دانلود تحقیق فلسفه ریاضی

مقدمه :

امروزه فلسفه ریاضی یا فلسفه علم ریاضیات بعنوان یکی از شاخه های فلسفی دامنه و عمق قابل توجهی برخوردار شده است و مکاتب و دیدگاههای متعددی در حوزه این دانش فلسفی شکل گرفته است.

در این میان این نکته روشن است که دست یافتن به دیدگاهی که پاسخگوی تمام مسائل و مباحث مطرح شده در فلسفه ریاضی باشد آن هم بصورت مستدل و مقبول همه فلسفی اندیشان امری ممکن به نظر نمی‌رسدویاآنکه بسیارصعب و دشوار است.

اما متفکران بر اساس اصول و مبادی و علایق ویژه خود به مباحث فلسفی در باب ریاضیات پرداخته و هر یک به اندازه وسع علمی و حوزه مطالعاتی و پژوهشی خود گامهایی را برای تقریب به ماهیت و حقیقت ریاضیات برداشته اند.

در این میان متفکران و فلاسفه متفدم و معاصر مسلمان نیز از این قاعده مستثنی نیستند و در لابلای آثار خود سعی در تفسیر و تبیین ریاضیات داشته اند.

این کتاب شامل دو بخش است: بخش نخست این تحقیق در صدد آن است تا بعنوان گامی آغازین و بطور عمده، در حال و هوای تفکر  فلاسفه و متفکران معاصر ایران - و نه متفکران پیشین - تاملاتی را در حوزه فلسفه ریاضی صورتبندی نماید.

البته این تبیین و تحلیل الزاماً در تمامم موارد حاصل دیدگاه صریح و بی واسطه آنان نخواهد بود بلکه در مواردی، نتیجه  استتنتاج و استنباط بوده و افزوده هایی به همراه دارد.

چکیده

"فلسفه علم ریاضیات یا فلسفه ریاضی دانشی است انتزاعی، تحلیلی و فلسفی درباره مفاهیم پایه و اصول اساسی و بنیادی ریاضیات، ماهیت گزاره‌های ریاضی، روش ریاضی، ریاضیات و واقعیت، رابطه ریاضیات با علوم دیگر مانند فیزیک، منطق، متافیزیک و...، تحولات دانش ریاضی و علل، جایگاه ریاضیات در دسته‌بندی علوم، ریاضیات و ایدئولوژی و مباحث متعدد دیگر ."کتاب حاضر از دو بخش تشکیل شده است .در بخش اول آرای متفکران معاصر ایران در مباحث فلسفه ریاضی تشریح می‌شود .و در بخش دوم آرای تحلیلی و فلسفی دیگر متفکران در باب ریاضیات درج گردیده است

حاصل آنکه در این بخش سعی بر آن است تا حد امکان به تحلیل و بسط ایده هایی که در اندیشه متفکران معاصر ایران آمده است، پرداخته شود.

بخش دوم این نوشتار گزارشی است از آرای فلسفی و نظری دیگر فلاسفه و متفکران، از دوره یونان تا دوره معاصر، در باب مباحث ریاضی، که در قالب یک بخش گردآوری و تنظیم شده است.

امید آن است که ارائه این گزارش اسباب آشنایی با دیدگاههای متعدد و متنوع را در باب ماهیت ریاضیات و مباحث فلسفه ریاضی فرآهم آورده و فضایی پرسش خیز و مساله انگیز برای خواننده ایجاد نماید.

نظراتی درباره فلاسفه :

فلسفه معمولا بعنوان یک فعالیت و نیز بعنوان موضوعی ذهنی تعریف می‌شود.

فلاسفه پیرو "رواقیون" آن را به فیزیک ، اخلاق و منطق تقسیم می‌کردند، برخی دیگر از فلاسفه در سال‌های اخیر برای آن تقسیم‌بندی ما بعدالطبیعه یا متافیزیک معرفت‌شناسی ، منطق و ارزش‌شناسی پیشنهاد کرده‌اند.

علاوه بر تقسیم‌ بندی فوق‌الذکر از مسائل فلسفی ، معمولا بررسی مبانی یا انگاشتهای اصولی و مقاصد هر رشته علمی نیز فلسفه نامیده می‌شود.

بر این اساس ما طبقه‌بندی‌هایی چون فلسفه فیزیک ، فلسفه هنر ، فلسفه تاریخ و البته فلسفه ریاضی و حتی فلسفه را داریم اچ ، گوردون هولفیش بیان می‌دارد که:

"فلسفه ماموریت دارد به انسان در تفکر عمیق‌تر به نتایج اعمال روزانه‌اش کمک کند تا انسان بتواند با حکمتی بیشتر ، آن نتایجی را برگزیند که به همه انسانها کمک می‌کند تا تفکرشان را عمیق‌تر سازند."

یک فلسفه را می‌توان توضیحی دانست که در آن کوشش می‌شود تا از مجموعه‌ای طبعا پراکنده از تجربیات یک معنی استخراج کند.

کار یک فلسفه مشتمل بر تنظیم تجربیات و ارزش‌ها است.

فلسفه در جستجوی روابط در میان اشیایی است که معمولا منفک از هم بشمار می‌آیند.

در اینجا به فلسفه‌های معاصر ریاضی پرداخته شده است.

فلسفه‌هایی که پیشرفت‌های اخیر ریاضی را بشمار آورده و متاثر از بحران‌های جاری این علوم می‌باشند.

سه فلسفه اصلی معاصر از ریاضیات وجود دارد که هر یک از گروه متنابهی از ریاضیدانان و فلاسفه را جذب و هر یک دانش عظیمی از فرهنگ خاص خود را توسعه و گسترش داده است.

این فلسفه‌ها عبارتند از: فلسفه منطق‌گرایی که راسل و وایتهد ارائه‌دهندگان اصلی آن هستند.

فلسفه شهودگرایی که توسط براور رهنمون می‌شود؛ و فلسفه صورت‌ گرایی که توسط هیلبرت رشد و گسترش یافته است.

فلسفه منطق گرایی

سخن اصلی این فلسفه این است که ریاضیات شاخه‌ای از منطق است در این فلسفه به جای آنکه منطق فقط وسیله‌ای برای ریاضیات باشد.

تبدیل به کل ریاضیات می‌شود.

همه مفاهیم ریاضیات باید بر حسب مفاهیم منطقی فرمولبندی شوند، همچنین قضیه‌های ریاضی باید به عنوان قضایایی از منطق بیان اثبات شوند.

در این دیدگاه تمایز بین منطق در ریاضیات صرفا به مناسبت جنبه عملی و آموزشی آن است.

این نظریه برای نخستین بار توسط فرگه و بعدا توسط برترا اندراسل ، بی‌آنکه با فرگه ارتباطی یافته باشد عنوان گردید.

وایتهد و راسل در کتاب عظیمی که بنام "اصول ریاضیات" تدوین کردند به دفاع از این نظریه پرداخته‌اند.

فلسفه شهودگرایان :

از شهودگرایان این است که اشیا و برهان‌های ریاضیات را فقط باید با طی گام‌های متوالی و متناهی ساخت، گام‌هایی که شهودا قابل اطلاق بر اعداد طبیعی‌اند.

بر طبق نظریه ، پایه ریاضیات غایتا بر شهود اولیه قرار دارد که بدون شک بر حس و درک ما از "قبل و بعد" می‌باشد که به ما اجازه می‌دهد که تا یک شی مشخص و منفرد را درک کنیم، و پس ادراک‌های بعدی متوالیا و بی‌پایان انجام می‌گیرد.

در این روند ما رشته‌ای بی‌پایان بدست می‌آوریم که بهترین مثال آن رشته اعداد طبیعی است.

سابقه شهودگرایی در فلسفه به زمان کانت ، فیلسوف آلمانی ، بر می‌گردد.

ظاهرا درک کانت از اینکه حساب بر مبنای نیروی ذهنی شمارش قرار دارد این است که اعداد وقتی ، و فقط وقتی وجود دارند که به وسیه شمارش در دسترس باشند       .

اگر کانت با مجموعه‌ها آشنا بود شاید هم می‌گفت مجموعه‌ها وقتی و فقط وقتی وجود دارند که عضوهای آنها را بتوان شمرد.

لذا عددهای اصلی نامتناهی وجود نمی‌توانند داشت زیرا که به عقیده کانت عدد نامتناهی را شمردن نامقدور است.

به دلیل مشابه کانت معتقد بود که در هندسه حداکثر طول وجود پیدا نمی‌کند، زیرا ، که هر چند می‌توان خط را از دو طرف امتداد داد اما آن را بطور نامتناهی نمی‌توان امتداد داد (زیرا که این عمل نیازمند وقت نامتناهی است) به این ترتیب هم در مورد اعداد هم در مورد خطوط ، کانت بجای پیروی از عقیده بی‌کران بالفعل به نظریه بی‌کران بالقوه یا کلیات نامعین معتقد بوده است.

ارسطو هم در بحث در مسائل فلسفی از قبیل پارادوکس معروف زنون مفهوم نظریه کبیران بالقوه کانت را بکار برده است.

در زمان‌های جدید چهره اصلی شهودگرایان که فرد را ساختارگرا می‌نامند ال.

جی بروئور ریاضی‌دان هلندی است.

به عقیده شهودگرایان هر چند را که نتوان صحت سقمش را ثابت کرد نه صحیح است نه سقیم.

بدین ترتیب شهودگرای "قانون طرد شق وسط" وارد می‌کند و بین صحیح یا سقیم شق ثابت "نه صحیح و نه سقیم" را می‌پذیرد. 

بر طبق نظریه ، پایه ریاضیات غایتا بر شهود اولیه قرار دارد که بدون شک بر حس و درک ما از "قبل و بعد" می‌باشد که به ما اجازه می‌دهد که تا یک شی مشخص و منفرد را درک کنیم، و پس ادراک‌های بعدی متوالیا و بی‌پایان انجام می‌گیرد.

ظاهرا درک کانت از اینکه حساب بر مبنای نیروی ذهنی شمارش قرار دارد این است که اعداد وقتی ، و فقط وقتی وجود دارند که به وسیه شمارش در دسترس باشند .

اگر کانت با مجموعه‌ها آشنا بود شاید هم می‌گفت مجموعه‌ها وقتی و فقط وقتی وجود دارند که عضوهای آنها را بتوان شمرد.

بدین ترتیب شهودگرای "قانون طرد شق وسط" وارد می‌کند و بین صحیح یا سقیم شق ثابت "نه صحیح و نه سقیم" را می‌پذیرد.

فلسفه اشراق باید توجه داشت که مفهوم شهود در فلسفه شهودگرایی با شهود فلسفی ، آنگونه که بالاخص در بین فلاسفه استدلالی مرسوم بوده است متفاوت است.

همانگونه که در فلسفه شهودگرایی ریاضی توضیح داده شد.

سابقه شهودگرایی ریاضی به درک کانت فیلسوف آلمانی ، از عدد بر می‌گردد در حالی که فلسفه شهود در مبانی کلی فلسفی که به فلسفه اشراق معروف است به دوره پیش از ارسطو نسبت داده شده است.

یعنی زمانی که فلسفه هنوز به جنبه صرفا استدلالی پیدا نکرده بود و "کشف و شهود ذهنی" هنوز عالی‌ترین راه برای دست‌یافتن به معرفت بوده است.

سهروردی ، فیلسوف ایرانی و شیخ فلسفه اشراق نیز تعریف مشابهی برای حکمت اشراقی ارائه کرده است.

که از تعاریف و عبارتی که سهروردی به کار برده است معلوم می‌شود که فلسفه (حکمت) اشراقی بر استدلال و کشف و شهود هر دو تکیه دارد که یکی از پرورش نیروهای عقلی حاصل می‌شود و دیگری از صفای نفس.

صورتگرایان از صورتگرایان این است که ریاضیات با سیستمهای نماد صوری سروکار دارد در واقع از این دیدگاه ریاضیات عبارت است از گردایه‌ای از چنین سیستم‌های مجردی که مفاهیم آن صرفا نمادهای بی معنی و احکام آن فرمول‌هایی هستند که با این نمادها بیان می‌شوند.

این حوزه فلسفی توسط دیوید هیلبرت درست بعد از اتمام بنداشتی‌کردن هندسه توسط وی پایه‌گذاری شد.

هیلبرت در کتاب مشهور خود ، مبانی هندسه ، که در سال 1899 میلادی به رشته تحریر در آورده است طی روشهای بنداشتی ملموس اقلیدس را به بنداشتهای صوری امروزی تبدیل نمود.

دیدگاه صورتگرایانه زمانی توسط هیلبرت رشد و گسترش یافت که می‌خواست بحرانی را که توسط پارادوکس‌های تئوری مجموعه‌ها بروز کرده و نیز مبارزه‌ای که بوسیله شهودگرایان با ریاضیات کلاسیک شروع شده بود مرتفع سازد.

البته تا کنون اندکی هم از منطق ریاضی گفتهایم .

منطق ریاضی هم "در" ریاضی بحث می کند و هم "درباره ریاضی".

به همین دلیل ما یک فصل را (فصل 3) مستقلا به منطق اختصاص داده ائیم.

همهی علوم (اعم از عقلی و تجربی و نقلی و شهودی) درباره موجودات خاصی (اشیاء انتزاعی، ذهنی ، فیزیکی و....) بحث می کنند.

اما قلسفه ، یا در باره کل موجودات و بلکه خود "وجود" بحث میکند که به آن فلسفه اولی' میگویند و یا درباره یک حقیقت انتزاعی مثل"دین"، "هنر"،" زبان "علم"،" اخلاق"، و .....

که به آن فلسفه های مضاف میگویند.

همانطورکه گفتیم فلسفه اولی عبارت است از دانش مطالعه و بررسی "هستی" و "شناخت" .

"هستی" کلی ترین موضوع ممکن برای مطالعه و بررسی است و بخشی از فلسفه اولی که مشخصا در باب هستی بحث میکند هستی شناسی نام دارد .

هر موضوع دیگری، که در واقع نوع خاصی از هستی است ، موضوع علوم است نه فلسفه .

مثلا "حرکت" موضوع علم مکانیک و "عدد" موضوع علم حساب است.

اما هر عقیدهای درباره هستی مبتنی بر پیش فرضی است در باب"شناخت" و بر عکس.

بنابراین متا فیزیک و معرفت شناسی به عنوان دو بخش عمده ی فلسفه اولی ارتباط وثیقی با هم دارند .

فلسفه اولی خواه ناخواه با فلسفه های مضاف درگیر است.

به هر حال اتخاذ هر موضعی در فلسفه دین یا فلسفه علم یا هر فلسفه دیگری مستلزم رد یا قبول یک یا چند فرض اساسی درباره "جهان هستی" و "شناخت انسان" است.

لذا باید توجه داشت که فلسفه اولی در شناسایی وتعیین این پیش فرضها و مبادی و چهار چوبها نقش تعیین کننده ای دارد.

اگر دین به ما میگوید به چه چیز معتقد باشیم و چه احساساتی داشته باشیم و چه کارهایی انجام دهیم، فلسفه دین به ما میگوید که خود این دین ( اعتقادات و احساسات و اعمال خاص) چیست و تا چه اندازه درست و حتی با معنی است.عناصر یک دین چه چیزهایی است وآیا میتوان این عناصر را بی طرفانه فهمید و پذیرفت؟آیا پذیرش دین برای زیست اخلاقی ضروری است؟چرا بشر به دین احساس نیاز کرده است؟آیا این نیاز همیشگی است؟

پذیرش یا وازنش هر پاسخی به این پرسشها بیواسطه یا باواسطه به مسائل فلسفه اولی مرتبط میشود.

ربط و نسبت فلسفه اخلاق ، فلسفه هنر و ...

نیز با اخلاق، هنر و...از یک سو و فلسفه اولی از سوی دیگر به همین منوال است.

معرفتهای به دست آمده در برخی از این فلسفه های مضاف را معرفتهای مرتبه 2 میگویند؛ زیرا درباره معرفتهای مرتبه 1 ( معرفتهای به دست آمده در علوم) بحث میکنند.مثل فلسفه علوم تجربی، فلسفه منطق، فلسفه ریاضی، فلسفه فلسفه و...

.

یک معرفت مرتبه 1 ، حاوی اطلاعاتی است درباره جهان (ملموس یا انتزاعی) اما معرفت مرتبه 2 اطلاعاتی است درباره اطلاعات مرتبه پایین تر.بحث درباره معرفتهای مرتبه 1 به خاطر آنستکه ما پیش فرضها و مبادی و چهار چوبهای آن معرفتها را تحلیل کنیم ، تا ببینیم اساسا این معرفت مرتبه 1 بر چه پایه ای استوار است؟

و چه فرقی با سایر معرفتها و سایر حقائق انتزاعی مثل دین دارد؟

و از این طریق اطراف و اکناف آن معرفت مرتبه 1 را بشناسیم و در باره آن واجد بصیرتی شویم.

روشن است که اگر یک ریاضی خوان در مرحله مهارت باقی بماند ریاضیدان نمیشود و ما قصد داریم بگوییم که اولا: فهم نسبی و رو به تکامل معرفت ریاضی در یک فرد مبتنی بر بصیرت نسبی و رو به تکامل اوست؛ و ثانیا اگر کسی حتی واجد معرفت ریاضی باشد اما فاقد یک بصیرت کافی باشد هرگز نمیتواند مسئله ای جدید بیافریند یا روش و برهانی انقلابی ارائه دهد.

بصیرت ریاضی در واقع همان شهود ریاضی است.

اندیشمندان گذشته ما مثل ابن سینا به این شهود حدس صائب نیز میگفتند.

حدس صائب یعنی باور به گزاره صادقی که صدق آن برای شخص بقدری روشن است که در آن هیچ تردیدی ندارد لکن هنوز توجیهی همگانی برای این باور خود نیافته است.

البته حدس صائب مختص در ریاضیات نیست و اساسا در هر علم و تکنیکی انسان کم کم به لحاظ هوشی به مرحله ای میرسد که احساس میکند اولا مهارتها و معرفتهای قبلی خود را با کمال وضوح و تمایز درک کرده است و ثانیا ارتباط بین این دانسته ها را نیز به خوبی میداند و ثالثا به باورهای بیسابقهای میرسد که صادق و یقینی اند اما هنوز توجیهی همگانی برای آنها نیافته است و رابعا به مهارتها یا معرفتهای بی سابقه ای دست میابد.

همانطور که ملاحظه میشود خلاقیت ریاضی در سایه بصیرت ریاضی ممکن میشود و فلسفه ریاضی تلاشی است در جهت تقویت این نوع از شهود و بصیرت.

در فلسفه ریاضی ما با مرور سرگذشت این علم و آنالیز سوالات بنیادین و حتی بحران آفرین آن سعی میکنیم که بصیرت ریاضیدانان بزرگ را تجربه کنیم و از این رهگذر علاوه بر عمق بخشیدن به معرفتهای پیشین خود ، به آستانه حدسهای جدید نیز نزدیکتر میشویم.

شاید بشود گفت که فلسفه ریاضی از یک سوال معناشناختی شروع می شود: اینکه «٤=٢+٢ صادق است.» به چه معناست؟

و ناگزیر در پاسخ به این پرسش برخی فرض های متافیزیکی مطرح میشود: مثلاً اینکه اعداد در واقع، اشیاء انتزاعی اند.

و این پاسخ پایان ماجرا نیست.

پرسش بعدی معرفت شناختی است: ما چگونه میتوانیم اشیاء انتزاعی را درک کنیم و همینطور باید به گونهای به این پرسش نیز پاسخ دهیم که اولاً پاسخ معناشناختی و متافیزیکی مارا توجیه کند؛ ثانیاً ناسازگار، پیچیده و مبهم نباشد.

مجموع این سه موضع گیری ، یک بصیرت ریاضی خاص را به ما عرضه می کند و ما در پرتو این بصیرت ریاضی به مسائل فلسفه ریاضی فکر می کنیم.

با نظر برخی افراد موافقت و با نظر برخی دیگر مخالفت می نمائیم و سرانجام مجموع این آراء و دیدگاهها، موجب طرح مکاتب و رویکردهای مختلف فلسفی می شود که از آن جمله می توان به اشراقی گری، عقل گرائی، تجربه گرائی، منطق گرائی، صورت گرائی، شهود گرائی، قرارداد گرائی، نام گرائی و ساختارگرائی اشاره کرد.

بطورخلاصه،فلسفه ریاضی یکی از فلسفههای مضاف میباشدکه دربارهی «معناشناسی،وجودشناسی و معرفت شناسی» علم ریاضی بحث می کند و این بحثها لااقل پنج فایده دارد: 1- یک زبان علمی برای بحث دربارهی ماهیت ریاضی به دست میدهد.

2- فرایند مطالعات ریاضی باز سازی عقلانی می شود.

یعنی مجموعهی پیشفرضها و ایدههای یک ریاضیدان در نظریه پردازی آشکار میگردد.

3- بحران ها و نواقص احتمالی ریاضی کشف میشود و برای آنها راه حل ارائه میگردد.

4- به معرفتهای ریاضی ریاضیدانان عمق میبخشد.

5- بصیرت ریاضی دان برای طرح دیدگاه ها ی جدید افزایش می یابد.

چراهنماییهایی برای حل مساله کار مداوم و باپیگیری برای حل یک مساله ریاضی (اگر مضمونی تازه داشته باشد و در ردیف تمرین‌های ساده پایان درس نباشد) نمی‌توان روش یا روشهای کلی پیدا کرد.

بنابراین، چاره‌ای جز این نداریم که با تکیه بر تجربه زندگی ، آگاهی علمی ، مقایسه و تجزیه و تحلیل راههای گوناگون و در هر حال ، به کارگرفتن اندیشه ، خود و استعداد خود ، مسیر بهینه را بیابیم.

برای حل مساله‌های ریاضی هم باید از همین راه رفت و نباید منتظر "دستورها" و "نسخه‌های شفابخش" بود.

چنین دستورها و نسخه‌هایی که بتوان به یاری آنها ، از عهده حل هر مساله برآمده وجود ندارند.

با همه اینها ، می‌توان، از راهنمایی‌هایی سود برد.

بویژه ، برای کسانی که بطور دایم و مستمر با حل مساله سروکار دارند، این راهنمایی‌ها و توصیه‌ها می‌تواند سودمند باشد.

ضمن برخورد با یک مساله ، به نکته‌ای توجه داشته باشید: اگر با مساله‌ای جدی و ناآشنا روبرو هستید، منتظر موقعیت سریع نباشید، از میدان در نرود و خیلی زود ناامید نشوید.

گاهی برای رسیدن به راه حل درست و منطقی ، لازم است مدتها روی یک مساله کار کنید؛ در آغاز حالنهای خاص و ساده را بررسی کنید، مساله‌های کم و بیش ساده را به یاد آورید و راهها و روشهای گوناگون را بکار بگیرید.

در اینصورت ، اگر هم سرانجام نتوانید مساله را حل کنید، نگران نشوید.

همین که مدتها روی یک مساله اندیشیده‌اید و از جانب‌های مختلف به آن حمله کرده‌اید، می‌تواند در رشد ذهن ریاضی شما تاثیری جدی داشته باشد.

برای شما خیلی سودمندتر از آن است که حل دهها مساله را از روی کتابهای حل مساله ببینید و یا راه‌حل آنها را ، پیش از آن که توان خود را آزموده باشید، از دیگران بپرسید.

برای اینکه در حل مساله‌های ریاضی کارآمد باشید، تا آنجا که ممکن است، عصاها و دستگیره‌هایی ، مثل کتابهای حل مساله و دبیر خصوصی را کنار بگذارید، تلاش کنید، روی پای خودتان بایستید و از ذهن و آگاهی‌های خودتان بهره ببرید.

وقتی با عصا راه بروید و یا همیشه دستتان به "نرده" راهنما باشد، آن وقت با جداشدن از عصا و نرده ، به زمین می‌خورید.

کار گروهی اندیشه آدمی و به ویژه اندیشه علمی ، دربرخورد اندیشه‌های دیگر ، شکل می‌گیرد و تکامل می‌یابد، اندیشه فردی ، هر قدر خلاق و مستعد باشد، اگر در انزوا قرار گیرد، بتدریج فرسوده می‌شود و توان خود را از دست می‌دهد.

و یکی از راههای برخورد اندیشه‌ها ، کار گروهی است.

متاسفانه دانش‌آموزان ، به خاطر رقابت ، از همکاری و همراهی با دیگران دوری می‌گزینند، یاری به دیگران را به زیان خود می‌بیند و ریشه تعاون اجتماعی را می‌خشکاند.

آن که از نظر درسی جلوتر است، مغرور می‌شود.

خود را تافته جدا بافته‌ای تصور می‌کنند و مستقیم یا غیرمستقیم ، همسالان خود با دیده حقارت می‌نگرد؛ و آن که در درسها ضعیف‌تر است، همه جا با بن بست مواجه می‌شود و نه تنها از طرف معلم و پدر و مادر ، که از جانب همسالان خود هم ، آزار روحی می‌بیند.

بنابراین وجود روحیه همکاری و تعاون در بین دانش‌آموزان می‌تواند در پیشرفت درسی آنها موثر باشد.

مثلا وجود تک نابغه‌هایی مثل ابوریحان بیرونی ، برای تکان دادن دنیای خود و برای تندکردن حرکت دانش ، موثر بودند، گرچه حتی ابوریحان بیرونی هم برای کار گروهی و تبادل اندیشه‌های علمی ارزش قایل بود، او با ابن‌سینا مکاتبه داشت و ضمن نامه‌های خود ، در زمینه‌های گوناگون و بویژه فلسفه بحث می‌کرد.

یک مساله و چند راه‌حل یکی از شیوه‌های تقویت نیروی استدلال (و به احتمالی کارآمدترین آنها) تلاش برای پیداکردن راه‌حلهای مختلف یک مساله است.

همیشه به این نکته مهم آموزشی توجه داشته باشیم که اگر تنها یک مساله را بطور کامل و در جهت‌های گوناگون ، برای خودمان تجزیه و تحلیل کنیم، بسیار سودمندتر است از این که با راه‌حل‌های حاضر و آماده دهها مساله آشنا شویم.

وقتی می‌خواهیم مساله‌ای را حل کنیم، بطور طبیعی راه‌حلی را انتخاب می‌کنیم که مناسبتر به نظرمان می‌رسد، یعنی راهی که کوتاه‌تر ، قابل فهم‌تر ، ساده‌تر و در یک کلام زیباتر است.

بازهم طبیعی است، وقتی با مساله‌ای روبرو می‌شویم، اندیشه‌ای را دنبال کنیم که ، بلافاصله و در برخورد اول ، ذهنمان را فرا می‌گیرد و ولو بطور موقت ، سایر راه‌حل‌ها را از نظرمان دور نگاه می‌دارد.

ممکن است این حالت هم پیش آید که قبل از آغاز به حل ، روشهای گوناگونی ، و البته کم و بیش مبهم ، از ذهنتان بگذرد و برای انتخاب یکی از آنها دچار تردید شویم.

ولی در هر حال ، تنها این هدف را دنبال می‌کنیم که مساله را حل کنیم و به جواب برسیم.

حقیقت این است که پیداکردن راه‌حل و جواب یک مساله ، بخشی (و بخش کوچکی) از هدف را تشکیل می‌دهد؛ هدف اصلی ، تسلط بر روش‌های مختلف ریاضی و آزمودن آنها در بوته عمل است.

برای حل مساله ، هیچ روشی را نباید از یاد برد.

آزمودن روشهای مختلف ، درک و معرفت ما را نسبت به کارآیی و قدرت آنها بالا می‌برد و ما را آماده می‌کنند تا در برخورد با موقعیت‌ها و مساله‌های تازه ، دچار تردید و سرگردانی نشویم.

به جز این ، استفاده از روشهای مختلف برای حل یک مساله ، موجب تسلط برآگاهی‌هایی می‌شود که زمانی فرا گرفته‌ایم.

اگر آگاهی‌های ریاضی ، گاه گاه و به مناسبت کاربردی که در حل مساله دارند، تکرار نشوند بیم آن می‌رود، که از یاد بروند و تنها تصوری مبهم از آنها در ذهن باقی بماند.

حل یک مساله با روش‌های مختلف ، در ضمن معرف یکپارچگی ریاضیات است و ما را تابع می‌کند که مفهوم‌ها ، اصل‌ها و قضیه‌های ریاضی بهم پیوسته‌اند و نباید آن‌ها را عنصرهایی مجرد و جدا از هم به حساب آورد.

سرانجام و به احتمالی مهمتر از همه ، جستجوی راه حلهای مختلف ، امکانی سودمند و کارساز ، برای بالا بردن توانایی ما در حل مساله‌های ریاضی (و البته ، نه فقط ریاضی) است.

تجزیه و تحلیل مساله برای جستجوی راه‌حل برای حل یک مساله ساختمانی هندسه ، باید از چهار مرحله گذشت: تجزیه و تحلیل مساله ، رسم شکل ، اثبات و سرانجام بحث در وجود جواب و بررسی آن در حالت‌های مختلف.

در ریاضیات که دانشی قیاسی است، می‌توان "پدیده کل" را حل کامل مساله و بخش‌های جداگانه‌ آن ، نتیجه‌های خاص ناشی از آن دانست.

بنابراین ، منظور ما از "تجزیه و تحلیل" ، این است که مساله را حل شده فرض می‌کنیم و به بررسی نتیجه‌های حاصل از آن می‌پردازیم.

بر اساس همین "تجزیه و تحلیل" سه مرحله از داوری است: فرض می‌کنیم مساله حل شده است.

توجه می‌کنیم با این فرض ، چه نتیجه‌هایی می‌توان به دست آورد.

و سرانجام با توجه به این نتیجه‌گیریها و با تلفیق مناسب آنها ، راه واقعی حل مساله را پیدا می‌کنیم.

نتیجه‌هایی که می‌توان از موقعیت هندسی یک شکل گرفت تجربه نشان می‌دهد که بیشتر اشتباه‌ها ، ضمن حل مساله‌های هندسی فضایی در محاسبه مسطح و حجم چند وجهی‌ها ، ناشی از آن است که موقعیت شکل را بخوبی نمی‌شناسیم و برای پیداکردن رابطه‌های مربوط به این موقعیت ، در می‌مانیم.

یکی از راههای از بین بردن این دشواری ، آن است که مساله‌های هندسی را با موقعیتی خاص در برابر خود بگذاریم و تلاش کنیم، آن چه ممکن است از این موقعیت به عنوان نتیجه بدست آید و همه بستگی‌هایی را که بین جزء‌های مختلف شکل‌ وجود دارد، بدست آوریم و سپس ، درستی آنها را ثابت کنیم.

با بیشتر مساله‌ها ، چه در هندسه روی صفحه و چه در هندسه فضایی ، می‌توان به این گونه عمل کرد.

ولی بویژه در هندسه فضایی ، اهمیت بیشتری دارد.

با بررسی یک مساله ، می‌توان مساله‌های دیگری را نتیجه گرفت.

برای پیداکردن راه‌حلهای مختلف یک مساله ، ناچاریم مساله را از دیدگاههای گوناگون بررسی کنیم، به بستگی آن با دستورها ، قضیه‌ها ، مساله‌ها و گزاره‌های دیگر بیندیشیم و بر تجربه خود در کاربرد آگاهی‌هایی که در ذهن خود ذخیره کرده‌ایم، بیفزاییم.

این راهی است که ما را به "یادگیری فعال" می‌رساند و علاقه ما را به ریاضیات دو چندان می‌کند.

حل یک مساله با روشهای مختلف ، برای زندگی اجتماعی هم ، ارزش زیادی دارد.

به ما می‌آموزد، وقتی در زندگی شخصی یا اجتماعی با مشکلی روبرو می‌شویم، به نخستین راهی که به ذهنمان می‌رسد، تسلیم نشویم و در جستجوی بهترین ، و نه پیش پا افتاده‌ترین راه باشیم.

حتی اگر برخی راه‌حلها ، دشوار و پیچیده از آب درآیند، باز هم سودمندند، چرا که ضمن آنها ، به خیلی از موضوع‌های جنبی پی می‌بریم و در ضمن ، در حل مساله‌های دیگر کارآمدتر می‌شویم.

بالاتر از همه نیروی استدلال منطقی ما (چیزی که هم در ریاضیات و هم در دانشهای دیگر و حتی در زندگی اجتماعی ، ارزش بسیار دارند)، تقویت می‌شود.

روشهای حل مساله ورود به مطلب برای اینکه بتوان مساله‌های تازه ریاضی را حل کرد، قبل از هر چیز ، باید با روش‌های حل مساله آشنا بود.

این روشها ، چندان زیادند که برای تجزیه و تحلیل همه آنها باید صفحه‌های زیادی را سیاه کرد.

کاشانی گفته است: اگر کسی تنها برخی قضیه‌ها و دستورهای ریاضی را بداند و نتواند مساله‌های تازه‌ای که در ریاضیات و یا حالتهای کاربردی آن در برابر او قرار می‌گیرد، حل کند، ریاضیدان نیست.

ریاضیدان کسی است که از عهده حل مساله‌های تازه برآید.

شباهت مساله با مساله‌هایی ساده‌تر مساله‌ای در برابر شماست که راه‌حل آن را نمی‌دانید.

در برابر خود ، این پرسش‌ها را قرار دهید و تلاش کنید، پاسخ آنها را پیدا کنید: آیا این مساله ، حالت یا حالت‌های خاصی دارد؟

آیا مساله‌ای ساده‌تر ، که با این مساله ، شباهت داشته باشد، به یادتان می‌آید؟

آیا می‌توانید با رسم شکلهای مختلف یا با آزمایش عددهای مختلف ، مساله را عینی‌تر و ملموس‌‌تر کنید؟

...

پرسشهایی از این گونه ، می‌تواند شما را با مساله آشناتر کند، به جز آن ، مساله‌های دیگری در برابر شما قرار گیرد که از مساله اصلی ساده‌تر و احتمال حل آنها بیشتر است.

و بعد ، اگر این مساله یا مساله‌های ساده‌تر را حل کردید، از خود بپرسید: آیا می‌توان از همین راه‌حل ، و راه‌حلی شبیه آن ، مساله اصلی را حل کرد؟

در راه‌حل مساله ساده‌تر ، چه تغییری بدهیم تا بتواند برای حل مساله ما مفید باشد؟

و...

البته در پیداکردن مساله‌های مشابه و یا به اصطلاح "شبیه سازی" باید مواظب دام و گمراهی بود و هر شباهتی ما را به نتیجه نمی‌رساند؛ تنها شبیه بودن، نمی‌تواند پایه"ای برای نتیجه‌گیری باشد.

باید به یک نکته اساسی توجه کنیم که در مساله‌های ریاضی ، "شباهت" می‌تواند وسیله و راهنمای ما برای کشف مساله‌های تازه و یا احتمال وجود یک ویژگی در یک شکل یا یک دستور باشد، ولی نمی‌تواند جانشین استدلال شود، در ریاضیات ، برای پذیرفتن یک ویژگی با یک قاعده ، باید وجود و درستی آن ، با استدلال منطقی ثابت شود.

روش برهان خلف "برهان خلف" یکی از روشهای جالب ، برای اثبات قضیه‌ها در جبر و هندسه است.

در برهان خلف ، به جای اینکه درستی یک گزاره را بطور مستقیم ثابت کنیم، راهی غیر مستقیم انتخاب می‌کنیم و ثابت می‌کنیم با نپذیرفتن درستی گزاره ، به نتیجه‌ای نامعقول می‌رسیم.

اصطلاح برهان خلف ، ترجمه‌ای از واژه لاتین Reduction ad absurdum ، به معنای "اثبات از جهت مخالف" یا "اثبات از راه ردکردن حکم مخالف" است.

تا آنجا که می‌دانیم، اقلیدس نخستین کسی بود که از "برهان خلف" در کتاب مشهور خود به نام "مقدمات" استفاده کرد.

او آن را "معمای برهان خلف" می‌نامید.

و درباره آن ، می‌گفت: "گزاره A را می‌توان ثابت شده دانست، وقتی که ، اگر آن را نادرست بدانیم، باز هم درستی A را نتیجه بدهد." و یا "اگر گزاره A را بپذیریم و به تناقض برخورد کنیم، به این معناستن که باید A را بپذیریم." روش ضریبهای نامعین روش استفاده از ضریبهای نامعین ، روش ساده ، در ضمن نیرومند ، برای حل برخی از مساله‌های مربوط به جبر محاسبه‌ای است.

این روش را به تقریب ، می‌توان این طور تعریف کرد: وقتی منظور از حل مساله ، پیدا کردن یک چند جمله‌ای باشد، مساله را حل شده فرض می‌کنیم و چندجمله‌ای مورد نظر را (که با توجه به شروط مساله ، از درجه آن آگاهیم)، با ضریبهای مجهول (نامعین) می‌نویسیم.

سپس با انجام عمل‌های ناشی از شروط مساله ، خود را به دستگاهی از معادله‌ها می‌رسانیم که مجهول آنها ، همان ضریبهای نامعین باشند و سرانجام ، با حل دستگاه (اگر شدنی باشد)، مقدار ضریبها و در نتیجه چند جمله‌ای مورد نظر را پیدا می‌کنیم.

روش ضریبهای نامعین تا حد زیادی ، ما را قانع می‌کند که مساله قابل حل است.

ولی اگر با دستگاههای بزرگ سروکار پیدا کردیم، یا با دستگاهی روبرو شدیم که شامل معادله‌های غیر خطی است.

امکان حل آن در اختیار ما نیست و یا سرانجام ، اگر با محاسبه‌های طولانی و ملال‌آور روبرو شویم، باید در جستجوی راه‌حل دیگری برای مساله باشیم.

روش استقرای ریاضی روش استقرای ریاضی را برای نخستین بار ، بلز پاسکال (1623-1662) فیزیکدان ، فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی در یکی از دنباله‌های خود به کار برد و از آن مورد استفاده بسیاری از ریاضیدانان قرار گرفت.

روش استقرای ریاضی در مساله‌هایی کاربرد دارد که به نحوی با دنباله عددهای طبیعی سروکار داشته باشد.

روش استقرای ریاضی از سه مرحله می‌گذرد: حدس جواب: در برخی حالتها جواب را به ما می‌دهند.

آزمایش جواب: برای کوچکترین عدد طبیعی.

در برخی حالتها ، این کوچکترین مقدار برابر صفر است.

عبور از k به k+1: یعنی فرض کنیم جواب برای هر عدد طبیعی k درست است و ثابت کنیم، در اینصورت برای عدد طبیعی k+1 هم درست است.

روش استقرای ریاضی را روش استقرای کامل هم می‌گویند و یکی از نیرومندترین روشها برای اثبات دستورها و قضیه‌هایی که برای همه عددهای طبیعی درست‌اند، بکار می‌رود.

استفاده از عبارتهای متقارن عبارتهای دوری عبارت جبری شامل n حرف l,m,...,c,b,a را دوری گویند، وقتی که با تبدیل a به b ، b به c ،...، l به m و m به a تغییر نکند.

عبارت xy نسبت به x و y یک عبارت دوری است، زیرا با تبدیل x به y و y به x تغییر نمی‌کند.

همچنین عبارت (z-x)(y-z)(x-y) نسبت به سه حرف x ، y و z دوری است: با تبدیل x به y ، y به z و z به x تغییر نمی‌کند.

عبارتهای متقارن عبارتی را که شامل n حرف است، نسبت به این n حرف متقارن گویند، وقتی که با تبدیل هر دو حرف دلخواه آن به یکدیگر ، تغییر نکند.

عبارت نسبت به x و y متقارن است، زیرا با تبدیل x به y و y به x تغییر نمی‌کند.

ولی عبارت ، نسبت به x و y متقارن است، ولی نسبت به x و y و z متقارن نیست.

ساده‌ترین رابطه‌های متقارن بین ریشه‌ها و ضریبهای یک چندجمله‌ای می‌دانیم معادله به صورت و ، اگر همه ریشه‌ها را (حقیقی و موهومی) به حساب آوریم، دارای n ریشه است، بین ریشه‌ها و ضریبهای معادله می‌توان رابطه‌هایی بدست آورد.

استفاده از تقارن در معادله‌های مثلثاتی فرض می‌کنیم: یعنی f نسبت به sinx و cosx متقارن باشد.

در اینصورت می‌توان معادله f=0 را بر حسب نوشت و در ضمن z و t با برابری به هم مربوطند.

قانونهای پیشرفت ریاضیات دید کلی ریاضیات ، در یک دوره تاریخی و بوسیله یک ملت بوجود نیامد.

بلکه محصول زمان‌های متوالی و نتیجه کار نسل‌های زیادی است.

نخستین مفهوم‌‌ها و حکم‌های ریاضی در دوره‌های خیلی باستانی بوجود آمد و بیش از دو هزار سال پیش بصورت دستگاه استواری درآمد؛ با وجود آنکه ، ضمن عبور از یک دوره به دوره دیگر ، تغییرهایی در ریاضیات بوجود می‌آید، مفهوم‌ها و نتیجه‌گیریهای آن (مثل قانون‌های حساب و قضیه فیثاغورس) به قوت خود باقی می‌ماند.

نظریه‌های تازه شامل موفقیت‌های پیشین هم هست، ولی آنها را دقیق‌تر، کامل‌تر و کلی‌تر می‌کند.