دانلود تحقیق پایه ریاضیات نوین

مقدمه :

پایه ریاضیات نوین عدد است. اما عدد چیست؟ اینکه می نویسیم ، و یا 1= (1)(1)، چه معنایی دارد؟ در مدرسه طرز کار کردن با کسرها و عددهای منفی را می آموزیم، اما برای فهم واقعی دستگاه اعداد باید به عقب برگردیم و از عناصر ساده تری شروع کنیم. یونانیان باستان مفاهیم هندسی نقطه و خط را پایه ریاضیات در نظر می گرفتند، اما اصل راهنما در ریاضیات نوین این است که همه گزاره های ریاضی باید سرانجام قابل تحویل به گزاره هایی درباره عدد های طبیعی 1، 2، 3، ... باشند. خداوند اعداد طبیعی را آفرید، مابقی کار انسان است.» لئوپولدرکرونکر[1] (1823-1891) با این بیان، پایه قابل اطمینانی را که ساختمان ریاضیات می تواند روی آن بنا شود، نشان داد.

عدد که ذهن انسان آن را برای شمارش اشیای دسته های گوناگون ابداع کرد،‌ به مشخصات انفرادی چیزهای شمارش شده ارتباطی ندارد. عدد شش از همه مجموعه های واقعی که شامل شش چیزند منتزع شده است، و به هیچ یک از کیفیات خاص  این چیزها یا به نمادهای به کار رفته بستیگی ندارد. خصوصیت انتزاعی مفهوم عدد تنها در مرحله ‌ پیشرفته ای از رشد فکری برای شخص روشن می شود. برای کودکان،‌ عددها همیشه مربوط به چیزهای ملموس و عینی مانند انگشتان دست یا مهره ها هستند،‌ و زبانهای ابتدائی با انتساب مجموعه های گوناگون از نامهای عددی به انواع گوناگون چیزها، مفهومی عینی از عدد را نشان می دهند.

خوشبختانه لازم نیست که ریاضیدان در کارش دغدغه ای درباره جنبه فلسفی گذار از مجموعه های اشیای عینی به مفهوم انتزاعی عدد داشته باشد. بنابراین، ما فرض می کنیم که عددهای طبیعی همراه با دو عمل بنیادی جمع و ضرب برای ترکیب کردن آنها،‌ در دست اند.

بخش 1. محاسبه با عددهای صحیح

1. قانونهای حساب

نظریه ریاضی عددهای طبیعی یا  عددهای مثبت، حساب نامیده می شود. علم حساب مبتنی بر این واقعیت است که قانون های معینی بر جمع و ضرب عددهای صحیح حاکم اند. برای بیان این قانونها به کلیترین صورت، نمی توان از نمادهایی مانند 1، 2، 3 که به اعداد خاصی اشاره دارند استفاده کرد. حکم

1 + 2 = 2 + 1

فقط حالت خاصی از این قانون کلی است که مجموع دو عدد صحیح به ترتیب جمع کردن آنها بستگی ندارد. پس وقتی می خواهیم این مطلب را بیان کنیم که رابطه ای بین اعداد صحیح به طورکلی، نه عددهای صحیح خاصی،‌ برقرار است،‌ اعداد صحیح را به صورت نمادین با حروف a، b، c، ... نشان می دهیم. با این قرارداد، می توانیم پنج قانون بنیادی حساب را که خواننده با آنها آشناست بیان کنیم :

1) a + b = b +a                    2) ab = ba

3) a + (b+c) = (a+b) + c     4) a (bc) = (ab) c

5) a (b + c) = ab + ac

مضمون دو قانون اول، موسوم به قانونهای تعویض پذیری جمع و ضرب،‌ این است که می توان جای عوامل را در جمع و ضرب تعویض کرد. قانون سوم‌، قانون شرکت پذیری جمع، گویای آن است که در جمع سه عدد، خواه مجموع عددهای دوم و سوم را به اولی بیفراییم و خواه عدد سوم را با مجموع اولی و دومی جمع کنیم، حاصل جمع تفاوت نمی کند. قانون چهارم، قانن شرکت پذیری ضرب است. و پنجمین حکم، قانون توزیع پذیری است که می گوید برای ضرب کردن مجموع دو عدد در یک عدد صحیح ، می توانیم هر یک از عوامل مجموع را در آن عدد صحیح ضرب کنیم و حاصلها را با هم جمع نماییم.

این قانونهای حساب بسیار ساده اند، ممکن است بدیهی به نظر برسند. ولی در مورد موجوداتی بجز عددهای صحیح ممکن است صادق نباشند. اگر نمادهای a و b معرف عددهای صحیح نباشند بلکه نماینده مواد شیمیایی باشند، و اگر « جمع» را به معنای محاوره ای اش یعنی «‌روی هم ریختن» به کار ببریم، آشکار است که قانون تعویض پذیری همواره برقرار نیست. مثلاً اگر اسید سولفوریک را روی آب بریزیم،‌ محلول رقیقی حاصل می شود، حال آنکه اگر آب روی اسید سولفوریک خالص ریخته شود ممکن است فاجعه ای برای آزمایشگر پیش آید. با مثالهای مشابهی می توان نشان داد که در این نوع «حساب» شیمیایی، قانونهای شرکت پذیری و توزیع پذیری ممکن است برقرار نباشند. پس می توان انواعی از حساب را تصور کرد که در آنها توزیع پذیری ممکن است برقرار نباشند. در واقع،‌ چنین نظامهایی در ریاضیات نوین مورد مطالعه قرار گرفته اند.

با یک مدل ملموس از مفهم انتزاعی عدد صحیح، می توان مبنای شهودی قانونهای 1)-5) را نشان داد. به جای استفاده از نمادهای عددی معمولی 1، 2، 3، و غیره،‌ عدد صحیحی را که معرف تعداد اشیاء در یک مجموعه مفروض است (مثلاً مجموعه سیبهای روی یک درخت خاص) با چند نقطه در درون یک آرایه مستطیلی نشان می دهیم،‌ هر نقطه برای یک شیء. با عملیاتی روی این مستطیلها می توانیم درستی قوانین حساب عددهای صحیح را تحقیق کنیم. برای جمع کردن دو عدد صحیح a وb، مستطیلهای مربوط به آنها را کنار هم می گذاریم و ضلعهای مرزی بین آنها را حذف می کنیم.

[1]- Leopold Kronecker