طول کمان، مساحت و تابع Arcsine
-مجله ریاضیات ، مارس 1983، جلد 56، شماره 2 صفحات 110-106
-توصیف هندسی مقاله ها جبری یک محرک اصلی برای حساب دیفرانسیل وانتگرال مقدماتی ایجادمی کند.
عناوین حساب دیفرانسیل وانتگرال بوسیله هندسه تحلیلی در بسیاری از متن های مقدمه
وابستگی به شروع های عکس دار در گسترش انتگرال معین و مشقق اشاره می کند.
در حالی که فاکتورهای هندسی ، بسیاری از نمادهای توابع مثلثاتی ومشتق های آنها را کنترل کننده یک راه حل تقریبا جامع برای روشهای جبری را معرفی و مطالعه توابع مثلثاتی معکوس وجود دارد این نتکه نشان می دهد چطور مفاهیم جبری در تعاریف انتگرال معین، مثلثاتی ومشتق های آنها در بحث تطابق توابع معکوس ممکن است ادامه پیدا کند.
مرجع در رابطه با این مفاهیم جبری نسبت به توسعه نظریه بیضی و روش الوار(Eluer) در کشف قضیه های ضمیمه جبری را سینوسهای دایره ای هدلولی و lemniscare ایجاد خواهد شد.
حساب دیفرانسیل وانتگرال نمونه در مقابل arcsine بعنوان طول کمان با در نظر گرفتن ]1[ و ] 3[ بعنوان نمونه هایمان، یادآوری می کنیم که در کتاب جدید درسی استاندارد، بعد از آنکه انتگرال معین تعریف شده است .
کاربردهایی شامل مساحت بین دو منحنی وفرمول طول کمان می شود از آنجائیکه تکنیک های انتگرال گیری کمی در دسترس می باشد.
مشکلات طول کمان به کمان های باریک y=f(x) تا حدی که انتگرال بطور خاصی ساده باشد وگاهگاهی توجیه یک نویسنده برای نبود کاربردهای مناسب پیشنهادی شود.(ببنید ]3[ صفحه 429)
بعد از مقوله توابع مثلثاتی مروری از اندازه گیری رادیان بطوریکه طول کمان از نقطه (0و1) روی دایره واحد اندازه گیری می شود.
Cosine , sine یک عدد حقیقی بعنوان مختصات sineو cos یک عدد حقیقی بعنوان مختصات نقطه (x,y) روی دایره واحد رادیان های از (0و1) (شکل 1 را ببنید) سپس خصوصیات sine و cos از تشابهات دایره و دیگر توابع مثلثاتی که در اصطلاح های cosin ,sine تعریف می شود ناشی می شود.
مشتق های cosine ,sine بعنوان نتایج 1(sin )/ = ایجادمی شود.
این حد از طریق برابر گرفتن طول کمان در امتداد لبه دایره واحد با مساحت بخشی که بوسیله کمان ( در شکل 2و 2= مساحت Aos) وسپس قراردادن این مساحت مابین دو ناحیه مثلث شکل برقرار می گردد.
بعد از مطالعه حساب دیفرانسیل وانتگرال توابع مثلثاتی (f(x)) مطابق توابع معکوس ( از طریق معکوس گرافهای که می شود
همچنین ساخت انتخابهای قرادادی برای مقادیر اصلی ]6[ را ببینید صفحات 295-6) وسپس محاسبه از یکتا بودن جستجوی میشود.
شکل 2 شکل 1
شکل 4 شکل 3
در مقابل استخراج کردن تعاریف وخصوصیات توابع معکوس تابعarcsine در یک روش بیشتر هندسی میتواند بدست آید.از آنجائیکه sin بعنوان مختصات y از نقطه ای روی دایره واحد تعریف شود طول یک کمان بعد از (0و1) یک سوال هندسی برای وارونه کردن این تابع خواهد پرسید
مختصات دوم نقطه داده شده y می باشد طول کمان از کجا می آید؟
دو جواب کوچک برای این سوال وجود دارد.
(شکل 3 را ببنید) وسپس هر کدام با ضرب در 2 بیشتر جدا می شوند مقدار اصلی تابع sin معکوس ممکن است بطور طبیعی بعنوان کمترین فاصله از نقطه تعیین شده و(0و1) ومعرفی شود که این عملی خواهد شد و این طول کمان ممکن است طول کمان y نامیده و نوشته شود یا sine معکوس y نامیده و نوشته شود.از علامت برای یادآوری این بحث استفاده خواهیم کرد بنابراین تابع arcsine شامل جایی که میباشد.
از آنجائیکه arcsin(y) یک طول کمان است.
فرمول طول کمان می تواند برای از t=y تا t=0 (شکل ها را ببنید) برای فهمیدن اینکه بکار رود وسپس بوسیله نظریه بنیادی حساب دیفرانسیل وانتگرال به این صورت ادامه پیدا می کند که از آنجاییکه وهمچنین یک مثال ساده از یک انتگرال نادرست داریم: در ty معکوس، استدلالی مشابه، یک تابع arctangent تولید می کند arctg(w)= بامقدار اصلی تا حدی که arctan (w) فاصله ای درامتداددایره واحد از (0و1) تا نقطه (x,y) بوسیله از آنجاییکه می توانیم y/x=w برای پیدا کردن حل کنیم از فرمول طول کمان (1) داریم جایگزین کردن متغیر بطوریکه t=0 موقعیکه u=0 و موقعیکه u=w پیدا می کنیم که: برای secant معکوس w (جایی که ،اگر کوچکترین طول کمان مثبت از (0و1) به نقطه ای با مختصات 1/w جستجو کنیم.
یک تابع arcsecant بدست می آوریم.
با مقدار اصلی برای w>1 طول کمان می باشد(شکل 5 را ببنید) بنابراین داریم و بنابراین برای w برای W برای secant معکوس w (جایی که اگر کوچکترین طول کمان مثبت از (0و1) به نقطه ای با مختصات 1/w جستجو کنیم یک تابع arcsecant بدست می آوریم.
با مقدار اصلی برای w>1 طول کمان می باشد (شکل 5 را ببینید) بنابراین داریم: و بنابراین برای w و بنابراین و بدین گونه شرح فرمول را حذف می کنیم شکل 8 شکل 5 بطوریکه یک محاسبه انتگرال نادرست دقیق بدست می آید فرمولهایی برای cosine معکوس، Gosecant , cotangent می تواند از طریق استدلالهای مشابه بدست آید.
مساحت و arcsine بیاییم حالا arcsine را بعنوان یک مساحت بررسی کنیم.
در نظر بگیرید 0 مشتق گرفتن (2) داریم: مانند قبل متناوبا عبارت انتگرال (2) برای arcsin(j) یک مثال برای انگیزش از طریق فرمول انتگرال گیری جزء به جزء بنابراین اما بعد مانند قبل گسترش arcsin بعنوان مساحت محدود شده بوسیله محور x دایره از t=0 تا t=y و خطی از مبدا به نقطه ممکن است برای پیدا کردن sine مدلولی معکس با هندلولی تطبیق یابد.
بهر حلال بر خلاف دایره هیچ رابطه ساده ای میان طول کمان و مساحت برای هندلولی وجود ندارد.7,6[4] را ببینید برای نماد طول یک کمان روی هندلولی (1) را ببینید، مترادف ساختار هندسی 61 می باشد.
بعبارت دیگر یک برنامه مشابه برای توسعه یک lemniscate sin استفاده از lemniscate بجای دایره باید در روابط طول کمان باید انجام شود.(]4[ و 8 را ببینید) گویا کردن arcsine حالا مشکل بیان تابع زیر انتگرال در (1) بعنوان یک تابع گویا تغییر می دهیم که اینگونه باشد می خواهیم بیان کنیم که بعنوان مربع یک تابع گویا می باشد.
اگر در نماینده دو متغیره سه گانه های فیثاغورثی ، b=u , a=1 بگیریم سپس یا و بنابراین جایگزینی نتیجه خواهد دارد که : سپس انتگرال معین می شود و تابع زیر انتگرال گویا شده است با حل کردن بازای u، متوجه می شویم که با مساوی گرفتن t با sin می بینیم که و عبارت برای u با علامت منفی می شود و نتیجه گرفته ایم جایگزین گویاسازی انتگرال های مثلثاتی می شود.
این توسعه را با نوعی عملیات از کشف شده است در ]6[ صفحه 368 فرمول جمع sine الوئر در بخش مقدمه ]5[ سیگل تحقیق فاگنانو درباره طول کمان روی lemniscade را توضیح می دهد (پیشرفت ما در arcsine دایره را بدنبال می آورد) و می اندیشد که کشف سال 1718 فاگنانو درباره یک ساختار هندسی بریا دو برابر ک ردن طول کمان lenscate از تلاش او برای گویا کردن تابع زیر رادیکال lemnisate sin بدست می آید.
سی و پنج سال بعد الوئر نظریه دو برابر سازی فاگنانو را به یک نظریه ضمیمه جبری برای lemniscate sin گسترش می دهد واو اندکی پس از آن این کشفش را به انتگرال هیا بیضی شلک عمومیت میدهد.
سیگل (] 5[ صفحه 10 ) توضیح می دهد که هدف فصل اول فهم کاملتر از نظریه الوئر می باشد که از نظریه توابع تحلیلی روی حوزه تکمیلی تعریف آنها نتیجه می گیرد.
از صحبتمان درباره arcsine در رابطه با نظریه ضمیمه جبری برای arcsine تطبیقی از 595 و 586 از ]2[ نتیجه می گیریم.
(همچنین ]2[ را ببنید نوک برآمدگی v1 برای تحقیق الوئر درباره انتگرال های بیضوی فصل 4 و ]5[ ،2 ) بیابید T را یک زاویه ثابت در نظر بگیرید و همچنین هر کد ام از دو زاویه ها باشد.
از آنجاییکه جمع ثابت است ، می شود و اگر قرار دهیم می توانیم دوباره بنویسیم مانند و بنابراین معادله متغیر مشتق آن را داریم.
(4) یک راه حل جبری برای موضوع حالتی که جستجو می کنیم نظر اصی الوئر این بودکه اگر با معادله مرتبه 2 متقارن شروع کنیم (5) جایی که k,a ثابت هستند می توانیم مربع طرف چپ یکی از u یا v را در اولین مرحله کامل کنیم , بنابراین (6) در حالی که در مرحله دوم داریم بنابراین (7) اگر از معادله (5) مشتق بگیریم، می فهمیم که که بعداز جمع عبارت ها و با استفاده از ]6[ و]7[ می شود، (8) اگر در نظر بگیریم سپس معادله ]8[ همانند ]4[ می شود و بنابراین اگر بتوانیم شماره ]5[ را بجای k از مقدار a استفاده کنیم به یک راه حل برای ]4[ خواهیم رسید که بر مقدار ثابت در اصطلاحات دلالت می کند با جایگزینی مقدارمان بجای a داخل ] 5[ و آرایش دوباره آن داریم وبا مجذور کردن هر دو طرف میدهد با قراردادن b=u, a=v در معادله (3) و حل کردن برای می توانیم دوباره آنرا بنویسیم مانند از آنجائیکه ]10[ یک درجه دوم در می باشد می توانیم مجذور را با توجه به بدست آوریم با توسعه عبارتهای با هم جمع شده و حذف فاکتورهای مشترک طرف راست ]11[ ممکن است بصورت نوشته شود.
با گرفتن ریشه های مجذور داریم با دوباره دسته بندی کردن جمله مانند می بینیم که طرف راست رابطه ]13[ یک مربع کامل است وبنابراین با برگشت به زاویه ها ، k ثابت می باشد در حالیکه و بنابراین فرمول جمع sin را داریم از آنجا که مقدار ثابت T هیچ نقشی در محاسبات ندارد رابطه ]14[ برای هر تصدیق می کنیم.
مراجع ]1[ ]2[ ]3[ ]4[ ]5[ ]6[