دانلود تحقیق هندسه نا اقلیدسی و انحنای فضا

Word 23 KB 32041 6
مشخص نشده مشخص نشده ریاضیات - آمار
قیمت قدیم:۱۲,۰۰۰ تومان
قیمت: ۷,۶۰۰ تومان
دانلود فایل
  • بخشی از محتوا
  • وضعیت فهرست و منابع
  • مقدمه علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود.

    فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد.

    چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد.

    بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود.

    یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.

    در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند.

    اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید.

    بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

    برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد.

    در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند.

    خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات “اصل توازی” مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد.

    در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد.

    سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت.

    بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

    ۱-۵ اصطلاحات بنیادی ریاضیات طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند.

    این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند.

    بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد.

    حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.

    بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست.

    یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.

    دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد.

    مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند.

    با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.

    بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری.

    ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست.

    این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد.

    این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

    ۲-۵ اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت: اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.

    اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

    اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.

    اصل چهارم - همه ی زوایای قایمه با هم مساوی اند.

    اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

    اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود.

    در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل.

    بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سیوال قرار گیرد.

    زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.

    در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویویی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند.

    اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند.

    دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.

    یانوش بویویی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد.

    پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .

    و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم.

    این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.

    ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند.

    او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست.

    وی در سال ۱۸۲۳ پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال ۱۸۳۱ اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گایوس فرستاد.

    بعد معلوم شد که گایوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.

    بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال ۱۸۲۹ کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بویی منتشر کرده است.

    و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویویی و لباچفسکی ثبت گردید.

    ۳-۵ هندسه های نا اقلیدسی اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟

    هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند.

    از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است.

    اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است.

    در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.

    نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت.

    تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است.

    و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند.

    با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.

    یک - هندسه های هذلولوی هندسه های هذلولوی توسط بویویی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.

    اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

    دو - هندسه های بیضوی در سال ۱۸۵۴ فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزیی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد.

    پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارایه گردید.

    اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.

    یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد.

    با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت.

    این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند.

    در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند.

    بنابراین خط ژیودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.

    در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است.

    در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت.

    همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.

    ۴-۵ انحنای سطح یا انحنای گایوسی اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=۱/r.

    تعریف می کنند.

    همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند.

    به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.

    برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است.

    دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد.

    توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

    برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم.

    فرض کنیم انحنای این دو خط k۱=۱/R۱ and k۲=۱/R۲ باشند.

    آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی : k=۱/R۱R۲ انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است.

    همچنین انحنای استوانه صفر است: k=o برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است : k<> برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است : k>o در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند: ۴-۶ مفهوم و درک شهودی انحنای فضا سیوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟

    پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است.

    بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است.

    یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید.

    سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم.

    اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .

    در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند.

    یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند.

    در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم.

    حال سیوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟

    اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد.

    البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم.

    بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.

    اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟

    طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم.

    بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است.

    اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟

    بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است.

    اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است.

    برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .

    اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است.

    بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست.

    به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.

    نوع هندسهتعداد خطوط موازیمجموع زوایای مثللثنسبت محیط به قطر دایرهاندازه انحنااقلیدسییک۱۸۰عدد پیصفرهذلولویبینهایت> عدد پیمنفیبیضویصفر> ۱۸۰مثبت

  • فهرست:

    ندارد.
     

    منبع:

    ندارد.

هندسه ریمانی و هندسه نا اقلیدسی هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که بررسی خمینه های ریمانی می‌پردازد. یک خمینه ریمانی خمینه ایست که مجهز به یک متریک ریمانی می‌باشد یعنی یک ضرب داخلی در فضای مماس بر هر نقطه خمینه که بطور هموار تغییر می‌کند. هندسه ریمانی در قرن نوزدهم توسط برنهارد ریمان پایه گذاری شد. هندسه ریمانی در نظریه نسبیت عام نقش اساسی دارد. هندسه ریمانی مهمترین ...

اقلیدس ریاضیدان یونانی،پسر نوقطرس بن برنیقس،ریاضیدان و منجم بزرگ تاریخ علم،به سال 323 ق.م متولد شد،وی از تبار فنیقی و نخستین رئیس بخش ریاضیات بود، در زبان یونانی اقلی به معنی کلید و دس به معنای هندسه و اقلیدس به معنای کلید هندسه است،در آن زمان مرگ اسکندر فرا رسید و سردارانش برای کسب قدرت با یکدیگر جنگیدند. بطلمیوس یکی از سرداران اسکندر بود که مصر را گرفت و در آن جا تشکیل حکومت ...

مفهوم فضا « وابستگی انسان به فضا دارای ریشه های عمیق می باشد . این وابستگی از نیاز به درک روابط اجتماعی انسان جهت ثبت مفهوم و حاکمیت بر دنیای حوادث و رویدادها سرچشمه می گیرد . » [1] انسان خود را با محیط وفق می دهد . « بسیاری از حرکات [2] بشر واگر است بدین معنی که اشیاء مورد ارتباط مطابق با چنین روابطی به دوره نزدیک ، بیرونی ، اندورنی ، مفرد ، جمع و پیوسته و گسسته تقسیم گردیده ...

مفهوم فضا « وابستگی انسان به فضا دارای ریشه های عمیق می باشد . این وابستگی از نیاز به درک روابط اجتماعی انسان جهت ثبت مفهوم و حاکمیت بر دنیای حوادث و رویدادها سرچشمه می گیرد . » [1] انسان خود را با محیط وفق می دهد . « بسیاری از حرکات [2] بشر واگر است بدین معنی که اشیاء مورد ارتباط مطابق با چنین روابطی به دوره نزدیک ، بیرونی ، اندورنی ، مفرد ، جمع و پیوسته و گسسته تقسیم گردیده ...

در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالاى فکرى بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و ...

اینشتین دو نظریه دارد. نسبیت خاص را در سن 25 سالگی بوجود آورد و ده سال بعد توانست نسبیت عام را مطرح کند. نسبیت خاص بطور خلاصه تنها نظریه ایست که در سرعتهای بالا (در شرایطی که سرعت در خلال حرکت تغییر نکند--سرعت ثابت) می‌توان به اعداد و محاسباتش اعتماد کرد. جهان ما جوریست که در سرعتهای بالا از قوانین عجیبی پیروی می‌کند که در زندگی ما قابل دیدن نیستند. مثلا وقتی جسمی با سرعت نزدیک ...

اینشتین در نوجوانى علاقه چندانى به تحصیل نداشت. پدرش از خواندن گزارش هایى که آموزگاران درباره پسرش مى فرستادند، رنج مى برد. گزارش ها حاکى از آن بودند که آلبرت شاگردى کندذهن، غیرمعاشرتى و گوشه گیر است. در مدرسه او را ?باباى کند ذهن ? لقب داده بودند. او در ۱۵ سالگى ترک تحصیل کرد، در حالى که بعدها به خاطر تحقیقاتش جایزه نوبل گرفت شاید شما نیز این جملات را خوانده یا شنیده باشید و ...

مقدمه از اوائل قرن بیستم دو نظریه ی بزرگ نسبیت و مکانیک کوانتوم، برای پاسخگویی به مشکلاتی که فیزیک کلاسیک با آنها دست بگریبان بود، پا به عرصه وجود نهادند. جالب این است که هر دو نظریه تقریباً همزمان مطرح شدند و سیر تکاملی خود را طی کردند. نخست نسبیت خاص در سال 1905 تنها در محدوده ی دستگاه های لخت بکار گرفته شد و در سال 1915 تحت عنوان نسبیت عام به دستگاه های شتابدار تسری یافت. ...

تاريخچه هندسه واژه انگليسي Geometry ( هندسه ) از زبان يوناني ريشه گرفته است. اين کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معناي زمين و «متري» به معناي اندازه گيري تشکيل شده است.بنابراين هندسه اندازه گيري زمين است. مصريان اوليه نخستين کساني بودند که اصول هندسه را

تقريبا همه اذعان دارند که از ميان همه فيلسوفان بريتانيايي معاصر،برتراند راسل در سراسر جهان از همه مشهور تر است.اين امر تا حدي ناشي از اين واقعيت است که او تعداد بس معتنابهي کتاب و مقاله در زمينه مباحث اخلاقي ،اجتماعي و سياسي نوشته و منتشر کرده است ک

ثبت سفارش
تعداد
عنوان محصول