دانلود مقاله توابع و تابع ها

توابع

مفاهیم اساسی

مفهوم تابع

طبق تعریفی که اویلر در 1749 به دست داده است , تابع اغلب به عنوان کمیت متغیر variable quantity  ی که وابسته به کمیت متغیر دیگری است توضیح داده می شود.

تعریفی چنین از مفهوم تابع برای مقاصد بسیاری کفایت می کند , اما در دوران گسترش بیشتری از ریاضیات آشکار شد که دادن محتوی عمومیتر و مجردتری به مفهوم تابع هم ضروری هم سودمند است .

ماهیت این مفهوم وابستگی کمیتها نیست که معمولاً مراد از آنها اعداد است , که میتوانند در رابطه «کمتر از یا بزرگتر از » مقایسه شوند , بلکه خود واقعیت تناظر correspondence است , که بر مبنای آن اشیای معینی به عنوان تخصیص یافته به اشیای معین دیگر در نظر گرفته می شود.

به این ترتیب مفهوم تابع به تعاریف مجموعه نظریه ای set – theoretical definitions  تحویل شده است .

تناظرها .

هر میله فلزی هنگامی که گرم شود تغییر می کند .

به عنوان مثال , فرض می کنیم یک میله مسی در 0 C به طور l0=200 واحد طول , u , مثلاً سانتیمتر یا اینچ باشد , در این صورت l , طول آن در درجه حرارت t0C توسط (t0.000016 +1)200=l مشخص می شود .

با این فرمول formula هر مقدار t بین 00C و 0C100 در تناظر با طول lی بین u200 و u200.32 قرار داده شده است .

به همین ترتیب با هر مقدار کالا مبلغ معینی پول , به عنوان قیمت فروش آن , متناظر است , و با هر شماره صفحه این کتاب , عددی متناظر است که تعداد حروف واقع در آن صفحه را بیان می کند .

تناظرها نه تنها بین اعداد , بلکه بطور عمومی تر , بین عنصرهای aی واقع در مجموعه A و عنصرهای bی واقع در مجموعه B وجود دارند ; به عنوان مثال , هر صندلی نمایش یک تئاتر متناظر با یک بلیط ورودی و یک تماشاچی خاص است .

به این ترتیب , تناظر مورد بحث توسط رابطه ی Fی تعریف شده بر B    A با حوزه تعریف  AD(F) و برد BR(F) معین می شود .

اگر نسبت به این رابطه F به هر عنصر a از حوزه D(F) آن یک و تنها یک عنصر b از برد R(F) آن متناظر باشد , در این صورت رابطه را تک مداری single-value می گویند و در این صورت از تابع function یا نگاشت mapping از مجموعه A بتوی into مجموعه B صحبت می کنیم ( شکل )

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

عنصر b از برد تابع متناظر با عنصر نخستین a''original'' از حوزه آن را نگاره یا تصویر a''image'' می نامیم .

در نتیجه تابع f مجموعه ای از جفتهای مرتب ''ordered pairs'' (a,b)ای است که عنصر اول آنها متعلق به حوزه تعریف D(F) و عنصر دوم آنها متعلق به برد R(F) است .

در مورد نگاشت از A بتوی B داریم ; D(F)=A یعنی , هر عنصر a  A به عنوان عنصری نخستین رخ میدهد , و در مورد نگاشت از A بروی B ''onto'' , علاوه بر این , هر عنصرBb به عنوان نگاره ای مطرح می شود.

عنصر yی را که توسط تابع f به عنصر x تخصیص داده شده است , اغلب با f(x) نمایش می دهیم و در این صورت تناظر مورد بحث y=f(x)   x نوشته می شود.

عنصر x را شناسه یا آرگومان ''argument'' و عنصر متناظر y آن را مقدار تابع f(x) ''function value'' در نقطه x می نامند .

حوزه تعریف ''domain of definition'' ( یا تنها حوزه ) تابع x   y =f(x) را با X و برد آن را با Y نمایش می دهیم .

اگر f تابعی از A بتوی B باشد , آنگاه واضحاً A X و BY .

نمایش توابع

برای توصیف یک تابع باید حوزه تعریف و برد آن و قاعده ای برای تناظر به دست بدهیم .

نمودار.

در نمودار تابع حوزه و برد از لحاظ نموداری نمایش داده می شوند و تناظر مربوطه با پیکانهایی مشخص می شود ( شکل ) .

از هر عنصر حوزه تنها یک خط سودار خارج می شود , اما ممکن است یکی یا بیش از یکی از این خطها به هر عنصر برد ختم شود.

حوزه تعریف

جدول مقادیر .

قاعده تناظر را می توان به جای استفاده از نمودار در جدول مقادیر نیز قرار داد ( شکل ) .

عنصرهای حوزه را در سطر بالای جدول وارد می کنیم و زیر هر یک , عنصر متناظر آن از برد را قرار می دهیم .

جدول مقادیر تنها می تواند تعدادی متناهی از جفتهای مرتب را به دست دهد , و برای توصیف کامل تابع دلخواه F کفایت نمی کند .

توضیح با کلمات .

اگر حوزه و برد یک تابع متناهی نباشد یا آنقدر وسیع باشند که دیگر نمایش نمودار یا جدول مقادیر آن بر صفحه کاغذ ممکن نباشد , در این صورت دادن توصیف دقیق  ''exact description'' حوزه و برد , همراه با قاعده ای که به ازای هر عنصر حوزه بتوان عنصر متناظر آن از برد را به دست آورد , کافی است .

تابع را میتوان بدون استفاده از نمادهای ریاضی , به کمک جمله ای به زبان روزمره , بطور کامل تعریف کرد, به عنوان مثال , در صورتی که به هر مسابقه تقسیم بندی اول لیگ فوتبالی خارج قسمت تعداد بلیتهای ورودی و تعداد سکنه محلی که مسابقه در آنجام برقرار می شود را متناظر کنیم , تابعی را تعریف کرده ایم .

این تابع می تواند اطلاع معینی از علاقه ای را به دست دهد که عامه مردم در بازیهای خاص نشان می دهند .

مثالهای بسیاری از قواعد تناظر می توان یافت که کلاً یا جزئاً با کلمات تنظیم شده اند.

نمودار مختصاتی .

نمودار مختصاتی ''diagram'' نیز یک تابع را نمایش می دهد اگر مجموعه ای از اعداد محور افقی را به عنوان حوزه تعریف و مجموعه ای از اعداد محور قائم را به عنوان برد انتخاب کرده به آرگومان x از حوزه تعریف دقیقاً آن مقدار از y را تخصیص دهیم که به ازای آنها نقطه با مختصات y, x نقطه ای از نمودار باشد .

اما , هر خم بدلخواه رسم شده در یک دستگاه مختصات را نمی توان به عنوان نمایش تابع در نظر گرفت .

تناظر داده شده به کمک خم باید تک مقداری ''single-valued'' باشد, و این درحالتی است که خم نمودار مختصاتی مورد بحث توسط هر خط موازی محور قائم حداکثر در یک نقطه قطع شده باشد .

فرمول.

بیشترین روش به کار رفته در نمایش یک تابع در ریاضیات فرمول است.

در این روش عناصر حوزه و برد تنها عددها , یا دست کم اشیای ریاضی ''mathematical objects'' اند که در مورد آنها میتوان قاعده های محاسبه '' rules of calculation ''ی  مناسب به دست داد , به عنوان مثال :

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

y=sinx  (3)                  ( 2)                                   y=7x+2 (1)

در صورتیکه معلومات خاصی در مورد حوزه تعریف تابع نداده باشند , معمولاً آن اعدادی را متعلق به آن در نظر می گیریم که به آنها بتوان با استفاده از فرمول مورد بحث مقدار معینی منسوب کرد .

این اعداد در حالت (1 ) و (3) جمیع اعداد حقیقی اند , و در حالت ( 2 ) جمیع اعداد حقیقی بزرگتر از یا برابر با 4 .

در این صورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود : 

در این صورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود : (3) (2) (1) محدودیت حوزه تعریف .

حوزه تعریف را میتوان بدلخواه محدود کرد , به عنوان مثال , ( به ازای ) * y=7x+2 (1) ( به ازای ) **y=7x+2 (2) و غیره .

در اینصورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود : 37> y 19- * (1) و 2 > y > 54- ** (2) در اینجا این موضوع اساسی است که , طبق تعریف مفهوم تابع , (1) , *(1) و ** (1) توابع کاملاً متفاوتی را نمایش می دهند .

زیرا دو مجموعه اگر دقیقاً دارای عنصرهای یکسان باشند برابرند , به همین ترتیب , دو تابع f2 ,f1 اگر دقیقاً هر جفت عنصر (x,y)ی که متعلق به f1 اند، , متعلق به f2 نیز باشند , و برعکس , برابرند و در حالت توابع (1) و , *(1) و ** (1) چنین نیست .

نمایش نموداری .

از معادله تابع اغلب می توان به کمک جدولی از مقادیر به نمایش شهودی تابع مورد بحث رسید .

به کمک یک دستگاه مختصات مسطح , نقطه P از آن صفحه برای اینکه نظیر هر جفت عدد (x,y) باشد بنا می شود و کلیت نقاط p به نمودار تابع موسوم است .

بنا به ماهیت حوزه تعریف و معادله تابع , دنباله ای از نقطه های مجزا , قسمتهایی جداگانه از خمها یا خم تابعی ''function curve'' متصلی را به دست می آوریم .

صورت صریح .

صورت y=A(x) معادله یک تابع , که در آن A(x)عبارتی دلخواه است که , علاوه بر متغیر x , تنها شامل اعداد یا عناصر حوزه عددی مبنایی است , به صورت صریح ''explicit form'' از این حقیقت مشخص می شود که هر دو متغیر دست کم در یک طرف معادله رخ می دهند , به عنوان مثال : Y=sinx .

siny + x2(3) xy=1;(2) 4x-2y=6; (3) = x2+xy+yx(5) x2+y2=16; (4) اگر معادله تابعی به صورت صریح نمایش داده شده باشد , آنگاه معمولاً متغیری را که در یک طرف معادله مجزا شده است به عنوان وابسته و دیگری را به عنوان مستقل در نظر می گیریم , و اینکه این دو با t ,s; v, u; y,x یا به هر طریق دیگر نمایش داده شده باشند دارای اهمیت نیست .

اما کار در صورت ضمنی همواره چنین آشکار نیست , و هنگامی که y , x به کار رفته باشند , معمول آن است که y را به عنوان متغیر وابسته در نظر بگیریم , اما اغلب ذکر قرارداد گذاشته شده ضروری است , بخصوص زمانی که متغیرهای دیگر نیز به کار رفته باشند .

اما, این نیز ممکن است که هر دو متغیر واقع در یک معادله ضمنی را در موقعیتی یکسان در نظر بگیریم .

توجه به این موضوع مهم است که معادله داده شده در صورت ضمنی را میتوان همواره به صورت صریح مرتب کرد .

این کار در مثالهای (1) و (2) بسادگی انجام پذیر است , در این مورد به دست می آوریم : y=1/x ( 2) y=2x-3 ( 1) اما مثالهای (3) و (5) تمام کوششهای مربوط به انجام این کار را با شکست روبه رو می کند .

در هر دو مثال نه y نه x را نمی توان مجزا کرد , واقعیت دیگری را آشکارا توسط مثال (4) نشان داده ایم .

واضح است که x2 + y2=16 معادله دایره ای به شعاع 4 به مرکز مبدأ دستگاه مختصات است .

در این حالت به ازای هر مقدار x دو مقدار y موجودند که در معادله صدق می کنند .

با در نظر گرفتن y به عنوان متغیر وابسته , تناظری تعریف شده است که تک مقداری نیست .

به این دلیل ( 4) معادله تابع نیست .

از طرف دیگر, صورت صریح یک تابع را نمایش می دهد .

اما تصور آن تنها شامل نیمدایره بالاست .

معادله تابع متعلق به نیم دایره پایین عبارت است از : گاهی دو تابع را به صورت ترکیب می کنیم .

اما در نظر گرفتن این طریق از نوشتن آن به صورت معادله تابعی که چند مقداری ''many-valued'' است خطاست , توابع , بنا به تعریف , تناظرهایی تک مقداری اند.

نمایش پارامتری .

این نمایش در وهله اول با دو معادله تابعی صریح سروکار دارد , که هر یک از آنها تابعی را مشخص می کند .

حوزه تعریف در هر دو حالت یکی است .

به این ترتیب , در صورت کلی داریم : اکنون اگر به هر x0=f1(t0) مقدار y0=f2(t0) را تخصیص دهیم نگاشتی از برد f1 بروی برد f2 به دست می آوریم , که البته نیاز به تک مقداری بودن ندارد .

توابع مرکب .

اگر عنصر a , تحت نگاشت G , متناظر با عنصر b , و عنصر b تحت نگاشت دیگر F , متناظر با عنصر c باشد , آنگاه با استفاده از کاربرد متوالی دو نگاشت G, F , نگاشتی را به دست می آوریم که تحت آن عنصر a متناظر با عنصر c است .

نگاشتی که به این ترتیب تعریف شده به حاصلضرب ''product'' ( یا ترکیب composition) دو نگاشت G ,F موسوم است , به این ترتیب F.G ( a, c) اگر و تنها اگر عنصر b ای چنان موجود باشد که .

واضح است که عنصر b باید هم متعلق به XF , حوزه تعریف F و هم متعلق به YG , برد G باشد (شکل).

از این موضوع نتیجه می شود که F .

G را می توان تنها اگر تشکیل داد .

گذشته از این , ترتیب در انجام دادن نگاشتهای متوالی دارای اهمیت است , زیرا , در حالت کلی G.F F.G اگر XF.G , XG , XF , به ترتیب , حوزه های تعریف و YF.G , YG , YF , بردهای F.G , G, F را نمایش دهند , آنگاه F .

G را میتوان زمانی که با دقت تشکیل داد .

بطور دقیقتر , XF.G تنها شامل عنصرهایی از XG است که مقادیر تابعی آنها نسبت به G واقع در ///// و YF.G تنها شامل عنصرهایی از YF است که آرگومانهای آنها نسبت به F واقع در //// باشد.

f.g , حاصلضرب دو تابع g ,f با معادلات تابعی y= g(x) , y=f(x) اغلب به صورت y= f [g(x)] نوشته و ترکیب '' compositum'' دو تابع f ,g , در همین ترتیب , نامیده می شود.

در این رابطه g را اغلب تابع درونی '' inner'' و f را تابع برونی '' outer'' تابع مرکب f.g می نامند .

انواع خاص تابع در مطالب بعدی تنها توابع مورد بررسی توابعی هستند که حوزه تعریف و برد آنها مشمول در مجموعه اعداد حقیقی اند .

آنها را معمولاً توابع حقیقی '' real function'' می نامیم .

بنا به ویژگیهای عمومی معینی , توابع حقیقی خاص را در گروههایی , به عنوان مثال , توابع یکنوا , کراندار , زوج , فرد , یا متناوب جمع می آوریم .

تابع یکنوا تابع xy = f(x) را , در بازه a تابع را در بازه a f(x2) هر گاه a توابع کراندار .

تابع xy=f(x) را در یک بازه ( باز یا بسته ) کراندار گویند اگر عدد B>0 با این ویژگی موجود باشد که , به ازای هر مقدار x واقع در بازه مزبور , |f(x)| توابع زوج و فرد.

تابع xy= f(x) را زوج ''even'' گویند اگر , به ازای هر مقدار x واقع در حوزه تعریف آن , f(-x) = - f(x) نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است .

نمودار تابع فرد نسبت به مبدأ ( 0 , 0) متقارن است.

نمودار مزبور تحت دوران 180 درجه حول این نقطه بر خودش منطبق می شود .

توابع متناوب .

تابع ناثابت xy =f(x) را متناوب یا دوری می گوییم اگر عدد a>0 ی چنان موجود باشد که , به ازای هر مقدار ممکن x , f(x) = f(x+a) .

در اینصورت این را نیز نتیجه می گیریم که f(x)= f(x-a) , f(x) =f(x+ 2a) و در حالت کلی , به ازای هر عدد صحیح n , تا زمانی که مقایر (x+na) متعلق به حوزه تعریف تابع باشند , f(x) = f(x+na) .

هر یک چنین عدد a ای را دوره تناوب ''period'' می نامیم , و کوچکترین عدد مثبت k را , که به ازای آن f(x)= f(x+k) , دوره تناوب اولیه primitive period'' '' تابع متناوب می گوییم .

نمایش نموداری یک تابع متناوب نموداری است که چون در سوی محور x ها به اندازه فاصله ای برابر با مضرب درستی از دوره تناوب انتقال یابد بر خودش منطبق می شود ( شکل ) .

معروفترین توابع متناوب توابع مثلثاتی ''trigonometric functions'' اند.

از این توابع , توابع متناوب دیگری میتوان بنا کرد , به عنوان مثال توابع y= b sin (ax) با دارای دوره تناوب اند.

توابع مرکبی چون y= b1sin (a1x) + b2sin (a2x) به شرطی متناوب اند که نسبت a1 به a2 گویا باشد, یعنی , اگر a1/a2 = m/n که در آن n , m اعداد صحیح نسبت به هم اول اند , دوره تناوب تابع اول و دوره تناوب تابع دوم و نسبت آنها عبارت است از : به این ترتیب n دوره تناوب از تابع اول دقیقاً متناظر با m دوره تناوب از تابع دوم است .

در نتیجه تابع مجموع دارای دوره تناوب است .

وارون تابع `````````````````````````````````````````````````` توابع وارون پذیر invertible functions'' '' .

تناظر تک مقداری معین شده توسط تابع بین عناصر حوزه و عناصر برد , بر عکس به هر عنصر برد نیز یک یا بیش از یک عنصر حوزه را تخصیص می دهد.

توابعی که در آنها هر عنصر برد تنها یک بار به عنوان تصویر عنصری از حوزه رخ می دهد دارای اهمیتی ویژه اند , زیرا وارون تناظر آنها نیز تک مقدار است.

در آنها به هر عنصر r از برد تنها یک عنصر d از حوزه تعلق دارد .

در این حالت برد تابع مفروض f را میتوان به عنوان حوزه تابع جدید در نظر گرفت.

اگر تابع مفروش f تناظر dr = f(d) را مشخص کند , آنگاه در مورد تابع جدید داریم .

به عبارت دیگر , اگر و تنها اگر.

توابعی که در مورد آنها به این معنی می توان تناظر بین حوزه X و برد Y را وارون کرد به توابع وارون پذیر موسوم اند .

اینها تناظرهایی یک به یک x بروی Y اند.

توابع یکنوا به رده توابع وارون پذیر متعلق اند : تابع یکنوا همواره وارون پذیر است .

از طرف دیگر , نیاز نیست تابع وارون پذیر لزوماً یکنوا باشد , به عنوان مثال , حوزه و برد ممکن است مجموعه هایی مرتب نباشند , بنابراین مفهوم یکنوایی تعریف نشده است .

باز , تابع نایکنوا نیز میتواند وارون پذیر باشد , به عنوان نمونه اگر حوزه و برد شامل عنصرهایی به تعداد متناهی باشند .

مثالی از این دست تابعی است که توسط جدول مقادیر زیر داده شده است: تابع وارون .

اگر Y برد تابع وارون پذیر f را به عنوان حوزه تعریف تابع جدید ای در نظر بگیریم که بردش , X حوزه f است , و اگر تناظر تک مقداری بین مجموعه های Y, X داده شده توسط تابع f را وارون کنیم , آنگاه , تابع وارون ''inverse function '' تابع مفروض f را به دست می آوریم .

تابع وارون خود وارون پذیر است .

با در نظر گرفت , dr = f(d) بسادگی می توان ملاحظه کرد که تابع وارون تابع وارون تابع مفروض f خود f است .

به این ترتیب , موجه است که f و را توابع دو به دو وارون '' mutually inverse'' بنامیم .

نمودار تابع وارون .

به علیت یکتایی نگاشتی که توسط تابع نمایش داده می شود , هر خط موازی محور y ها نمودار آن را تنها در یک نقطه قطع می کند .

اگر تابع f(x) دارای تابع وارون (x)و بنابراین یک به یک باشد , آنگاه هر خط موازی محور xها نیز نمودار آن را تنها در یک نقطه قطع می کند.

این خم هم تناظر xy هم تناظر yx را نمایش می دهد .

هر جفت عدد خاص ( a , b ) از تابع f , به علت تغییر با هم متغیرها در تابع وارون , به جفت عددی (b,a) از تابع تبدیل می شود .

نقاط نظیر این جفتهای عددی (b,a ) , ( a, b) قرینه یکدیگر نسبت به نیمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصاتی دکارتی اند.

در نتیجه نمودار تابع وارون (x)از قرینه محوری نمودار تابع مفروض f(x) نسبت به این نیمساز به دست می آید .

وارونهای توابع در بازه های خاص .

در بحث توایع یکنوا نشان دادیم که ممکن است توابع نایکنوا در بازه های خاصی از حوزه تعریف یکنوا باشند .

آنها در این بازه ها وارون پذیر نیز هستند .

توابع چندجمله ای و گویا مفهوم تابع گویا عبارتی به صورت anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 که در آن n عددی طبیعی است , ضرایب ar اعدادی حقیقی و دلخواه اند و //// , به چند جمله ای درجه n موسوم است .

تابع گویا rational function'' '' تابعی به صورت p/q است که p و q ی آن توابعی چند جمله ای اند و دست کم یکی از ضریبهای q صفر نیست .

مثالهای توابع گویا .2 y=8x-3 .1 .4 .3 مثالهای توابع ناگویا در توابع چند جمله ای R , حوزه جمیع اعداد حقیقی , را می توان به عنوان حوزه تعریف اختیار کرد.

در صورتی که هیچ گونه محدودیت حاصل از شرطهای خاصی اعمال نشده باشد , همواره R را به عنوان حوزه تعریف در نظر می گیریم .

این مطلب در مورد توابع گویا نیز برقرار است , با این استثناء که در این مرحله باید مقادیری را که مخرج را صفر می کنند کنار بگذاریم .

این را نیز باید خاطر نشان کرد که توابع گویا غالباً به دلخواه در کل حوزه تعریفشان پیوسته و مشتق پذیرند .

در موارد زیر , ابتدا توابع چند جمله ای و بعد توابع گویا را در نظر گرفته ایم , و پیش از بیان ویژگیهای عمومی , به بررسی انواع خاصی از این توابع که بیشتر رخ می دهند پرداخته ایم .

توابع خطی توابع y= mx , جدولهای مقادیر توابع y=-4x/3 , y=x/2 , y=x جفتهای عددی ( x, y) ی را به دست می دهند که از آنها نقاط نمودارهای این توابع در دستگاه مختصات دکارتی حاصل می شوند ( شکل) از آنجا که جهت مقادیر ( 0 و 0) همواره رخ می دهد , خم مربوطه همواره از مبدأ مختصات می گذرد.

خمهای مزبور خطوطی راست اند , زیرا از y=mx , مختصات نقاط به دلخواه انتخاب شده P,…,P2 ,P1 همواره در y1/x1 = y2/x2 = … = y/x = m صدق می کنند , که در آنها m , به ازای هر تابع , ثابت است ( شکل ) .

اگر Px , … , P2x , P1x تصاویر نقاط P , … , P2 ,P1 بر روی محور x ها باشند , آنگاه مثلثهای OPPx,… ,OP2P2x , OP1P1x متشابه اند .

از آنجا که نقاط Px, … ,P2x, P1x بر خطی راست واقع اند , نقاط P , … , P2 , P1 نیز باید بر خطی راست واقع شوند .

به علت ثابت بودن m , مختصات متناظر نقاط متفاوت متناسب اند , y1/x1 = y2/x2 .

مقدار y مستقیماً متناسب با مقدار x است , ثابت m عامل تناسب ''factor of proportionality'' است .

اگر نرخ شغل L متناسب با زمان کارt به ساعت باشد , رابطه بین آن دو با تابع خطی L= mt نمایش داده می شود .

ثابت تناسب مزبور نرخ به ساعت را نمایش می دهد.

از نمودار تابع خطی y=mx و جدول مقادیر توابع خاص y=-4x/3 , y=x/2 , y=x می توان ملاحظه کرد که تابع مورد بحث یکنواست , به ازای m های مثبت صعودی یکنوا و به ازای m های منفی نزولی یکنواست.

ثابت مورد بحث در اشاره به جاده ها و خطوط راه آهن به شیب '' gradient'' موسوم است .

(شکل ) .

در ریاضیات شیب یا گرادیان به عنوان نسبت تفاضل در ارتفاع BC به فاصله افقی AB تعریف شده است ( شکل ) .

این شیب به صورت یک نسبت یا درصد داده می شود .

به عنوان مثال , جمیع موارد زیر دارای یک معنی اند: توابع y=mx+c .

اگر به ازای هر مقدار x واقع بر خط مستقیم y=mx مقدار ثابت c را به عرض y اضافه یا کم کنیم , این کار به معنی انتقال خط y= mx است , که بطور ساده تر به عنوان عرض از مبدأ c نیز شناخته می شود ( شکل ) .

به این ترتیب , نمودار تابع y=mx+c خطی راست با شیب m و عرض از مبدأ c است .

در رسم خط مزبور در عمل نیازی به انجام انتقال نیست .

نمودار خط با مشخص کردن عرض از مبدأ c بر محور y ها , رسم خطی موازی با محور x ها از انتهای آن , و رسم شیب مورد نظر بر آن به دست می آید ( شکل ) نمودار ضمنی تابع خطی .

نمایش نموداری Ax+By+C=0 در یک دستگاه مختصات قائم , به شرطی که B ,A هر دو برابر صفر نباشند , همواره خطی راست است گذشته از این , Ax+By+C=0 را میتوان تنها اگر به عنوان تابع خطی در صورت صریح بیان کرد .

در این صورت با تنظیم مجدد در صورت صریح داریم :y = +mxc یا y=-(A/B)x – (C/B) با c= -( C/B ) , m = - ( A/B) .

به ازای A= 0 و , نتیجه این کار تابع ثابت است , که نمودار آن خطی موازی با محور x هاست .

به ازای و B=0 معادله اصلاً نمایش دهنده تابع نیست .

نمایش نموداری معادله Ax+C=0 خطی موازی محور y هاست.

گکحتوابع درجه دوم تابع y=x2 .

تابع y=x2 به خمی معروف به سهمی متعارف ( استاندارد ) ''standard parabola'' منجر می شود ( شکل ) .

جدول مقادیر y=x2 مقادیر واسطه مربوط به جدول مقادیر توسط جدول مربعات ''table of squares''ی داده می شوند, که در واقع همان جدول مقادیر تابع y=x2 است که با دقت مرتب شده اند .

ویژگیها چون , به ازای هر مقدار x , خم مزبور همواره بالای محور x ها می ماند , به این ترتیب , برد متناظر با حوزه تعریف است .

سهمی متعارف نسبت به محور yها متقارن است ( تقارن محوری ''axially symmetric'' ) .

نقطه صفر را , که با خودش متقارن است , رأس ''vertex'' می نامیم .

خمیدگی ''curvature'' سهمی متعارف , در مقابل خط راست , محاسباتی را با استفاده از این واقعیت نشان می دهد که y , زمانی که | x | بطور یکنواخت افزایش یابد , به مقادیر همچنان بزرگتر تغییر می کند.

در جدول ,دنباله های تفاضلی نیز دنباله تفاضلات به ازای را , که با نمایش داده می شوند , معرفی کرده ایم .

جدول مزبور نشان میدهد که به ازای ثابت افزایش می یابد و تنها دنباله تفاضلی دوم ثابت است .

برای درکی شهودی از خمیدگی , فرض می کنیم اتومبیلی در امتداد خم مزبور در جهت مقادیر صعودی x در حرکت باشد .

اگر لازم باشد فرمان اتومبیل را برای اینکه روی خم مزبور باقی بمانیم به سمت چپ بچرخانیم , می گوییم خم مورد نظر دارای خمیدگی مثبت ''positive curvature '' است , و اگر آن را به سمت راست بچرخانیم , دارای خمیدگی منفی '' negative curvature'' است .

به این ترتیب, سهمی متعارف همه جا خمیدگی مثبت دارد .

توابع y= x2+px+q .

با تکمیل مربع , یعنی , با معرفی مربع نصف ضریب جمله خطی px , تابع داده شده را میتوان با استفاده از : y= x2+px+q =x2+px+ (p/2)2- (p/2)2+q = (x+p/2)2+( q-p2/4) به صورت y=(x-a)2+b بیان کرد .

در واقع , با نوشتن b=( q-p2/4) , a= - p/2 , ( y-b)= (x-a) 2 یا y= (x-a2) + b را به دست می آوریم , یعنی که در آن .

این معادله بدین معنی است که نمودار تابع در دستگاه مختصات همچنان سهمی متعارف است.

اما دستگاه با تبدیل خطی متناظر با یک انتقال , به دستگاه y , x تبدل می شود (شکل) .

در دستگاه y , x رأس V ی سهمی متعارف دارای مختصات ( a , b) است , مختصات رأس مزبور بر حسب q , p , ضرایب تابع درجه دوم مفروض y= x2+ px+q عبارتند اند : ( شکل ) ( -p/2 , q- p2/4) تابع درجه دوم عمومی y= Ax2+ Bx +c .

در این معادله فرض می کنیم, چه در غیر اینصورت تابع درجه دوم نخواهد بود .

به این ترتیب , از عامل A فاکتور می گیریم : y= A [ x2 + ( B/A) x + ( C/A ) ] = A.Y نمودار تابع درجه دوم Y=x2+(B/A)x + (C/A ) = x2 + px + q Y= ( x+ p/2 ) 2 +( q – p2/4) = [ x + B/(2A)]2 + [ C/A – B2/ ( 4 A2)] که در آن q= C/A , p= B/A , معلوم است .

مقادیر Y به صورت مجموع [x + B/ (2A)]2 مقادیر عرضی سهمی متعارف مورد بحث , داده شده اند که رأسش به اندازه p/2 = -B/ (2A) در سوی محور +xها , و b=q – p2/4 =[ C/A – B2/ ( 4A2)] در سوی محور +y ها انتقال یافته است .

اما معادله y= A.Y مقرر می کند که هر یک از این مقادیر Y باید در عدد A ضرب شود .

به ازای A>1 , جمیع عرضهای سهمی متعارف مورد نظر , نیز , قطعه [ C/A – B2/( 4A2)] به نسبت A:1 منبسط شده اند , در حالیکه به ازای A های بین 0 و1 با همین نسبت منقبض شده اند .

( شکل ) اگر A مقادیر منفی را اختیار کند , پس از انبسا ( |A| > 1 ) یا انقباض ( |A| توابع درجه سوم تابع y=x3 .

در جدول مکعبات جدول مفصل و واضحی از مقادیر تابع y= x3 را در دسترس داریم , که با کمک آنها نمودار تابع مزبور , یعنی , سهمی مکعبی '' cubical parabola'' یا سهمی درجه سوم ''parabola of degree three'' را به دست می آوریم .

( شکل ) ویژگیها : تابع در کل حوزه تعریف یکنوای صعودی است , تابعی فرد است , و بنابراین نمودارش نسبت به مبدأ مختصات متقارن است .

به ازای |x|> 2/3 سهمی مکعبی شیبدارتر از سهمی درجه دوم است , دنباله تفاضلی سوم آن ثابت است : خمیدگی سهمی درجه سوم به ازای x0 مثبت است , و سهمی علامت خود را در مبدأ تغییر می دهد .

چنین نقاطی را نقاط عطف '' points of inflection '' می نامند .

به این ترتیب, سهمی درجه سوم نقطه عطفی در مبدأ دارد .

توابع درجه سوم دیگر.

به خاطر تحقیق در نمودارها و ویژگیهای توابع درجه سوم دیگر , آنها را در رابطه با تابع y=x3 نمایش داده شده در همان دستگاه مختصات , بررسی می کنیم , و نمودار آن را از این رو سهمی درجه سوم مقایسه ای یا متعارف می نامیم .

به عنوان مثال , نمودار تابع y=-x3 , قرینه سهمی درجه سوم متعارف نسبت به محور x هاست .

به تابع y=kx3 با عامل انبساط k>0 سهمی درجه سومی متعلق است که از سهمی درجه سوم متعارف با انبساط , به ازای k>1 , یا انقباض , به ازای k