی است.و نیز شرط وجود انتگرالهای تبدیلات با توجه به اینکه در تمام انتگرالها اندازه بخش هارمونیک حداکثر یک است، آن است که داشته باشیم: مثال: برای تابع غیر پریودیک داده شده انتگرال فوریه cos را محاسبه کنید: و بنابراین برخی از کاربردهای سری فوریه: یک سیستم ساده مکانیکی شامل تر متصل به جرمی را در نظر بگیرید.

هرگاه نیروی f(t) به این سیستم اعمال شود، معدلات حرکت آن را در وضعیتی که به اندازه x جا به جا می شود و دارای کتاب x می باشد به صورت زیر می توان نوشت: هرگاه f(t) یک تحریک هارمونیک باشد، پاسخ دائمی x این معادله هارمونیک ارتعاش هارمونیک است زیرا اگر داشته باشیم f(t)=f0Sinwt با جایگزین کردن حدس جواب به صورت x=Xsinwt با توجه به اینکه در این حالت xn=-xwzSinwt با جایگزاری در معادله Sinwt از طرفین و رابطه دامنه با سایر پارامترها مطابق زیر بدست می آید.

KXSinwt-mwzSinwt=f0Sinwt X=F0/k-mwz و بنابراین پاسخ مستقیم به صورت x(t)=F0/k-mwz Sinwt به دلیل خطی بودن این معادله، پاسخ سیستم به چند تحریک مختلف، حاصل جمع پاسخ آن به هریک از تحریک ها می باشد مثلا اگر سیستم توسط دو نیرو با فرکانس های 1w و 4w تحریک شود، پاسخ آن به صورت زیر می باشد: بدین ترتیب پاسخ دائمی یک سیستم به تحریک متناوب که با توجه به سری فوریه به صورت مجموعی از توابع هارمونیک قابل توصیف است عبارت است از: که در این رابطه k سختی فنر، m جرم و w0 فرکانس مبنا w0=2/T می باشد.

مثال: پاسخ سیستم جرم و فنر به نیروی شخص شده را بیابید: ابتدا ضابطه موج تحریک متناوب داده شده را بر حسب سری فوریه را بدست می آوریم: بنابراین خواهیم داشت: اکنون با توجه به مقادیر سختی فنر و جرم جسم و با توجه به ضرائبa0 و an پاسخ سیستم را به دست می آوریم مثال: در سیستم مثال قبل اگر تحریک داده شده و مدت یک ثانیه خاتمه باید و غیر تناوبی می باشد پاسخ سیستم را بیابید: با توجه به معادله حرکت سیستم و مقادیر m و k خواهیم داشت: با توجه به ضابطه f(t) ، جزء نیرو را می توان به این صورت نوشت: اگر Sx پاسخ سیستم به این جزء نیرو باشد: با حل این معادله دیفرانسیل خواهیم داشت: تمرین: 1- پاسخ واقعی سیستم جرم و فنر داده شده به تحریک شکل زیر را بیایید: 2- پاسخ دائمی سیستم جرم و فنر داده شده به تحریک غیر تناوب شکل زیر را بیابید: معاملات دیفرانسیل با مشتق جزئی: معاملات دیفرانسیل با مشتق جزئی موسوم به PDE می باشند در شرایطی که کمیتی تابع بیش از یک متغیر باشد پدید می آید.

در ابتدا چند مفهوم اساسی: الف) اگر کمیتی به بیش از یک متغیر وابسته باشد آنگاه مشتق آن را نسبت به یکی از متغیرها را مشتق جزئی می گوئیم: برابر تابع u=fx,y مشتق جزئی نیست به x به صورت زیر است: ب) اپراتوری که با علامت نمایش داده می شود به صورت زیر تعریف می شود: و بر این اساس گرادیان f نامیده می شود.

ج) لاپراسین f که به صورت z نمایش داده می شود: و) اگر متغیر وابسته و مشتقات آن به صورت ساده (بدون توان) در معادله دیفرانسیل ظاهر شوند معادله دیفرانسیل را خطی گوئیم.

هـ) یک معادله دیفرانسیل همگن است اگر در جملات آن فقط متغیر وابسته و مشتقات آن ظاهر شده باشند غیر خطی uxn + 2uxut + utut 0 غیر همگن uxx + ut + 1 0 و) پاسخ یک معادله دیفرانسیل: حل یک معادله دیفرانسیل جزئی در یک ناحیه R از فضای متغیرهای مستقل تابعی است که در معادله دیفرانسیل صدق می کند.

ز) حل کامل یک معادله دیفرانسیل: ترکیبی از پاسخهای آن معادله است که علاوه بر صدق کردن در معادله با شرایط اولیه و فردی مسئله تطبیق کند.

برخی از معادلات دیفرانسیل مهم: 1) utt=Czuxx معادله موج یک بعدی 2) ut-czuxx معادله انتقال حرارت یک بعدی 3) zu=0 معادله لاپلاس 4) zu=f(x,y) معادله پوامسون معادله (4) ناهمگن و بقیه همگن هستند ارتعاش آزاد تار: هدف: بدست آوردن ماعلده حاکم بر ارتعاش های عرضی کوچک یک تار کشان نظر یک تار ویولن تار را در راستای محور x تا طول L را می کشیم و در نقاط x=0 و x=L ثابت می کنیم.

آنگاه تار را در حالت تعادل خارج کرده و در لحظه t=0 رها می کنیم.

هدف تعین ارتعاش تار یعنی تعیین انحراف y(x,t) در هر نقطه x و در هر زمان t عامل برگرداننده تار به کدام پدیده بیشتر بستگی دارد؟

الف) نیروی کشش اولیه سیم ب) نیرویی که در اثر افزایش طول تار پدید آمده معمولا نیروی کشش به اندازه ای زیاد است که می توان از نیروی حاصل از افزایش طول تار صرف نظر کرد.

فرضیات: جرم واحد طول ثابت است و در مقابل خمش مقاومتی ندارد تار حرکات عرضی کوچکی در صفحه قائم دارد یعنی هر ذره از تار در جهت قائم حرکت می کنند.

بنابراین قدر مطلق انحراف و شبیه تار در هر نقطه همواره ثابت است.

مطابق شکل نیروهای وارد بر قسمت کوچک تار x را در نظر بگیریم.

نکته: چون تار در مقابل خمش مقاومتی ندارد، نیروی کشش در هر نقطه مماس برخم تار است 1T و 4T نیروهای کشش موثر بر نقاط انتهایی سمت مورد نظر یعنی P و Q هستند نقاط تار در جهت قائم حرکت می کنند و در جهت افقی حرکت ندارند.

بنابراین مولفه های افقی نیروی کشش ثابت است ‍cte= T= Cos 4T= Cos1T در امتداد قائم دو نیرو داریم: Sin1T- و Sin B4T = جرم واحد طول تار x= x = جرم تست مورد نظر.

براساس قانون دوم نیوتون شتاب قسمت مورد نظر= داریم tan و tan شیب ها تار در x و x+x هستند: حال اگر در () جایگزین کنیم: اگر x به سمت صفر برود: T/M دارای دیمانسیون مجذور سرعت ((LT-1)2) است.

یعنی تاری که در دو انتها بسته شده است: y(0,t) , y(L,t)=0 اگر تار در ابتدا (t=0) با ضابطه f(x) و سرعت آن با ضابطه g(x) معرفی شود: y(x,0) = f(x) y(x,0)=g(x) روش حل دالابر برای معادله موج: معادله موج (x+ct) یک جواب معادله است زیرا: F=x+ct به همان ترتیب (x-ct) نیز جواب معادله است.

با توجه به خطی بودن معادله دیفرانسیل ترکیب این جوابها نیز جواب معادله خواهد بود.

u(x,t)= (x+ct)+ (x-ct)= (z) + (v) اعمال شرایط مرزی: در صورتی که تار در ابتدا دارای شکلی به ضابطه u(x,0)=f(x) و دارای سرعت صفر باشد توابع و را بدست می آوریم.

u(x,0) = (x,0) + (x,0) = f(x) ut=(x,0)=c (x,0) –c (x,0)= g(x)=0 حاصل انتگرال گری از معادله دوم عدد ثابتی خواهد شد، آنرا S می نامیم.

F(x)=u(m)+ (x) (x) - (x)= s/c از این دستگاه: (x)= ½[f(x) + s/c] = ¼ [f(x)- s/c] براساس این جایگذاری خواهیم داشت: u(x,t)= ¼ [f(x+ct)+ f(x-ct)] تعبیر و ارزش پارامتر cz در معادله موج: اگر f(x) شکل اولیه تار را نشان دهد مفهوم (x-ct) آنست که موج با این شکل و سرعت c به سمت راست جا به جا می شود و شکل تار را تغییر دهد: به این ترتیب توابع (x+ct)و (x-ct) شکل موجهایی را که به طرف چپ و راست در حال حرکت اند را نشان می دهد و c در واقع سرعت انتشار این امواج است.

مثال: برای تاری به طول بی نهایت که از موقعیت اولیه = xz +1/ 1 رها شده است هرگاه سرعت انتشار موج به طول تار V باشد، شکل تار را در هر لحظه t بیابید: u(x,t)=1/2[f(x+vt)+f(x-vt)] تمرین: به یک تار یکنواخت که بین - تا + کشیده شده است تغییر شکل اولیه زیر اعمال شده است سپس تار رها شده است.

مطلوب است معادله حرکت تار و سرعت عرضی تار در مبدا.

روش تفکیک متغیرها در حل معادله موج: با توجه به اینکه دیمانسیون سرعت و سرعت انتشار موج است با v نمایش می دهیم برای حل این معادله فرض می کنیم که داشته باشیم: y(x,t)=X(x).

T(t) این فرض را در معادله جایگزین می کنیم: هرگاه پس از جایگذاری معادله دیفرانسیل را بتوان به دو معادله مجزا تفکیک کرد، این فرض معتبر است.

مثلا برای تجزیه معادل موج می توان نوشت: اگر این معادلات را در معادله موج قرار دهیم، به عبارت دیگر: که این تساوی ممکن نخواهد شد مگر آنکه نسبت های فوق برابر مقدار ثابتی نشود که آن را با (nz-) نمایش می دهیم.

بنابراین اگر شرایط مرزی را با این مدل تطبیق دهیم: y(0,t)= x(0).T(t)=0 y(L,t)= x(L) T(t)=0 در این صورت x(0)=0 و x (L)= 0 زیرا اگر T(t) صفر باشد کل حرکت صفر می شود.

شرایط فوری: y(x,0)= X(x).

T(0)= f(x) y(x,0)= X(x).

T(0)= g(x) انتخاب nz- به عنوان ثابت تفکیک به منظور تاکید بر لزوم منفی بودن آن صورت گرفته است این ضریب نمی تواند صفر باشد زیرا به این صورت: X= ax+b که این جواب هم با توجه به شرایط مرزی به نتیجه y=0 منجر می شود که جواب بدیهی مسئله است.

همچنین ثابت تفکیک نمی تواند (+) باشد زیرا در این صورت به حلی از خانواده x= ae-nx+benx می شود که با توجه به شرایط مرزی به y=0 ختم می شود.

بنابراین پس از قبول (nz-) به عنوان ثابت تفکیک تجزیه معادلات تفکیک شده به این صورت خواهد بود: اگر قرار دهیم wn=Vn ، جواب این معادلات به ترتیب عبارتند از T=Acoswnt+Bsinwnt x=c nt+Dsinnx اکنون شرایط فوری را به تابع x(x) اعمال می کنیم: x(0)=0 x(0)=C consn(0) + Dsin n(0)=0 C=0 با اعمال شرط مرزی دوم خواهیم داشت.

x(L)=0 DSinn(L)=0 در این صورت D نمی تواند صفر باشد، زیرا نتیجه آن y=0 خواهد بود.

پس: nL= n n=n/L = از طرفیwn=V =Vn n/L با ادغام ضریب D در A و B یک پاسخ y(x,t) را به صورت زیر بدست می آوریم.

تابع فوق را یک مود حرکت و عبارت Sin nx/L را شکل مود گویند و به ازای n=1 مود حرکت را مود اصلی می گویند برای اینکه شرایط اولیه تار منعکس شود، بدین منظور به ترکیب بیشماری از پاسخ ها نیازمندیم.

شرایط اولیه: ابتدا شکل تار به صورت تابع f(x) فرض شده است.

با قرار دادن t=0 در رابطه * خواهیم داشت ضرائب An و Bn با استفاده از خاصیت تعامد توابع مثلثاتی قابل محاسبه است.

با مراجعه به بسط نیم دور خواهیم داشت: و به طور مشابه پس از مشتق گیری از رابطه * نسبت به زمان و قرار دادن شرایط سرعت اولیه: L , n = n/L طول تار است.

یک حالت خاص این است که سرعت تار صفر باشد یا به عبارت دیگر g(x) مساوی صفر باشدکه در این صورت Bn=0 و y(x,t) به صورت زیر است: می دانیم براین اساس (**) به این صورت می شود: و با اعمال رابطه Vn =wn آنرا به صورت زیر خواهیم داشت: از طرفی داشتیم: تمرین: تاری به طول داد که سرعت انتقال ارتعاش در طول آن نیز واحد فرض می شود، مورد نظر است اگر تار از وضعیت f(x)= x(1-x) را شده باشد، پاسخ را بیابید.

تمرین: مسئله فوق را از روش والابر نیز حل کنید: معادله انتقال حرارت یک بعدی: برای جسمی که در اثر دریافت حرارت دمایش تغییر می کند رابطه ای به شکل زیر وجود دارد: ظرفیت گرمایی that C: heat Capacity در این رابطه m جرم، T دما و t معرف زمان است و Q نشان دهنده شار عبوری حرارتی است از طرف دیگر هدایت یک شار حرارتی Q از سطح A در جسمی با ضریب هدایت K وقتی صورت می گیرد که شیب دمایی وجود داشته باشد و از رابطه زیر: اکنون بر پایه روابط بنیادی فوق معادله انتقال حرارت یک بعدی را استخراج می کنیم.

بدین منظور جسمی را در نظر بگیرید که به دلیل عایق بودن یا هر دلیل دیگر در امتدادهای عمود بر محور x انتقال حرارت انجام نمی دهد یعنی در جهت های محور y ها و z ها انتقال حرارت داریم.

یک جزء کوچک در امتداد طول این جسم را در نظر گرفته و براساس اصل بقای انرژی معادله موازنه حرارت را می نویسیم.

شار حرارتی وارد شده به الان برابر است با شار حرارت خارج شده از المان+ حرارت ذخیره شده در المان Energy Balane:Qin+Qc.v+Qewt حال با توجه به روابط داده شده روابط را به شکل زیر جایگزین می کنیم.

حال اگر معادله انتقال حرارت یک بعدی: اکنون این معادله را برای میله ای که در دو انتها در دمای صفر قرار دارد و در ابتدا دارای توزیع دمای می باشد بدست خواهیم آورد.

u(x,0)=f(x) U(x,0)=f(x) : شرط اولیه u(0,t)=0 میله در دو انتها در دمای صفر می باشد شرط موازی u(L,t)= 0 برای حل از روش تفکیک متغیرها استفاده می کنیم.

u(x,t)=X(x).T(t) شرایط مرزی ها با این مدل تطبیق می دهیم.

خواهیم داشت: X(0)=0 X(L)=0 با اعمال فرض تفکیک خواهیم داشت: اگر نسبت کسرها تابع x یا t باشند فرض تفکیک نامعتبر است.

اما اگر این نسبت برابر صفر یا یک عدد مثبت باشد نیز با توجه به شرایط فوری به نتیجه X(x)=0 منتهی می شود که جواب مورد نظر ما نمی باشد، بدین ترتیب با توجه به شرایط حاکم خواهیم داشت: که دارای جوابهایی به صورت زیر است: با توجه به شرایط فوری داده شد ملاحظه می شود که از یم طرف An=0 و از طرف دیگر چون u(l,t)=X(L).T(t)=0 داریم x(u) و در نتیجه و در نتیجه یک جواب معادله به صورت زیر خواهد بود: اما یک جواب به تنهایی برای تشریح شرایط کفایت نمی کند و داریم: به منظور اعمال شرایط اولیه داریم: و با توجه به بسط نیم دور سینوس خواهیم داشت: تمرین: برای میله ای که در دو انتها در دمای صفر درجه سانتی گراد حفظ شده است و از اطراف عایق بندی شده است نحوه تغییر دما را بیابید.

طول میله برابر L در دمای اولیه آن برابر است با الف)f(x)=sinx/l ب) f(x)=x(L-x) معادله انتقال حرارت یکنواخت: جسمی را در نظر بگیرید که توزیع دمای آن در طول زمان تغیر نمی کند.

در این صورت نمی توان گفت در جسم انتقال حرارت صورت نمی گیرد.

اکنون معادله ای که نحوه توزیع دمای یکنواخت جسم را توضیح می دهند، بررسی و حل می شود.

برای این منظور جسمی را در نظر می گیریم که امکان مبادله حرارت در دو بعد برای آن فراهم شده باشد.

اما در امتداد بعد سوم به دلیل مثل عایق کاری حرارت مبادله نمی شود.

یک جزء کوچک از این جسم در شکل نشان داده شده است.

براساس اصل بقای انرژی خواهیم داشت براساس قانون هدایت فوریه مقادیر Q را جایگزین می کنیم.

با حذف عبارات مساوی از طرفین خواهیم داشت که به طور مختصر آن را به صورت که در این رابطه هرگاه انتقال حرارت به صورت یکنواخت صورت گیرد با گذشت زمان دما تغییر نمی کند و در این حالت معادله به صورت زیر در می آید: که این معادله به معادله لاپلاس موسوم است و علاوه بر مسئله انتقال حرارت در موارد دیگری نظیر تشریح موارد میدان های مغناطیسی یا ثقلی در قالب دارای کاربرد است.

تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل: تابعی مانند f(x) در نظر بگیرید.

هرگاه تمایل داشته باشیم به جای x تابعیت f را نسبت به متغیر دیگری مانند t مشخص کنیم لازم است رابطه بین x و t را بدانیم.

در این صورت با جایگزین گردن x(t) در f شکل جدید برای آن پدید می آید.

به طور مشابه اگر بخواهیم تابعی مانند f(x,y) را برحسب متغیرهای w,v نمایش دهیم لازم است رابطه هریک از متغیرهای y,x را با متغیرهای جدید را مشخص نموده و سپس در معادله جایگزین نمائیم.

اکنون می خواهیم بررسی کنیم که متغیر تابعیت متغیرها چگونه ظاهر معادلات دیفرانسیل را تغییر می دهد.

برای تابع یک متغیرها f(x) عبارت df یعنی دیفرانسیل کامل f را به صورت زیر می نویسیم: از رابطه فوق قاعده زنجیری مشتق گیری توابع یک متغیره بدست می آید: مثلا اگر در مورد تابع f که تابعیت زمان وارد در جستجوی مشتق مکانی باشیم داریم: مثال 2-1: معادله دیفرانسیل را به صورت معادله دیفرانسیلی بر حسب متغیر مستقل x بدست آورید هرگاه به طور مشابه با اعمال مجدد قاعده مشتق گیری زنجیری خواهیم داشت: بنابراین معادله دیفرانسیل داده شده به صورت: در مورد توابع چند متغیره دیفرانسیل کامل دارای چند فرد است.

مثلا دیفرانسیل تابع دو متغیره f(x,y) را به صورت زیر نمایش می دهیم: قاعده زنجیری مشتق تابع چند متغیره در متغیر مختصات یا متغیرهای معادله یک تابع دیفرانسیل جزئی کاربرد دارد.

مثلا اوپراتور لاپلالین که تاکنون که مختصات دکارتی معرفی شده است در مختصات استوانه ای و کروی معرفی می گردد.

در مختصات قطبی، متغیرها عبارتند از: و رابطه آنها با متغیرهای y,x به شرح زیر است: برای محاسبه اوپراتور در مختصات قطبی لازم است معادل عبارات uxx,ux uyy,uy در مختصات قطبی مشخص شوند، با توجه به قاعده مشتق زنجیری داریم همچنین داریم به کمک رابطه بر حسب y مقادیر rx، rxx، x و xx را بدست می آوریم.

این مقادیر عبارتند از: اگر معادلات بدست آمده را در A و B و سپس در C قرار دهیم بدست خواهیم آورد: به طور مشابه با انجام عملیات ریاضی uyy به شرح زیر بدست می آید: از ترکیب دو معادله فوق معادله لاپلاس بدست می آید: در مختصات استوانه ای لاپلاس به صورت زیر است: در مختصات کروی که از برای نمایش موقعیت استفاده می شود، رابطه های زیر برقرار است: تمرین: اوپراتور لاپلاسین را در مختصات کروی بدست آورید: تقسیم بندی معادلات دیفرانسیل جزئی: از بخش قبل دیدیم که پاسخ معادله موج با ترکیب دو تابع f(x+xt) و f(x-xt) بدست آمده کاربرد این روش فقط برای معادلات موج نیست و مثلا می توان نشان داد f(x+xt) می تواند پاسخی برای همه معادلات به فرم Auxx+Buxt+cutt=0 باشد.

برای اثبات مافی است جواب پیشنهادی را در معادله جایگزین کنیم.

بنابراین اگر را با z نمایش دهیم.

بنابراین معادله معرفی شده به صورت زیر ساده می شود: مادامی که معادله (*) برقرار باشد یک جواب معادله است.

معادله * دارای جوابهایی به صورت زیر است: اگر پاسخها و ریشه های مقادیر حقیقی باشند در این صورت مخلوط را خطوط مشخصه معادله دیفرانسیل می گویند زیرا در سراسر این خطوط مقدار تابع f یکسان است.

مقادیر در معادله (*) همواره دو عدد حقیقی و متمیز نیست به طوری که رسوم است اگر Bz-4AC را با نمایش دهیم، در این صورت اگر دو جواب متمایز خواهیم داشت.

اگر به منزله وجود فقط یک و اگر به مقوله عدم وجود های حقیقی است به دلیل شباهت معادله دیفرانسیل های این خانواده با معادله Axz+Bxy+cyz=0 که معادله مقاطع مخروطی است، بسته به مقادیر آنرا هزلولی، سهمی یا بیضی می نامند.

اگر هزلولی اگر منتهی اگر بیضی از این معادلات دیفرانسیلی که تاکنون حل کرده ایم می توان نشان داد معادله موج یک هزلولی، معادله گرما یک معادله سهمی و معادله لاپلاس یک معادله بیضی است.

در مورد معادله هزلولی که مقادیر حقیقی هستند مشاهده می شود که اگر قرار دهیم: آنگاه معادله به صورت در آمده و یعنی تغیر متغیرهای معادله دیفرانسیل را از شکلی به شکل دیگر تبدیل می کند.

در مورد معادله ای از نوع سهمی ریشه مضاعف معادله است، بنابراین اگر قرار دهیم و یک تغییر متغیر z,x نیز در نظر بگیریم، آنگاه معادله به صورت uzz=0 تبدیل می شود.

اگر نوع معادله بیضی باشد مقادیر فردوج مختلط یکدیگرند.

در این صورت ثابت می شود که تغیر متغیر که در آن می تواند معادله را به صورت urr+uss=0 ساده کند.

مثال: معادله دیفرانسیل uxx+2uxy-3uyy=0 را به صورت کانولی ساده کنید: معادله مختصر به صورت است که دارای ریشه های او –1/3 می باشد.