دانلود تحقیق کلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

1-مقدمه یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (یا نسبی) برای یک تابع رابطه‌ای است که بین تابع مجهول u و متغیرهای مستقل آن (به تعداد متنابهی) و مشتقات جزئی تابع u نسبت به متغیرهای مستقل آن برقرار می‌باشد.

تابع u را جوابی برای معادله دیفرانسیل فوق مینامیم هرگاه پس لز جایگزینی u(x,y,...) و مشتقات جزئی آن، این معادله دیفرانسیل نسبت به متغیرهای مستقل مذکور، درناحیه ای از فضای این متغیرهای مستقل تبدیل به یک اتحاد شود.

مرتبه یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بالاترین مرتبه مشتقات موجود در آن معادله است.

مثلاً uuxy+uyux=f(x,y) یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است.

در اینجا و و یک معادلعه دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی[1] گوئین هرگاه این معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل هستند، خطی باشد.

یک معادله با مشتقات جرئی از مرتبه m را شبه خطی[2] گوئیم هرگاه این معادله نسبت به مشتقات جزئی مرتبه mام تابع مجهول، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل u و مشتقات از مرتبه کمتر از m هستند، خطی باشد (مانند مثال بالا) یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی یک حالت خاص معادله شبه خطی است.

2- معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت به عنوان گام نخست معادلع دیفرانسیل (2-1) aux+buy+cu=f(xy) را درنظر می‌گیریم، که در آن تابع f داده شده و ضرایب ثابت‌اند.

سعی می‌کنیم با تغییر متغیرهای ساده مانند (2-2) x=ay+a1 و y=by+b1 معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (2-1) را به معادله دیفرانسیل )uy+cu=f(ay+a1 , by +b1 تبدیل کنیم که مانند یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت نسبت به متغیر مستقل y حل می‌شود، منتها ثابت انتگرالگیری تابع دلخواهی از خواهد بود.

بعد از حل بجای y و برحسب x و y جانشین می‌کنیم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه این کار آنست که دترمیبنال ضرایب تغییر متغیرهای (2-C) غیرصفر باشد، سعنی مستقل بودن این متغیرها تضمین شود (این دترمینال ژاکوبی تغییر متغیرها است) مثال ا قضیه زیر یک روش حل معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی را پیش روی ما میگذارد که فعلاً از بیان آن خودداری می‌کنیم.

قضیه 1 جولب عمومی معادلع دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی (2-3) P(x,y,u)ux+Q(x,y,u)uy=R(x,y,u) به صورت W=F(v) است که در آن F تابعی دلخواه است و V(x,y,u)=c1و W(x,y,u) جواب عمومی در معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول (2-4) میباشد.

مثال 2: جواب عمومی معادله uux+yuy=x را بیابید حل دستگاه دو معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول از روابط بدست می‌آیند مثال 1.

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی زیر را حل کنید.

حل.

ابتدا با تغییر متغیرهای و معادله دیفرانسیل فوق را تبدیل می‌کنیم به صورت اکنون یک دستگاه تغییر متغیرهای دیگری بکار می بریم به صورت و که در آن ثابت فرض می‌شود، تا اینکه متغیرهای s و t مستقل باشند.

از اینجا نتیجه می‌شود که در آن تابع دلخواه ولی مشتق پذیر است.

در حالت خاص داریم 3.طبقه بندی معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی[3] در این بخش خانواده معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی با دو متغیر مستقل بصورت (3-1) را درنظر می‌گیریم که در آن تنها توابعی از x و y فرض می‌شوند.

این معادله را در نقطه از نوع هذلولیگون[4]، سهمیگون[5]، و یا بیضیگون[6] گوئیم هرگاه عبارت به ترتیب مثبت، صفر، و یا منفی باشد.

معادله (3-1) را در یک ناحیه از صفحه xy از نوع هذلولیگون، سهمیگرون، و یا بیضیگون گ.ئیم هرگاه عبارت مذکور در سراسر آن ناحیه به ترتیب مثب، صفر، و یا منفی باشد.

اکنون تبدیل مختصات به صورت و را به قسمی جستجو می‌کنیم که معادله دیفرانسیل (3-1) را ساده تر نموده و در صورت امکان به طور صریح حل پذیر نماید.

فرض می کنیم تین تبدیل دارای عکس بوده و توابع و دارای مشتقات جرئی پیوسته تا مرتبه دوم باشند.

در این صورت و و اگر این عبارات را در (3-1) جانشین کنیم، معادله دیفرانسیل به صورت (3-2) به دست می آید که در آن و F* تابعی از و و نیست، اگر معادله دیفرانسیل (3-1) خطی باشد، آنگاه معادله دیفرانسیل (3-2) نیز خطی خواهد بود.

اگر بتوان مختصات جدید را طوری انتخاب نمود که صفر شود، آنگاه معادله جدید (3-2) ساده تر خواهد شد.

در این رابطه لم زیر را بیان می‌کنیم و اثبات آنرا به خاطر سادگی به خواننده واگذار می‌کنیم.

لم.

معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول (3-3) دارای جوابی به صورت است و اگر و تنها اگر کعادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول (3-4) جوابی به صورت (منحنی‌های تراز رویه ) داشته باشد، که در آن C ثابت دلخواه است.

معادله دیفرانسیل (3-4) را معادله مشخصه (یا سرشت نمای) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (3-1) گویند، و هر جواب آنرا یک مشخصه معادله (3-1) مینامنداز (3-4) دو معادله حاصل می‌شود به سهولت می توان درستی تساوی زیر را نشان داد.

که از آن تغییرناپذیری نوع معادله (3-1) در اثر تبدیل مختصات فوق به وضوح دیده یم شود.

همچنین در نقاط متفاوت ناحیه تعریف معادله 03-1)، این معادله ممکن است از انواع مختلف باشد.

حال یک ناحیه G از صفحه را اختیار می‌کنیم که در تمام نقاط آن معادله (3-1) از یک نوع باشد و درون G را ناتهی فرض می‌نمائیم.

از هر نقطه ناحیه درون G دو مشخصه عبور می‌کند که برای یک معادله دیفرانسیل از نوع هذلولیگون، این دو حقیقی و تمایزاند، برای نوع سهمیگون.

این دو حقیقی و یکسان اند و برای نوع بیضیگون موهومی و متمایزاند.

هریک از حالات فوق را جداگانه مورد بررسی قرار میدهیم.

الف) برای معادله دیفرانسیل نوع هذلولیگون (حالت )، عبارات سمت راست معادلات (3-5) حقیقی و متمایزاند.

جوابهای (انتگرالهای) عمومی و از این معادلات یک مجموعه حقیقی از مشخصه‌ها را تعیین می‌نماید.

در حالتی که و همزمان صفر نباشد قرار می‌دهیم و معادله دیفرانسیل (3-2) اکنون با تقسیم طرفین بر ضریب که غیر صفر است (چرا؟) به صورت زیر درمی‌آید (3-6) که فرم کانوئیک یک معادله از نوع هذلولیگو نامیده می‌شود.

اگر ضرایب و همزمان صفر باشند، آنگاه از ابتدا فرم کانونیک را داریم (ب) برای معادله‌ای از نوع سهمیگون (حالت ) معادلات (3-5) یکسان‌اند و تنها ک جواب (انتگرال) عموم یکتا از این معادلات به صورت بدست می‌آید.

در این حالت قرار میدهیم و سپس را به دلخواه طوری اختیار می‌کنیم که مستقل از بوده، اما به اندازه کافی هموار باشد چون: ، با این انتخاب متغیرهای جدید خواهیم داشت: (تحقیق کنید).

با تقسیم طرفین (3-2) بر ضریب که غیر صفر است (چرا؟)، فرم کانوئیک برای یک معادله از نوع سهمیگون به صورت (3-7) بدست می آید.

بویژه اگر در این معادله ظاهر نشود، می‌توان آنرا مانند یک معادله دیفرانسیلی معمول حل نمود.

(پ) برای معادله‌ای از نوع بیضیگون (حالت ) عبارات سمت راست (3-5) مقادیر مختلف متمایز مزدوج یگدیگراند، بنابراین اگر ،‌آنگاه که در آن مزدوج مختلط است.

برای پرهیز از محاسبات با توابه مختلط، متغیرهای جدید حقیقی و را به صورت و معرفی میکنیم.

که در این صورت .

لذا چون از اینجا نتیجه می‌شود که قسمتهای حقیقی و موهومی سمت چپ رابطه اخیر هر دو باید صفر باشند.

بنابراین نسبت به متغیرهای جدیدتر – مستقل - و داریم چون (چرا؟)، پس از تقسیم طرفین معادله (3-2) (البته نسبت به متغیرهای جدیدتر و ) بر ضریب ، این معادله دیفرانسیل به صورت زیر درمی‌آید مثال 1 معادله دیفرانسیل را درنظر می‌گیریم.

رابطه نشان می‌دهد که معادله دیفرانسیل در ربع اول و سوم صفحه xy از نوع هذلولیگول و در ربع دوم و چهارم از نوع بیضیگون است که در آن محورها را از هر ربع صفحه حذف نموده‌ایم.

حالت سهمیگون تنها روی محورهای مختصات پیش می‌آید که مورد توجه نیست زیرا محورها یک ناحیه دوبعدی را در صفحه تشکیل نمی‌دهد.

از معادله مشخصه بدست می‌آوریم ، یعنی در ربع اول .

پس دو خانواده مشخصه‌ها عبارتند از: که در آن و ثابتهای اختیاری‌اند.

بنابراین متغیرهای جدید را می‌توان به صورت و در ربع اول انتخاب نمود.بدست اوردن فرم کانونیک معادله دیفرانسیل با این تغییر متغیرها به خواننده واگذار می ود برای بدست آوردن فرم کانونیک در ربع دوم، معادله مشخصه را به صورت زیر درمی‌آوریم.

، یعنی لذا دو دسته مشخصه‌ها عبارتند از: پس متغیرهای جدید حقیقی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

با این تغییر متغیرها معادله دیفرانسیل به صورت جدید زیر درمی‌آید (تحقیق کنید) مثال 2 معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم خطی از نوع سهمیگون است زیرا پس معادلع دیفرانسیل مشخصه به صورت درمی‌آید، و تنها یک دسته مشخصه را داریم.

همانطور که گفته شد باید متغیرهای جدید به صورت و تابع دلخواه از x و y انتخاب شوند به قسمی که مستقل از هم باشند.

با محاسباتی نظیر بالا اگر قرار دهیم ، آنگاه شرط مستقل بودن توابع و برقرار بوده و در این صورت با دو بار تابع اولیه گرفتن از ان رابطه نسبت به مقدار و سپس مقدار u(x,y) تعیین می‌شود.

تمرینات فصل 1 1.

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی را حل کنید، (الف) با استفاده از قضیه بخش 2، (ب) با استفاده از تغییر متغیرهای و و تبدیل معادله دیفرانسیل به معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت و سپس حل آن 2.

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول را حل کنید، (الف) با استفاده از قضیه بخش 2، (ب) با استفاده از تغییر متغیرهای و و تبدیل معادله دیفرانسیل به معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت و سپس حل آن 3.

به ازای چه مقادیری از x و y هر یک از معادلات زیر از نوع هذلیگون، سهمیگون و یا بیضیگون هستند؟

صورت کنونیک هر یک را تعیین نمائید.

الف) ب) 4.

معادلات زیر را حل کنید الف) ب) پ) 5.

نشان دهید که با جایگزینی ، معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم به صورت درمی‌آید.

مثال 3 فرض کنید در هر نقطه یک خمدر صفحه XY، مقادیر u و ux و uy معلوم باشند، که در آن u جوابی از معدله دیفرانسیل مرتبه دوم نیمه خطی است.

تعیین نمائید در چه شرایطی مشتقات مرتبه دوم uxx و uxy و uyy را می‌توان در نقاط محاسبه نمود و در چه شرایطی نمی‌توان حل، فرض کنیم خم دارای معادله باشد که در آن S پارامتر خم و طول قوس خم از ابتدای آن است.

همچنین معالدله خم را مشتق پذیر فرض می‌کنیم چون ux و uy در امتداد خم معلوم هستند، مشتق این توابع در امتداد خم موجود فرض می‌کنیم.

در این صورت طرفهای راست روابط معلوم‌اند.

برای اینکه بتوان و را محاسبه نمود، لازم و کافی است که دترمینال ضرایب دستگاه سه معادله با سه مجهول مخالف صفر باشد: و این به معنی آنست که معادلات خم از منحنی های مشخصه نباشد.

فصل دوم معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه د وم خطی هذلولیگون (با دو متغیر مستقل) 4-معادله موج یک بعدی در ضمیمه I معادله دیفراتنسیل موج یک بعدی به صورت (4-1) استخراج گردیده است که حرکت یک تارکشان یکنواخت با چگالی جرمی ثابت و نیروی کشش تار ثابت در یک صفحه قائم را نمایش میدهد، که در آن ، و F نیروی خارجی وارد بر سیستم است.

با مقایسه(8-1) یا (3-1) دیده‌می‌شود که ،‌و .

لذا معادله دیفرانسیل (4-1) از نوع هذلولیگون است.

معادله مشخصه آن عبارتست از و دو خانواده خطوط (یا منحنی‌های) مشخصه به صورت و میباشند.

لذا برای ساده تر شدن (رسیدن به فرم کانونیک) و یا حل معادله (8-1) می‌توان از تغییر متغیرهای و استفاده نمود.

بنابر قاعده زنجیری داریم و لذا از (8-1) نتیجه می‌شود.

(4-2) که در آن ، اگر مستقل از و باشد، آنگاه فط تابعی از و خواهد بود.

در اینصورت با دو بار تابع اولیه گرفتن از (4-2) یکبار نسبت به و یکبار نسبت به جواب عمومی معادله دیفرانسیل (4-2) و از آنجا جواب عمومی معادله دیفرانسیل بدست می‌آید.

اینک معادله دیفرانسیل (4-1) بدون دخالت نیروی خارجی ، یعنی در حالت همگن را درنظر گرفته و سه مسئله در مورد آن، اولی برروی یک خط حقیقی، دومی بر یک نیم خط، و سومی بر یک قطعه خط مطرح مینمائیم.

الف) مسئله مقدار اولیه موج یک بعدی را برروی خط درنظر می‌گیریم.

بنا بر (4-1) و (4-2) از معادله دیفرانسیل (4-3) نتیجه می‌شود که در آن p و q توابع مشتقپذیرد دلخواهی هستند.

بنابراین اگر قرار است که u جوابی از معادله دیفرانسیل موج یک بعدی همگن (4-3) باشد باید (4-4) که جواب عمومی معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی و همگن در 04-3) است.

این جواب اولین بار بوسیله دالامبر در 1747 بدست‌آمد.

اگر زمان t را به عنوان یک پارامتر درنظر بگیریم، تبدیل یک انتقال دستگاه مختصات لحظه صفر را به طرف چپ به اندازه at نشان می‌دهد.

چون این انتقال متناسب با زمان است، یک نقطه ثابت به طرف چپ با سرعت a حرکت می کند.

یعنی جوابی به صورت یک موج را نشان می‌دهد که بدون تغییر شکل خود با سرعت –a حرکت می‌کند.

به همین ترتیب موجی را نشان می‌دهد که بدون تغییر شکل خود با سرعت +a تغییر مکان می‌دهد (در رابطه (5) ضمیمه I ذکر گردیده است که بُعد فیزیکی a همان بعد سرعت است).

تساوی (4-4) بیان می‌کند که هر جواب معادله دیفرانسیل (4-3) به صورت مجموع یک موج حرکت کننده به طرف چپ با سرعت –a و یک موج حرکت کننده به طرف راست با سرعت +a است.

این امواج را امواج متحرک می‌نامند.

برای اینکه مسئله مقدار اولیه (4-3) را حل کنیم باید توابع مناسب p و q را بیابیم به قسمی که (4-4) در شرایط تولیه مسئله (4-3) نیز صدق کند.

(4-5) و با مشتقگیری از معادله سمت چپ، ضرب نتیجه در a، و جمع حاصل آن با معادله سمت راست خواهیم داشت .

از رابطه اخیر نسبت به x از تا انتگرال می‌گیریم که در آن k یک ثابت انتگرالگیری است.

با قرار دادن از معادله N سمت چپ (4-5) داریم بنابراین با استفاده از دو رابطه اخیر، رابطه (4-4) به صورت زیر درمی‌آید (4-6) که جواب مسئله (4-3) میباشد.

دستور (4-6) فرمول دالامبر برای جواب مسئله مقدار اولیه موج یک بعدی برروی خط حقیقی نامیده می‌شود.

(ب) مسئله مقدار اولیه – کرانه‌ای (یا مرزی) موج یک بعدی بر یک نیم خط (4-7) (شرایط اولیه) را درنظر می‌گیریم.

را درنظر می‌گیریم.

رابطه (4-6) که با استفاده از معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه به دست آمده میتواند کاندید جواب مسئله (4-7) نیز باشد به شرط آنکه این کاندید در شرط کرانه‌ای (یا مرزی) مسئله (4-7) نیز صدق کند و این مسئله به طور فرضی از نظر ریاضی به نحو مناسبی توسعه داده شود تا (4-6) به ازای همه و معین باشد.

با بکارگرفتن شرایط کرانه‌ای (یا مرزی) مسئله (4-7) در کاندید (4-6) داریم: (4-8) از اینجا نحوه توسعه فرضی مناسب مسئله (4-7) نیز مشخص می‌شود.

چون توابع و به ازای متغیر منفی تعریغ نشده‌اند، لذا کافی است کروشه و انتگرال هرکدام در (4-8) صفر قرار داده شوند یعنی کافی است تعاریف و داده شود در صورت مسئله به صورت فرد توسعه یابند.

(4-9) با چنین توسعه‌ای از تعاریف توابع و ، فرمول (4-6) جواب مسئله (4-7) خواهد بود.

یا به عبارت دیگر (پ) حال مسئله مقدار اولیه – کرانه‌ای (یا مرزی) موج یک بعدی بر یک قطعه خط را درنظر میگیریم.

(4-11) شرایط اولیه شرایط کرانه‌ای (یا مرزی) که در آن L و a ثابت مثبت هستند.

برای اینکه شرایط اولیه و کرانه‌ای سازگار باشند، باید ، ، ، همه صفر باشند.

دستور دالامبر (4-6) که با استفاده از معادله دیفرانسیل خطی و همگن و شرایط اولیه بدست آمده هنوز هم می‌تواند کاندید جواب مسئله (4-!1) باشد، و در حقیقت (4-6) به ازای (4-12) جواب مسئله (4-11) می‌باشد، زیرا در این مسئله توابع و فقط به ازای تعریف شده‌اند.

بنابراین دستور دالامبر در داخل ناحیه مثلثی (4-12) (شکل) (در صفحه xt)، جواب u(x,t) مسئله (4-11) را به صورت یکتا به وسیله داده های شرایط اولیه f(x) و g(x) به ما می‌دهد و مستقل از شرایط مرزی است.

به سادگی دیده می شود که (4-6) در معادله دیفرانسیل موج یک بعدی صدق می‌کند اگر و تنها اگر f دوبار و g یکبار مشتق‌پذیر باشند.

تحت این فرضها شرایط اولیه نیز برقرار می‌شوند.

اینک باید جواب مسئله (4-11) را در خارج ناحیه مثلثی فوق نیز مشخص نمود.

اینک ظاهراً دو مشکل در مقابل ما وجود دارد: یکی اینکه شرایط اولیه داده شده در خارج بازه معین نیستند، و دیگر اینکه جواب دالامبر (4-6) فعلاً فقط در ناحیه (4-12) معتبر است.

این دو مشکل را با کمک شرایط مرزی داده شده (در مسئله 4-11) به طور هم زمان حل می کنیم (مشابه حالت (ب)): مشابه حالت (ب) این روابط به ما می‌گویند که چگونه باید مسئله (4-11) را به نحو مناسبی، به طور فرضی، توسعه دهیم تا جواب (4-6) بدست آمده از معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه، خودبخود در شرایط مرزی (یا کرانه‌ای) مسئله (4-11) نیز صذق کنند.

اکنون شرایط کرانه ای (یا مرزی) را در و به کار می‌بریم.

برای برقراری (4-13) لازم و کاغی است کروشه و انتگرال مستقلاً صفر باشند، یعنی این نتایج باعث می‌شوند که f(x) و g(x)، که به ازای متغیر منفی نامعین بودند، اکنون تعریف شوند، درحقیقت تعاریف این توابع به صورت فرد (نسبت به ) به بازه توسعه می‌یابد.

به طور مثال برای برقراری (4-14) لازم و کافی است که کروشه و انتگرال، هرکدام مستقلاً صفر باشند.

(4-16) یعنی تعاریف توابع f و g به صورت فرد، نسبت به نقطه x=L نیز توسعه پیدا کند، و بنابراین تعریف توابع f و g تا اینجا در بازه L]3 و [-L مشخص می‌شود.

سپس بار دیگر از (4-15)، یعنی توسعه فرد f نسبت به استفاده می‌کنیم تا تعریف f و g در باره L]3 و [-L مشخص شود، و بازهم (به کمک (4-16)) به توسعه فرد تعریف دو تابع مذکور نسبت به L می‌پردازیم، که تعارف دو تابع در بازه L]5 و L3-[ بدست می‌آید.

اگر این روند توسعه تعاریف توابع f و g را مکرراً نسبت به , ادامه دهیم به تکمیل توابع مذکور برروی خط حقیقی خواهیم رسید.

با این توسعه تعاریف f و g، این دو تابع به صورت متناوب با دوره تناوب L2 درمی‌آیند و به طور مشابه .

همچنین انتگرال تابع g در یکدوره تناوب L2 صفر است برعکس تابعی که نسبت به (مول) فرد بوده و متناوب با دوره تناوب L2، آنگاه خودبخود این تابع نسبت به (حول) x=L فرد است زیرا با توجه به (4-6) به روشنی دیده می شود که تابع u دارای مشتقات نسبی مرتبه اول ودوم پیوسته است و در معادله موج صدق می‌کند هرگاه تابع f آنگونه که توسعه و گسترش یافته، پیوسته بوده و مشتقات تا مرتبه دوم پیوسته داشته و g نیز به صورتی که توسعه یافته پیوسته بوده و مشتق اول پیوسته داشته باشد.

از (4-15) می‌توان دریافت که اگر بخواهیم تابه توسعه یافته در پیوسته باشد باید داشته باشیم .

همین طور باید داشته باشیم .

برای اینکه تابع پیوسته بوده ودوبار مشتق پیوسته داشته باشد، تابع توسعه یافته g پیوسته بوده و مشتق پیوسته داشته باشد، لازم و کافی است که اولاً این شرایط به ازای برقرار باشند، ثانیاً و g به ازای پیوسته باشند، ثالثاً مشتقات یکطرفه و همچنین، و و موجود باشند، و رابعاً تحت این چهار شرط اکنون نشان داده ایم که مساله (4-11) دارای جواب یکتاست که با (4-6) نشان داده می شود.

متذکر می شویم که تغییر کوچکی در توابع داده شده و ، در هر ف6اصله زمانی ، یک تغییر کوچک در جواب ، تیجاد می نماید.

بنابراین جواب بستگی پیوسته به شرایط اولیه مسئله دارد.

اغلب از نظر فیزیکی لازم است که به یک حالت حدی (4-6) نیز توجه شود که در آن پیوسته اما نه لزوما دارای مشتق پیوسته است، یا فقط تکه ای پیوسته می باشد .

تابع هنوز در روابط صدق می کند.

این حالت حدی رابطه (4-6) را می توان به صورت حد یک دنباله همگرای یکنواخت از توابعی نشان داد که در معادله موج صدق کرده و روابط را برقرار می نمایند، که در آن و دارای مشتقات پیوسته بوده و همگرای یکنواخت به سمت ، و نیز همگرای یکنواخت می باشد.

تابع در این صورت جواب نعمیم یافته مساله(4-11) نامیده می شود، و اگر چه ممکن است در برخی نقاط در معادله دیفرانسیل (4-11) صدق نکند، اما در معادلات انتگرال (4-6) و مانند آن صدق می نماید.

مثال 1: فرض کنیم و این شرایط اولیه مربوط به کشیدن تار در نقطه و رها کردن ناگهانی آن در لحظه می باشد این یک حد ایده آلی مساله ای است که در آن یک نیروی تعریف شده به ازای واحد طول در هر نقطه در یک بازه کوچک شامل نقطه اعمال می شود تا کشیدن تار را قبل از رابطه رها کردن در لحظه اولیه انجام دهد (4-6) در می یابیم که که در آن همان تابع اولیه است که به صورت فرد و متناوب با دوره تناوب گسترش یافته است.

یعنی اگر به ازای هر مفروض، عدد درست را با تعریف کنیم، برای توسعه یافته داریم .

جواب را می توان با این بیان توضیح داد: در هر لحظه ثابتی یک تابع پیوسته به طور تکه ای خطی نسبت به متغیر می باشد شکل (8-ب) که تنها روی خطوط شکسته می شود شکل (8-الف) به طوری که در ابندای بخش 4 گفته شد ثابت در اینجا برابر می باشد که نیروی کشش تار و جرم مخصوص تار ثابت اند.

(8-الف) به قسمی که ذوزنقه قائم بر صفحه به نحوی که دو راس قاعده فوقانی ذوزنقه شکل (8-ب) به روی خطوط نقطه چین مقابل هم شکل (8-الف) تصویر می شوند به قسمی که ذوزنقه قائم بر صفحه و موازی صفحه بوده و در جهت محور حرکت می کند و به ازای یک فرمان ثابت در بازه تار به صورت شکل (8-ب) ظاهر می شود.

نقاط ناپیوستگی در مشتق در جهت های مخالف با سرعت حرکت می کنند.

در لحظه آنها به کرانه ها برخورد می نمایند و سشپس ضمن تغییر علامت باز می گردند.

( توجه کنید که به ازای تابع متحد با صفر است شکل (8-الف) و در لحظه ناپیوستگی ها در وسط تار به هم می رسند).

مثال 2.

فرض کنید در این صورت مقدار را محاسبه کنید.

حل: بنابر (4-6) داریم.

که در آن تابع فرد نسبت به نقاط و است و تابعی متناوب با دوره تناوب می باشد، از این ویژگی ها در محاسبه زیر استفاده شده است.

مثال 3.

فرض کنید و ( و دو عدد متناهی اند) و در این صورت جواب مسئله مقدار اولیه موج یک بعدی، بدون وجود نیروی خارجی (یعنی ) به صورت زیر در می آید که در آن یکی از تابع اولیه های تابع است و تابع نیز به صورت مجموع دو موج می باشد.

اگر تعریف کنیم و به خصوص برای ساده تر شدن محاسبات اگر قرار دهیم ، آنگاه برای این که را بیابیم باید تفاضل دو موج چپ رونده و راست رونده را که از حاصل می شوند تشکیل دهیم، همانگونه که دستور (فرمول) بالا نشان می دهد،‌شکل (9-ب) موقعیت دو موج و و مجموع آنها را در چهار لحظه نشان می دهد.

فاصله هر دو لحظه متوالی است.

به ازای شکل جواب به صورت ذوزنقه ای می باشد که با زمان توسعه می یابد و ارتفاع می گیرد.

در لحظه جواب مسئله به صورن یک مثلث شده و از آن به بعد به صورت ذوزنقه ای است که با ارتفاع ثابت به طور یکنواخت با زمان به اطراف توسعه می یابد.

مثال 4.

یک تار نیمه نامتناهی ابتدا در حالت سکون در یک موضعی منطبق بر نیمه مثبت محور است.

در انتهای چپ تار در امتداد محور قائم طبق دستور (فرمول) شروع به حرکت می کند که در آن یک تابع مفروض تکه ای پیوسته و مطلقا انتگرال پذیر است.

جابجائی تار را در هر نقطه در هر لحظه بعدی به دست آورید.

حل: مسئله داده شده یک مسئله مقدار اولیه کرانه ای موج یک بعدی به صورت اگر از معادله دیفرانسیل نسبت به متغیر تبدیل لاپلاس بگیریم، با تعریف داریم: با حل این معادله دیفرانسیل معموتی برای ، به دست می آوریم برای تعیین توابع ضریب و ابتدا ملاحظه می شود که اگر متناهی بماند وقتی ، آنگاه نیز باید متناهی باشد.

لذا باید متحد با صفر باشد.

علاوه بر این با قرار دادن در داریم ، و از شرط کرانه ای نتیجه می شود ، بنابراین تبدیل عکس لاپلاس از طرفین این رابطه نتیجه می دهد.

که در آن تابع پله واحد با پرش واحد در لحظه می باشد.

این جواب موجی را نشان می دهد که در امتداد تار با سرعت ثابت به سمت راست حرکت می کند.

واضح است که تاثیر این موج به تار در یک نقطه کلی در هر لحظه همان جابجائی را می دهد که انتهای چپ تار در واحد زمانی پیشتر، یعنی در لحظه آنرا داشت.

مثال 5.

فرض کنیم یک تار نیمه متناهی ابتدا در حالت سکون در یک موضع منطبق بر نیمه مثبت محور می باشد، و انتهای سمت چپ آن در لحظات بعدی ثابت نگهداشته می شود.

یک نیروی قائم متمرکز با اندازه ، ثابت ، در امتداد تار با سرعت ثابت حرکت می کند که آغاز آن در لحظه در نقطه می باشد.

جابجایی تار را در هر نقطه و در هر لحظه بعدی بدست آورید.

حل: در این مسئله چون یک نیروی خارجی بکار برده شده بر تار موجود است، لذا باید معادله موج ناهمگن را به صورت بکار ببریم، که در آن جرم مخصوص برای یافتن ملاحظه می شود که یک بار متمرکز تنهای که در نقطه عمل می کند متناظر است با یک بار به ازای واحد طول، که در نامتناهی می باشد و در جاهای دیگر صفر است.

بنابراین با فرض این که نیروی بر تار در جهت منفی عمل می نماید، می توان نوشت : که در آن نماد تابع دلتای دیراک یا ضربه واحد در لحظه است.بنابراین مسئله ما آنست که معادله دیفرانسیل را تحت شرایط کرانه ای ( یا مرزی) کراندار وقتی و و شرایط اولیه حل نمائیم.

اگر از طرفین معادله دیفرانسیل نسبت به متغیر تبدیل لاپلاس بگیریم و شرایط اولیه داده شده به کار ببریم، با فرض داریم یا جواب کامل این معادله عبارت است از برای اینکه وقتی کراندار بماند، در هر یک دو حالت باید داشته باشیم ، برای تعیین از شرط کرانه ای می بینیم که با استفاده از این رابطه در جواب کامل فوق به دست می آوریم: بنابراین با گرفتن تبدیل عکس لاپلاس از رابطه قبل، چنین داریم که در آن مانند قبل تابع پله واحد با پرش واحد در است.

نمودارهای جواب به ازای ، در حالت زیر سرعت انتشار موج ، ، و در حالت مافوق سرعت انتشار موج، و نیز نمودار در حالت برابر با سرعت انتشار موج ، ، در شکل 10 برای یک لحظه کلی ثابتی نشان داده شده اند.

در هر کدام نیروی متمرکز در نقطه اعمال شده است نقطه روی هر سه محور یکسان و ثابت است، اما در شکل بالایی و در شکل پائینی انتخاب شده است.

ناپیوستگی در حالت برابر با سرعت انتشار موج وقتی اختلال دقیقا با سرعت انتشار حرکت می کند جالب است.