دانلود مقاله سریهای توانی

سریهای توانی
یک سری به شکل * که در آن و.... اعدادی ثابت هستند، یک سری توانی از x می نامند . معمولاً برای راحتی سری *به صورت می نویسد در حالت کلی تر سری توانی به صورت است .
اگر به جای x مقدار ثابت r در نظر بگیریم سری توانی به یک سری عددی تبدیل می شود و همگرایی آن از روشهای همگرایی سری های عددی استفاده می شود .
نکته : هرگاه سری توانی به ازاء x=r که همگرا باشد ، آنگاه به ازاء هر x که به طور مطلق همگرا است هرگاه سری به ازاءx=s واگرا باشد آنگاه به ازاء هر x که نیز واگرا است .
تعریف بازه همگرایی: مجموعه نقاطی که به از‌ ‌آنها سری همگرا باشد ، همواره یک بازه است که به آن بازه ، بازه همگرایی می گویند.
نکته: سری توانی یکی از سه رفتار زیر را دارد :
الف ) سری فقط به ازاءx=0 همگرا است در این صورت بازه همگرایی I بازه [0,0] است
ب ) سری به ازاء هر x همگرا است د راین صورت است
ج) سری به ازاء مقادیر ناصفری از x همگرا و به ازاء سایر مقادیر واگراست
در این صورت،I یک بازه متناهی به شکل (-R,R],[-R,R),[-R,R],(-R,R)که R>0 است و این بسته به رفتار سری در نقاط x=-R ,x=R است که باید جداگانه بررسی شود . بازه همگرایی I ممکن است شامل یک یا هر دو نقطه انتهای نباشد به عبارت دیگر سری ممکن است به ازاءx=R یاx=-R همگرا باشد یا نباشد .
شعاع همگرایی :عدد R در نکته فوق شعاع همگرایی سری توانی نام دارد .
مثال : بازه همگرایی و شعاع همگرایی سری های توانی زیر را به دست آورید .
(‌الف
حل : از آزمون نسبت نتیجه می شود که سری فوق به ازاء x=0 همگرا است زیرا :

مگر آنکه x=0 لذا R=0,I=[0,0]
(ب
حل : آز آزمون ریشه نتیجه می شود که سری به ازاء هر x همگرا است زیرا :

(ج
حل : معلوم می شود که
*
لذا سری به ازاء به طور مطلق همگرا به ازاء واگرا می باشد در نتیجه شعاع همگرایی 1 می باشد بازه ‌ همگرایی [-1,1) است در واقع به ازاء x=1 سری * به سری توافقی واگرای تبدیل می شود . ولی به ازاx=-1 به سری متناوب به طور مشروط همگرای بدل خواهد شد
(د
حل : یک سری توانی است که فقط شامل توانهای زوج x است با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر یا معادلا و واگر است اگر یا در نتیجه شعاع همگرایی1می باشد. بازه همگرایی بازه بسته
می باشد. در واقع با گذاردن x=-1 , x=1 در سری فوق یکسری بطور مشروط همگرا است .

(و
حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر و واگراست اگر در نتیجه شعاع همگرایی سری 5 می باشد . بازه همگرایی بازه بسته [-5,5] می باشد
(ه
حل : با استفاده از آزمون ریشه داریم :

لذا سری برای هر x همگراست یعنی
(ی
حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :


و لذا اگر یا به عبارت دیگر سری توانی بطور مطلق همگرا است وبه ازاء سری توانی مفروض به صورت در می آید که واگرا است لذا بازه همگرایی بصورت است و
مشتق گیری ازسری توانی
مثال : سری هندسی را در نظر بگیرید این سری به مجموع می‌گراید هرگاه |x|<1 بنابراین="" سری="" توانی="" تابع="" f="" با="" ضابطه="" را="" تعریف="" می="" کند="" لذا="" :="">
*
مثال : اگر در * به جای x ، –x قرار دهیم ، داریم :

در * قرار میدهیم x=x2 و بدست می آوریم .

چنانچه در * به جای x ، -x2 گذاشته شود بدست می آید :

قضیه : اگر یک سری توانی با شعاع همگرایی R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری نیز R است . این قضیه حاکی است که شعاع همگرایی سری حاصل از مشتق گیری جمله به جمله از یک سری توانی مفروض ،‌ همان شعاع همگرایی سری مفروض است .
مثال : درستی قضیه فوق را در مورد سری توانی زیر تحقیق می کنیم:

شعاع همگرایی با استفاده از آزمون نسبت بدست می آید :

پس سری توانی به ازاء |x|<1 همگراست="" ،="" لذا="" شعاع="" همگرایی="" اش="" ،="" r="" برابر1="" است="" با="" مشتق="" گیری="" جمله="" به="" جمله="" از="" سری="" مفروض="" ،="" سری="" توانی="" زیر="" حاصل="" می="" شود="" :="">

آزمون نسبت را در مورد این سری توانی به کار می بریم وبدست می اوریم :

این سری توانی هم به ازاء|x|<1 همگراست="" ،="" لذا="" شعاع="" همگرایی="" اش="" ،r`="" ،="" برابر="" است="" چون="" درستی="" قضیه="" فوق="" تأیید="" می="" شود="" .="">



قضیه :
اگر شعاع همگرایی سری توانی برابر R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری نیز برابر R است .
قضیه :گیریم یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی ‌اش R>0 است آنگاه اگر f` تابعی با ضابطه باشد ، به ازاء هر x درباره باز وجود دارد و به صورت زیر معین می شود :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد
حل :‌ می دانیم که

با توجه به قضیه فوق از دو طرف رابطه بالا مشتق می گیریم داریم :

مثال : نشان دهید که به ازاء هر مقدار حقیقی x داریم :

حل: سری توانی به ازاء همه ‌مقادیرحقیقی x به طور مطلق همگراست (‌چرا؟) بنابراین اگر f تابعی باشد که توسط رابطه زیر تعریف می شود :
*
آنگاه قلمرو f مجموعه تمام اعداد حقیقی است یعنی بازه ‌همگرایی ( ) است لذا به ازاء هر عدد حقیقی

لذا به ازاء‌تمام اعداد حقیقی لذا تابع f در معادله دیفرانسیل صدق کند که جواب عمومی آن است لذا به ازاء تابع ثابتی مانند C، و چون بنا به*، f(0)=1 پس C=1 و لذا f(x)=ex
مثال : سری توانی بیابید که e-x را نمایش دهد
حل :

مثال : نشان دهید



انتگرال گیری از سری توانی
قضیه: فرض کنید یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی اشR>0 است در این صورت اگر f تابعی با ضابطه باشد این تابع بر هرزیربازه بسته از (-R,R) انتگرال پذیر است .وانتگرال f با انتگرال گیری جمله به جمله از سری توانی مفروض بدست می آید:یعنی اگر x در (-R,R) باشد آنگاه :

علاوه بر این شعاع همگرایی سری حاصل R است
مثال: سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد
حل:

اگر به جای t2,x قرار دهیم داریم :
به ازاء هر مقدارt
لذا با انتگرال گیری جمله به جمله ازسری داریم:

این سری توانی،انتگرال را به ازاء تمام مقادیرx نمایش می‌دهد .

مثال : درسری توانی قبل ،مقدار را با دقت سه رقم اعشار محاسبه کنید
حل :

این سری متناوب همگراست که در آن پس اگر برای تقریب کردن مجموع از سه جمله اول استفاده کنیم خطا از قدر مطلق جمله چهارم کوچکتر خواهد بود از سه جمله اول داریم :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد .
حل : تابع f را که به صورت در نظر می گیریم داریم :

لذا با جمله به جمله انتگرال گرفتن از سری توانی فوق داریم:

یا معادلش
تمرین : نشان دهید که
مثال : یک سری توانی بیابید که را نمایش دهد .
حل :‌می دانیم که
با انتگرال گیری جمله به جمله بدست می آوریم :
*
مثال : در * قرار دهید x=1 داریم:

سری دو جمله ای
بنا بر قضیه دو جمله ای هرگاه r عددصحیح نامنفی باشد آنگاه:
*
سری توانی** که در آن rعدد حقیقی دلخواهی‌است سری درجمله ای نام دارد .اگر r عددصحیح نامنفی باشد ،سری دوجمله ای مختوم بوده و به چند جمله ای* از درجه r تحویل می شود واین سری دارای شعاع همگرایی 1 میباشد (چرا؟) لذا تابع f(x) بر بازه (1،1-) تعریف شده است ، با مشتق گیری جمله به جمله از ** داریم :


که پس از ضرب در xبه صورت زیر در می آید :

لذا داریم
لذا تابع مجموع y=f(x) در معادله دیفرانسیل تحت شرط اولیه y(0)=1 صدق می کند لذا جواب معادله دیفرانسیل می باشد بنابراین:

مثال با استفاده از سری دو جمله ای نشان دهید که :

حل:می دانیم که : با انتگرال گیری از این سری دربازه ‌همگرایی داریم :

مثال :‌نشان دهید که :

و با استفاده از آن نشان دهید که
حل : واگذارمی شود .
قضیه تیلور موارد کاربرد آن
قضیه تیلور :فرض کنید f در هر نقطه ازبازه ‌I مشتق مرتبه n+1 متناهی داشته ،x,a نقاط دلخواهی از I باشند در این صورت نقطه ای مانند t بین a و x هست که :
*
فرمول * را فرمول تیلور گویند به چند جمله ای تیلور به باقیمانده تیلور گویند .
مثال : تابع f(x)=ex را بوسیله چهار چند جمله ای تیلور اول خود در مجاورت x=0 تقریب نمایید .

ترکیب ex بوسیله چند جمله ای مکعبی p3(x) از همه بهتر است در واقع بنا به قضیه تیلور که در آن
در نتیجه خطای تقریب روی تمام بازه مثبت و کوچکتر از مقدار زیر است .

مثال : با استفاده از فرمول تیلورنشان دهید که :

حل : با اختیار f(x)=sinx, a=0,n=4 در فرمول تیلور و توجه به اینکه
داریم :

سریهای تیلور و مک لورن
بنابر فرمول تیلورهرگاه تابع f در هر نقطه از بازه ‌I شامل نقطه a دارای مشتق مرتبه n+1ام متناهی باشد ، آنگاه به ازاء هرx/در I

که در آن باقیمانده Rn(x) عبارتست از :

سری متناهی * را در نظر می گیریم بدون توجه به همگرا بودن یا نبودن سری به f سری تیلور f در x=a نامیده می شود .حالتی که سری تیلور f همگرا به f است اهمیت بیشتری دارد در این صورت مجموع سری تیلور خود می باشد »
قضیه : (محک همگرایی برای یک سری تیلور ): سری تیلور * بر بازه I همگرا به f است اگر فقط اگر به ازاء هر x در **
در این صورت اگر ** برقرار باشد آنگاه

به ازاء a=0 سری تیلور *** به صورت زیر تحویل می شود که به آن سری مک لورن گویند :

مثال : سری مک لورن ex را بیابید

مشروط بر اینکه سری راست همگرا به باشد برای تحقیق این امر باقیمانده را بررسی می کنیم :

که t بین x,o قرار دارد واضح است که :

که در آن M ماکزیمم et بر بازه [0,x] است اگر x>0 یا بر بازه [x,0] است گه اگر x<0 یعنی="">
بعلاوه به ازا‌ء هر x ثابت
زیرا بنا به آزمون نسبت بطور مطلق همگرا است ولذا :

مثال سری مک لورن sin x را بیابید .

سری مک لورنx sin بصورت زیر می باشد

که باقیمانده آن مساوی است با :

که در آن t بین x,0 است چون به ازاء n,t دلخواه لذا
ولذا بنابر این سری مک لورن sin x بر تمام بازه می باشد.

مثال سری مک لورن تابع را بدست آورید

مثال سری تیلور sinx را در بیابید
حل : واگذار می شود (راهنمایی )
مختصات قطبی
مختصات قطبی به صورت زیر تعریف می‌شود:
فرض کنیم یک شعاع یا نیم خط ثابت ،به نام محور قطبی ، باشد که از نقطه ثابت o به نام مبدا یا قطب خارج شده است .





فرض کنید فاصله بین o,p بوده و زاویه بین وپاره خط opباشد که از به opدرجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت سنجیده میشود،در این صورت گوییم نقطهp به مختصات قطبی است و p رابا جفت نشان داده ومی نویسیم p=. اگر را مختص شعاعی و را مختص زاویه ای pمی نامند .
همچنین rمجاز است مقادیر منفی اختیارکند .این راباتعریف (r<0) مساوی="" منعکس="" فقط="" نسبت="" به="" مبدا="" o="" انجام="" دهیم="" .به="" عبارت="" دیگربرای="" یافتن="" نقطهp="" به="" مختصات="" قطبی="" ،="" درعوض="" در="" امتدادشعاعی="" که="" بامحور="" قطبی="" زاویه="" می‌سازد="" ،|r|="" را="" حد="" در="" جهت="" خلافشعاع="" می‌رویم="" .="">
مثال نقاط زیر را در دستگاه مختصات قطبی نشان دهید .





نکته :مختصات هر نقطه در دستگاه قائم منحصر بفرد ولی در دستگاه مختصات قطبی منحصر بفرد نیست .اگر نقطه ای غیر ازقطب باشد داریم:




رابطه بین مختصات قطبی و قائم
اغلب مختصات قطبی وقائم با هم به کارمی روند، ‌به این ترتیب که قطب ومحور قطبی رامبدا ومحور x مثبت یک دستگاه قائم می گیرند.در این صورت با توجه به شکل زیر واضح است که نقطه به مختصات قطبی دارای مختصات قائم زیر است :




مثال : مختصات قائم نقطه به مختصات قطبی داده شده را بیابید .



مثال تمام نمایش های نقطه به مختصات قائم داده شده رادرمختصات قطبی (به انضمام آنهایی که r منفی دارند)پیدا کنید .




نمودار معادلات قطبی
منظور از نمودارتابع * ویا بطورکلی تر معادله **شامل مختصات یعنی مجموعه تمام نقاط با دست کم یک جفت مختصات قطبی که در *و** صدق نمایند .مثلانقطه به مختصات قطبی متعلق به نمودارمعادله است هرمعادله به شکل*و**را یک معادله قطبی گویندونمودار یک چنین معادله یک منحنی قطبی نام دارد.
مثال نمودارمعادله (a>0)r=a دایره ای به شعاع a مرکزقطب 0 است. نمودار ( دلخواه) شعاعی است که از 0 خارج شده وبا محور قطبی زاویه می سازد ، اگر یا خط مابرo است که با زاویه می‌سازد اگر شرطی برای r نشده باشد.
آزمون های تقارن
در رسم معادله قطبی همیشه باید تقارن های نمودار را پیدا کنیم .چند آزمون برای اینگونه تقارن ها وجود دارند .مختصات قطبی وقائم را هم زمان به کاربرده، قطب رامبدا مشترک ،محورقطبی رادر امتدادمحورx می‌گیریم.
همچنین نقطه ای غیراز خودقطب ، نقشهای p تحت انعکاس نسبت به محور x مبداومحورG,y نمودارمعادله باشد دراین صورت از نمایش‌های قطبی نقاط داده شده
درشکلهای زیر معلوم می‌شود که :
الف: G نسبت به محورX (قطبی ) متقارن است اگرمجموعه جوابهای همان مجموعه جوابهای یا باشد .
ب: G نسبت به مبدا0 (قطب)متقارن است اگرمجموعه جوابهای همان مجموعه جوابهای یا باشد.
ج: G نسبت به محورy متقارن است اگرمجموعه جوابهای همان مجموعه جوابهای یا باشد .



مثال :نمودارتابع را رسم کنید
حل: اگر به آسانی معلوم می شود که لذانتیجه می‌شودکه نمودارنسبت به هر دو محور مختصات و مبدا متقارن است .لذا کافی است نمودار از0تا رسم گردد داریم:




چند نقطه از نمودار را رسم کرده و آنها را با منحنی همواری به هم وصل می کنیم و بقیه شکل را با توجه به خاصیت تقارن رسم می‌کنیم .منحنی بدست آمده را ‌رز چهارپرگویند.


مثال: نمودار تابع را رسم کنید.
حل: با استفاده از آزمونهای تقارن می بینیم که نمودارفوق فقط نسبت به محور قطبی متقارن است (چرا؟) لذا کافی است نموداراز0تا رسم گردد داریم :



بقیه شکل را با استفاده از تقارن رسم می کنیم .منحنی بدست آمده را دلگون می نامند.




مثال : نمودارمعادله که a>0 رارسم کنید
حل : به ازاء r نامنفی، نمودارمنحنی توپر شکل زیراست که به آن مارپیچ هذلولوی گویند.



چون هرنتیجه می شودکه وقتی از مقدارمثبت کوچکی تا افزایش می یابدنقطه روی نمودارفوق ازبی نهایت آمده وحول مبداء تاقطب0 درجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت می‌پیچد وضمن آن r تدریجا به 0 میل می‌کند .مختصyنقطه pعبارتست از :

این همراه با این امرکه نشان می‌ دهد که خط y=a یک مجانب افقی مارپیچ است .برای یافتن بقیه مارپیچ ،نظیر به مقادیر منعکس منحنی توپر را نسبت به محور y بدست می آوریم که منحنی منقطع در شکل است .
نکته:نمودار مفروض است .
الف: اگر نام نمودارلیماسون با حلقه داخلی است که شکل تقریبی آن به صورت است.
ب: اگر نموداردلگون نامیده‌می‌شودکه شکل تقریبی آن به صورت است.
ج: اگر نمودار به صورت است.
د: اگر نمودار به صورت است .
نکته : محورتقارن محور y ها و محورقطبی است .
نکته : نمودار یا یک رز نام دارد که اگر n فرد باشد رزn پر واگرn زوج باشد رز2n پر دارد .
نکته : نمودار نموداریک دایره به قطر a است.
مساحت درمختصات قطبی
حال به یافتن مساحت A از ناحیه OCD شکل زیر می‌پردازیم که به شعاع شعاع و منحنی به معادله قطبی که محدود شده است ، که درآن f پیوسته ونامنفی است.




بازه را به تعداد n زیربازه توسط نقاط تقسیم افراز می‌کنیم.
فرض کنید در این صورت شعاع های ناحیه ocD را به n برش نازک کیک مانندتقسیم می‌کنند.تابع f پیوسته بوده و درنتیجه اگر به قدرکافی کوچک باشد مقدارش در زیر بازه تغیر مختصری خواهد کرد .لذا اگر f را با مقدارثابت بر بگیریم که نقطه دلخواهی از است تقریب مناسبی برای آن بدست می‌آید.تعویض با بر هر یز بازه معادل تعویض برشها به وسیله قطاعهای مستدیر سایه دار در شکل است .مجموع مساحت های این قطاعها مساوی با است لذا داریم :
بنابراین:
مساحت بین دومنحنی قطبی
مساحت بین منحنی های از با فرض اینکه و از فرمول استفاده
می شود(چرا؟)
مثال : مساحت داخل دلگون ونیز مساحت خارج این دلگون داخل دایره را بیابید .
حل :درناحیه R1 داخل دلگون ،حدود انتگرال گیری عبارتنداز:
وشعاع های که ناحیه را دربرمیگیرندبه یک نقطه یعنی قطب جمع میشوندلذا باتوجه به فرمول مساحت نمودارقطبی داریم:

درموردناحیه R2 خارج دلگون وداخل دایره ، حدود انتگرال گیری عبارتند از
و بعلاوه اگر لذا با توجه به فرمول مساحت بین دومنحنی قطبی داریم:




مثال : مساحت A محصور به رابیابید.
حل : ابتدا باقراردادن آنرابه مختصات قطبی تبدیل می کنیم دراین صورت بدست می آیدداریم :




طول یک منحنی قطبی
فرض کنید cیک منحنی به معادله قطبی باشد در این صورتc دارای نمایش پارامتری زیر است :

در این صورت c با طول متناهی خواهدبود
داریم:

لذا:

یا بطورفشرده تر
مثال :محیط دلگون را بدست آورید .
حل :
اما اگر و لذا :

مثال : طول اولین دور مارپیچ ارشمیدسی را بیابید .





مثال : طول کل مارپیچ لگاریتمی که را بیابید .






مثال :مساحت A سطح حاصل از دوران لمنیسکات حول محور x را بیابید.
حل: بنابر تقارنA1دربرابرمساحت سطح حاصل از دوران‌قوس‌ که حول محور x است .طبق فرمول داریم :

با مشتق گیری از داریم :
لذا داریم :

توابع برداری
- توابع برداری حدوپیوستگی
تابع برداری تابعی است که از فضای به تعریف میشود .به طوری که به هر
n تایی مرتب از زیر مجموعه ای مانند D از یک بردار از مربوط می‌گردد D را دامنه تابع می‌نامیم.
در این فصل ،توجه ما به آن دسته از توابع برداری است که دامنه آنها زیر
مجموعه هایی از می‌باشد ،به عنوان کاربردچنین توابعی می توان از نقطه ای متحرک روی یک منحنی فضایی صحبت کرد در این صورت ،سرعت در هر نقطه p(x,y,z) از مسیر ، تابعی است برداری به صورت که از به می‌باشد هر چند در مکانیک سیالات بسادگی می‌توان توابعی چون که از به هستند را مشاهده نمود (زیرا سرعت یک سیال معمولادر هرنقطه به زمان نیز بستگی دارد).مطالعه ما در این فصل عمدتا بر روی توابع برداری 1تا3 متغیر است ونتایج اغلب قابل تعمیم به فضاهایی با بعد بیشتر از 3 می‌باشند.هرتابع برداری را به صورت های زیر نمایش می دهیم:
در اینجا f3,f2,f1 هر یک توابعی عددی می باشند .
تعریف 1: تابع برداری به صورت زیر مفروض است:

حد تابع وقتی P به سمت P0 میل می کند را به صورت زیر تعریف می کنیم :

مشروط بر آنکه هرسه حد طرف راست رابطه بالا موجود باشد
مثال1: حد تابع زیر را در نقطه( 2و1) محاسبه کنید .


حل:

تعریف 2. تابع برداری ونقطه p0 در دامنه تابع مفروض می‌باشند، تابع برداری را در نقطه po پیوسته گوییم ، اگر به ازاء هر بتوان چنان یافت که به ازاء هر نقطه p در دامنه f داشته باشیم :

رابطه بالا معادل است با :
قضیه 1: تابع برداری به صورت زیر مفروض است :

تابع برداری f در نقطه po متعلق به دامنه تابع ، پیوسته است اگروفقط اگر ،هر یک از توابع اسکالر در poپیوسته باشند .
مثال2: تابع به صورت زیر تعریف شده ،پیوستگی تابع را در نقطه t=0 بررسی کنید .

حل: چون توابع et,sint,t هر سه در t=0 پیوسته اند ، بنابر این تابع fدر t=0پیوسته است.
مشتق توابع برداری
تعریف 3: فرض کنید تابع برداری به طور زیر تعریف شده باشد

مشتق تابع که با نماد یا نشان داده می شود فعبارتست از :
1)
مشروط بر اینکه حد بالا موجود باشد
قضیه 2: فرض کنید آنگاه در صورت وجود داریم :
2)
توجه : مشتقات مر اتب بالاتر را می توان به طریق مشابه محاسبه نمود .
مثال3: تابع برداری بصورت زیر مفروض است ، را محاسبه کنید .
حل:

تعریف 4: فرض کنید ذره ای روی منحنی C به معادله
در حرکت باشد در صورت وجود سرعت لحظه ای ذره در زمان t که با نماد نشان داده می شود عبارتست از :
(3)
وتندی سرعت برابر با اندازه بردار سرعت در لحظه t می باشد ،
(4)
تعریف 5: شتاب لحظه ای ذره ای که روی منحنی C در حرکت باشدرا با نشان می دهیم و عبارتست از :
(5)
و تندی شتاب در لحظه t برابر با اندازه بردار شتاب می باشد .
(6)
مثال 4: موضع یک ذره متحرک در لحظه t بوسیله معادله برداری معین می شود مطلوبست محاسبه
حل :

و تندی سرعت وشتاب در لحظه t=0 برابراست با
قضیه 3: فرض کنید توابع برداری به صورت و در فاصله I=(a,b) مشتق پذیر باشند بعلاوه فرض کنید h نیز یک تابع حقیقی و در فاصله I مشتق پذیر باشد و C عددی حقیقی و برداری ثابت باشد ، آنگاه

قضیه4 : فرض کنید تابعی برداری ومشتق پذیر باشدوبرای هر t در دامنه عددی ثابت است ، آنگاه بر عمود است .
مثال 5 : تابع برداری نمایانگر دایره درصفحه xy می‌باشد وچون پس بنابر قضیه 4، که این مطلب از نظر هندسی با توجه به اینکه ‌ بر دایره مماس است بیان می داردکه مماس بر دایره درهر نقطه برشعاع واصل به آن نقطه عمود می‌باشد.
مثال 6: مطلوب است محاسبه که .
حل :

مثال 7: مطلوبست محاسبه اگر .
حل:

مثال 8 : مطلوبست ، اگر
حل:

توجه کنید که در مثال فوق
مثال9: اگر را بیابید .


حل:

بنابراین

فرض کنید نمایانگر منحنی C باشد ، به صورت زیر تعریف می شود




و در نقطه متناظر با t، بر منحنی C مماس می باشد .
تعریف 6: اگر بردار موضع منحنی باشد ، و P نقطه ای روی C که به عدد t مربوط می شود ، در این صورت بردار یکانی مماس بر منحنی C در نقطه P را با نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم .

توجه بردار هم جهت هستند .
مثال 10: بردار یکانی مماس بر منحنی C به معادله زیر را در نقطه متناظر با t=0 تعیین کنید .

حل :

مثال11 : خط مماس بر منحنی C در مثال بالا را بدست آورید .
حل : خط مماس در هر نقطه بر منحنی C به معادله به موازات بردار می باشد بنابراین معادله خط مماس به صورت زیر بیان می شود :

و مثلاً در نقطه متناظر با t=0 داریم :

با توجه به اینکه می باشد و با استفاده از قضیه 4 بخش دوم نتیجه میگیریم که بردار در هر نقطه بر منحنی C عمود است .
تعریف 7: بردار زیر را بردار یکانی عمودی اصلی یا قائم یکانی اول می نامیم
(8)
هم جهت با می باشد .
مثال 12. قائم یکانی اول تابع زیر را پیدا کنید .

ملاحظه می کنیم که برداری است یکانی و عمود بر زیرا

و بردار به درون اشاره میکند در واقع اگر بردار رادرجهت مثبت مثلثاتی به اندازه بچرخانیم بردار بدست می آید .
تعریف 8: بردار یکانی قائم دوم در هر نقطه از یک منحنی در فضا ، عبارتست از:
(9)
توجه : عمود می باشد
مثال 13: بردار قائم یکانی اول و دوم را در هر نقطه از مارپیچ مستدیر زیر تعیین کنید و در بردارها را نشان دهید
حل :


وقتی بردارهای در شکل نشان داده شده اند







انحناء
اگر پارامتر را طول قوس s بگیریم بردار R=R(s) ، نقطه پایانش P=P(s) بردار یکانی مماس و بردار یکانی قائم اول همه توابعی از S اند پس از رابطه بالا نتیجه می شود که فرض کنیم C نمودار R=R(s) باشد در این صورت اسکالر مثبت انحنای C در p نام دارد و با k نموده می شود معادله اخیر را می توان به شکل نوشت .
منحنی C را معمولاً نمودار تابع بردار موضع R=R(t) می گیریم ، که در آن t پارامتری غیر از طول قوس s است و حال با استفاده از حاصل ضرب خارجی ، عبارت فشرده ای برای انحنای k بر حسب مشتقات اول ودوم R(t) پیدا می کنیم
ابتدا می بینیم که زیرا طبق تعریف در نتیجه بنابر قاعده زنجیره ای

یا معادلاً‌داریم :
*
که در آن
از تشکیل حاصلضرب خارجی در بدست می آوریم

بنابراین چون داریم :

شتاب و مؤلفه هایش
طبق معمول ، مشتق زمانی از سرعت V شتاب نام دارد و با a نموده می شود
لذا* را می توان به شکل زیر نوشت :

یا معادلاً که در آن اسکالرهای
مؤلفه های مماسی و قائم شتاب بوده و شعاع انحنا می باشد .
مثال : انحنای k منحنی مسطح c را بیابید .
حل : فرض قرار داشتن C در صفحه xy خطی به کلیت وارد نمی سازد در این صورت در نتیجه،

لذا در این حالت داریم :


مثال : برداریکانی قائم اول N، شتاب a و انحنای k را برای مارپیچ Z=4t, x=3cost , y=3sint بیابید
حل :

مشتق T مساوی است با:

که اندازه اش ثابت و برابر است با :

لذا بردار یکانی قائم اول مساوی است با :

که همیشه در صفحه ای موازی صفحه xy بوده و اشاره به محور Z دارد
با مشتق گیری از سرعت ، معلوم می شود که شتاب مساوی است با :

با مؤلفه مماس 0 و مولفه های قائم 3 چون مؤلفه قائم شتاب kv2 است ، انحناء مقدار ثابت را دارد .
مثال : انحنای مکعبی پیچ خورده را بیابید همچنین مؤلفه های مماسی و قائم شتاب را بیابید
حل : در اینجا در نتیجه :

بنابراین داریم :

مثلاً انحناء در مبداء نظیر به مقدار پارامتر t=0 مساوی است با k=1 ولی انحناء در نقطه ( ) نظیر به مقدار پارامتر t=1 برابر است با :
توجه کنید که وقتی نشانگر آنکه منحنی به ازاء مقادیر بزرگ خیلی شبیه خط مستقیم است لذا مؤلفه های مماسی و قائم شتاب عبارتند‌از:

مثلاً‌در مبدأ ولی در نقطه
مثال: برای بدست آوردن انحناء در هر نقطه ازمنحنی (y=f(x ، با توجه به اینکه چنین منحنی به صورت مشخص می گردد ، داریم :

و یا و به طور مشابه در مورد منحنی x=g(y) داریم :

مثال : مطلوبست محاسبه انحناء و شعاع انحناء بیضی زیر در نقطه

حل :

شعاع انحنا ء
مثال : مطلوبست محاسبه انحناء و شعاع انحناء در نقطه ( 0,1)
شعاع انحناء
دایره انحناء و تاب
تعریف : منحنی C در صفحه xy مفروض است اگرنقطه p0 روی منحنی C طوری باشد که در این نقطه آنگاه دایره ای که در p0 به C مماس باشد ، شعاعش برابر و مرکزش در جهت تقعر منحنی است را دایره انحناء یا دایره بوسان منحنی در نقطه p0 می نامیم ، مرکز این دایره نیز مرکز انحنای C در p0 نامیده می شود
مثال : نشان دهید مختصات مرکز انحناء یک منحنی در به صورت زیر باشد

حل : معادله دایره بوسان به وسیله زیر می باشد :

از طرفین رابطه بالا دوبار مشتق می گیریم

بنابراین :

توجه کنید که مرکز انحناء باید در جهت تقعر منحنی باشد
مثال : مطلوبست محاسبه انحناء شعاع انحناء و مرکز انحناء د رنقطه (1.3)
حل :

در نتیجه
با توجه به مثال قبل
و همانطور که ملاحظه می کنید ،‌مرکز انحناء در سمت تعقر منحنی باشد .
مثال : اگر بردار قائم یکانی دوم باشد ، نشان دهید که اگر آنگاه بر بردارهای عمود و با بردار موازی است
حل : می دانیم که از طرفین رابطه نسبت به s مشتق می گیریم :

از طرفی . و چون بردار انحناء ، برداری است موازی با بردار بنابراین

یعنی عمود بر می باشد و چون سپس لذا نیز عمود می باشد ، پس بر صفحه شامل بردارهای عموداست یعنی با بردار موازی است .
- از مثال بالا نتیجه می گیریم که اسکالری مانند که به s بستگی دارد را می توان یافت که
تعریف :‌مقدار در رابطه روبرو را تاب منحنی می نامیم .

قضیه :‌نشان دهید در هر نقطه از منحنی C داریم :
که در آن تاب و k انحنا می باشد .
مثال : نشان دهید
حل : واگذار می شود
مثال : مطلوبست محاسبه در ،‌هرگاه
حل :


زیرا:

از طرفی :

و چون بنابراین


استوانه ها و رویه های درجه دوم
نمودار یک معادله سه متغیری یک رویه است
استوانه رویه ای است که با حرکت یک خط در امتداد یک منحنی مسطح تولید می شود ، با این شرط که آن خط همواره موازی با خط ثابت باشد که در صفحه منحنی مفروض قرار ندارد . خط متحرک را مولد استوانه و منحنی مسطح را هادی استوانه می نامند هر موضع مولد ، یک خط مولد استوانه نام دارد .
مثال : در شکل زیر استوانه ای را می بینید که هادیش سهمی y2=8x واقع در صفحه xy است و خطهای مولدش موازی بامحور x ها است . این استوانه را استوانه سهموی می نامند . همچنین در شکل زیر یک استوانه بیضوی نشان داده شده است که هادی اش بیضی واقع در صفحه xy است و خطوط مولدش موازی با محور z ها هستند ونیز شکل دیگری در زیر می بینید که هادیش هذلولی واقع در صفحه xy است و خطوط مولدش موازی با محور z ها هستند .




نکته در فضای سه بعدی ، نمودار معادله ای شامل دو متغیر از سه متغیر x و z,y استوانه ای است که خطوط مولدش موازی اند با محور مختصات مربوط به متغیری که درمعادله ظاهر نمی شود و هادی اش یک منحنی است در صفحه مختصات مربوط به دو متغیر موجود درمعادله .
مثال : معادله ‌یک استوانه سهموی y2=8x است به شرط آن که به عنوان معادله ای در R3 تلقی شود همین طور معادلات استوانه بیضوی و هذلولی در اشکال قبل به ترتیب به عنوان معادلاتی در R3 هستند .
مثال : نمودار را رسم کنید .



تعریف : اگر منحنی مسطحی را حول یک خط ثابت واقع در صفحه منحنی دوران دهیم رویه ای موسوم به رویه دوار تولید می شود . خط ثابت را محور رویه دوار و منحنی مسطح را منحنی مولد آن می نامند .



مثال : کره و استوانه نمونه هایی از رویه دوار می باشد .
برای یافتن معادله یک رویه دوار به صورت زیر عمل می کنیم:
اگر منحنی در صفحه yz با معادله دو بعدی (y=g(z را حول محور z ها دوران دهیم ، معادله رویه حاصل با قرار دادن به جای y در y=g(z) بدست می آید نمودارهای هریک از معادلات زیر رویه های دورای هستند با محور ذکر شده : با محور z ها : با محور yها و با محور xها در هر حالت مقاطع رویه با ضخامت عمود برمحور ، دوایری هستند که مراکزشان بر محور واقع اند .
مثال : معادله ای برای رویه دوار حاصل از دوران سهمی y2=4x در صفحه xy حول محور x ها بیابید .نمودار رویه را رسم کنید .
حل: در معادله سهمی به جای y: قرار می دهیم و y2+z2=4x را بدست می آوریم .




تعریف :‌نمودار یک معادله درجه دوم سه متغیری z,y,x را یک رویه درجه دوم می‌نامند .
بیضیگون
معادله یک بیضی گون به صورت(1) که در آن b,a و c مثبت اند می باشد اگر در(1) 0 به جای zقرار گیرد ، مقطع بیضیگون با صفحه xy بدست می‌آید که عبارتست از بیضی برای بدست آوردن مقاطع رویه با صفحات k;z=k را به جای z در معادله بیضیگون قرار می دهیم و را بدست می آوریم اگر ،‌مقطع یک بیضی است ، ووقتی که |k| افزایش می یابد و به مقدار c نزدیک می شود ، طول اقطار کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود اگر |k|=C ، مقطع صفحه z=k با بیضیوار ، تنها نقطه (0,0,k) است اگر |k|>c مقطعی وجود ندارد . اگر مقاطع رویه با ضخامت موازی با صفحات مختصات دیگر را در نظر بگیریم ؛ وضع مشابهی برقرار است .





هذلولی گون یکپارچه
معادله یک هذلولی گون یکپارچه که در آن c,b , a مثبت اند مقاطع رویه با صفحات z=k ، ‌بیضی های هستند . وقتی که k=0 ، طولهای قطرهای بیضی کوچکترین مقادیر را دارند و وقتی که |k| افزایش می یابد به طول این قطرها نیز اضافه می شود مقاطع با صفحات x=k ، هذلولی های هستند اگر |k|
می شود به طور مشابه ، مقاطع با صفحات y=k نیز هذلولی هستند محور این هذلولی محور z هاست .







هذلولی گون دو پارچه
معادله یک هذلولی گون دو پارچه به صورت که در آن c,b,a مثبت اند می باشد .
با قرار دادن k به جای z در(2) ، بدست می آید اگر |k|c ، مقطع رویه با صفحه z=k یک بیضی است ، و طولهای اقطار بیضی همراه با افزایش |k| افزایش می یابد . مقاطع رویه با صفحات x=k هذلولی های اند که محورهای قاطعشان موازی با محور z ها هستند همین طور ، مقاطع رویه با صفحات y=k هذلولی های با معادلات
اند که محورهای قاطعشان باز هم با محور z ها موازی اند . اگر a=b رویه یک هذلولی گون دوار است که محور آن خط شامل محور قاطع هذلولی است .




سهمی گون بیضوی
معادله (3) معادله یک سهمی گون بیضوی است که در آن a و b مثبت اند و . اگر در( 3) ، k را به جای z قرار دهیم ،داریم وقتی k=0 ، این معادله به صورت ‌ در می آید که یک تک نقطه مبدأ را نمایش می دهد اگر ، و c,k علامت یکسان داشته باشند ؛ معادله ، معادله یک بیضی است لذا نتیجه می گیریم که مقاطع رویه با صفحات z=k ، با فرض یکسان بودن علامتهای c,k، بیضی هایی هستند که طولهای اقطارشان همراه با افزایش |k| ، افزایش می یابند . اگر c,k علامت مخالف داشته باشند ، صفحات z=k رویه را قطع نمی کنند . مقاطع رویه با صفحات y=k,x=k سهمی هستند اگر c>0 دهانه ‌این سهمی ها رو به بالا و اگر C<0 دهانه="" روبه="" پایین="" است="" .="">
سهمی گون هذلولوی
معادله که در آن b,a مثبت و معادله یک سهمی گون هذلولی است مقاطع رویه با صفحات z=k و هذلولیهایی هستند که محورهای قاطعشان با محور y ها موازی اند اگر c,k علامت یکسان داشته باشند ، و با محور x ها موازی اند اگر علامتهای c,k مختلف باشند . مقطع رویه با صفحه z=0 متشکل است از دو خط مستقیم مار بر مبدأ . مقاطع با صفحات x=k سهمیهایی هستند که اگر c>0 دهانه آنها رو به بالا و اگر C<0 دهانه="" آنها="" رو="" به="" پایین="" است="" اما="" مقاطع="" با="" صفحات="" y="k" سهمی="" هایی="" هستند="" که="" اگر="" c="">0 دهانه آنها رو به پایین، و اگر C<0 دهانه="" آنها="" رو="" به="" بالاست="" .="">




مخروط بیضوی
معادله که در آن c,b,a مثبت اند معادله یک مخروط بیضوی است مقطع صفحه z=0 با این رویه تنها یک نقطه ، مبدأ ا ست مقاطع رویه با ضخامت z=k بیضی هایی هستند که طولهای اقطارشان همراه با ازدیاد k افزایش می یابند . مقاطع با صفحات y=0,x=0 جفتهایی از خطوط متقاطع اند همه مقاطع یا صفحات x=k و y=kو هذلولی هستند .




مثال : نمودار معادله 4x2-y2+25z2=100 را رسم و نام رویه را ذکر کنید .
حل : معادله مفروض را می توان به صورت نوشت که پس از جابجا کردن z,y به صورت معادله هذلولی گون کردن یکپارچه در می آید که محورش محور y هاست .




مثال :نمودار معادله را رسم و نام رویه را ذکر کنید
حل : معادله مفروض را می توان به صورت نوشت که نمودار یک بیضیگون سهمی گون بیضوی است که محورش، محور x هاست .




مثال : نمودار معادله را رسم و نام رویه را ذکر کنید .
حل : معادله مفروض را میتوان به صورت نوشت که معادله یک مخروط بیضوی است که محورش محور y ها است.




مثال : نمودار معادله را رسم و نام رویه را ذکر کنید
حل : معادله مفروض را می توان به صورت نوشت که پس از جابجا کردن z,x به صورت معادله هذلولی گون دو پارچه در می آید که محورش محور x هاست .







توابع چند متغیره
می دانیم که یک نقطه در فضای دو بعدی ، توسط یک زوج مرتب ، از اعداد حقیقی مانند (x,y) نشان داده می شود که یک نقطه در فضای سه بعدی نیز توسط یک سه تایی مرتب از اعداد حقیقی مانند (‌x,y,z) بیان می شود و به طور کلی یک نقطه در فضای n بعدی به وسیله یک n تایی مرتب از اعداد حقیقی x1,….,xn نشان داده
می شود .
مجموعه تمام n تایی های مرتب از اعداد حقیقی را فضای اعداد حقیقی n بعدی می‌نامیم و آنرا با Rnنشان می دهیم .

نقاط فضای Rn را با X نشان می دهیم .
تعریف : تابع n متغیره تابعی است که به هر n تایی مرتب ( از زیر مجموعه‌ای مانند D از Rn یک عدد حقیقی را مربوط می سازد . در واقع چنین توابعی از Rn به R تعریف می شوند . به عبارت دیگر تابع n متغیره ، مجموعه ای از زوجهای مرتب به صورت (‌X,W) است که در آن هیچ دو زوج مرتب متفاوت دارای عنصر اول یکسان نیستند .
تعریف : بزرگترین زیر مجموعه Rn را که در هر نقطه ازآن تابع (W=f(X تعریف شده باشد را دامنه f می نامیم و آنرا با نماد Df نشان میدهیم و مجموعه تمام مقادیر ممکنه W را برد تابع می نامیم که زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی به صورت زیر می باشد .

مثال : مطلوبست تعیین دامنه برد تابع زیر :

به عبارت دیگر ، دامنه تابع مجموعه تمام نقاط واقع در درون و روی دایره می باشد و
مثال :مطلوبست تعیین دامنه و برد تابع زیر :

حل‌:
و بدیهی است که هر عدد حقیقی می تواند باشد زیرا مثلاً به ازاء x=4 برابر با می شود و مسلماً y هر مقداری می تواند باشد .

تعریف : یک چند جمله ای از دو متغیر y,x ، تابعی است مانند از مجموع جملاتی به فرم که در آنها عدد حقیقی m,n اعداد صحیح مثبت هستند و درجه چند جمله ای برابر است با بزرگترین مجموع توانهای y,x که در چند جمله ای ظاهر می‌شود
مثال : چند جمله ای زیر از درجه 7 می باشد

تعریف : نمودار تابع دو متغیره f ، مجموعه تمام نقاط (x,y,z) در R3 می باشد که

مثال : نمودار تابع را رسم کنید .
حل:‌نمودار این تابع عبارتست از نیمکره بالای صفحه xy به شعاع 3 و مرکز مبدأ مختصات




تعریف : نمودار تابع n متغیره f، مجموعه تمام نقاط در Rn+1 می‌باشد که .
همانطور که می دانید تابع دو متغیر نمایانگر نیمه بالای یک بیضیگون و نمایانگر یک سهمیگون می باشند . اما در کل شناخت یک رویه ساده نیست ، به خصوص اگر جز رویه های درجه دوم نباشد .
در این صورت ممکن است با رسم منحنی های تجمسی از رویه بدست آورد ، این منحنی ها را منحنی تراز یا میزان می نامیم، نقاط روی منحنی های تراز ، در هندسه ، نقاط هم سطح نامیده می شوند . و مثلاً اگر برابر دمای نقطه (x,y) یا ولتاژ نقطه (x,y) باشد به ترتیب نقاط هم دما و هم پتانسیل نامیده می شوند .
مثال : منحنی های تراز توابع زیر را رسم کنید .




تعریف : اگر در نقطه در فضای Rn باشند فاصله بین B,A را با نماد نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم :


حد و پیوستگی توابع چندمتغیره
فرض کنید f تابعی n متغیره و x0 نقطه ای در Rn باشد ، می خواهیم حد تابع f وقتی که XX0 میل می کند را تعریف کنیم
تعریف :‌اگر به ازاء هر >0 بتوان ای را چنان تعیین نمود که

در این صورت می گوییم ، حد تابع f وقتی XX0 میل می کند برابر L است و آن را با نماد زیر نشان میدهیم :
به عنوان مثال برای n=2 می نویسیم
توجه :اگر هنگام میل کردن به( (x0 ,y0 روی مسیرهای مختلف ، مقادیر متفاوت برای بدست آوریم ، بدان معنی است که تابع در نقطه (x,y) حد ندارد .
مثال : با استفاده از تعریف ، نشان دهید که :
حل: باید نشان دهیم که برای هر >0 عددی مانند وجود دارد به طوری که از نامساوی نتیجه می شود

از طرفی و بنابراین حال فرض کنید بنابراین اگر داریم :

لذا کافی است برای هر داده شده ، انتخاب شود
مثال :‌نشان دهید موجود نیست .
حل : اگر حد موجود باشد ، بایستی وقتی به (0,0) نزدیک می شویم ، تابع به مقدار معینی میل کند . حال اگر روی خط y=0 به نقطه (0,0) نزدیک شویم حد تابع برابر می شود چنانچه روی خط x=0 به نقطه (0,0) نزدیک شویم حد تابع به صورت زیر محاسبه می شود :
بنابراین حد تابع موجود نیست چون برای دو مسیر متفاوت ، مقادیر متفاوت بدست آمده است ، در چنین مسائلی بهتر است روی مسیر y=mx به نقطه (0,0) نزدیک شد . اگر به جای y مقدار mx را قرار می دادیم :

چون این مقدار به mبستگی دارد ، لذا با تغییر m مقدار حد نیز تغییر می کند یعنی روی مسیر های مختلف مقادیر مختلف بدست می آید . لذا تابع حد ندارد .
مثال : نشان دهید که موجود نیست .
حل : روی مسیر y=mx به نقطه (0,0) نزدیک می شویم

چون به m بستگی دارد لذا حد موجودنیست .
مثال : نشان دهید که موجود نیست .
حل : روی مسیر y=mx به نقطه (0,0) نزدیک می شویم.

هر چند مقدار بدست آمده به m بستگی ندارد ، ولی با اطمینان نمی توان گفت که حد موجود نیست . لذا مسیر های دیگری که از (0,0) می گذرند را امتحان می کنیم مثلاً x=y2 ، بنابراین چون دو مقدار متفاوت برای حد بدست آمد . لذا حد موجود نیست .
مثال : نشان دهید که حد تابع در (0,0) موجود نیست
حل : اگر در امتداد خط y=mx که از مبدأ می گذرد به مبدأ‌ نزدیک شویم داریم :

و چون حد بالا مستقل از m نیست لذا حد وجود ندارد .
مثال : نشان دهید
حل : بسادگی می توان نشان داد که روی هر مسیر دلخواه خط مستقیم (y=mx) که به (0,0) نزدیک می شویم مقدار حد برابر صفر می شود ولی این کافی نیست برای آن که نشان دهیم حد فوق برابر صفر است باید نشان داد که برای هر می توان چنان یافت که :
از طرفی بنابراین

با انتخاب ثابت می شود که حد فوق برابر صفر است
تعریف : فرض کنید f(x,y) تابعی دو متغیره و (x0,y0) نقطه ای در R2 باشد هریک از حدهای زیر را حد مکرر می نامیم :
و
قضیه : اگر L21, L12 هر در موجود و برابر نباشند آنگاه حد وجود ندارد .
توجه : وجود L21, L12 و برابر بودن آنها دلیل بر وجود حد نیست و چنانچه حدهای مکرر وجود نداشته باشند باز دلیلی بر عدم حد نمی باشد .
تعریف : تابع f را در نقطه پیوسته گوییم اگر و فقط اگر سه شرط زیر برقرار باشد .
1- تابع f در x0 تعریف شده باشد 2- موجود باشد 3-
توجه : تابع f را در ناحیه ای از فضای Rn پیوسته می نمامیم اگر در هر نقطه از این ناحیه پیوسته باشد .
قضیه : الف ) هر چند جمله ای n متغیره ، در هر نقطه از Rn پیوسته است .
ب) اگر g,h در چند جمله ای n متغیره باشند ، آنگاه تابع گویای در تمام نقاط باشد پیوسته است .
پ) اگر g,f در تابع n متغیره و در پیوسته باشند ، آن گاه :
آ – f-g,f+g در x0 پیوسته هستند .
بf/g در x0 پیوسته است به شرط آنکه باشد .
مثال : پیوستگی تابع زیرا را در نقطه (0,0) بررسی کنید .

حل :‌با توجه به یکی از مثالهای قبل و چون مقدار f نیز در این نقطه برابر 0 است ، لذا بنا به تعریف ، تابع در نقطه (0,0) پیوسته است .
مثال : پیوستگی تابع زیر را در نقطه (0,0) بررسی کنید .

حل :‌نشان می دهیم که حد تابع ، برابر صفر است ، بایستی نشان دهیم که برای هر عددی مانند وجود دارد .به طوری که

از طرفی . با انتخاب داریم:

چون حد تابع با مقدار تابع برابر نیست لذا تابع در نقطه (0,0) پیوسته نیست .
مثال : پیوستگی تابع زیر را در (0,0) بررسی کنید .

حل : f(0,0)=0 یعنی شرط اول برقرار است ، حال اگر نشان دهیم بدان معنی که تابع در نقطه (0,0) پیوسته است نشان می دهیم که برای یک وجود دارد به قسمی که

از طرفی داریم :

لذا با انتخاب نتیجه می گیریم که:

مثال : ناحیه پیوستگی تابع زیر را مشخص کنید .

حل : فرض کنید چون g تابعی چند جمله ای است پس در تمام نقاط R3 پیوسته است از طرفی تابع h به ازاء هر عدد پیوسته است و برد f، مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت است بنابراین hog در هر نقطه از دامنه g پیوسته است مشروط بر آنکه یعنی

مجموعه فوق از نظر هندسی ، نقاط بیرون کره است
مثال : ناحیه پیوستگی را مشخص کنید .

لذا ناحیه پیوستگی نقاط واقع در ربع اول و سوم است .
مشتقات جزئی یا نسبی
در این بخش تعاریف و قضایا را در مورد توابع دو متغیره بیان می کنیم و نتایج به سادگی به توابع بیش از دو متغیره قابل تعمیم است
فرض کنید f تابعی دو متغیره از y,x مانند و در نقطه تعریف شده باشد .
صفحه y=y0را رسم می کنیم ، فرض کنید منحنی C فصل مشترک این صفحه با رویه باشد می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر منحنی C واقع در صفحه y=y0 را در نقطه ( محاسبه می کنیم واضح است که این ضریب زاویه برابر است با اگر حد 1 موجود باشد .
تعریف : تابع دو متغیره که در نقطه تعریف شده ، مفروض است در صورت وجود حد زیر را مشتق تابع f نسبت به x (‌مشتق جزئی f نسبت به x) در نقطه (x0,y0)‌می نامیم
(2)
و آن را با یکی از نمادهای زیر نشان می دهیم .

مشتق تابع f نسبت به y( یا مشتق جزئی f نسبت به y) در نقطه به طور مشابه تعریف می شود .
(3)
اگر حد فوق موجود باشد .نمادهایی که برای نمایش این مشتق جزئی به کار می روند‌، عبارتند از :

توجه : در تعریف بالا ، واضح است که وقتی مشتق تابع f را نسبت به x می گیریم ، می بایست y را به عنوان عددی ثابت در نظر بگیریم و برعکس
توجه :‌فرمولهای معادل با فرمول (3) و (2) عبارت هستند از :
(5)
توجه : با توجه به مطالب ذکر شده ، به کمک مشتقات جزئی در صورت وجود می‌توان ضریب زاویه خط مماس بر منحنی های زیر را در نقطه (p0(x0,y0 محاسبه نمود .

مثال :اگر تابع f به صورت زیر تعریف شده باشد را محاسبه کنید .

حل : با فرض ثابت بودن y، از تابع f نسبت به x مشتق می گیریم :

و به طور مشابه
مثال : اگر ، مطلوبست محاسبه


مثال : اگر f(x,y) به صورت زیر تعریف شده باشد ، را محاسبه کنید.

حل :‌با استفاده از فرمولهای (4) و (5) داریم :

مثال : اگر تابع f به صورت زیر تعریف شده باشد ، مطلوبست .


حل :

توجه : اگر f تابعی از n متغیر باشد . منظور از مشتق f نسبت به یعنی مشتق تابع f نسبت به xk در حالیکه بقیه متغیرها را به عنوان ثابت تلقی می کنیم و آن را با یکی از نمادهای نشان می دهیم به عبارت دیگر

اگر این حد موجود باشد.
مثال : تابع f به صورت زیر تعریف شده ، مطلوبست محاسبه


مثال : در تابع مقدار در نقطه نظیر x=2 و y=1 را پیدا کنید


مثال : در تابع زیر ، حاصل را بدست آورید .


مثال : در تابع را بدست آورید .

برای تابع دومتغیره z=f(x,y) ؛ مشتقات جزئی مرتبه دوم به صورت زیر تعریف می‌شود .

توجه : به ازاء تمام x,y که zyx , zxy است یعنی فرض نمی کند که اول نسبت به کدام متغیر مشتق بگیریم مشابه تعریف بالا را می توان برای مشتقات جزئی مراتب بالا نیز به کار برد
مثال : اگر مطلوبست محاسبه
حل :

مثال : اگر را به ازاء x=1 , y=2 پیدا کنید
حل : لذا داریم :


مثال : اگر Z=xy-Lnxy مطلوبست محاسبه

مثال : در تابع مقدار را در x=y=1 بیابید


حل :‌

دیفرانسیل کل
اگر z=f(x,y) تابعی دو متغیره از y,x در نقطه ( x,y) متعلق به دامنه f مشتق پذیر باشد ، دیفرانسیل کل f به صورت زیر تعریف می شود :

و به طور کلی اگر f(x1,…,xn) تابعی از nمتغیر مستقل xn….,x1 و در نقطه (x1,…,xn) مشتق پذیر باشد .
دیفرانسیل کل f عبارت است از :

مثال :‌در تابع مقدار dz را به ازاء x=y=1 و dx=dy=0/1 بیابید
حل :



مثال : دیفرانسیل کامل را در نقطه x=y=1 بیابید

مثال : برای تابع Z=exy مقدار dz در x=y=0 حساب کنید .

مثال : ناحیه پیوستگی تابع زیر را مشخص کنید .

حل : فرض کنید چون g تابعی چند جمله ای است پس در تمام نقاط R3 پیوسته است از طرفی تابع h به ازاء هر عدد پیوسته است و برد f، مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت است بنابراین hog در هر نقطه از دامنه g پیوسته است مشروط بر آنکه یعنی

مجموعه فوق از نظر هندسی ، نقاط بیرون کره است
مثال : ناحیه پیوستگی را مشخص کنید .

لذا ناحیه پیوستگی نقاط واقع در ربع اول و سوم است .
مشتقات جزئی یا نسبی
در این بخش تعاریف و قضایا را در مورد توابع دو متغیره بیان می کنیم و نتایج به سادگی به توابع بیش از دو متغیره قابل تعمیم است
فرض کنید f تابعی دو متغیره از y,x مانند و در نقطه تعریف شده باشد .
صفحه y=y0را رسم می کنیم ، فرض کنید منحنی C فصل مشترک این صفحه با رویه باشد می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر منحنی C واقع در صفحه y=y0 را در نقطه ( محاسبه می کنیم واضح است که این ضریب زاویه برابر است با اگر این حد موجود باشد .
تعریف : تابع دو متغیره که در نقطه تعریف شده ، مفروض است در صورت وجود حد زیر را مشتق تابع f نسبت به x (‌مشتق جزئی f نسبت به x) در نقطه (x0,y0)‌می نامیم
(2)
و آن را با یکی از نمادهای زیر نشان می دهیم .

مشتق تابع f نسبت به y( یا مشتق جزئی f نسبت به y) در نقطه به طور مشابه تعریف می شود .
(3)
اگر حد فوق موجود باشد .نمادهایی که برای نمایش این مشتق جزئی به کار می روند، عبارتند از :

توجه : در تعریف بالا ، واضح است که وقتی مشتق تابع f را نسبت به x می گیریم ، می بایست y را به عنوان عددی ثابت در نظر بگیریم و برعکس
توجه :‌فرمولهای معادل با فرمول (3) و (2) عبارت هستند از :
(4)
توجه : با توجه به مطالب ذکر شده ، به کمک مشتقات جزئی در صورت وجود می‌توان ضریب زاویه خط مماس بر منحنی های زیر را در نقطه (p0(x0,y0 محاسبه نمود .

مثال :اگر تابع f به صورت زیر تعریف شده باشد را محاسبه کنید .

حل : با فرض ثابت بودن y، از تابع f نسبت به x مشتق می گیریم :

و به طور مشابه
مثال : اگر ، مطلوبست محاسبه


مثال : اگر f(x,y) به صورت زیر تعریف شده باشد ، را محاسبه کنید.

حل :‌با استفاده از فرمولهای (4) و (5) داریم :

مثال : اگر تابع f به صورت زیر تعریف شده باشد ، مطلوبست .

حل :

توجه : اگر f تابعی از n متغیر باشد . منظور از مشتق f نسبت به یعنی مشتق تابع f نسبت به xk در حالیکه بقیه متغیرها را به عنوان ثابت تلقی می کنیم و آن را با یکی از نمادهای نشان می دهیم به عبارت دیگر

اگر این حد موجود باشد.
مثال : تابع f به صورت زیر تعریف شده ، مطلوبست محاسبه

حل:

مثال : در تابع مقدار در نقطه نظیر x=2 و y=1 را پیدا کنید
حل:


مثال : در تابع زیر ، حاصل را بدست آورید .
حل:
مثال : در تابع را بدست آورید.
حل:
برای تابع دومتغیره z=f(x,y) ؛ مشتقات جزئی مرتبه دوم به صورت زیر تعریف می‌شود .

توجه : به ازاء تمام x,y که zyx , zxy پیوسته باشند است یعنی فرق نمی کند که اول نسبت به کدام متغیر مشتق بگیریم مشابه تعریف بالا را می توان برای مشتقات جزئی مراتب بالا نیز به کار برد
مثال : اگر مطلوبست محاسبه

حل :

مثال : اگر باشد، مقدار را به ازاء x=1 , y=2 پیدا کنید.



حل : لذا داریم :

مثال : اگر Z=xy-Lnxy مطلوبست محاسبه در x = 1 و y = 2 .
حل:
مثال : در تابع مقدار را در x=y=1 بیابید
حل :‌


دیفرانسیل کل
اگر z=f(x,y) تابعی دو متغیره از y,x در نقطه ( x,y) متعلق به دامنه f مشتق پذیر باشد ، دیفرانسیل کل f به صورت زیر تعریف می شود :

و به طور کلی اگر f(x1,…,xn) تابعی از nمتغیر مستقل xn….,x1 و در نقطه (x1,…,xn) مشتق پذیر باشد .
دیفرانسیل کل f عبارت است از :

مثال :‌در تابع مقدار dz را به ازاء x=y=1 و dx=dy=0/1 بیابید
حل :

مثال : دیفرانسیل کامل را در نقطه x=y=1 بیابید
حل:

مثال : برای تابع Z=exy مقدار dz در x=y=0 حساب کنید .
حل:

مثال: استوانه مستدیری به شعاع 3 سانتی متر و ارتفاع 4سانتی متر مفروض است. شعاع را به 9/2 سانتی متر کاهش و ارتفاع را به 2/3 سانتی متر افزایش دهیم، چه تغییری در حجم آن پدید می آید.
حل: فرض کنید r شعاع استوانه و h ارتفاع آن باشد، می دانیم ، می خواهیم حجم حاصل از تغییرات جزئی ارتفاع و شعاع را محاسبه می کنیم.

اما و با توجه به فرمول قبل داریم.

قاعده زنجیره ای
فرض کنید Z=f (x.,y) تابعی مشتق پذیر و y, x توابعی از متغییرهای r و s باشند و همچنین همگی موجود و پیوسته باشند، انگاه z تابعی از به صورت زیر تعریف می شود:

به طور کلی اگر z تابعی مشتق پذیر از n متغییر xn…,x1 باشد و هر یک از متغییرهای xi ، تابعی از m متغییر tm… , t2, t1 باشند و فرض کنید هر یک از مشتقات جزئی موجود باشند، آنگاه z تابعی از tm … , t1 است و داریم:

حال اگر از متغییرهای xi تابعی مشتق پذیرا از یک متغیر t باشند. آنگاه z تابعی است از t و مشتق کل z نسبت به t به صورت زیر بیان می شود.

مثال: اگر y =2s+r , x = r-s2 , z = x2y3 مطلوبست .
حل:

مثال: اگر مطلوبست مقدار در و .

حل:

مثال: اگر نشان می دهید که:

حل: با استفاده از قاعده زنجیره ای داریم:

مثال: اگر باشد، مقدار را در نقطه حساب کنید.
حل: با فرض داریم:

مثال: اگر باشد، مقدار zm در نقطه را حساب کنید.
حل:

مشتق ضمنی و قضیه اولر
اگر z بوسیله F(x,y,z) به صورت تابعی ضمنی از (x1y) تعریف شود، آن گاه:

مثال: در عبارت مقدار را در نقطه حساب کنید.
حل:
مثال: اگر داشته باشیم را حساب کنید.
حل:
مثال: در معادله ضمنی زیر مقدار را در نقطه (2،1،1) حساب کنید.

حل:

مثال: اگر باشد، را حساب کنید.
حل:
تعریف: تابع f(x,y) را همگن از درجه گوییم اگر به ازاء هر و نیز هر عدد مثبت ای که باشد داشته باشیم:
قضیه (اولر): اگر تابع f(x,y) همگن از درجه و در هر نقطه از دامنه اش مشتق پذیر باشد، آنگاه:
اثبات: چون f تابعی همگن از درجه می باشد، لذا داریم:
از طرفین رابطه بالا با استفاده از قاعده زنجیره ای، نسبت به مشتق می گیریم داریم:

چون و بنابراین:
رابطه بالا به ازاء هر بر قرار است، با فرض داریم:

مثال: اگر باشد، درجه همگنی z را پیدا کنید.
حل: می دانیم .
بنابراین z تابعی همگن از درجه صفر می باشد.
مثال: اگر با شد مطلوبست
حل : با توجه قضیه اولر واین که تابعی همگن از درجه 2 می باشد ، داریم :

مثال: تابع مفروض است. حاصل را بیابید.
حل : تابعی همگن از درجه 1- می باشد ،با توجه به قضیه اولر داریم:
x
مثال: نشان دهید تابع زیر،همگن ازدرجه 2- است.

بااستفاده از قضیه اولر، ثابت کنید.

حل:

با استفاده از قضیه اولر داریم :



ماکزیمم و مینیمم توابع دو متغیر
تعریف :فرض کنید تابع در همسایگی از نقطه تعریف شده باشد، می گوییم.
الف: f در دارای یک مقدار مینیمم نسبی است اگر یک همسایگی N1 از وجود داشته باشد ،به طوری که برای هر در N1 داشته باشیم:

ب) f در دارای یک ماکزیمم نسبی است اگر یک همسایگی از وجود داشته باشد، به طوری که برای هر (x,y) در N2 داشته باشیم:

اگر f در دارای یک مقدار ماکز سمم نسبی با مینمم نسبی باشد ، گوییم f در دارای یک مقدار اکسترمم نسبی است و نقطه رانقطه
اکسترمم می نامیم.
تعریف . گوییم تابع دارای یک مقدار ما کسیمم مطلق در یک نا حیه بسته D در صفحه است، اگر نقطه در D وجود داشته باشد ، به قسمی که به ازای هر در D داشته باشیم
و را مقدار ما کزسمم مطلق تابع f روی D می نامیم وبه طور مشابه ،اگر نقطه در D وجود داشته باشد، به قسمی که برای پر درD داشته باشیم:

گوییم تابع f روی D دارای یک مقدار مینمم مطلق است و را مقدار مینمم مطلق تابع f روی D می نامیم .
تذکر : اگر f در دارای یک مقدار ماکزیمم مطلق یا مینمم مطلق باشد ، گوییم در دارای یک مقدار اکسترمم مطلق است.
قضیه ( قضیه اکسترمم برای توابع دو متغیره)
فرض کنید روی ناحیه بسته Dپیو سته باشد، آن گاه لا اقل یک نقطه و یک نقطه در D وجود دارند به طوری که برای هر درD داریم:

M,m به ترتیب مقادیر مینیمم و ماکزیمم مطلق تابع f روی D هستند .
قضیه = اگر یک نقطه اکسترمم نسبی تابع باشد ،آن گاه هر یک از مشتقات جزئی و برابر صفر هستند یا وجودندارند.
تعریف : نقطه را یک نقطه بحرانی تابع f می نامیم، اگر f در مشتق پذیر نباشد و یا
آن نقطه بحرانی که منجربه مقادیر اکستر مم نسبی می شوند را نقاط اکسترمم و آن نقاط بحرانی که منجر به مقادیر اکترمم نسبی نمی شوند را نقاط زینی می نامیم.
مثال : در هر یک از توابع زیر اکسترممهای نسبی را در صورت وجود بیابید .
(الف
حل : ابتدا نقاط بحرانی تابع را تعیین می کنیم
/ و نقطه بحرانی از مساوی صفر قرار دادن مشتقات جزئی بدست می آید.

(0و0) تنها نقطه بحرانی تابع می باشد و برای اینکه ماهیت این نقطه را بررسی می کنیم ، مقدار را با مقدار f در یک همسایگی از مثلاً (h,k)مقایسه
می کنیم .



در نتیجه برای هر در یک همسایگی از داریم :
از اینجا نتیجه می گیرم که یک مقدار مینمم نسبی این تابع می باشد .
مثال : (ب

حل : نقاط بحرانی تابع را تعیین کنیم
و
همان طور که ملا حظه می کنید و موجود نیستند و نقطه تنها نقطه بحرانی تابع است لذا وبرای درهمسایگی از داریم :

یعنی یک مقدار مینمم نسبی این تابع است .
حل:
ج )
و

بنا بر این کلیه نقاط واقع بر خط به جز نقاط بحرانی می باشند و در هر نقطه بحرانی داریم :

حال نشان می دهیم که برای هر داریم:

و هر یک از این نقاط ، یک نقطه مینمم نسبی تابع است ، زیرا :
اولاً : به ازاء هر نقطه بحرانی روی خط ،


ثانیاً: به ازاء هر در داریم:

لذا .
قضیه (آزمون مشتقات جزئی مرتبه دوم )
فرض کنید یک نقطه بحرانی تابع بوده وتما م مشتقات نسبی مرتبه اول ودوم f در یک همسایگی از پیوسته باشند ، وفرض کنید
A B C=
مبین زیر را تشکیل می دهیم

الف: اگر D>0 ، یک نقطه زینی می باشد.
ب: اگر D=0 ، از این روش نتیجه ای بدست نمی آید.
پ: اگر D<0 ،="" a="">0 تابع در دارای یک مقدار مینمم نسبی است .
ت: D<0 و=""><0 ،تابع="" در="" دارای="" یک="" ما="" گزیمم="" نسبی="" است="" .="">
مثال : برای توا بع داده شده ماهیت نقاط بحرانی را تعیین کنید .
الف )
ب )
ج)
حل :
الف:
نقطه تنها نقطه بحرانی تابع می باشد
<0>

چون D<0 و="" a="">0 پس تابع در دارای یک مقدار مینمم نسبی است.
ب)
هر نقطه تنها نقطه بحرانی تابع است


بنابراین ( 0,0)یک نقطه زینی است
پ)
از حل دستگاه، نقاط بحرانی زیر بدست آورید.


A= B= C=
D=
برای نقطه داریم D<0 و="" a="">0 پس تابع در دارای میمنمم نسبی است.
در نقطه داریم D>0 و A<0 پس="" تابع="" در="" دارا="" ما="" کز="" یمم="" نسبی="" است="" .="">
در نقطه داریم D<0 و="" پس="" یک="" نقطه="" زینی="" است="" ،="" با="" لا="" خره="" در="" داریم="" d="">0 ونقطه نیز یک نقطه زینی است.
مشتق جهتی وگرادیان
مشتقات جزئی را تابع میزانهای تغییر f در امتداد سه محور مختصات را به ما می دهند. حال میزان تغییر f را درامتداد خط دلخوا هی در فضا حساب می کنیم . فرض کنیم f در همسایگی نقطه تعریف شده باشد و L خط جهتداری ما ربر p0 با زوا یای ها دی باشد در این صورت ، جهت L همان جهت برداریکه بوده و L به معادلات پارامتری
, , (1)
می با شد. منظور از مشتق جهتی f در p0 در جهت L یا u که با نموده می شود، یعنی حد
(2) مشروط بر آنکه این حد موجود و متناهی باشد. تو جه کنید که هرگاه L محورx باشد آنگاه (2) به صورت زیر تحویل می شود.

که همان مشتق جزئی f نسبت به x در p0 است
قضیه (مشتق جهتی بر حسب مشتقات جزئی . هر گاه در مشتق پذیر بوده و خط جهتدار L یا بردار یکه نظیر u دارای
کسینو سهای هادی و و با شد ، آن گاه مشتق جهتی f
در p0در جهت L یا U از فرمول زیر بدست می آ ید.
(3)
بردار گرادیان : با معرفی بردار به نام گرادیان f که
موٌلفه هایش مشتقات جزئی f اند ، می توان بصیرت ییشتر از ساختار فرمول بدست آورد . این بردار را با نیز نشان می دهند، که در آن علا مت ، یعنی وارون دلتای بزرگ، ((دل)) تلفظ می شود. علامت خود عملگر را نشان می دهد که کرادیان تابع مشتق پذیر سه متغیر ه ای که پس از آن می آید را به ما می دهد. لذا
(4)
مثال: مشتق جهتی تابع را درنقطه ودرجهت بردار بیابید.
حل : با محا سبه گرایانf به دست می آوریم:

درنتیجه لذا مشتق جهتی f درp0 و در جهت a عبارتست از

نکته :
1) هر گاه آنگاه به ازاء هر برداریکه u لذا مشتق جهتی f در p. در هر جهت صفر است اگر
2 ) هر گاه آنگاه (5)
که در آن زاویه بین بردار های وu است . ولی بیشترین مقدارش 1 است . پس اگر ، مشتق جهتی درp. با بیشترین مقدار مشتق در جهت است و این بیشترین مقدار می با شد.
3) مجدد اًً فرض کنیم ، چون کمتر ین مقدار خود 1- را به ازارء می گیرد، از فرمول (5) نتیجه می شود که اگر مشتق جهتی درp. با کمترین مقدار مشتق در جهت مخالف بوده و این کمترین مقدار می باشد.
4) اگر مشتق جهتی در جهت متعامد به صفر است و این را
می توان فوراً با اختیار در فرمول (5) مشاهده کرد .
لذا به خصوص جهت افزایش ماکزیمم تابع f در نقطه p. درجهت بردار گرادیان ، جهت کاهش ما کریمم f جهت مخالف آن یعنی است.
مثال : بیشترین وکمتر ین مقدار مشتق جهتی تابع درروی نقطه بیابید .
حل: لذا بیشترین مقدار عبارتست از

در جهت وکوچکترین مقدار مساوی است ودر جهت مخالف .
انتگرال دوگانه
فرض کنید R ناحیه ای بسته و متناهی در صفحه xy باشد منظور از افراز R تقسیم آن به n زیر ناحیه بسته متناهی است .

بزرگترین فاصله بین دو نقطه را قطر ناحیه می نامیم و طول بزرگترین قطر زیر ناحیه های را با علامت نشان می دهیم . فرض کنید تابعی دو متغیره بوده و در هر نقطه از ناحیه بسته و متناهی R تعریف شده باشد . اگر عددی چون L چنان بتوان یافت که برای هر 4>0 عدد مثبت وجود داشته باشد به قسمتی که برای هر افراز که و برای تمام انتخاب های ممکن در داشته باشیم :

یعنی که در آن اندازه مساحت ناحیه می باشد در این صورت تابع f روی ناحیه R انتگرال پذیر گوییم و این حد L را انتگرال دوگانه f روی R می نامیم و آن را با نماد نشان می دهیم . انتگرال مفهومی است که در محاسبه دقیق کمیتهایی که به حاصلضرب دو کمیت دیگر بستگی دارند مورد استفاده قرار می گیرد مانند محاسبه حجم که برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده در ارتفاع و یا جرم که عبارتست از حاصلضرب حجم در چگالی و یا گشتاور که برابر است با حاصلضرب جرم در مجذور فاصله و ... .
تعبیر هندسی
فرض کنید به ازاء (x,y) در ناحیه بسته و متناهی و R را افراز کنیم به زیر ناحیه های با مساحتهای اگر در هر زیر ناحیه نقطه دلخواه را انتخاب می کنیم ، برای حجم استوانه ای است که از پایین به صفحه z و از بالا به رویه و از اطراف به استوانه ای محورش ، محور z ها و منحنی مولد آن مرز است محدود می باشد .




نتیجه 1 : اگر روی ناحیه بسته و متناهی R ، نامنفی باشد . حجم جسم صلبی که از طرف پایین بوسیله ناحیه R واقع در صفحه xy و از اطراف توسط استوانه ای که مرز R ، منحنی هادی و محور z ها محور آن می باشد رویه محصور شود برابر است با :
نتیجه 2 : در فرمول بالا اگر فرض شود در این صورت
= مساحت ناحیه R = A
قضیه : اگر و دو تابع انتگرال پذیر روی ناحیه بسته و متناهی R ، a و b دو عدد ثابت باشند آنگاه نیز روی ناحیه R انتگرال پذیر است داریم :

قضیه : اگر روی ناحیه بسته R پیوسته باشد ، به طوری که و نقطه مشترک داخلی نداشته باشند ، داریم :

قضیه : اگر و دو تابع انتگرال پذیری روی ناحیه R باشند و به ازاء هر در R داشته باشیم :
آنگاه

قضیه : اگر روی ناحیه R انتگرال پذیر باشد و برای هر در R داشته باشیم و اگر A اند ازه مساحت ناحیه R باشد ، آنگاه :

قضیه : اگر روی ناحیه بسته و متناهی R پیوسته باشد آن گاه نقطه ای مانند (c,d) در R وجود دارد به قسمی که که در آن A اندازه مساحت ناحیه R است .
قضیه : اگر تابع دو متغیره روی ناحیه بسته و متناهی R پیوسته باشد آن گاه روی R انتگرال پذیر است .


روش محاسبه انتگرال دوگانه در دستگاه مختصات دکارتی
فرض کنید تابع روی ناحیه بسته و متناهی R انتگرال پذیر باشد ، با توجه تعریف مقدار انتگرال دوگانه به نوع تقسیم بندی و انتخاب نقاط بستگی ندارد . بنابراین می توان افراز دلخواه را به صورت شبکه های مستطیل شکل در نظر گرفت ، در این صورت و داریم :





فرض کنیم تابع روی ناحیه بسته و متناهی R انتگرال پذیر باشد می خواهیم را محاسبه کنیم.
حالت اول:‌
ناحیه انتگرال گیری R، ‌مستطیل شکل ‌است برای درک بهتر از چگونگی کار ، فرض می کنیم برای هر (x,y) در R ، باشد به عبارت دیگر حجم جسم صلبی را حساب می کنیم که از بالا به رویه Z = f(x,y) و از پایین به ناحیه مستطیل شکل R واقع در صفحه xy و از اطراف به صفحات موازی صفحات مختصات محصور شده است . نقطه ثابتی مانند را در فاصله انتخاب و از این نقطه صفحه ای عمود بر محور x ها رسم می کنیم ، فرض کنید اندازه مساحت مقطع جسم با این صفحه باشد حجم جسم مورد نظر برابر است با :





چون لذا که در آن x به عنوان ثابت در نظر می گیریم در رابطه * به صورت زیر بیان می شود :

تذکر 1 : می توانستیم به جای انتخاب از نقطه صفحه ای عمودی بر محور y ها رسم کنیم در این صورت:

تذکر 2 : برای محاسبه انتگرال دوگانه به صورت بالا ، ابتدا انتگرال داخلی را محاسبه می کنیم بدین معنی است که نخست انتگرال گیری را نسبت به متغیری انجام می دهیم که دیفرانسیل آن در ابتدا است ، و متغیر دیگر را به عنوان ثابت در نظر می گیریم .
توجه: اگر تابعی پیوسته روی ناحیه مستطیل شکل R باشد آنگاه داریم :

قابل ذکر است که اگر تابع در R پیوسته نباشد ، تساوی فوق لزوماً برقرار نیست.
تعریف : اگر از هر نقطه داخل ناحیه خطی به موازات یکی از محورها رسم شود و این مرز ناحیه را حداکثر در دو نقطه قطع کند گوییم ناحیه نسبت به آن محور منظم است . ناحیه ای که نسبت به هر دو محور منظم باشد را ناحیه منظم گوییم .




تذکر : اگر ناحیه انتگرال گیری نسبت به هیچیک از محورها منظم نباشد به ابتدا ناحیه را در صورت امکان به نواحی منظم تقسیم می کنیم و سپس انتگرال را انجام می دهیم. همانطور که ملاحظه می کنید ناحیه روبرو منظم نیست ولی قابل تقسیم به نواحی منظم است .




مثال : انتگرال های دوگانه زیر را محاسبه کنید .
حل :
(الف

(ب

(ج





مثال : مطلوب محاسبه به طوری که ناحیه R محصور است بوسیله خطوط
حل :






مثال : مطلوبست محاسبه به طوری که ناحیه R محصور است به دایره .

حل :





مثال : مطلوبست محاسبه به طوریکه ناحیه R محصور است به
منحنی های





مثال : ترتیب انتگرال گیری را عکس نمائید .
( الف
حل : ابتدا ناحیه R را رسم می کنیم ، در این انتگرال ناحیه R به صورت زیر تعریف شده است :
و خط عمود بر محور x ها است . حال ی خواهیم ترتیب انتگرال گیری را عوض کنیم یعنی ابتدا نسبت به متغیر x انتگرال بگیریم . در این صورت ناحیه R را به صورت زیر فرض می کنیم :





(ب





مثال: انتگرال های زیر را محاسبه کنید.
الف

ب
با فرض داریم: و داریم:





مثال: مساحت ناحیه محصور بین منحنی های داده شده را حساب کنید.
(الف
(ب




مثال: مطلوبست محاسبه حجم جسم محدود به سهمی گون و صفحه و صفحات مختصات.
حل:
مثال: مطلوبست محاسبه حجم جسم محصور، از بالا به سحی گون و از پایین به صفحه xy و از اطراف به استوانه های .
حل:
مثال: حجم جسم صلبی را محاسبه کنید که در یک هشتم اول، محصور به رویه های می باشد.
حل: ناحیه R، واقع در صفحه xy در شکل مقابل نشان داده شده است.





مثال: مطلوبست محاسبه حجم جسم صلبی که بوسیله دو استوانه و محصور شده است.





محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات قطبی
فرض کنید R ناحیه ای بسته در صفحه قطبی، محصور به منحنی های و و شعاع های باشد و تابع روی ناحیه بسته R پیوسته باشد. ناحیه R را به n زیر ناحیه Rn, … ,R1 افراز می کنیم و آن را می نماییم و طول بزرگترین قطر این زیر ناحیه ها در نظر می گیریم. در نظر ناحیه i ام به نقطه دلخواه را انتخاب کرده و حاصل جمع زیر را تشکیل می دهیم:
که در آن اندازه مساحت i امین زیر ناحیه است. حال اگر حد مجموع بالا وقتی به سمت صفر میل می کند را حساب کرده و ان را L بنامیم. این حد به نحوه افراز ناحیه R و انتخاب نقطه در i امین زیر ناحیه بستگی ندارد و L را بنا به تعریف انتگرال دو گانه تابع روی ناحیه R می نامیم.
*
فرض کنید ناحیه R بین دو شعاع قرار داشته باشد اگر هر شعاع ، ، ناحیه بسته R را حداکثر در دو نقطه قطع کند، در این صورت دو تابع پیوسته وجود دارند، به قسمی که برای هر نقطه در R ، داریم در این صورت ناحیه R را نسبت به r منظم گوییم.
اگر هر دایره r=k ناحیه بسته R را حداکثر در دو نقطه قطع کند، آن گاه دوایر وجود دارند به قسمی که ناحیه R بین و دو تابع پیوسته واقع است و برای هر در R ، داریم در این حالت ناحیه R را نسبت به منظم گوئیم.
روش محاسبه انتگرال در مختصات قطبی
الف) اگر ناحیه R محصور به شعاع های و دوایر باشد چون حد فرمول * یعنی مقدار L مستقل از نحوه افراز و انتخاب نقطه در i امین زیر ناحیه است، لذا برای سادگی در محاسبات فرض می کنیم افرارزی از ناحیه R باشد که بوسیله شعاع هایی که از قطب می گذرند و دوایری که مرکز آنها در قطب است. ناحیه R را به n زیر ناحیه تقسیم کند و فرض می کنیم طول بزرگترین قطر این مستطیل مانندها و اندازه مساحت i امین زیر ناحیه باشد.
چون مساحت i امین زیر ناحیه برابر است با تفاضل مساحت دو قطاع مستدیر، داریم:

با انتخاب که در واقع میانگین است، داریم:

حال نقطه را درi امین زیر ناحیه انتخاب و مجموع زیر را تشکیل می دهیم.

و اگر تابع روی ناحیه بسته R پیوسته باشد، حد مجموع بالا وقتی که به سمت صفر میل می کند موجود و برابر انتگرال دوگانه تابع F روی R می باشد، یعنی

به عبارت دیگر

ملاحظه می کنیم که در مختصات قطبی و داریم:

توجه: همانطور که ملاحظه می کنید، در محاسبه انتگرال دو گانه تابع روی ناحیه R به کمک مختصات قطبی، ضریب r ظاهر می شود، در واقع می توان گفت همان تابع است به طوری که:

و r همان ژاکوبین تبدیل است. اما نکته جالب توجه آن است که انتگرال روی R تعیین می شود و تعویض متغیر از (x,y) به را به تعویض نمی کند و فقط سیستم مختصات از دکاراتی به قطبی تبدیل می شود.
ب) اگر ناحیه R محصور به شعاع های و منحنی های ، باشد به طوری که برای هر در فاصله داشته باشیم و هر شعاع که ، ناحیه R را حداکثر در دو نقطه قطع کند و توابع در فاصله پیوسته باشند، آن گاه:

پ) اگر ناحیه R محصور به منحنی های و دوایر باشد، برای هر r در فاصله داشته باشیم و هر دایره r =c که ، ناحیه R را حداکثر در دو نقطه قطع کند و توابع در فاصله پیوسته باشند، آن گاه:

تذکر: اگر ناحیه R به فرم سه حالت بالا نباشد، می توان آن را به نواحی کوچکتری تقسیم نمود به طوری که برای هر ناحیه محاسبه انتگرال دو گانه امکان پذیر باشد.
توجه: اگر روی ناحیه باشد آنگاه حجم جسم صلبی که بین R و رویه قرار دارد، برابر است با:

و اگر ، در این صورت مساحت ناحیه R بر حسب واحد مربع برابر است با
مثال: مساحت یک برگ از گل را بیابید.
حل: شکل مقابل، ناحیه ای که باید مساحت آن حساب شور را نشان می دهد.

مثال: مساحت ناحیه درون دلنمای و بیرون دایره r=1 را بیابید.

مثال: مساحت ناحیه دایره r =1 و بیرون را محاسبه کنید.
حل: مساحت واقع در ربع اول را محاسبه کرده و در 4 ضرب می کنیم برای این منظور ابتدا مساحت ناحیه درون واقع در ربع اول را محاسبه کرده و از یک چهارم مساحت دایره کم می کنیم:

مثال: مساحت ناحیه بین حلقه های کوچک و بزرگ، را حساب کنید.
حل: فرض کنید A1 مساحت حلقه بزرگ و A2 مساحت حلقه کوچک باشد.
بنابراین A=A1-A2 داریم:

و لذا

مثال: مطلوبست محاسبه حجم محصور بوسیله بضیگون .
حل: ابتدا فصل مشترک بضیگون را با صفحه z =0 بدست می آوریم:

یعنی فصل مشترک دایره ای است به شعاع 1. در نتیجه داریم:

مثال: مطلوبست محاسبه حجم قسمتی از کره که بوسیله استوانه بریده می شود.
حل: حجم واقع در قسمت یک هشتم اول را محاسبه و چهار برابر می کنیم.

مثال: مطلوبست محاسبه حجم جسم صلبی که از بالای صفحه قطبی: محصور به مخروط و استوانه می باشد.
حل:
مثال: مطلوبست محاسبه حجم جسم صلبی که از بالا به صفحه و از پایین به سهمی گون محصور می باشد.
حل: ابتدا فصل مشترک صفجه با سهمی گون را پیدا می کنیم.

انتگرال سه گانه
در این بخش می خواهیم انتگرال را در رابطه با توابع سه متغیره و نواحی فضایی مورد بررسی قرار دهیم. بدین منظور ابتدا به ذکر تعاریف زیر می پردازیم:
1- ناحیه بسته D در فضا، زیر مجموعه ای از R3 است که شامل نقاط مرزی اش
می باشد.
2- ناحیه متناهی D در فضا، ناحیه ای است که درون کره ای به شعاع R و مرکز مبدأ مختصات قرار دارد.
3- ناحیه بسته D را نسبت به محور Z ها منظم گوییم اگر هر خط موازی این محور که از درون D می گذرد، فقط آن را در دو نقطه قطع کند، به عبارت دیگر، از یک نقطه وارد D و از نقطه دیگر ان خارج شود.
4- ناحیه بسته D را منظم گوییم، اگر نسبت به سه محور y,x و z منظم باشد.
5- منظور از قطر یک ناحیه بسته و متناهی، دورترین فاصله بین دو نقطه آن است.
6- افراز نمودن ناحیه بسته و متناهی D ، یعنی تقسیم کردن آن به زیر نواحی بسته و متناهی و نرم آن برابر با طول بزرگترین قطر این زیر ناحیه ها است که با نماد نشان داده می شود.
فرض کنید D ناحیه ای بسته و متناهی در فضا بوده و به ازاء هر نقطه در آن تابع تعریف شد. ناحیه D را به n زیر ناحیه با حجم های تقسیم می کنیم.
و در i امین زیر ناحیه Di ، نقطه دلخواه را انتخاب کرده حاصل جمع زیر را تشکیل می دهیم:
*
اگر افراز های بعدی D طوری باشند که به طور دلخواه ناحیه های را به زیر ناحیه های کوچکتر تقسیم کنند به نحوی که نرم افرازها به سمت صفر میل کند، آن گاه می توان دنباله ای از حاصل جمع هایی مشابه * نوشت، اگر حد این دنباله وقتی نرم افرازها به سمت صفر میل می کند موجود بوده و به نوع تقسیم بندی و انتخاب نقاط، در تقسیم بندیها بستگی نداشته باشد، این حد را انتگرال سه گانه تابع روی D نامیده و با نمادهای زیر نشان می دهیم.

اگر حد فوق موجود باشد، گوییم تابع f روی D انتگرال پذیر است.
روش محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات دکارتی
فرض کنید D ناحیه ای بسته و متناهی در R3 و تابعی انتگرال پذیر روی D باشد اگر D نسبت به محور z ها منظم باشد و A تصویر قائم D در صفحه xy باشد، آنگاه رویه هایی چون و خواهیم یافت که از بالا به پایین ناحیه D را احاطه می کنند به طوری که برای هر (x,y) در و توابع h1 و h2 روی ناحیه بسته A پیوسته هستند، بنابراین می توان فرض کرد. M مقدار ماکسیمم مطلق h2 روی A و m مقدار مینیمم تابع h1 روی A باشند. با توجه به اینکه f روی D انتگرال پذیر است، افراز آن را به گونه ای انتخاب می کنیم که روش محاسبه ساده تر شود. بدین منظور ابتدا n استوانه که محور هایشان موازی محور z ها بوده و منحنی های مولدشان ناحیه A را به زیر ناحیه های با مساحت های افراز می کند را در نظر می گیریم، سپس با صفحات زیر، استوانه ها را به استوانه های «کوچک» تقسیم می کنیم.

که، و این استوانه های «کوچک» که از بالا به صفحه zk و از پایین به صفحه zk-1 محدودند درون D را پر می کنند. ممکن است زیر ناحیه هایی وجود داشته باشد که از این فرم نیستند، ولی وقتی نرم افراز به سمت صفر میل می کند این چنین استوانه های «کوچک» D را پر می کنند.
حال نقطه دلخواه را در زیر ناحیه ای که درون i امین استوانه ما بین صفحات zk و zk-1 قرار دارد، انتخاب می کنیم. چون سطح مقطع این استوانه برابر و ارتفاع آن است هر حجم این استوانه برابر است با ، از طرفی عبارت بالا، ابتدا i را ثابت فرض می کنیم و حاصل جمع را بدست می آوریم سپس i را از 1 تا n تغییر می دهیم، یعنی :

و این بدان معنی است که ابتدا i یعنی ثابت فرض می شود و حاصلضرب مربوط به استوانه هایی که بین صفحات قرار دارند محاسبه می شود و سپس i از 1 تا n تغییر می کند و جمع نهایی تعیین می گردد و بدین ترتیب :
*
اگر طول بزرگترین قطر زیر ناحیه های طول بزرگترین فاصله بین صفحات zk و zk-1 باشند در این صورت معادل است با و .
زیرا قطر استوانه های «کوچک» به سمت صفر میل می کند آنکه قطر سطح و ارتفاع آن به سمت صفر میل می کند پس * معادل است با:
**
در حاصل جمع درونی ** ، ثابت است و جمع بین صفحات انجام می شود به بنابراین تابع یک تابع یک متغیر است و طبق تعریف انتگرال معین داریم:

مقدار انتگرال بالا که بستگی کامل به دارد و با نشان می دهیم پس ** به صورت زیر بیان می شود
***
و طبق تعریف انتگرال دوگانه، رابطه *** برابر است با بنابراین:
****
و اگر باشد، رابطه **** به صورت زیر بیان می شود:

مثال: مطلوبست محاسبه انتگرال های سه گانه زیر:

مثال: مطلوبست محاسبه ، D ناحیه محصور به صفحه x +y +z =1 و صفحات مختصات می باشد

مثال: مطلوبست محاسبه ، D ناحیه محصور به استوانه و صفحات y =0, z =0, x +y = 3 و بالای صفحه xy می باشد.

مثال: مطلوب است محاسبه که در آن D ناحیه واقع در ثمن اول محصور به بیضگون می باشد.
حل:

چون حجم بیضگون برابر است با بنابراین:

مثال: مطلوبست حجم جسم صلبی از طرف راست به استوانه را و ازطرف چپ به صفحه و از بالا به صفحه و از پایین به صفحه محصور است.



انتگرال های سه گانه در مختصات استوانه ای
حال دستگاه مختصاتی در فضا معرفی می کنیم که تعمیم طبیعی دستگاه مختصات قطبی در صفحه باشد. فرض کنیم نقطه p در فضا به مختصات قائم z ,y ,x باشد. در این صورت p نیز دارای مختصات استوانه ای است که با نگه داشتن z و تعویض y ,x با مختصات قطبی ی نقطه Q که تصویر p روی صفحه xy است بدست می آیند. اگر نقطه ای علاوه بر مختصات قائم z, y, x دارای مختصات استوانه ای باشد، علاوه بر می نویسیم .




از شکل واضح است که نقطه به مختصات استوانه ای به مختصات قائم ، ، بوده و این فرمولها خود را ایجاب می کنند که:

مثال: بنابراین فرمولهای بالا نقطه به مختصات استوانه ای به مختصات قائم زیر است:

و نقطه به مختصات قائم به مختصات استوانی زیر است:

مثال: نمودار معادله که را در مختصات استوانه ای رسم کنید.
حل: با افزایش و z زیاد می شود، ولی مقدار r مشخص نشده است. لذا r آزاد است تمام مقادیر نا منفی را به ازاء هر جفت و z بگیرد. از این رو نمودار فوق سطح
بی کرانی است به نام مارپیچ گون. سطح به شکل سربالایی مارپیچ است و توسط شعاعی که یک سرش به محور z وصل شده تولید می شود. در واقع وقتی شعاع به بالای محور z چرخیده مارپیچ گون را جارو خواهد کرد.



اغلب برای محاسبه انتگرال سه گانه روی یک ناحیه سه بعدی قائم T بهتر است انتگرال را به مختصات استوانه ای تبدیل کنیم. این در حالتی که ناحیه T تقارن استوانه ای دارد، یعنی تقارن حول محوری که می توان آن را محور z گرفت، مناسب است.
قضیه (انتگرال های سه گانه در مختصات استوانه ای) : هر گاه بر T پیوسته باشد آنگاه

مثال: حجم V ناحیه توپر T را که از بالا به کره به شعاع a و از پایین به مخروط

که مولدهایش با محور z زاویه می سازند، پیدا کنید.
حل: ناحیه T به ازاء مقادیر کوچک به شکل مخروط بستی پر است. در مختصات استوانه ای، کره و مخروط به معادلات بوده و همچنین از شکل واضح است که دو سطح به ازاء همدیگر را قطع می کنند بنابراین به کمک قضیه بالا داریم:

لذا داریم:

بخصوص نتیجه می شود که اگر و این چیزی است که انتظار
می رفت.


انتگرال های سه گانه در مختصات کروی
همانطور که مختصات استوانه ای در مسائلی که اجسام تقارن استوانه ای دارند مفید است، مختصاتی که اینک معرفی می شود معمولاً بهترین مختصات در رابطه با اشیایی مانند گویها و غشاهای کروی که تقارن کروی دارند، یعنی تقارن نسبت به یک نقطه در فضا که می توان آن را مبدأ گرنت دارند، می باشند. فذض کنید p به مختصات قائم z, y, x بوده، فاصله بین مبدأ o و p باشد و زاویه از محور z مثبت به op سنجیده می شود. همچنین فرض کنید همان زاویه در مختصات استوانه ای باشد یعنی زاویه از محور x نسبت به oQ باشد که در آن Q تصویر p روی صفحه xy است. در این صورت گوییم نقطه p به مختصات کروی است و علاوه بر ، می نویسیم . مختصات شعاعی را می توان هر مقدار در بازه گرفت ولی ما شرطهای را برای مختصات زاویه ای می گذاریم.




با بررسی شکل معلوم می شود که نقطه به مختصات کروی دارای مختصات استوانه ای است که

و در نتیجه، مختصات قائم زیر را دارد:

به آسانی می توان تحقیق کرد که

مثال: بنابراین فرمول فوق به مختصات کروی دارای مختصات قائم

است ولی نقطه به مختصات قائم دارای مختصات کروی

مثال: معادله کره s به معادله دکارتی را در مختصات کروی بنویسید.
حل: چون معادله بالا به صورت است، S کره ای به شعاع a و به مرکز نقطه از محور z است لذا داریم:

قضیه: (انتگرال سه گانه در مختصات کروی): هر گاه بر T پیوسته باشد آنگاه

مثال: فرض کنید s کره ای به معادله باشد؛ یعنی کره ای به شعاع a و مرکز از محور z ، نشان دهید که مخروط c به معادله درون s را به دو قسمت تقسیم می کند که یکی سه برابر دیگری است.




حل: s در مختصات کروی به صورت است همانطور که شکل در مقطع عرض نشان می دهد، پارچه بالایی c درون s را به دو قسمت تقسیم می کند، و مولد های c با محور z زاویه می سازند. لذا حجم T1 مساوی است با:

ولی حجم T2 برابر است با بنابراین .

‌