دانلود تحقیق عناصر و اصطلاحات و مدارهای کوانتومی

مقدمه :

در این بخش می‌خواهیم درباره اصطلاحات و عناصری که در طراحی الگوریتم‌ های کوانتومی لازم هستند، صحبت کنیم اصطلاحاتی چون کیوبیت، ثبت‌کننده‌ها، اعمال کنترل شده حالتهای پایه محاسباتی و … برخی از این عناصر معادل‌های کلاسیکی دارند ولی برخی دیگر مختص جهان کوانتومی بوده و معادل کلاسیکی ندارند.

2-1.

بیت‌های کوانتومی و ثبت‌کننده‌ها «Quantum Bit’s and Registers»

bit مفهومی اساسی در فن‌آوری و علم اطلاعات است فلذا بیت‌های کوانتومی که از این به بعد آنها را کیوبیت خواهیم نامید یکی از پایه‌های اساسی Q.C.

است.

در واقع کیوبیت یک شیء ریاضی با خصوصیتی معین است به بیان دقیقتر یک کیوبیت عبارت از یک بردار واحد در فضای ضرب داخلی دو بعدی است که می‌توانیم آنرا به صورت
{10> 11>} نمایش دهیم.

همواره علاقمند هستیم این مفهوم ریاضی را با یک خاصیت فیزیکی قابل لمس نماییم :

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

فرض کنیم S  یک کمیت دوبعدی از یک سیستم کوانتومی با حالتهای متعامد 01> و 11> باشد که این حالتها می‌توانند پایه‌های طبیعی بسط دهنده این سیستم باشند آنگاه یک کیوبیت عبارت است از حالت کوانتومی 1Ø> که :

راههای زیادی برای حقیقت بخشیدن به مفهوم  فوق وجود دارد می‌توان حالت 10> را حالت پایه الکترون در اتم هیدروژن و 11> را اولین حالت برانگیخته در نظر گرفت و یا یک سیستم اسپینی که دو حالت اسپین بالا را 10> و اسپین پایین را با 11> نمایش دهیم

تفاوت اساسی بین کلاسیکی و بیت کوانتومی در آن است که یک بیت کلاسیکی یا در حالت 10> است و یا در حالت 11> در حالی که یک کیوبیت می‌تواند هر بر هم نهی خطی از حالتهای 10> و 11>  را بپذیرد بنابراین می‌تواند در تعداد غیر قابل شمارشی از حالتها قرار داشته باشد.

مفهوم این جمله آن است که ظاهراً می‌توان اطلاعات فوق‌العاده زیادی حتی به صورت نامحدود در یک بیت کوانتومی با انتخاب مطالب α   و β جای داد  اما عملاً ثابت شده است که بیت کوانتومی می‌تواند فقط در برخی حالتهای محدود قرار داشته باشد مثلاً یک کیوبیت TRINE کیوبیتی است که فقط یکی از سه حالت
  و   و یا   را به خود بگیرد.

می‌توانیم حالت 1Ø> را با استفاده از نمایش هندسی کره بلوخ (Bloch sphere) مناسبتر بنویسیم چون  همانگونه که در شکل آمده میتوانیم 2-1 را به صورت زیر بنویسیم :

(2)                                      

که در آن     ،     ،     اعداد حقیقی هستند.

عامل فازی    مشاهده‌پذیر فیزیکی نیست و لذا می‌توان آنرا حذف کرد و لذا :

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

2-2 : اندازه‌ گیری کیوبیت ها : qubit  measuerment

یکی از مشکلات کیوبیت‌ها این است که تمامی آنچه که وارد یک کیوبیت می‌شود، لزوماً همان خارج نمی‌شود.

درکل ، برای یک حالت نامعین   از یک کیوبیت  تک قابل تشخیص نیست و آن توسط یک  اندازه‌گیری تصویری کاملاً امکانپذیر نیست.  فیزیک کوانتومی قواعد دقیقی مبنی بر چگونگی استخراج اطلاعات استخراج  اطلاعات از یک حالت کوانتومی ناشناس دهد.

خروجی هر اندازه‌گیری تصویری از یک کیلوبیت ، باید با عبارت کلاسیکی فرمولبندی شود.

دقیقتر، می‌توان از هر اندازه‌گیری تصویری یک کیلوبیت، فقط یک بیت کلاسیکی از اطلاعات را تهیه کرد.

بنابراین  با وجود اینکه یک ارتباطی بین حالتهای کوانتومی ممکن از یک کیوبیت منفرد وجود دارد، ولی این حالتها نمی‌توانند از همدیگر تشخیص داده شوند.

هیچ اندازه‌گیری نمی تواند بیشتر ازیک بیت از اطلاعات را از دوکیوبیت داده شده، استخراج بکند.

ازدیدگاه اطلاعات، از یک کیوبیت می‌توان توسط یک اندازه‌گیری تصویری دقیق، همان مقدار از اطلاعات کلاسیکی را به اندازه یک بیت  کلاسیکی دریافت کرد، حقی دیگر به طور نامحدودی بسیاری از حالت های بالقوه را داشته باشد.

2-3 : تحول کیوبیت (Qubit evolution) :

هر تحول کوانتومی یک کیوبیت یا هر عمل کوانتومی روی یک کیوبیت توسط یک ماتریس کیانی معین می‌شود :

(4)                                         

که هر حالت کوانتومی را به حالت  تبدیل می‌کند.

بعنوان مثال، تحول داده شده توسط ماتریس هادامارد (Hadamard)

(5)                                      

که چرخش هادامارد نامیده می‌شود، حالتهای >10 ، >11 ، >10 و >1 ‌‌ را بصورت زیر تبدیل می‌کند :

که درآن  تبدیل یافته ‌هادامارد حالتهای پایه  هستند.

همچنین تبدیل ‌هادامارد را می‌توان به صورت نگاشتی ازحالتهای پایه نوشت :

(7)                                             

پایه >}17 ، > 10{ =     پایه استاندارد یا پایه محاسباتی نامیده می‌شود،   پایه‌های دوتایی یا پایه‌های هادامارد و یا پایه‌های فوریه نامیده می‌شود.

می‌توان دید که با بکاربردن H می‌توانیم بین پایه‌های استاندارد و پایه‌های دوتایی ارتباط برقرار کنیم(معادلات 2-6).

از تعریف H واضح است که H2=I .

همچنین پایه‌هایی را می‌توان در نظر گرفت که پایه‌های قطبش نامیده می‌شوند وتوسط 8 تعریف می‌شوند :

(8)                       

که از اهمیت خاصی برخوردارند.

اگرحالتهای 0>1 ، 11> نسبت به حالتهای پایه استاندارد   اندازه‌گیری شوند.

هر دو خروجی – 0 و 1- را با احتمال یکسان 2/1 بدست می‌آیند.

عمل H روی حالتهای پایه استاندارد را می‌توان  همانند پرتاب یک سکه در نظر گرفت.

مثلاً اگر روی شیر سکه به طرف ناظر باشد احتمال اینکه پس از پرتاب شیر یا خط بیاید 2/1 است. 

عمل H روی حالتهای پایه استاندارد را می‌توان همانند پرتاب یک سکه در نظر گرفت.

مثلاً اگر روی شیر سکه به طرف ناظر باشد احتمال اینکه پس از پرتاب شیر یا خط بیاید 2/1 است.

2-4 : ثبت‌کننده‌های کوانتومی (Quantum Registers) برای معرفی ثبت‌کننده‌های کوانتومی مناسب است با ثبت کننده دوکیوبیتی شروع کنیم.

2-4-1 : ثبت‌کننده دو کیوبیتی حاصلضرب تانسوری دوکیوبیت را یک ثبت‌کننده دو کیوبیتی می‌نامیم.

فضای هیلبرت متناظر با آن H4 می‌باشد.

معمولاً پایه‌های استاندارد در فضایH4 بصورت زیر نمایش داده می‌شوند : (9) بنابراین فرم عمومی یک ثبت‌کننده دو کیوبیتی برابر است با : (10) اندازه‌گیری ثبت‌کننده‌های دوکیوبیتی : اندازه‌گیری حالت نسبت به پایه‌های استاندارد ، خروجی‌های دوبیتی ij را با احتمال بدست می‌دهد و منجر به فرو ریزش به حالت ij> می‌شود.

اغلب لازم است که فقط یک کیوبیت را اندازه‌ بگیریم.

این مطلب می‌تواند برای استفاده مشاهده پذیر انجام بگیرد : درمورد کیوبیت اول در مورد کیوبیت دوم که ، 1و0 = I زیر فضای استاندارد با بردارهای ، زیر فضای استاندارد با بردارهای i>} ، i>10{ نامیده می‌شود.

بنابراین اگر کیوبیت اول اندازه‌گیری شود، خروجی حاصل بیتO با احتمال خواهد بود.

و حالت پس از اندازه‌گیری عبارتست از : (11) توجه کنید که حالت پس از تصویر شدن بهنجار شده است.

به روشی مشابه آنچه گذشت می‌توانیم خروجی 1 را با اندازه‌گیری کیوبیت دوم با احتمال و حالت مربوطه بدست بیاوریم.

تحول کوانتومی دو کیوبیتی : از تبدیلات یکانی که روی حالتهای دوکیوبیتی اثر میکنند تبدیل زیر از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است : (12) که نمایش ماتریسی آن بصورت زیر می‌باشد.

(13) ماتریس XOR نگاشتی همانند گیت Controlled Not یا به اختصار CNOT را ایجاد می‌کند.

2-4-2 : ثبت‌کننده n- کیوبیتی : براحتی می توان ثبت‌کننده‌های –nکیوبیتی را از تعمیم ثبت‌کننده 2- کیوبیتی تعریف کرد : برای ثبت‌کننده‌های –n کیوبیتی در فضای هیلبوت n2- بعدسی کار میکنیم که مجموعه زیر بردارهای پایه این فضا می‌باشند.

(14) بردارهای i> 1 را بردارهای استاندارد یا پایه‌های محاسباتی می‌نامیم.

کلی‌ترین فرم برای حالت یک ثبت‌کننده –n کیوبیتی عبارتست از : (15) 2-5 : گیت‌های منطقی کوانتومی (Logical quantum gutes) یک گیت منطقی کوانتومی، یک وسیله ورودی - خروجی است که ورودی‌هایش متغیرهای کوانتومی گسسته مانند اسپین‌ها هستند.

عمل چنین گیتی روی ورودی‌هاش بوسیله یک عملگر یکسانی را توصیف می‌شود که متغیرهای ورودی را ازیک حالت به حالت می‌نگارد مشابه با گیت‌های منطقی کلاسیکی گیت‌های کوانتومی می‌توانند برای تشکیل یک مدار کوانتومی به کار بروند.

برحسب اینکه این گیت‌ها بر سیستمهای تک ذره‌ای ،دوذره ای یا –nذره‌ای اثر می‌کنند به ترتیب به گیت‌های یک کیوبیتی ، دو کیوبیتی یا –nکیوبیتی تقسیم می‌شوند.

در ادامه برخی از گیت‌های منطقی مهم معرفی می‌شوند.

2-5-1 : گیت‌های تک کیوبیتی : گیت‌های تک‌کیوبیتی برای تغییر دادن حالت یک کیوبیت بکار می‌روند.

یکی از گیت‌های مهم تک کیوبیتی گیت NOT می‌باشد که به صورت زیر می‌آوریم : NOT-gate : ساده‌ترین گیت تک کیوبیتی گیت NOTمی‌باشد که در محاسبات کلاسیکی نیز معروف می‌باشد (بنابراین NOT یک گیت تک‌بیتی کلاسیکی است.

این گیت که ما آنرا N می‌نامیم به صورت زیر عمل می‌کند : (16) و و نمایش ماتریسی آن به صورت زیر است : (17) که نماد سمت چپ گیت NOT را دریک کوانتومی نشان می‌دهد.

و خط نماینده یک کیوبیت خواهد بود.

بطور واضح این گیت یک دوران 180 را انجام می‌دهد یعنی مثلاً می‌توان با بکاربردن این گیت اسپین بالا را به اسپین پائین و برعکس تبدیل کرد.

ریشه دوم NOT : V ریشه مربع NOT ، یک گیت کاملاً کوانتومی می‌باشد یعنی معادل کلاسیکی ندارد چنانکه از اسمش برمی‌آید V خاصیت زیر را داراست : و نمایش ماتریسی آن بصورت زیر می‌باشد : (18) یکبار دیگر این گیت صرفنظر از عامل فاز عمومی شکل دیده آن زیر را دارد : (19) اثر V بردن یک حالت ویژه با برهمنهشتی از حالتهای ویژه است.

برای مثال : (20) این طبیعت کوانتومی V را می‌ر ساند چون چنین برهمنهشتی معا دل کلاسیکی ندارد.

بنابراین این گیت نشان‌دهنده یک دوران 90 درجه برروی کیوبیت‌ها می‌باشد.

البته ، گیت NOT بخوبی می‌تواند بر روی یک ترکیب خطی عمل بکند.

داریم : (21) این خطی بودن جوابگوی توازی کوانتومی است که در تمامی الگوریتمهای کوانتومی نظری با آن مواجه خواهیم شد.

(بخش 3-1 را ببیند) گیت هادامارد : (Hadamard gate) ریشه موج NOT در تبدیل کردن حالت ویژه به حالت برهمنهشت ، منحصر بفرد نیست.

در دوران 90 نیز اثر مشابهی دارد.

یک گیت جالب که نظیر این گیت می‌باشد، گیت هادامارد می‌باشد که دوران زیر را انجام می‌دهد : (22) و نمایش ماتریسی آن چنین است : (23) این گیت دو خاصیت مفید دارد اولاً این گیت >10 را به بر همنهشت کاملاً یکنواختی می‌برد یعنی ضرایب >10 و >11 یکسان هستند.

ثانیاً H واردن خودش می‌باشد یعنی با بکار بردن دو بار H معادل این است که هیچ کاری انجام نشده است : (24) H2=HH=1 گیت‌های دو کیوبیتی : گیتهای دوکیوبیتی برای تغییر دادن حالت دو کیوبیت بکار می‌روند و روی سیستمهای دو ذره‌ای اثر می‌کنند و نمی‌توانند به مجموعه گیتهای تک کیوبیتی تجزیه شوند.

این گیت‌ها در قالب محاسبات کوانتومی قرار دارند.

گیت‌های Controlled-Not (CNOT) : این گیت در پایه‌های متعامد >} 11 ، > 10{ در فضای H2 به صورت ذیل تعریف می‌گردد : (25) که عمل جمع در پیمانه 2 را نشان می‌دهد.

(26) این تابع می‌تواند توسط ماتریس زیر نشان داده شود لازم به ذکراست که این گیت یک گیت انحصاری یا گیت XOR نامیده می‌شود.

(27) گیت CNOT یک گیت منطقی است که روی دو کیوبیت a ، b اثر می‌کند که a کیوبیت کنترل و b کیوبیت هدف نامیده می‌شود که گیت XOR یا CNOT روی بیت هدف اثر می‌کند و بیت کنترل بدون تغییر باقی می‌ماند.

(اگر a=b باشد علامت b منفی خواهد شد.) یعنی داریم : (28) گیت دو کیوبیتی مبادله‌ای (Swap) با بکار بردن گیت‌های CNOT می‌توان یک گیت دوکیوبیتی را به صورت زیر تعریف کرد : (بار هم‌پایه‌ها را >}1‌، >10{ فرض می‌کنیم در فضای هیلبوت H2) یک مدار کوانتومی ساده شامل سه گیت کوانتومی را مطابق شکل 2-2 در نظر می‌گیریم خط در مدار نشاندهنده یک سیم در مدار کوانتومی می‌باشد.

این سیم لزوماً همان سیم فیزیکی نیست بلکه ممکن است بجای انتقال زمان بکار برده شود یا ممکن است برای یک ذره فیزیکی نظیر یک فوتون که از محلی به محل دیگر حرکت می‌کند بکاربرده شود.

چنین قرارداد می کنیم که حالت وارده شده به مداریک حالت پایه محاسباتی باشد.

مدار شکل زیر حالتهایی از دو کیوبیت را با هم مبادله می‌کند.

برای اینکه ببینیم که این مدار چگونه عمل مبادله را انجام می‌دهد، توجه داریم که یک سوی از گیتها اثرهایی را بر روی یک حالت پایه محاسباتی |a,b> می‌گذارند.

(29) که تمام جمعها در مبنای 2 انجام شده اند.

اثر مدار این است که حالت دوکیوبیت را عوض می‌کند، شکل 2-2 : مدار دوکیوبیتی Swap و یک نمای عمومی و مفید معادل با آن .

نمایش ماتریسی برای این گیت چنین است : (30) لازم به ذکر است که مدارها از چپ به راست خوانده می‌شوند.

2-6 : گیت‌های اندازه‌گیری (Measurment gates) : گیتهای اندازه‌گیری فقط بخاطر اینکه نتایج حاصل از تحول کوانتومی را بزرگ نشان‌دهند، تا خروجها را برای دنیای کلاسیکی بدست آورند، مهم نیستند آنها در کل فرایند QC مفید هستند و بسیاری از نتایج حاصل از فصل بعدی مثلاً در الگوریتم سریع کوانتومی بکار برده شده‌اند.

مثلاً ، دو مدار کوانتومی نشان داده شده درشکل 2-3 را ببیند.

یکی ازآنها ابتداءاً شامل دو گیت هادامارد Hn ودر نهایت شامل یک گیت اندازهگیری نسبت به مشاهده‌پذیر استاندارد است (a) در حالیکه مدار دوم ، یک گیت اندازه‌گیری مابین دو گیت هادامارد Ha دارد (b) یک تفاوت اصلی بین دو مدار وجود دارد، و میزان گیت اندازه‌گیری بین دو گیت هادامارد، مدار دوم را جالبتر ساخته است.

در آنجائیکه Hn2=2 است نتیجه حاصل از گیت اندازه‌گیری مدار در شکل a2-3 با احتماال 1 برابر است با از طرف دیگردر مدار دوم اندازه‌گیری اول یک رشته nبیتی تصادفی x را با احتمال حاصل خواهد کرد.

خروجی گیت دوم عبارتست از : (31) بنابراین گیت اندازه‌گیری دوم یک رشته n بیتی با احتمال را خواهد داد.

شکل (2-3) : گیتهای اندازه‌گیری و قاعده آنها .

نهایتاً اینکه گیتهای اندازه‌گیری در بسیاری از مباحث QC بکار برده می‌شوند.

2-7 :جعبه سیاه یا Oracle : یک زیربرنامه‌ای است که برای امتحان یک روش حل مسأله تصمیم‌گیری بکار می‌رود.

اما در اینجا می‌خواهیم اوراکل را به صورت یک جعبه سیاه و محض بررسی کنیم.

اوراکل می‌تواند ازیک رشته با طول یکی را از دیگری که متمایز است، مثلاً 5 را مشخص کند.

اگر مجهول x را وارد اوراکل کنیم ، می‌داند که X=w است یا خیر به عبارت دیگر ، خروجی اوراکل مقدار تابع f5(x) است : (32) برخلاف اوراکل کلاسیکی ، اوراکل کوانتومی می‌تواند یک حالت بخصوص را از یک برهمنهی حالتها ، متمایز کند.

اوراکل تبدیل یکانی زیر را انجام می‌دهد : (33) کهx >1 یک حالت –nکیوبیتی ، y>1 یک حالت تک کیوبیتی می‌باشد.

می‌توان نشان داد که اگر حالت تک کیوبیتی را در نظربگیریم خواهیم داشت : (34) می‌توان با حذف ثبت‌کننده دوم نوشت : (35) Oracle : در تاریخ یونان ، نام معبد شهر دلفی () که یونانیان پاسخهای غیبی را از کاهنان آن معبد می‌گرفتند.