دانلود تحقیق آمار و مدل سازی در ریاضیات

آمار و مدلسازی رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از داده‌ها را مطالعه می‌‌کند.

این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد چهار نوع اندازه گیری یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می‌‌شود.

چهار نوع یا سطح اندازه گیری ( ترتیبی، اسمی، بازه ای و نسبی ) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در تحقیقات آماری دارند.

اندازه گیری نسبی در حالی که هم یک مقدار صفر و فاصله بین اندازه های متفاوت تعریف می‌‌شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روش های آماری دارد که می‌‌تواند برای آنالیز داده‌ها استفاده شود.

مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه‌ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار ( مثل اندازه گیری IQ یا اندازه گیری درجه حرارت در مقیاس سلسیوس ) در تحقیقات آماری استفاده می‌‌شود.

آمار را باید علم و عمل استخراج، بسط، و توسعهء دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری، تنظیم، پرورش، و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه گیری و آزمایش) دانست.

زمینه‌های محاسباتی و رایانه‌ای جدیدتری همچون یادگیری ماشینی (Machine learning)، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، (Data mining) در واقع، امتداد و گسترش دانش گسترده و کهن آمار است به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی در همه‌جا.

در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آن‌ها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آن‌ها انجام داد.

بیشتر مردم با کلمه آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار میرود اشنا هستند .

ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست.

آمار عمدتاً با وضعیتهابیی سر و کار دارد که در آنها وقوع یک پیشامد به طور حتمی قابل پیش بینی نیست.

اسنتاجهای آماری غالباً غیر حتمی اند،زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند.

در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی در باره اقتصاد،جمعیت شناسی و اوضاع سیاسی حاکم در یک کشور سر و کار داشت .حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارشهای دولتی که توده ای از آمارو ارقم را در بردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می کنند .اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را در باره آمار دارند که آن را منحصر به ستونهای عددی سرگیجه آور و گاهی یک سری شکلهای مبهوت کننده می دانند .بنابر این یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روشهای جدید آماری از حد ساختن جدولهای اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته اند.

آمار به عنوان یک موضوع علمی،امروزه شامل مفاهیم و روشهایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع آوری داده ها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این داده ها هستند اهمیت بسیار دارند.

آمار علم و عمل توسعه دانش انسانی از طریق استفاده از داده‌های تجربی است.

آمار بر نظریه‌ی آمار مبتنی است که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است.

در نظریه‌ی آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریه احتمال مدل می‌شوند.

عمل آماری، شامل برنامه‌ریزی، جمع‌بندی، و تفسیر مشاهدات غیر قطعی است.

از آنجا که هدف آمار این است که از داده‌های موجود «بهترین» اطلاعات را تولید کند، بعضی مؤلفین آمار را شاخه‌ای از نظریه‌ی تصمیم‌گیری به شمار می‌آورند.

تاریخچه سرآغاز اولیه آمار را باید در شمارش های آماری حوالی آغاز قرن اول میلادی یافت.

اما ،تنها در قرن هجدهم بود که این علم ، با به کار رفتن در توصیف جنبه هایی که شرایط یک وضعیت را مشخص میکردند ، به عنوان رشته ای علمی و مستقل شروع به مطرح شدن کرد.

مفهوم از کلمه لاتینی ،به معنی شرط ، استخراج شده است.

مدت های مدید ، این علم ، محدود به کار در این حوزه بود ، و تنها در دهه های اخیر از این انحصاری جدا شدو ، و به کمک نظریه احتمال ،شروع به بررسی روش های تحلیل داده های آماری و اثبات فرض های آماری کرد.

روش های این آمار ریاضی با آشکار کردن قوانین جدید ، به ابزاری موثر در علوم طبیعی و تکنولوژی تبدیل شد.

جامعه و نمونه جامعه یک بررسی آماری دارای مشاهده ها یا آزمایش هایی تحت شرایطی یکسان ، به عنوان عنصرهای خود است.

هر یک از این عنصرها را میتوان نسبت به مشخصه های متفاوتی بررسی کرد ، که می توانند به عنوان متغیرهای تصادفی XوY ....

در نظر گرفته شوند.

اگر مشخصه تحت بررسی X ، دارای تابع توزیع F در جامعه مربوط باشد ، آنگاه گفته می شود که جامعه مورد بحث دارای توزیع F نسبت به مشخصه X است.

در بررسی های آماری همواره زیر مجموعه ای متناهی از عناصر جامعه مورد تحقیق قرار می گیرد.این زیر مجموعه به نمونه موسوم است ، و n، تعداد عناصر موجود در آن ، اندازه نمونه نامیده می شود.

و همچنین مشود از طریق مدلسازی نمودارآماری آنها را رسم نمود در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی.(یعنی فرض می کنیم فقط یک نوع جمعیت باشد و در آن عوامل تصادفی موثر نیستند.) ما قبل از بیان فرمول مدل جمعیت، مثال زیر را مطرح می کنیم: مثال:متخصصان بر این باورند که زمین های قابل کشت وزرع، حداکثر می تواند غذای 40 میلیارد انسان را تامین کند،در آغاز سال 1990میلادی جمعیت جهان2/5میلیارد نفر تخمین زده شد .

اگر جمعیت با میزان رشد ثابت 2% در سال افزایش یابد،در چه زمانی جمعیت به حداکثر میزان ذکر شده خواهد رسید؟

در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی.(یعنی فرض می کنیم فقط یک نوع جمعیت باشد و در آن عوامل تصادفی موثر نیستند.) ما قبل از بیان فرمول مدل جمعیت، مثال زیر را مطرح می کنیم: مثال:متخصصان بر این باورند که زمین های قابل کشت وزرع، حداکثر می تواند غذای 40 میلیارد انسان را تامین کند،در آغاز سال 1990میلادی جمعیت جهان2/5میلیارد نفر تخمین زده شد .

حل: 2/5 = جمعیت اولیه به میلیارد 02/0 = نرخ رشد= r جمعیت در سال میلیارد جمعیت در سال میلیارد جمعیت بعد ازn سال میلیارد حال قرار می دهیم: وn را با لگاریتم گرفتن از طرفین به دست می آوریم : در نتیجه : یعنی در سال 2093=103+1990 جمعیت به 40 میلیارد نفر می رسد.ما در این مثال، نرخ رشد جمعیت را سال به سال محاسبه کردیم.حال رشد جمعیت را در پایان هر ماه حساب می کنیم،در مثال بالا نرخ رشد در ماه برابر با : می شود.

جمعیت بعد از یک ماه میلیارد جمعیت بعد از دو ماه میلیارد جمعیت در سال 1991= میلیارد جمعیت بعد از n سال = میلیارد جمعیت در سال میلیارد حال اگر جمعیت را روز به روز محاسبه کنیم،نرخ رشد دریک روز برابر با: می شود.

جمعیت بعد از یک سال میلیارد جمعیت بعد ازn سال= میلیارد جمعیت در سال 2093 برابر با : میلیارد می شود.

حال اگر جمعیت را در هر ساعت محاسبه کنیم،نرخ رشد جمعیت در یک ساعت برابراست با: .

جمعیت در سال 2093 برابر است با: اگر جمعیت را در هر ثانیه حساب کنیم،جمعیت در سال 2093 بیش تر می شود و به 799/40میلیارد نفر نزدیک می شود.

برای دیدن علت این امر بهتر است به مطلب زیر توجه کنیم: دنباله ی را در نظرمی گیریم.این دنباله را برای مقدار های مختلف n محاسبه می کنیم: قضیه: موجود است و آن را عدد e می نامیم .

...71828182/2=e حال فرض می کنیم نرخ رشد جمعیتr باشدو جمعیت اولیه را با و جمعیت بعد از t سال را با نشان می دهیم.اگر جمعیت را سال به سال محاسبه کنیم: و و اگر جمعیت را در سال محاسبه کنیم: یعنی بعد ازt سال درصورتی که در هر سال، جمعیت را محاسبه کنیم،جمعیت به دو متغیر t (زمان) و n (تعداد تقسیمات زمان)بستگی دارد.بنابر این با نشان می دهیم: حال اگر n را بزرگ و بزرگ تر کنیم،یعنی محاسبه ی جمعیت را در مدت زمان های کوتاه تری انجام دهیم ،مدل ما به مدل واقعی جمعیت نزدیک و نزدیک تر می شود.یعنی اگر n را به سمت بی نهایت میل دهیم ،جمعیت در هر لحظه محاسبه می شود.این مدل را مدل پیوسته می نامیم و آن را با نشان می دهیم.یعنی: با فرض ،اگر آن گاه .بنابراین .

اما : .

و می توان نشان داد که (توجه : x لزوما" طبیعی نیست) : بنابراین .

یعنی مدل جمعیت پیوسته به صورت زیر است: در این جا r می تواند منفی نیز باشد.یعنی جمعیت یک کشور،سرمایه و...

می تواند نزول کند.زمانی که r مثبت باشد، مدل را مدل رشد و زمانی که r منفی باشد ، مدل زوال گوییم.

مجددا" به محاسبه ی جمعیت در مثال ذکر شده در سال 2093 می پردازیم: میلیارد نفر بنابراین : میلیارد نفر .

بنابراین اولین محاسبه که سال 2093 به عنوان سالی است که کره ی زمین جایی برای زیستن ندارد، صحیح نیست.

این سال را می توان به صورت زیر محاسبه کرد: میلیارد نفر و از آن جا : .

یعنی سال موعود با توجه به رابطه ی : 2092=102+1990، سال 2092است.

منبع:مجله ی گنجینه شماره ی 33 ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد