دانلود مقاله مجموعه ها در ریاضی

نوع داده مجموعه

مجموعه ها : متغییر های ساخت یافته ای هستند که حاوی لیستی از اعداد صحیح ، کارکترها و یا مقادیری از نوع شمارشی هستند.

یک مجموعه شبیه آرایه أی است که می تواند گروهی از اعضای ساده را در خود جای دهد .

البته اعضای یک مجموعه شبیه یک آرایه تعریف نمی شود.

تعریف مجموعه ها :

یک مجموعه یا متغیر مجموعه درست همانطور که انواع ساخت یافته دیگر را تعریف می کنیم ، تعریف می شود .

تعاریف :

type

digitset = set of 0..9; (set type of integer elements)

var

odds,Evens,Middle,Mixed:Digitset:         (4sets)

‌نوع مجموعه digitset و چهار متغیر Mixed,Middle,Evens,Odds را تعریف می کنند.

هر متغیر مجموعه از نوع digitset می تواند حاوی اعداد صحیح 0 تا 9 باشد.

اگرچه برای چهار مجموعه حافظه تخصیص داده می شود.

ولی محتویات آنها نامعین است.

برای اینکه بتوانیم با یک مجموع کار کنیم، باید آن را با استفاده از یک انتصاب مجموعه تعیین کنیم.

تعریف نوع مجموعه

شکل استفاده

type

set type= set of base type

مثال :

type

letter set = set of ‘A’ ..

‘z’ :

شرح : شناسه set type از روی مقادیر مشخص شده و در base type تعیین می شود.

یک متغیر که از نوع set type تعریف می شود ، مجموعه أی است که اعضای آن از مقادیر base type انتخاب می شوند.

البته base type باید از نوع ترتیبی باشد.

تذکر : در بیشتر پیاده سازی ها تعداد مقادیر base type از یک مجموعه محدود می شود.

 به همین دلیل می تواند set of char را به عنوان یک مجموعه تعیین کنید.

با وجود این محدودیت نمی توانید از نوع داده Integer به عنوان یک base type استفاده کنید ، اما می توانید زیر بازه های از نوع Integer را تا 128 یا 256 مقدار به کار مقادیری را به دو متغیر مجموعه که در مثال فوق تعریف شده اند ، نسبت  می دهد.

لیستی از مقادیر از نوع اصلی مجموعه هستند که در داخل دو کروشه محصور شده اند.

بعد از این انتسابها مجموعه odds حاوی ارقام فرد 0 تا 9 است و مجموعه Evens حاوی ارقام زوج این بازه است.

می توانیم از این دو مجموعه برای تعیین اینکه یک متغیر دارای ارقام فرد یا زوج است ، استفاده کنیم.

لیترال مجموعه أی [ ‘0’ '9’ ,’+’ ‘-‘ , ‘E’ ‘.’ ] مجموعه أی از کاراکترهاست که می توانند در یک عدد حقیقی وجود داشته باشند.

این مجموعه حاوی 14 عضو است.

در اینجا از نماد زیر بازه "0" ..

"9" استفاده کرده ایم که بهتر از این است که 10 کاراکتر رقمی را به طور جداگانه بنویسیم.

لیترال مجموعه ای

شکل استفاده :

List of elements

[ ‘+’, ‘-‘ , ‘*’ , ‘/’ , ‘<’ ,="" ‘="">’ , ‘=’]

شرح : یک مجموعه به این صورت تعریف می شود که اعضای آن یعنی List of elements در دو کروشه محصور شوند.

اعضای یک مجموعه باید از نوع ترتیبی یکسان باشند و یا از انواع ترتیبی سازگار باشد.

کاماها اعضای List of elements را از هم جدا می کنند.

گروهی از اعضا ممکن است با نماد زیر بازه مشخص شوند.

(یعنی به صورت minavalue.maxvalue باشند که maxvalue , minvale عباراتی از نوع سازگار با هم هستند و minvalue کوچکتر یا مساوی maxvalue است.

انتساب مجموعه

شکل استفاده :

set var: = set expression

Uppercase:= [‘A’..’Z’] (set of uppercase letters)

شرح : متغیر set var به عنوان مجموعه تعیین می شود که اعضای آن توسط set expression مشخص می شوند.

Set expression  ممکن است به تناوب دستکاری دو یا چند مجموعه را با استفاده از عملگر های مجموعه مشخص کند.

نوع اصلیset var و set expression باید باهم سازگار باشند و همه اعضای set expression باید شامل نوع اصلی set var باشند. 

مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد و با یک جفت کروشه یعنی [] مشخص می شود.

برای ایجاد یک مجموعه تهی باید از انتساب به صورت زیر استفاده کرد : Middle :=[ ] مجموعه تهی با مجموعه نامعین فرق دارد.

مجموعه نامعین مجموع أی است که تعریف شده ولی اعضای آن ناشناخته اند.

یک مجموعه مرجع حاوی تمام مقادیر نوع اصلی برای یک نوع مجموعه خاص است.

مجموعه هایی با مقادیر نوع شمارشی می توانیم مجموعه ها را با مقادیر انتخاب شده از نوع داده شمارشی خودمان نیز تعیین کنیم.

عملگرهای مجموعه روی مجموعه ها ممکن است چندین عمل انجام شود.

در این بخش یک عملگر جدید یعنی In را توضیح می دهیم و نشان می دهیم که چطور از عملگرهای مشابه دیگر با مجموعه ها استفاده می کنیم.

آزمون عضویت در مجموعه برای تعیین اینکه یکه مقدار خاص در یک آرایه هست یا نه، از یک پیمانه جستجو استفاده می کنیم.

پاسکال برای تعیین اینکه یک مقدار خاص عضوی از یک مجموعه هست یا نه ، عملگر عضویت در مجموعه یعنی in را فراهم کرده است.

عبارتی با عملگر in یک مقدار پولی را باز می گرداند.

از عملگر in با مجموعه می توانید به جای یک شرط مرکب استفاده کنید.

مثلاً می توانید شرط (ch=’,’) or (ch = ‘?’) or (ch= ‘;’) or (ch=’!’) را به صورت زیر بنویسید: ch in [‘,’ , ‘?’ , ‘;’ , ‘!’] هر دو شرط در صورتی که ch یکی از کاراکترهای مجموعه باشد ، مقدار درست را باز می گردانند.

عملگر عضویت در مجموعه in شکل استفاده : element in [list of elements ] مثال : next ch in ['+' , '-' , ‘*’ , ‘/’ ‘ ,’ ‘’ ‘.’ ] شرح عملگر عضویت در مجموعه یعنی in شرطی توصیف می کند که تا زمانی که element در list of elements وجود دارد با True و در غیر این صورت با False ارزیابی می شود .

نوع داده element باید با اعضای مجموعه سازگار باشد.

اولویت عملگر in با عملگرهای رابطه أی یکسان است.

اجتماع ، اشتراک و تفاضل دو مجموعه اگر مجموعه ها را در ریاضیات مطالعه کرده باشید، می دانید که سه عمل اجتماع ، اشتراک و تفاضل روی مجموعه ها انجام می شود .

هر یک از این اعمال روی دو مجموعه انجام می شوند و نتیجه هر یک از آنها یک مجموعه است.

در پاسکال این اعمال را با استفاده از عملگرهای +(اجتماع) و * (اشتراک) و –(تفاضل) مشخص می کنیم.

اجتماع دو مجموعه (عملگر+) ، مجموعه أی است که اعضای آن یا در مجموعه اول ، یا در مجموعه دوم و یا در هر دو هستند: [1.3.4]+[1.2.4] is [1.2.3.4] [1.3] + [2.4] is [1.2.3.4] [‘a’,’c’,’f’] + [‘b’,’c’,’d’,’f’] is [‘a’,’b’,’c’,d’,’f’] [‘a’,’c’,’f’] + [‘a’,’c’,’d’,’f’] is [‘a’,’c’,’d’,’f’] اشتراک دو مجموعه (عملگرا*) ، مجموعه ای است که اعضای آن در هر دو مجموعه مشترک هستند.

[1.3.4] * [1.2.4] is [1.4] [1.3]*[2.4] is [] [‘a’,’c’,’f’] * [‘b’,c’,’d’,’f’] is [‘c’,’f’] [‘a’,’c’,’f’] * [‘a,’c’,’d’,’f’] is [‘a’,’c’,’f’] تفاضل مجموع a و b (عملگر -) مجموعه ای است که اعضای آن در مجموعه a هستند ولی در مجموعه b نیستند : [1,3,4] – [1,2,4] is [3] [1,3] – [ 2,4] is [1.3] [‘a’,’c’,’f’] – [‘b’,’c’,d’,’f’ ] is [‘a’] [‘a’,’c’,’f’] – [‘b’,’c’,’d’,f’] is [] [‘a’,’c’,’d’,f’] – [‘a’,’c’,’f’] is [‘d’] عملگر ـ خاصیت جابجایی ندارد ، این بدین معنی است که a-b و b-a می توانند مقادیر مختلف داشته باشند.

البته اگر عملگرهای + و * خاصیت جابجایی دارند.

در عبارات پاسکال عملگرهای + و * و – هنگامی که عملوندهایشان از نوع real یا integer هستند ، عملیات محاسباتی را مشخص می کنند و زمانی که عملوندهایشان مجموعه هستند ، اعمال روی مجموعه ها را مشخص می کنند .

وقتی که عملگر بیش از یک مفهوم دارد ، این شرط بار زیاد عملگر نامیده می شود.

اغلب باید یک عضو جدید در یک مجموعه درج شود.

چنین درجی با اجتماع مجموعه موجود و یک مجموعه واحد که فقط حاوی یک عضو است ، انجام می پذیرد.

مجموعه 2 که در زیر آمده است یک مجموعه واحد است : [1,3,4,5] + [2] is [1.2.3.3.5] از خطای متداول فراموش کردن کروشه های اطراف یک مجموعه بپرهیزید.

مثلاً عبارت [1,3,4,5] + 2 {2nd operand is not a set} Avis + Cadillac {2nd operand is not a set} نامعتبر هستند ، چراکه یکی از عملوندها مجموعه است و دیگری ثابت است.

عملگرهای رابطه ای مجموعه عملگرهای رابطه ای >= , , = دو مجموعه را مقایسه می کنند.

دو مجموعه مقایسه شده باید نوع اصلی یکسانی داشته باشند.

نتیجه یک مقایسه یک مقدار بولی است.

عملگرهای =<> آزمایش می کنند که آیا دو مجموعه حاوی اعضای یکسان هستند یا نه : [1,3]= [1,3] is true [1,3] <> [1,3] is false [1,3]= [2,4] is false [1,3] <> [2.4] is true [1,3]= [3,1] is true [1,3] <> [3,1] is false [] = [1] is false [] <> [1] is true ترتیب اعضای نوشته شده در یک مجموعه مهم نیست.

ولی معمولاً اعضای یک مجموعه را از کوچک به بزرگ می نویسند.

عملگرهای رابطه ای >= , مجموعه a زیر مجموعه b است (A [1,3] [1.3] [1,2,3,4] [1,3] [] مجموعه تهی یعنی [] زیر مجموعه هر مجموعه است.

مجموعه a در برگیرنده مجموعه b است (A>=B) در صورتی که هر عضو b عضو a نیز باشد : [1,3] >= [1,2,3,4] is false [1,3] >= [1,3] is true [1,2,3,4] >= [1,3] is true [1,3] >= [] is true [] >= [1,3] is false خواندن و نوشتن مجموعه ها مانند بیشتر ساختمان داده های دیگر ، یک مجموعه نمی تواند یک پارامتر استاندارد رویه های Read یا write باشد.

تک تک داده های ذخیره شده در یک مجموعه باید به صورت منحصر به فرد خوانده شوند و با استفاده از عملگر اجتماع در یک مجموعه که ابتدا خالی است درج شوند.

جدول عملگرهای مجموعه توجه برای چاپ یک مجموعه باید آزمایش کنیم که آیا هر مقدار در نوع اصلی ، یک عضو مجموعه هست یا نه.

فقط مقادیری که اعضای مجموعه هستند.

باید چاپ شوند.

خطاهای متداول برنامه سازی به یاد داشته باشید که یک متغیر مجموعه شبیه هر متغیر دیگری باید قبل از اینکه بتواند دستکاری شود مقدار اولیه داده شود.

این درست نیست که فرض کنیم یک مجموعه در ابتدا تهی است و بدون اینکه به آن مقدار اولیه [] را بدهیم ، پردازش بر روی آن را شروع کنیم.

بسیاری از عملگرهای پاسکال می توانند با مجموعه ها به کار برده شوند.

مفهوم عملگر موقعی که عملوندهای آن به جای عدد ، مجموعه هستند تغییر م کند.

به یاد داشته باشید که هنگام درج یا حذف یک عضو مجموعه ، از یک مجموعه واحد (یک مجموعه تک عضوی) استفاده کنید.

عمل اجتماع در عبارت [‘a’,’e’,’o’,’u’] + ‘I’ {incorrect set union} نادرست است و باید به صورت زیر نوشته شود : [‘a’,’e’,’o’,’u’] + [‘I’] {correct set union} چون یک مجموعه نمی تواند یک عملوند رویه استاندارد Read یا Write باشد ، باید اعضای یک مجموعه را به صورت منحصر به فرد بخوانید و آنها را در یک مجموعه که مقدار اولیه تهی را دارد، با استفاده از عملگر اجتماع مجموعه درج کند.

برای چاپ یک مجموعه باید آزمایش کنید که آیا هر مقدار در نوع اصلی از یک مجموعه ، عضوی از مجموعه هست یا نه ، چرا که فقط آن مقادیر از مجموعه باید چاپ شوند.

عملگرمفهوممثال+اجتماع[‘a’] + [‘b’] is [‘a’,’b’]-تفاضل[‘a’,’b’] – [‘a’] is [‘b’]*اشتراک[‘a’,’b’] * [‘a’] is [‘a’]=تساوی[‘a’,’b’] = [‘b’ , ‘a’] is true<>نامساوی[‘a’,’b’] <> [‘a’] is trueزیر مجموعه[‘a’,’b’] >=در برگیرنده[‘a’,’b’] >= [‘b’] is true