به تقریب همه دانش ها به طور کم و بیش از ریاضیات استفاده می کنند . قانون های دانش های پایه ، مکانیک ، نجوم ، فیزیک و تا اندازه زیادی شیمی به طور معمول به وسیله فرمول بیان می شود و نظریه های آنها زمانی پیشرفت می کند که از دستگاه های ریاضی به طور گسترده ای استفاده شود بدون ریاضیات پیشرفت این دانش ها ممکن نیست . علاوه بر این ریاضیات در هنر نقش اساسی دارد
سرچشمه زنده بودن ریاضیات در اینجاست که مفهوم ها و نتیجه های آن با همه انتزاعی بودنشان ناشی از واقعیت است و کابرد فراوانی در سایر دانش ها ، در صنعت و همه زمینه های مربوط به زندگی بشری پیدا می کند و این مهمترین مطلب برای درک ریاضیات است . با این وجود کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن می پندارند و به همین مناسبت ، با یک ریاضی دان و معلم ریاضی با احتیاط برخورد می کنند . چرا که باید آدمی عبوس و بی احساس و بی ذوق باشد که دور از زندگی و جامعه و بی توجه به نیازهای مادی و معنوی روزگار خود در کنجی می‌نشیند و با نمادها و رابطه ها و شکل های ساخته خود ، هراسی شناخته در دل دیگران به وجود می آورد . بی تردید سخت گیری های بی جا یا به جای برخی از معلمان ریاضی و بی‌مضمونی و گاهی زشتی کتابهای درسی ریاضیات ، در این باره نقش جدی داشته باشد ولی دلیل اصلی این داوری های نادرست را باید در جای دیگر جستجو کرد .
بحثی در مورد زیبایی ریاضیات :
زیبایی ریاضیات فرعی بر آن نیست ، بلکه یک خصوصیت اصلی ریاضیات است می توانیم ملاکهایی بدست دهیم که اکثریت غریب به اتفاق ریاضی دانان برای تشخیص زیبا و زشت از یکدیگر به کار می برند . مهم ترین اینها عبارتند از : غیرمنتظره بودن (نظیر وجود تابعی از R به R که همه جا پیوسته است ولی هیچ جا مشتق پذیر نیست) قدرت ایجاد ارتباط بین شاخه های ریاضیات و توانایی نمایش مشابهت ها در ریاضیات (مانند گروه گالوای یک میدان) سادگی برهان (نظیر اینکه مجموعه اعداد اول نا متناهی است) اختصار در بیان ، کاربرد پذیری در علوم و مهندسی مانند (وجود یکتایی جواب معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه) عمق و کلیت به این معنا که مطلب مورد نظر تکیه گاه ساختارهای ریاضی مختلف و ایجاد کننده سؤالات جدید باشد یا در اثبات قضایای دیگر به کار رود و یا نمونه بارز دسته ای از قضایای شبیه به هم باشد . (2 ، صفحه 75)
یک سؤال اساسی این است که چگونه ریاضی دانان توانسته‌اند علمی زیبا را که عمیق ترین معرفت بشری شمرده می شود بیافرینند ؟
در پاسخ باید گفت سختگیری ، بدون بخشش کوچکترین خطاها ، در کنار روش و معیارهای منطقی آنها ، به همراه جدیت، خلاقیت ، به غایت اندیشیدن ، و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است صرف نظر از تقدس مطلب یا ارجمندی صاحبان افکار ، عامل موفقیت ریاضی دانان در پرداختن به ریاضیات به عنوان علمی دقیق ، منسجم ، منظم ، قطعی و دارای بیانی صادق و هیجان انگیز بوده است . (1، صفحه 44)
ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست و ارائه مدل‌های مختلف ریاضی برای پدیده های گوناگون روشی برای ارائه تصویری از طبیعت است . (3 ، فصل هشتم)
ریاضیات در دوران باستان در بستگی با نیازهای طبیعی زندگی پدید آمد و بتدریج به دستگاهی از دانش های گوناگون تبدیل شد . ریاضیات نیز همچون سایر دانش ها بازتابی از قانون‌های طبیعت است و به عنوان صلاح نیرومندی برای شناخت طبیعت و پیروزی بر آن به کار می رود ولی از آنجا که ریاضیات بیش از اندازه انتزاعی و ذهنی است رشته های جدید آن برای کسانی که ویژه کار نیستند تا اندازه زیادی قابل دسترس نیست . همین ویژگی انتزاعی بودن ریاضیات ، از روزگاران باستان پندارهای ذهن گرایانه درباره بی ارتباطی آن با طبیعت به وجود آورد .
$ ریاضیات و هنر :
امروزه بسیاری از هنرمندان برای ارائه دیدگاه هایی درباره نقش هنر ، عناصر و رابطه های ریاضی را مورد کاوش قرار داده اند . قانون های مناظر و مرایا که دشواری تجسم فضایی را در نقاشی به وجود می آورد ، به وسیله هنرمندان و ریاضی دانان در یک زمان حل شد .
دانش و هنر هر دو زاییده خلاقیت فکری و عملی انسان در طول زمان و در بستگی با نیازهای روحی و جسمی اوست . دانشمند و هنرمند هر دو انسانند و آفریده های آنها هم جز برای انسان و به خاطر انسان نیست . موسیقی و ریاضیات ، هر دو بازتابی از ذهن سنجیده و نظم پذیر آدمی است و باید سرانجام به هم بپیوندند و دانش واحدی را تشکیل دهند . (4، صفحه 83)
انسان در همان حال که با الهام از نغمه های طبیعی ، به موسیقی روی می آورد و به آن خوی می گیرد ، در مسیر شناخت قانون های حاکم بر موسیقی گام بر می دارد و ساختمان موسیقی را به صورت دانشی در می آورد که مانند هر دانش دیگری بر اصل ها و قانون مندی های منطقی (به ویژه ریاضیات) استوار است .
بستگی موسیقی به فیزیک و ریاضیات از دیر باز شناخته شده است . تجزیه موسیقی ، از نقطه نظر نغمه ها ، هماهنگی‌ها، وزن ها ، شکل ها و سرانجام سازمانی که در آن وجود دارد همیشه یکی از جدی ترین مساله ها در بررسی دانش موسیقی بوده است . برای رسیدن به این هدف می توان از شاخه های مختلف ریاضیات ، مثل آمار ، نظریه انفورماسیون و نظریه گروه‌ها استفاده کرد .
سؤال این است که چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیک اند ؟
اول به این دلیل که طبیعت ، سرچشمه زاینده و بی پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی دان البته دانش های تجربی هم ، از همین سرچشمه استفاده می کنند ولی آنها تنها رو به بیرون دارند و پدیده ها و روندهای طبیعی را همان گونه که وجود دارد بررسی می کنند و قانون مندی های حاکم بر آن را کشف می کنند ، بدون آنکه در اندیشه تغییر آن باشند در حالی که هنرمند و ریاضی دان از درون خود و از ایده ها سود می جویند و حقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می شود و به تجربه در می آید ، بلکه آن طور که باید باشد و در تخیل و آرزوی آدمی است ، می بینند . هنرمند و ریاضی دان با مراجعه به احساس و تجربه درونی خود با دستگیره (معرفت شهودی)
می خواهند به یاری جابه جایی ها و تبدیل ترکیب ها، (حقیقت موجود) را چه در عرصه طبیعت و چه در عرصه اجتماع و زندگی انسانی به صورت (حقیقت ایده آل) در آورند و به همین جهت بازتاب دهنده انسانی‌ترین جنبه های زندگی بشر هستند .
دوم به این دلیل که هنر و ریاضیات ، هر دو به غایت انسانی اند ، هر دو کمال و ایده آل را می جویند و هر دو شیفتگی و عشق را می ستایند . ریاضیات در عین حال به گونه شگفت انگیزی انسانی است و کمتر از هر جای دیگری ضرب المثل (دو دو تا چهار تاست) در آن صدق می کند . ریاضیات همیشه و همه جا بلندگوی این شعار است که فعالیت و استعداد آدمی بی پایان است و مرزی نمی شناسد .
در واقع نوعی شباهت واقعی نه خیالی بین کار ریاضی دان و هنرمند مثلاٌ نقاش وجود دارد . اولی بدون توانایی ارائه استدلال عمیق و دومی بدون مهارت‌های فنی نمی تواند یک ریاضی دان خوب یا یک نقاش خوب باشد.(2 ، صفحه 61)
نغمه ها و آواهای موجود در طبیعت ، الهام دهنده نخستین سازها و ترانه ها به موسیقی دانان عهد کهن بوده است و سپس با کشف قانون های ریاضی حاکم بر این نغمه ها و ترانه ها به وسیله ریاضی دانان و تلاش برای روشن کردن امکان هایی که در زمینه جابه جایی ، تغییر و ترکیب بر این قانون های ساده طبیعی وجود دارد ،گونه های بسیار متفاوت و دل انگیز موسیقی به وجود می آید . کسانی که با ریاضیات کار می کنند می دانند که برای بسیاری از مسأله ها راه حل های عادی و کلیشه ای وجود دارد . وقتی شما با چنین مسأله هایی روبرو هستید چه خودتان آنها را حل کنید و چه از زبان دیگری بشنوید یا در کتابی ببینید هیچ حالت خاصی در شما ایجاد نمی شود ولی گاه به مسأله ای بر می‌خورید که هم چون دری مستحکم در برابر شما پایداری می کند و از هر سمتی به آن حمله کنید ناکام می شوید ولی ناگهان جرقه ای ذهن شما را روشن می‌کند . عجب ! پس این طور ! چه زیبا ! و مسأله حل می‌شود .