مکانیک تحلیلی (Analitic mechanics)
نگرش کلی
مکانیک تحلیلی همانگونه که از نامش بر می‌آید ، شاخه‌ای از علم گسترده فیزیک است که به تجزیه و تحلیل حرکت سیستم‌های مختلف می‌پردازد.
در مکانیک کلاسیک حرکت در حالت کلی مورد بحث قرار می‌گیرد.
و کمتر به ریزه‌کاریهای موجود در حرکت پرداخت میشود.
به عنوان حرکت یک دستگاه چند ذره‌ای به طور کامل جرمی میشود ، در صورتیکه در مکانیک کلاسیک بیشتر حرکت تک ذره و در نهایت سیستم دو یا سه ذره‌ای مورد بحث قرار می‌گیرد.
مکانیک تحلیلی جهت آماده سازی برای کار پیشرفته در فیزیک جنبه اساسی دارد.
یکی از اهداف مکانیک تحلیلی تحریک حس کنجکاوی در خواننده است به گونه‌ای که او را به فکر کردن درباره پدیده‌های فیزیکی در قالب عبارات ریاضی آماده میکند و زمینه‌ای برای درک عمیق اصول اساسی مکانیک ایجاد میکند.
هدف فرا گرفتن مکانیک ، باید این باشد که شئی تقریبا به همان اندازه شهودی برای بیان ریاضی مسائل فیزیکی و همچنین برای تغییر فیزیکی جوابهای ریاضی در خواننده پدید آید.
سیر کلی مطالب در مکانیک تحلیلی
ابتدا مفاهیم اساسی مکانیک و قوانین مکانیک و ثقل به زبان ریاضی بیان می‌شوند.
سپس مساله حرکت در فضای یک بعدی به طور کامل تشریح میگردد.
و حرکت نوسانگر هماهنگ به عنوان مهمترین مثال حرکت تک بعدی بررسی میشود، که در این بررسی اعداد مختلف برای نمایش کمیت‌های نوسانی استفاده میشود.
بنابراین یک توصیف اولیه‌ای از مکانیک به وجود می‌آید.
در این مرحله جبر برداری به عنوان یک ابزار بسیار قوی در بیان مسائل مکانیک و کاربرد آن در مکانیک مورد برسی قرار می‌گیرد.
و بنابراین حرکت به حالت‌های دو بعدی و سه بعدی تقسیم میشود.
به این ترتیب پایه‌های لازم برای مطالعه حرکت سیستم‌های مختلف پی ریزی میگردند.
در نهایت به مطالعه پیشرفیه تر نظیر مکانیک محیط های پیوسته ، مکانیک لاگرانژی و نظریه ارتعاشات کوچک پرداخت میشود.
مزایا مکانیک
مکانیک علم دقیقی است، یعنی علمی است که قوانین آن به صورت معادلات ریاضی بیان می‌شوند که نتایج اندازه گیریهای کمی دقیق را بیان و پیشگویی میکند.
برتری نظریه‌های کمی فیزیک فقط در جنبه علمی آنها هست که ما را قادر می‌سازد که پدیده‌های طبیعی را با دقت پیش بینی و کنترل میکنیم.
از مقایسه نتایج حاصل از اندازه گیریهای دقیق با پیش بینی‌های عددی نظریه می‌توانیم به میزان قابل ملاحظه‌ای از صحت نظریه اطمینان حاصل کنیم، یا معلوم داریم که از چه نظر محتاج اصلاح است.
اغلب میتوان پدیده فیزیکی داد.
نقدی را به چند روش کیفی تفریبی توضیح داد و اگر به این روش‌ها قانع باشیم
چه بسا تشخیص نظریه صحیح مقدور نباشد، ولی اگر بتوان نظریه‌ای پدید آورد که نتایج حاصل از ندازه گیری‌ها را تا چهار یا پنج ( حتی دو یا سه ) رقم معنی دار تقریب پیش بینی کند، آن نظریه نمی واند چندان ناصحیح باشد.
توافق تقریبی ممکن است فقط تصادفی باشد، ولی توافق نزدیک به کمال محال است ، چنین باشد.
از این گذشته موارد بسیاری در تاریخ علوم بوده است که اختلافهای کوچک اما مهم میان نظریه و نتایج حاصل از اندازه گیریهای دقیق باعث به وجود آمدن نظریه‌های تازه و پر دامنه تری شده‌اند.
حال آن که اگر فقط به توضیح کیفی پدیده‌ها قانع می‌بودیم، نمی‌توانستیم حتی به وجود چنین اختلافهای پی ببریم.
تاریخچه
از نظر تاریخی ، مکانیک اولین شاخه از فیزیک است که به صورت علمی دقیق توسعه یافت.
دانشمندان یونانی در قرن سوم قبل از میلاد مسیح با قوانین اهرم‌ها و سیالات در حال تعادل استاتیکی آشنا بودند.
گسترش شگرف فیزیک در دو سه قرن اخیر با کشف قوانین مکانیک توسط گالیله و اسحاق نیوتن شروع شد.
قوانین مکانیک چنان که توسط اسحاق اسحاق نیوتن در اواسط قرن هفدهم ، و قوانین الکترسیته و مغناطیس که توسط ماکسول در حدود دویست سال بعد به زبان ریاضی بیان شدند ، دو نظریه اساسی فیزیک کلاسیک به شمار میرود.
فیزیک نسبیت که با کار اینیشتن شروع شد و فیزیک کوانتوم که بر اساس کارها یزنبرگ و شدودنیگر استوار بود اصلاح و بیان تازه قوانین مکانیک و الکترودینامیک را بر حسب مفاهیم فیزیکی جدید ایجاد می‌کرد.
با این همه فیزیک جدید بر پایه‌های ساخته شده که توسط فیزیک کلاسیک بنا گردیده است و درک روشن اصول مکانیک و الکترودینامیک کلاسیک هنوز هم برای آموختن فیزیک نسبیت و کوانتم دارای اهمیت اساسی است.
به علاوه قوانین مکانیک هنوز هم در اکثر کاربرد‌های علمی مکانیک در رشته‌های مهندسی و نجوم قابل اعمالند.
مگر در مواردی که اجسام با سرعت‌هایی نزدیک به سرعت نور حرکت میکنند و یا هنگامی که اجرام یا فواصل عظیم در کار باشند.
تقسیم بندی مکانیک
مکانیک ، علم حرکت اجسام مادی است و میتوان آن را به سه شاخه سینماتیک ، دینامیک و استاتیک تقسیم کرد.
سینماتیک برسی و تشریح حرکات ممکن اجسام مادی است.
دینامیک برسی قوانینی است که معین میکند از میان حرکات ممکن ، کدام مورد در هر حرکت اتفاق می‌افتد.
در دینامیک است که مفهوم نیرو وارد میشود.
مسئله اصلی دینامیک این است که برای هر دستگاه فیزیکی ، حرکاتی را که تحت تاثیر نیروهای داده شده بوجود می‌آید مشخص کند.
استاتیک برسی نیروها و دستگاههای نیروها است.
تقسیم بندی مکانیک بر حسب نوع دستگاه فیزیکی
همچنین میتوان مکانیک را بر حسب نوع دستگاه فیزیکی مورد برسی ، تقسیم کرد .
ساده ترین دستگاه فیزیکی ، یک تک ذره است.
سپس حرکت دستگاهی از ذرات را مطالعه خواهیم کرد.
جسم صلب را میتوان نوع خاصی از دستگاه ذرات دانست.
و در نهایت حرکت محیطهای پیوسته و مواد الاستیک و پلاستیک (کشوار و ناکشوار) و جاٍ
دینامیک
دینامیک از واژه لاتین به معنی حرکت شناسی گرفته شده است و در مکانیک کلاسیک بررسی دلایل حرکت و به بیانی دقیق بررسی حرکت به کمک نیروها و قوانین مربویه می‌باشد.
دید کلی
در حالت کلی حرکت یک ذره از دو دیدگاه مختلف می‌تواند مورد بررسی قرار گیرد به بیان دیگر میتوان گفت، بطور کلی مکانیک کلاسیک که در آن حرکت اجسام مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌گیرد، شامل دو قسمت سینماتیک و دینامیک است .
در بخش سینماتیک از علت حرکت بخشی به میان نمی‌آید و حرکت بدون توجه به عامل ایجاد کننده آن بررسی میشود.
بنابراین در سینماتیک حرکت بحث بیشتر جنبه هندسی دارد.
اما در دینامیک علتهای حرکت مورد توجه قرار می‌گیرند.
یعنی هر ذره یا جسم همواره در ارتباط با محیط اطراف خود و متأثر از آنها فرض میشود محیط اطراف حرکت را تحت تأثیر قرار میدهد.
به عنوان مثال فرض کنید، جسمی با جرم معین بر روی یک سطح افقی در حال لغزش است.
در این مثال سطح افقی به عنوان یکی از محیطهای اطراف جسم با اعمال نیروی اصطکاک در مقابل حرکت جسم مقاومت میکند.
عوامل مؤثر بر حرکت
حرکت یک ذره معین را ماهیت و آرایش اجسام دیگری که محیط ذره را تشکیل می‌دهند، مشخص میکند.
تأثیر محیط اطراف بر حرکت ذره با اعمال نیرو صورت می‌گیرد.
بنابراین مهمترین عاملی که در حرکت ذره باید مورد توجه قرار گیرد، نیروهای وارد بر ذره و قوانین حاکم بر این نیروها می‌باشد.
حرکت یک ذره معین را ماهیت و آرایش اجسام دیگری که محیط ذره را تشکیل می‌دهند، مشخص میکند.
بنابراین مهمترین عاملی که در حرکت ذره باید مورد توجه قرار گیرد، نیروهای وارد بر ذره و قوانین حاکم بر این نیروها می‌باشد.
قوانین حرکت در قلمرو مکانیک کلاسیک ، یعنی در سرعتهای کوچکتر از سرعت نور حرکت اجسام مختلف بر اساس قوانین حرکت نیوتن بطور کامل قابل تشریح است.
این قوانین عبارتند از: قانون اول این قانون که در واقع بیانی در مورد چارچوبهای مرجع می‌باشد، به این صورت بیان میشود هر جسم که در حال سکون ، یا در حالت حرکت یکنواخت در امتداد خط مستقیم باشد، به همان حال باقی می‌ماند مگر آنکه در اثر نیروهای خارجی مجبور به تغییر آن حالت شود.
قانون دوم این قانون به صورتهای مختلف بیان میشود که یکی از آنها بر اساس تعریف اندازه حرکت خطی و دیگری برای تعریف شتاب حرکت می‌باشد.
در حالت اول چنین گفته میشود که میزان تغییر اندازه حرکت خطی یک جسم ، با نیروی وارد بر آن متناسب و هم جهت می‌باشد.
اما بر اساس تعریف شتاب گفته میشود که هر گاه بر جسمی نیرویی وارد شود جسم در راستای آن نیرو ، شتاب می‌گیرد که اندازه آن نیرو متناسب است.
قانون سوم این قانون که تحت عنوان قانون عمل و عکس‌العمل معروف است، حتی در بعضی از رفتارهای اجتماعی نیز مصداق دارد.
بیان قانون سوم به این صورت است که هر عملی را عکس‌العملی است که همواره با آن برابر بوده و در خلاف جهت آت قرار دارد.
به عنوان مثال هنگام راه رفتن در روی زمین ، نیرویی از جانب و به طرف جلو بر ما وارد میشود که سبب حرکت ما به سمت جلو میشود، برعکس ما نیز بر زمین نیرو وارد کرده و آن را به سمت عقب می‌رانیم.
ولی چون جرم زمین در مقایسه با جرم ما خیلی زیاد است، حرکت زمین به سمت عقب نامحسوس است.
قضیه کار و انرژی در مکانیک برخلاف آنچه در بین عامه رایج است، واژۀ کار زمانی به کار میرود که بر روی جسمی نیرویی اعمال شده و آن را جابجا کند ، و یا موجب تغییر در حرکت آن شود.
بنابراین در دینامیک حرکت کار مفهوم با ارزشی است.
اما کار به دو صورت می‌تواند بر روی جسم انجام شود.
فرض کنید، جسمی با سرعت معین در حال حرکت است، اگر بر روی جسم کار انجام شود، این کار یا می‌تواند سرعت حرکت جسم را افزایش دهد و یا اینکه مانع حرکت شده و سرعت جسم را کاهش دهد.
در حالت اول که سرعت جسم افزایش پیدا میکند، اصطلاحا گفته میشود که کار انجام شده ، سبب ذخیره انرژی در جسم میشود.
اما در حالت دوم ما با صرف انرژی و انجام کار ، سرعت جسم را کاهش می‌دهیم.
از اینرو انرژیی که وابسته به سرعت جسم بوده و انرژی جنبشی نام دارد، تعریف میشود و قضیه کار و انرژی جنبشی بیان میکند که کار انجام شده بر روی جسم متناسب با تغییر انرژی جنبشی آن است.
مکانیک لاگرانژی و حرکت جسم صلب حرکت ذره یک حالت تقریباً ایده آل و آرمانی از حرکت واقعی اجسام در فضای سه بعدی است.
یعنی در بعضی موارد ، تقریب حرکت جسم به عنوان یک ذره نمی تواند مفید واقع باشد.
بنابراین در حالت کلی جسم به صورت یک جسم صلب در فضا در نظر گرفته میشود و با تعریف مختصات تعمیم یافته (که متناسب با نوع حرکت بعد آن معین می شود ) و نیروهای تعمیم یافته و با استفاده از معادلات لاگرانژ حرکت جسم مورد بررسی قرار می‌گیرد.
معادلات لاگرانژ و یا به بیان بهتر فرمولبندی مکانیک لاگرانژ نسبت به مکانیک نیوتنی (بر اساس قوانین نیوتن) حالت کلی‌تر و کاملتری می‌باشد.
در مکانیک لاگرانژی ابتدا کمیتی به عنوان لاگرانژی (و یا هامیلتونین که برابر با تفاضل انرژی پتانسیل از انرژی جنبشی است) که به صورت مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل جسم تعریف میشود، محاسبه میگردد.
و با قرار دادن آن در معادلات لاگرانژ ، معادله حرکت جسم حاصل میشود.
حرکت در فیزیک دکارتی آغاز فلسفه طبیعی دکارت فلسفه طبیعی دکارت با مفهوم جسم آغاز می شود .
البته امتداد , ذاتی جسم یا جوهر جسمانی است .
یا آنگونه که در " اصول " اصطلاح فنی آنرا بکار می گیرد, امتداد صفت اصلی جوهر جسمانی است .
از نگاه دکارت, همچون دیگر بزرگان, علم ما به جواهر نه بصورت مستقیم بلکه از طریق عوارض, صفات و کیفیات , و .
.
آنها ست .
به همین دلیل در " اصول " می نویسد : " گرچه هر صفتی برای اینکه شناختی از جوهر به ما بدهد به تنهایی کافی است , اما همین یک صفت در جوهر هست که طبیعت و ذات جوهر را تشکیل میدهد و همه صفات دیگر تابع آن است .
مقصود من امتداد در طول و عرض و عمق است که تشکیل دهنده طبیعت جوهر جسمانی است یا اندیشه که تشکیل دهنده طبیعت جوهر اندیشنده است .
زیرا همه صفات دیگری که به جسم نسبت دارد منوط به امتداد و تابعی از آن است .
و نیز .
" این ویژگی خاص , امتداد برای جسم و اندیشه برای نفس است .
همه دیگر تصورات و مفاهیم به این صفت خاص باز میگردند .تا آنجا که بواسطه صور امتداد است که ما اندازه , شکل و حرکت و دیگر صفات جسم را درک میکنیم .
و همینطور به واسطه مفهوم اندیشه یا فکر است که قادر به درک اندیشه های خاص خود هستیم .
تصور امتداد بسیار نزدیک به تصور جوهر جسمانی است , بطوریکه دکارت اذعان میدارد که ما قادر به درک مفهوم این جوهر فارغ از صفت اصلی آن نیستیم .
دکارت در" اصول " اینگونه مینویسد : " تصور جوهر جسمانی بصورتی متمایز از کمیت خویش , تصوری مبهم از یک چیز غیر جسمانی است .
گرچه بعضی این موضوع را به نحو دیگری بیان میکنند , اما من در هر حال فکر می کنم که نحوه تلقی آنها غیر از آن چیزی باشد که هم اکنون گفتم .
زیرا وقتی جوهر را از امتداد و کمیت انتزاع میکنند , یا مقصودشان از جوهر لفظی است که دلالت بر چیزی ندارد یا تقریباً تصور مبهمی از جوهری غیرجسمانی در ذهن خود دارند که آن را به غلط به جسم نسبت می دهند و تصور حقیقی خود را از آن جوهر جسمانی به امتداد معطوف می کنند که در عین حال از نظر آنان عرض نامیده میشود .
بنابراین می توان به سهولت دریافت که الفاظ آنها با افکارشان مطابقت ندارد".
دکارت به حرکات , حالات و اشکال که اجسام می توانند دارای آنها باشند , قائل میگردد .
بدین ترتیب , رنگها , مزه ها , گرما و سرما در واقع در اجسام وجود ندارند بلکه آنها تنها در ذهنی که آنها را ادراک میکند موجود اند .
البته مهم است که بدانیم آن هنگام که دکارت ذات یا جوهر جسم را امتداد انگاشت , قائل به جوهر به آن دقتی که مدرسیان معاصرش قائل بودند, نبود.
عوارض جوهر جسمانی و اجسام دکارتی نزد دکارت تمام عوارض یک جوهر جسمانی باید بوسیله ذاتشان که همان امتداد است فهمیده شوند .
هیچ چیز در جسم وجود ندارد که توسط ویژگی ذاتی امتداد قابل درک نباشد .
بدین ترتیب اجسام دکارتی , اجسامی هندسی هستند که در خارج از ذهنی که آنها را ادراک می کند وجود دارند .
حرکت در فیزیک دکارت امری کاملاً تعیین کننده است .
همه آنچه درجسم وجود دارد امتداد است , و تنها طریق برای اینکه جسمی از جسم دیگر قابل تفکیک جلوه کند , حرکت است .
بدین ترتیب , آنچه باعث تعیّن اندازه و شکل اجسام منفرد می گردد حرکت است و بدینسان حرکت , محوری ترین اصل تبیینی در فیزیک دکارت است .
نظریه هندسی حرکت باید توجه داشت که نظریه هندسی جسم به عنوان امتداد , ذاتاً جهانی ایستا را بر ما عرضه می دارد .
اما واضح است که حرکت یک واقعیت است , و ماهیت آن را باید بررسی کرد .
با این همه , ما باید فقط حرکت مکانی را بررسی کنیم .
زیرا دکارت تصریح می کند که هیچ نوع دیگری از حرکت برای او قابل تصور نیست.
معنای حرکت در عرف عام در عرف عام , حرکت " عملی است که با آن جسمی ازمکانی به مکانی دیگر عبور میکند " و در مورد یک جسم مفروض می توانیم بگوییم که این جسم , بر حسب نقاط مرجعی که اختیار میکنیم , در عین حال هم متحرک است و هم غیر متحرک .
کسی که کشتی متحرکی سوار است نسبت به ساحلی که آن را ترک گفته است متحرک است , ولی در عین حال نسبت به اجزاء کشتی در حالت سکون است ." حرکت به معنای اخص عبارت است از " انتقال یک جزء ماده یا یک جسم از مجاورت اجسامی که در تماس مستقیم با آن اند .
و ما آنها را در حال سکون تلقی میکنیم , به مجاورت اجسام دیگر " .
در این تعریف تعبیرات " جزء ماده " و " جسم " را باید به معنای چیزی گرفت که در معرض حرکت انتقالی واقع می شود , ولو اینکه مرکب از اجزاء کثیری باشد که دارای حرکات خاص خویش اند و کلمه " حرکت انتقالی " را باید مبین این معنی دانست که حرکت در جسم مادی است و نه در فاعلی که آن را حرکت می دهد .
حرکت و سکون صرفاً حالات مختلف یک جسم اند .
به علاوه تعریف حرکت به عنوان حرکت انتقالی جسمی از مجاورت اجسام دیگر متضمن این معنی است که شیء متحرک فقط یک حرکت می تواند داشته باشد ؛ در حالی که اگر از کلمه " مکان " استفاده می شد , می توانستیم به یک جسم واحد حرکات متعددی نسبت دهیم , زیرا مکان را میتوان نسبت به نقاط مرجع متفاوتی لحاظ کرد .
بالاخره در تعریف , کلمات " و ما آنها را در حالت سکون تلقی میکنیم " معنای کلمات " اجسامی که در تماس مستقیم با آن هستند " را محدود میکند.
تعریف حرکت از دید دکارت دکارت جهت زدودن ابهام از چهره حرکت مدرسی دست به تعریف دقیق خود از حرکت میزند .
او با توجه به وضوح مفهوم عرفی حرکت , آنرا هندسی لحاظ میکند تا از گرفتار شدن در کلاف تعاریف گمراه کننده مدرسی بپرهیزد .
بعدها دکارت در " اصول " با کوشش در نظام مند نمودن اندیشه اش سعی میکند به مفهوم حرکت , با توجه به تعریفی که نزد عوام بکار میرود روشنی ببخشد : " اما حرکت ( یعنی حرکت مکانی , زیرا من حرکت دیگری نمی توانم تصور کنم و گمان نمی کنم بتوان حرکت دیگری در طبیعت تصور کرد ) به معنی معمولی کلمه چیزی نیست جز عملی که جسم با آن از مکان به مکان دیگر میرود .
" دکارت تعریف دیگری از حرکت را جهت روشنایی بخشیدن به مفهوم مکان پیشنهاد میکند .
در " اصول " اصل 25 می نویسد : " اما اگر عادت عمومی را رها کنیم و به حقیقت ماده توجه کنیم اجازه دهید ببینیم بر اساس حقیقت شیء از حرکت چه میتوان فهمید .
برای اینکه طبیعت مشخص حرکت را تعیین کنیم , میتوان گفت حرکت عبارت است از : انتقال جزئی از ماده یا از یک جسم از کنار اجسامی که بدون فاصله با آن اتصال دارند و ما آنها را در سکون تلقی می کنیم به کنار اجسام دیگر .
مقصود من از " یک جسم " یا " جزئی از ماده " تمام آن چیزی است که یکجا و بر روی هم تغییر مکان میدهد ؛ گر چه ممکن است این جسم خود مرکب از اجزاء بسیاری باشد که فی نفسه حرکات دیگری داشته باشند .
من این عمل را انتقال مینامم نه نیرو یا فعلی که انتقال می دهد , تا نشان دهم که حرکت همیشه در شیء متحرک است نه در محرک .
زیرا به نظر من این دو دقیقاً از هم تفکیک نشده اند .
علاوه بر این , من چنین درک می کنم که حرکت حالتی از شیء متحرک است و نه یک جوهر ؛ درست همانطور که شکل حالتی از شیء متشکل و از اصل سکون حالتی از شیء ساکن است .
" منابع: مجموعه مکانیک کلاسیک و کاربردی مجموعه دینامیک و استاتیک