ظهور ساختارهای جبری
جمع وضرب معمول که بر روی مجموعه اعداد صحیح مثبت انجام می شود اعمال دوتایی اند که دارای خواص زیر می باشند. مثلا اگر a,b,c معرف اعداد صحیح مثبت دلخواهی باشد داریم.
1)a+b=b+a موسوم به قانون جابجایی جمع
2)a×b=b×a قانون جابجایی ضرب
3)c+b +a=c+(b+a) قانون شرکت پذیری جمع
4)(c×b×a= b×a قانون شرکت پذیری جمع
5)(c×a)+(b×a)=(c +b)×a قانون توزیع پذیری ضرب نسبت به در اوائل قرن نوزدهم جبر صرفا حساب علامتی تلقی می شد به عبارت دیگر به جای کارکردن با اعداد معین به طریقی که در حساب عمل می شود، در جبر حروفی را که معرف این اعداد به کادمی می جویم در این صورت در این صورت پنج عمل بالا در جبر بروی اعداد صحیح مثبت صادق اند ولی چون گزاره ها علامتی هستند این خواص را میتوان به عنوان خواص دستگاههای عناصر دیگری کاملا متفاوت با اعداد نیز تلقی کرد به عبارت دیگر یک ساختار جبری مشترک پنج خاصیت اسامی وپیامدهای آن به بسیاری از دستگاهها متفاوت وابسته است لذا باچنین دیدگاهی جبر با حساب گسسته درارتباط است.
این دیدگاه جدید در اوایل قرن نوزدهم با کار جورج پیکاک فارغ التحصیل ومعلم کمبریج وسرپرست کلیسای ایلی پدیدر شد وی با مقایسه جبر با اصول اقلیدس توانست برای خود عنوان اقلیدس جبر را کسب نماید او بین جبر نمایدی وجبر حسابی تمایز قائل شد بدین ترتیب که تفریق در جبر نمادی با تفریق در جبر حسابی متفاوت است از این جهت که در اولی این عمل همواره انجام پذیر است ولی در دومی مثلا در تفریق a-b باید داشته باشیم a>b توجیه تعمیم این قواعد جبر حسابی برای جبرنمادی توسط پیکاک اصل تداوم صورتهای معادل نامیده شد. جبر نمادی پیکاک یک جبر حسابی عام است که اعمال ان تا وقتی که درجبر بطور مشترک پیش می روند توسط اعمال جبر حسابی تعیین می شوند ودر سایر موارد بر طبق اصل تداوم صورتهای معادل معین می گردند بعنوان مثال در نظریه نمادها اگر a یک عدد گویای مثبت و nعددی صحیح ومثبت باشد آنگاه an حاصلضرب n باد a درخود است از این تعریف نتیجه می شود که به ازای هر دو عدد صحیح مثبت مانند m و n ، بنابر اصل تداوم صورتهای معادل پیکاک پذیرفت که در جبر نمادی ماهیت پایه یا نمادهای n,m هر چه باشند داریم در اوایل قرن نوزدهم قابل تصور نبود که جبری متفاوت با جبر معمولی حساب موجود باشد مثلا کوشش برای ساختن جبر سازگاری که در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نباشد نه تنها احتمالا در آن زمان به ذهن کسی نمی رسید بلکه حتی اگر هم به ذهن کسی خطور می کرد مطمئنا به عنوان فکر کاملا مسخره ای دورافکنده می شد با همه اینها چگونه می شد احتمالا جبری منطقی داشت که در آن b×a مساوی a×bنباشد درباره جبر احساس چنین بود تا آنکه در سال 1843 ویلیام اوائل همیلتن بنابر ملاحضاتی در فیزیک مجبور به اختراع جبری شد که در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نیست. ازلحاظ ریاضیدانان عصر وی یک عدد مختلط عددی بود به شکل a+bi که در آن a و b اعداد حقیقی بودند و جمع و ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن a+bi بعنوان یک چند جمله ای خطی نسبت به گذاشتن به جای i2 ، هر جا که ظاهر می شد، صورت می گرفت