دانلود مقاله ظهور ساختارهای جبری

ظهور ساختارهای جبری
جمع وضرب معمول که بر روی مجموعه اعداد صحیح مثبت انجام می شود اعمال دوتایی اند که دارای خواص زیر می باشند.

مثلا اگر a,b,c معرف اعداد صحیح مثبت دلخواهی باشد داریم.

1)a+b=b+a موسوم به قانون جابجایی جمع
2)a×b=b×a قانون جابجایی ضرب
3)c+b +a=c+(b+a) قانون شرکت پذیری جمع
4)(c×b×a= b×a قانون شرکت پذیری جمع
5)(c×a)+(b×a)=(c +b)×a قانون توزیع پذیری ضرب نسبت به در اوائل قرن نوزدهم جبر صرفا حساب علامتی تلقی می شد به عبارت دیگر به جای کارکردن با اعداد معین به طریقی که در حساب عمل می شود، در جبر حروفی را که معرف این اعداد به کادمی می جویم در این صورت در این صورت پنج عمل بالا در جبر بروی اعداد صحیح مثبت صادق اند ولی چون گزاره ها علامتی هستند این خواص را میتوان به عنوان خواص دستگاههای عناصر دیگری کاملا متفاوت با اعداد نیز تلقی کرد به عبارت دیگر یک ساختار جبری مشترک پنج خاصیت اسامی وپیامدهای آن به بسیاری از دستگاهها متفاوت وابسته است لذا باچنین دیدگاهی جبر با حساب گسسته درارتباط است.

این دیدگاه جدید در اوایل قرن نوزدهم با کار جورج پیکاک فارغ التحصیل ومعلم کمبریج وسرپرست کلیسای ایلی پدیدر شد وی با مقایسه جبر با اصول اقلیدس توانست برای خود عنوان اقلیدس جبر را کسب نماید او بین جبر نمایدی وجبر حسابی تمایز قائل شد بدین ترتیب که تفریق در جبر نمادی با تفریق در جبر حسابی متفاوت است از این جهت که در اولی این عمل همواره انجام پذیر است ولی در دومی مثلا در تفریق a-b باید داشته باشیم a>b توجیه تعمیم این قواعد جبر حسابی برای جبرنمادی توسط پیکاک اصل تداوم صورتهای معادل نامیده شد.

جبر نمادی پیکاک یک جبر حسابی عام است که اعمال ان تا وقتی که درجبر بطور مشترک پیش می روند توسط اعمال جبر حسابی تعیین می شوند ودر سایر موارد بر طبق اصل تداوم صورتهای معادل معین می گردند بعنوان مثال در نظریه نمادها اگر a یک عدد گویای مثبت و nعددی صحیح ومثبت باشد آنگاه an حاصلضرب n باد a درخود است از این تعریف نتیجه می شود که به ازای هر دو عدد صحیح مثبت مانند m و n ، بنابر اصل تداوم صورتهای معادل پیکاک پذیرفت که در جبر نمادی ماهیت پایه یا نمادهای n,m هر چه باشند داریم در اوایل قرن نوزدهم قابل تصور نبود که جبری متفاوت با جبر معمولی حساب موجود باشد مثلا کوشش برای ساختن جبر سازگاری که در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نباشد نه تنها احتمالا در آن زمان به ذهن کسی نمی رسید بلکه حتی اگر هم به ذهن کسی خطور می کرد مطمئنا به عنوان فکر کاملا مسخره ای دورافکنده می شد با همه اینها چگونه می شد احتمالا جبری منطقی داشت که در آن b×a مساوی a×bنباشد درباره جبر احساس چنین بود تا آنکه در سال 1843 ویلیام اوائل همیلتن بنابر ملاحضاتی در فیزیک مجبور به اختراع جبری شد که در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نیست.

ازلحاظ ریاضیدانان عصر وی یک عدد مختلط عددی بود به شکل a+bi که در آن a و b اعداد حقیقی بودند و جمع و ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن a+bi بعنوان یک چند جمله ای خطی نسبت به گذاشتن به جای i2 ، هر جا که ظاهر می شد، صورت می گرفت
این دیدگاه جدید در اوایل قرن نوزدهم با کار جورج پیکاک فارغ التحصیل ومعلم کمبریج وسرپرست کلیسای ایلی پدیدر شد وی با مقایسه جبر با اصول اقلیدس توانست برای خود عنوان اقلیدس جبر را کسب نماید او بین جبر نمایدی وجبر حسابی تمایز قائل شد بدین ترتیب که تفریق در جبر نمادی با تفریق در جبر حسابی متفاوت است از این جهت که در اولی این عمل همواره انجام پذیر است ولی در دومی مثلا در تفریق a-b باید داشته باشیم a>b توجیه تعمیم این قواعد جبر حسابی برای جبرنمادی توسط پیکاک اصل تداوم صورتهای معادل نامیده شد.

جبر نمادی پیکاک یک جبر حسابی عام است که اعمال ان تا وقتی که درجبر بطور مشترک پیش می روند توسط اعمال جبر حسابی تعیین می شوند ودر سایر موارد بر طبق اصل تداوم صورتهای معادل معین می گردند بعنوان مثال در نظریه نمادها اگر a یک عدد گویای مثبت و nعددی صحیح ومثبت باشد آنگاه an حاصلضرب n باد a درخود است از این تعریف نتیجه می شود که به ازای هر دو عدد صحیح مثبت مانند m و n ، بنابر اصل تداوم صورتهای معادل پیکاک پذیرفت که در جبر نمادی ماهیت پایه یا نمادهای n,m هر چه باشند داریم در اوایل قرن نوزدهم قابل تصور نبود که جبری متفاوت با جبر معمولی حساب موجود باشد مثلا کوشش برای ساختن جبر سازگاری که در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نباشد نه تنها احتمالا در آن زمان به ذهن کسی نمی رسید بلکه حتی اگر هم به ذهن کسی خطور می کرد مطمئنا به عنوان فکر کاملا مسخره ای دورافکنده می شد با همه اینها چگونه می شد احتمالا جبری منطقی داشت که در آن b×a مساوی a×bنباشد درباره جبر احساس چنین بود تا آنکه در سال 1843 ویلیام اوائل همیلتن بنابر ملاحضاتی در فیزیک مجبور به اختراع جبری شد که در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نیست.

ازلحاظ ریاضیدانان عصر وی یک عدد مختلط عددی بود به شکل a+bi که در آن a و b اعداد حقیقی بودند و جمع و ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن a+bi بعنوان یک چند جمله ای خطی نسبت به گذاشتن به جای i2 ، هر جا که ظاهر می شد، صورت می گرفت.

بدین طریق برای مجموعه رابطه (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di) و برای ضرب:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)I را داریم.

اگر این نتایج را بعنوان تعریف جمع وضرب زوجهای اعداد مختلط برگزینیم دشوار نیست نشان دهیم که جمع وضرب جابجایی وشرکت پذیر وضرب نسبت به جمع توزیع پذیر.

حال چون یک عدد مختلط مانند a+bi به طور کامل توسط دو عدد حقیقی b,a معین می شود، این فکر در همیلتن پیدا شد که عدد مختلط را توسط زوج اعداد حقیقی مرتب اداره نمایش دهد.وی دو زوج از این گونه اعدادمانند (c,d)(a,b) را برابر تعریف کرد اگر و فقط اگر b=d , a=c جمع وضرب چنین زوج اعدادی را وی به صورت (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc),(a,b)+(c,d)=(a+c+b+d) تعریف کرد اما با نتایج بالا مطابقت داشته باشد با این تعریفها بسادگی میتوان نشان داد که جمع وضرب زوج اعداد حقیقی مرتب جابجایی و شرکت پذیرند، وضرب نسبت به جمع توزیع پذیر است.

البته به شرطی که بپذیرم این قوانین برای جمع وضرب اعداد حقیقی برقرارند.

باید توجه کرد که دستگاه اعداد حقیقی در دستگاه اعداد مختلط نشانده شده است منظور از این بیان این است که اگر یک عدد حقیقی مانند r با زوج اعداد متناظر (r,0) یکی گرفته شود، آن گاه این تناظر تحت عمل جمع و ضرب اعداد مختلط حفظ می شود زیرا داریم (a,0)+(b,0)=(a+b,0)(b,0)=(ab,0) در عمل به جای عدد مختلطی به شکل (r,0) می توان متناظر حقیقی آن یعنی r را قرار داد برای بدست آوردن شکل قبلی یک عدد مختلط از شکل همیلتنی آن توجه میکنیم که هر عدد مختلط (a,b) را میتوان به صورت (a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi نوشته که در آن (0,1) با نماد I نشان داده می شود و (b,0),(a,0) با اعداد حقیقی b,a یکی گرفته می شوند بالاخره ملاحظه میکنیم که : i2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 دستگاه اعداد مختلط دستگاه اعداد بسیار مناسبی برای مطالعه بردارها و دوران در صفحه است.

همپای در تلاش برای ابداع دستگاه مشابهی از اعداد برای مطالعه بردارها و دو انها د رفضای سه بعدی بود.

در تحقیقات خود ، و بدین نتیجه رسید که نه تنها باید زوج اعداد حقیقی مرتب (a,h) را که اعداد حقیقی را در خود نشانده بود، در نظر بگیرد بلکه باید چهار تاییهای اعداد حقیقی مانند (a,b,c,d) را که هم اعداد حقیقی و هم اعداد مختلط در آن نشانده شده بود، در نظر گیرد.

به عبارت دیگر ،دو چنین تایی مانند (a,b,c,d) و (e,f,g,h) برابر تعریف می شوند اگر و فقط اگر d=h,c=g,b=f,a=e همیلتن لازم دید تا جمع وضرب چهارتاییهای اعداد حقیقی مرتب را چنان تعریف کند، که درحالت خاص روابط (a,0,0,0,0)+(b,000)=(a+b,0,0,0) (b,0,0,0,0)=(ab,0,0,0,0)+(a,0,0,0,0) (a,b,0,0,0,0)(c,d,0,0)=(ac-bd,ad+bc,0,0) را داشته باشد.

باکواتونیون حقیقی نامیدن چنین چهارتاییهای اعداد حقیقی مرتب همیلتن دریافت که باید تعریفهای زیر را برای جمع وضرب کواتونیونهای خودتدوین کند: (a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h), (a,b,c,d)(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg) ,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf) به ازای عدد حقیقی دلخواهی مانند m، با یکی دانستن کوانیون (m,0,0,0) با m(a,b,c,d)=(0,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md) با این تعریفهای می توان نشان داد که اعداد حقیقی واعداد مختلط بین کواترنیونها نشانده شده اند، جمع وضرب کواترنیونها جابجایی وشرکت پذیرند وضرب کواترنیونها شرکتپذیر ونسبت به جمع توزیعپذیر است.

اما قانون جابجایی ضرب برقرار نسبت به جمع توزیعپذیر است.

اما قانون جابجایی ضرب برقرار نیست .برای ملاحظه این مطلب در حالت خاص و کواترنیون (0,0,1,0),(0,1,0,0) را در نظر بگیرید میتوان دید که (0,1,0,0)(0,0,1,0)=(0,0,0,1) در حالی که :(0,0,1,0)(0,1,0,0)=(0,0,0,-1)=-(0,0,01) یعنی قانون جابجایی ضرب شکسته می شود در واقع اگرواحدهای کواتونیونی (0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0) را به ترتیب با k,j,I,1 نشان دهیم، میتوانیم تحقیق کنیم که جدول ضرب زیر حکمفرماست یعنی نتیجه مطلوب در خانه ای که مشترک بین سطری که سر سطر آن اولین عامل ضرب است وستونی که سرستون آن عامل ضرب دوم است، پیدا می شود.

همیلتن گفته است که فکر کنارگذاشتن قانون جابجایی ضرب، پانزده سال بعد از تفکر بی ثمر، موقعی که بازنش در کناره رویال کانال نزدیک دو بلین اندکی پیش از تاریک شدن هوا قدم می زده، مثل برق در ذهنش خطور کرد وی از این فکر دور از باور چنان به هیجان در می آید که قلمتراش خود را از جیب درآورده جدول ضرب بالا را بر یکی از سنگسال پل براوم حک می کند امروزه لوحدای که در سنگسای پل کار گذاشته شده روایتگر این ماجر است می توان کواتونیون (a,b,c,d) را به شکل a+bi+cj+dk نوشت وقتی دو کواتزنیون بدین شکل نوشته می شوند میتوان آنها را نظیر چند جمله ایهایی بر حسب k,j,I در هم ضرب کرد وسپس حاصلضرب را به کمک جدول ضرب بالا به همان شکل درآورد.

متن لوح همیلتن به شکل زیر است اینجا به هنگام قدم زدن در شانزدهم اکتبر 1843 ویلیام راوئن همیلتن در بوقی از نبوغ فرمول اساسی ضرب کواترنیونیها i2=j2=k2=ijk=-1 در سال 1844، هرمان گونتر گراسمان اولین چاپ اثر مهم خود حساب توسیعها را منتشر کرد که که در آن دسته ای از جبرها باتعمیم بیشتری نسبت به جبر کواترنیون همیلتن بسط یافته بودند به جای اینکه فقط مجموعه های چهار تایی از اعداد حقیقی در نظر گرفته شوند گراسمان مجموعه های مرتب از n عدد حقیقی را در نظر گرفت به هر مجموعه ای مانند (x1,x2,….xn) گراسمان عدد ابر مختلطی به شکل x1e1,x2e2+….+xnen را نسبت داد که در آن en,…,e2,e1 واحدهای بنیادی جبرا هستند .

دو عدد ابر مختبط از این نوع نظیر چند جملهایست بر حسب en,…,e2,e1 جمع وضرب می شوند دراین صورت جمع دو چنین عددی عددی از همان نوع بدست می دهد.برای آنکه حاصلضرب دو عدد از این گونه عددی از همین دونوع را به وجود آورد، ساختن جدول ضربی برای واحدهای en,…e,e مشابه با جدول ضرب همیلتن برای واحدهای k,j,I,1 لازم است.

قبل از اتمام این بخش یک جبر غیرجابجایی دیگر در نظر می گیریم جبر ماتریسی که توسط ریاضیدان انگلیسی آدژیکی در سال 1857 ابداع شد کیلی دررابطه باتبدیل خطی از نوع زیر متوجه ماتریسها شد که در آن d,c,a اعداد حقیقی اندومی توان آن بعنوان نگاشتی در نظر گرفت که نقطه (x,y) را به نقطه می برد.

این تبدیل را میتوان با آرایه مربعی زیر در قالب نماد درآورد: که ما آنرا یک ماتریس (مربعی از مرتبه دوم ) می نامیم.

چون دو تبدیل در صورتی وفقط در صورتی یکسان هستندکه دارای ضرایب یکسان باشند ماتریسهای را بنا به تعریف برابر می گیریم اگر وفقط اگر d=h, c=g,b=f,a=e اگر به دنبال تبدیل بالا تبدیل این کار به تعریف زیر برای ضرب ماتریسها منجر می شود: = جمع ماتریسها به صورت زیر تعریف می شود: واگر m عددی حقیقی باشد، تعریف زیر را می کنیم در جبر ماتریسها که اینگونه بدست می آید می توان نشان داد که جمع هم جابجایی وهم شرکت پذیر است واینکه ضرب شرکت پذیر ونسبت به جمعتوزیعپذیر است ،اما ضرب همچنانکه بامثال ساده زیر نشان داده میشود جابجایی نیست، با بسط جبرهایی با قوانین ساختاری متفاوت با قوانین جبر معمولی ،هملیتن، گرآسمان، وکیلی سیل بندهای جبر مجرد نوین را گشودند.در واقع با تضعیف یا حذف اصول موضوعه گوناگون جبر معمولی، یا با گذاشتن یک یا چند اصول موضوع به جای اصول دیگر، که با بقیه اصول موضوعه سازگار باشند، دستگاههای گوناگون متعددی را می توان مطالعه کرد به عنوان برخی از دستگاهها، دستگاههای زیر را داریم: گروهواره ها، شبه گروهها، طوقه ها و نیمگروهها، نکواره ها گروهها، حلقه ها، حوزه های صحیح ،شبکه ها،حلقه های تقسیم ، حلقه های بولی ، هیاتها، فضاهای برداری، جبرهای ژوردان و جبرهای لی ؤکه دو جبر اخیر مثال هایی از جبرهای غیرشرکت پذیرند به گونه ای که تا به امروز بالغ بر 200 تا ازچنین ساختارهای جبری را مطالعه کرده اند که بیشتر آن به قرن بیستم تعلق دارد.

ویلیام رائن همیلتن در سال 1805 د ردوبلین به دنیا آمد وقتی به سن 13 سالگی رسید تعداد زبانهای خارجی که د رحدتسلط با آنها آشنایی یافته بود، به عدد سنین او بود.

با گفتن شعر، در سلک دوستان صمیمی شاعر بزرگ ویلیام ودزودت درآمد و ضمن تحسین وی مورد تمجید او نیز قرار گرفت.

در 15 سالگی تغییر علاقه داد و به ریاضیات دلبستگی پیدا کرد این تغییر از ملاقات او بازراکولبرن محاسب برق آسای آمریکایی حاصل شد.اندک زمانی بعد تصادفا نسخه ای از حساب عمومی نیوتن به دست همیلتن رسید.

وی آن را خواند وبعدا بر هندسه تحلیلی وحسابان تسلط یافت .سپس چهارجلد یوینسیپا را خواند و به آثار بزرگ ریاضی قاره اروپا و کرد در سال 1824 وارد کالج توینتی در دوبلین شد در کالج وی به همت منجم سلطنتی ایرلند سرپرست رصدخانه دانسینک واستاد نجوم در دانشگاهی برگزیده شد در سال 1833 مقاله ای که در آن جبر اعدادمختلط به عنوان جبر زوجهای مرتب اعداد حقیقی ظاهر می شود ارائه داد در سال 1843 هنگامی که در امتداد کانال سلطنتی در خارجشهر دوبلین قدم می زد از راه شهود به این نتیجه رسید که باید قانون جابجایی را فدا کند بدین ترتیب جبرکواترنیونها اولین جبر غیرجابجایی تکوین یافت.

بعد از وی گراسمان نظریه کواترنیونها را با تاهایی مرتب بورسی کرد او در اشتین آلمان در سال 1809 پا به عرصه وجودگذاشت وی مودی با علاقه های وسیع فکری بود در سال 1844 اولین ویرایش کتاب مهم حساب توسیعهای خود را منتشر کرد ولی بیان ضعیف آن باعث شد که این اثر شناخته نشود تدوین مجدی که بیرون آمد نیز توفیق بیشترین بدست نیاورد و بدین ترتیب گراسمان ریاضیات را کنار گذاشت تا به مطالعه زبان سانسکریت و ادبیات بپردازد حساب توسیعها کاربرد وسیعی دارند بدون آنکه محدودیتی در تعداد ابعاد موجود باشد در سالهای اخیرغنا وعمومیت شگفت آور کار کارگراسمن درک شده و روشهای گراسمن عموما در توجیح بر روشهای همیلتن دنبال شده اند.

دو ریاضیدان انگلیسی جرج بول واوگاستس دمورگن مطالعه علمی اصول اساسی جبر راکه توسط همیلتن و گراسمان آغاز شده بود ادامه دادند بول در لینکن انگلستان متولد شد ریاضیات را با خواندن آثار لاپلاس مولاگرانژفراگرفت در سال 1847 جزوه ای تحت عنوان آنالیز ریاضی منطق منتشر کرد کدبول در این اثراظهارکرده است که ماهیت اساسی ریاضیات در صورت آن نهفته است ونه در محتوای آن ریاضیات صرفا علم اندازه گیری وعدد نیست وبلکه به طور وسیعتر هر گونه مطالعه ای متشکل از نمادها همراه با قواعد مشخصی برای عمل بر ان نمادهاست در سال 1854 .

پول ضمن بسط و ایضاح اثر پیشین خود مربوط به 1847، آن را در قالب کتابی تحت عنوان تفحص در قوانین تفکر در آورد که در آن هم منطق صوری وهم جبر یعنی جبر مجموعه ها را که امروزه به جبر بولی مرسوم است تاسیس کرد.

اوگاستس دمورگن در سال 1806 در مدارس محل کار پدرش در کمپانی هند شرقی (نابینا از یک چشم) به دنیا آمد در توینیتی کالج کمبویج تحصیل کرد وی مطالعه وسیعی در فلسفه وریاضیات داشته وآثاری در زمینه بنیادی های جبر، حساب دیفرانسیل، منطق ونظریه احتمالا نگاشت وی کاربول را در جبر مجموعه ها دنبال کرد واصل دوگانی در نظریه مجموعه ها رابیان نمود که قوانین موسوم به قوانین دمورگن مثالی از آن است : اگر A و B زیر مجموعه های یک مجموعه مرجع باشند آنگاه متمم اجتماع A,B اشتراک متممهای B,A است و متمم اشتراک B,A اجتماع متممهای B,A است با استفاده از نمادها نظیر بول، دمورگن ریاضیات را مطالعه مجودی از نمادها مقید به مجموعه ای از اعمال نمادی می دانست وی در سال 1871 در لندن درگذشت.

Kji1xKJI11-jK1-III1--kJJ-1-IJKk